1.1—1.3 认识三角形 定义与命题 证明 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（浙教版2024新教材）

1.1—1.3 认识三角形 定义与命题 证明 一、三角形的初步知识 1.三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。组成三角形的线段叫做三角形的边。相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2.三角形的表示 三角形用符号“△”表示。例如，三角形ABC记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 3.三角形的分类 按边的相等关系，三角形可以分为不等边三角形和等腰三角形。等腰三角形又有底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形（即等边三角形）之分。 4.三角形的主要线段 角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线。 中线：连结三角形的一个顶点与该顶点对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形有三条中线。 高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高。三角形有三条高线。 5.三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。 二、定义与命题 1.定义 能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题 判断某一件事情的句子叫命题。在数学上，命题一般由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。命题可以写成“如果......那么......”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。正确的命题成为真命题，不正确的命题称为假命题。 3.定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 三、证明 要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步步推得结论成立。这样的推理过程叫做证明。 巩固课内例1:组成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．，，． B．，，． C．，，． D．，，． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 ．（填序号） ①1，2，3         ②2，3，4        ③1，4，2        ④6，2，3 3．下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 巩固课内例2:三角形高线与角平分线夹角问题 1．如图，已知是的角平分线，是边上的高，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，则 °. 3．如图，已知中，于平分，求的度数． 巩固课内例3:命题的条件与结论 1．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 2．“垂直同一条直线的两条直线互相平行”这个命题的条件是 ． 3．指出下列命题的题设和结论： (1)若，则； (2)如果，垂足为O，那么； (3)如果，那么； (4)两直线平行，同位角相等． 巩固课内例4:判断真假命题 1．下列命题是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 C．三角形的外角等于它的两个内角的和 D．对顶角相等 2．命题“若则”是 ．（填“真命题”或“假命题”） 3．下列语句哪些是命题？哪些是真命题？ (1)如果，，那么； (2)等角的补角相等； (3)过一点作直线l的垂线； (4)两个锐角的和是钝角． 巩固课内例5:角平分线与平行之间的证明(内错角) 1．如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 3．如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数．    巩固课内例6:角平分线与平行之间的证明(同旁内角) 1．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，点E在上，点F在上，点P在，之间，和的角平分线相交于点M，的角平分线交的反向延长线于点N，下列四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 3．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 巩固课内例7:证明三角形的内角和 1．一个三角形的三个内角中（   ） A．至少有一个等于 B．至少有一个大于 C．不可能有两个大于 D．不可能都小于 2．如图，，，，则的度数为 ． 3．用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 巩固课内例8:三角形的外角与平行之间的证明 1．如图，将一个含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知如图，，，，则的度数为 ． 3．【问题原型】如图①，已知，试说明． 【解法1】下面是小京的解法，阅读解题过程，并在括号内填上相应的理论依据： 如图②，连结． 在中，．（___________） ． ，（已知） ．（___________） ． ． ．（等量代换） 【解法2】下面是小开的解法，阅读解题过程，并在括号内填上相应的理论依据： 如图③，作． （已知）． （___________） ， ．（___________） 同理，． ． ． 【方法应用】如图④，，当点P在此位置时，试判断的数量关系． 请你参考小开的解法，利用内错角来说明你的结论． 【问题探究1】如图⑤，，点P在和之间，直接写出的数量关系为___________． 【问题探究2】如图⑥，，点P在直线的下方，直接写出，的数量关系为___________． 类型一、找出图中的锐角、钝角、直角三角形 1．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（    ）．    A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 2．在△ABC中，∠A=15°，∠B=65°，那么△ABC是 三角形．（选填“锐角”“钝角”或“直角”） 3．在中，． (1)求、、； (2)确定的形状．（属于什么类型的三角形） 类型二、比较边的大小 1．如图，一张正方形木板，点E，F分别在上，沿锯掉得到五边形，五边形的周长为，正方形的周长为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．，大小无法比较 2．如图，点P，G在△ABC内， 连接BP、PQ、QC，比较AB+AC与PB+PQ+QC的大小：AB+AC PB+PQ+QC 3．如图，点、在直线的同侧，点是点关于的对称点，交于点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)在上再取一点，并连接与，比较与的大小，并说明理由． 类型三、命题的定义 1．下列句子是命题的是（   ） A．连接 B．小于的角是锐角？ C．画 D．相等的角是对顶角 2．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是 ． 3．下列句子中，哪些是命题？ （1）今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果，那么；（4）奇数不能被2整除． 类型一、画出中线、高线 1．在下列各图形中，线段是的边上高的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，点A、B、F在一条直线上，点C、B、E在一条直线上，中，边上的高是线段 ．    3．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为 ． 类型二、根据中线求周长差 1．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 2．如图，在中，是边上的中线，已知，，则和的周长差为 cm． 3．如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，与的周长差为，求的长． 类型三、改写如果。。。那么。。。 1．下列四个命题： ①在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交； ②在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行； ③在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c垂直； ④在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交．其中，真命题有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．写出命题“如果，，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ． 3．把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式： (1)全等三角形的对应角相等； (2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 类型一、证明的依据 1．下面关于基本事实和定理的联系说法不正确的是（　　） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理也是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明 2．在数学课上，小明提出如下命题：“在同一平面内，如果直线l1，l2相交于P，且l1∥l，那么l2与l一定相交．”同学们，你认为小明提出的命题是 （填“真命题”或“假命题”），你的依据是： ． 3．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整． 解：， ． ， ① ． 又，可解得（ ② ）． ， ． ， ③ ．（④此处填推理的依据） 又，可解得（ ⑤ ） （ ⑥ ）． 类型二、三边关系的应用 1．已知是的三条边，化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 2．如果三角形的三边长分别是，4，，那么的取值范围 ． 3．如图中，点在边上，连接，点是上动点（不与、重合），连接． (1)如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ______， ______． 将不等式左边、右边分别相加，得 ______． ______． (2)如图，延长交于点，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进而可知三角形的外角大于与它不相邻的内角．点在运动过程中，请直接写出图中一定大于的角（除外）． 类型三、根据中线平分面积 1．如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若的面积为3，则的面积是 ． 3．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，点为的中点． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1—1.3 认识三角形 定义与命题 证明 一、三角形的初步知识 1.三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。组成三角形的线段叫做三角形的边。相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2.三角形的表示 三角形用符号“△”表示。例如，三角形ABC记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 3.三角形的分类 按边的相等关系，三角形可以分为不等边三角形和等腰三角形。等腰三角形又有底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形（即等边三角形）之分。 4.三角形的主要线段 角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线。 中线：连结三角形的一个顶点与该顶点对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形有三条中线。 高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高。三角形有三条高线。 5.三角形的稳定性 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。 二、定义与命题 1.定义 能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题 判断某一件事情的句子叫命题。在数学上，命题一般由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。命题可以写成“如果......那么......”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。正确的命题成为真命题，不正确的命题称为假命题。 3.定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 三、证明 要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步步推得结论成立。这样的推理过程叫做证明。 巩固课内例1:组成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．，，． B．，，． C．，，． D．，，． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可，解题的关键是正确理解三角形的三边关系． 【详解】、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 ．（填序号） ①1，2，3         ②2，3，4        ③1，4，2        ④6，2，3 【答案】② 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵，∴不能组成三角形， ∵，∴2，3，4能组成三角形， ∵，∴1，4，2不能组成三角形， ∵，∴6，2，3不能组成三角形， 故答案为：②． 3．下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 【答案】(1)不能，理由见详解 (2)不能，理由见详解 (3)能，理由见详解 【分析】本题考查了三边关系：两边之和大于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （2）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （3）先得，根据，满足两边之和大于第三边，即可作答． 【详解】（1）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （2）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （3）解：能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度满足两边之和大于第三边， 故能组成三角形． 巩固课内例2:三角形高线与角平分线夹角问题 1．如图，已知是的角平分线，是边上的高，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线，高的含义，先求解，结合角平分线可得，结合与三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 故选：D 2．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，则 °. 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，理解三角形内角和定理、三角形高和角平分线的定义，准确推理计算是解题的关键． 根据三角形高和角平分线的定义、三角形内角和定理，先求出、的度数，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 在中，是高，是角平分线， ∴，， ∴． 故答案为： 3．如图，已知中，于平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，利用三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出的度数，垂直，得到，进而求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ． ∵，平分， ． ， ∴． 巩固课内例3:命题的条件与结论 1．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 2．“垂直同一条直线的两条直线互相平行”这个命题的条件是 ． 【答案】两条直线垂直于同一条直线 【分析】本题考查了命题的改写，根据命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果那么”的形式即可，解题的关键是正确理解“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．任何一个命题都可以写成“如果那么”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 【详解】解：命题可以改写为：“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”． 条件是：两条直线垂直于同一条直线，结论是：这两条直线平行； 故答案为：两条直线垂直于同一条直线 3．指出下列命题的题设和结论： (1)若，则； (2)如果，垂足为O，那么； (3)如果，那么； (4)两直线平行，同位角相等． 【答案】(1)条件：，结论： (2)条件：，垂足为O，条件： (3)条件：，结论： (4)条件：两直线平行，结论：同位角相等 【分析】本题主要考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 按照“若p，则q”形式的命题中p叫做命题的题设，q叫做命题的结论，找出下列命题中的“p”和“q”即可． 【详解】（1）解：题设：， 结论：； （2）解：题设：，垂足为O， 结论：； （3）解：题设：， 结论：； （4）解：题设：两直线平行， 结论：同位角相等． 巩固课内例4:判断真假命题 1．下列命题是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 C．三角形的外角等于它的两个内角的和 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． 根据平行线的性质、三角形外角的定义、对顶角的性质逐一分析各选项的真假． 【详解】解：A. 同位角相等的前提是两直线平行，若没有此条件，同位角不一定相等，故A是假命题，不符合题意； B. 平行公理指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若未限定“直线外一点”，命题不成立，故B是假命题，不符合题意； C. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，选项中未强调“不相邻”，描述错误，故C是假命题，不符合题意； D. 对顶角的性质为“对顶角相等”，符合定义，故D是真命题，符合题意； 故选：D． 2．命题“若则”是 ．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【分析】本题主要考查对命题真假的判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题， 举出一个符合条件，而不符合结论的例子即可． 【详解】解：命题“若则”是假命题，举例如下： ， ， 但， 满足，但是不满足， 命题“若则”是假命题． 故答案为：假命题． 3．下列语句哪些是命题？哪些是真命题？ (1)如果，，那么； (2)等角的补角相等； (3)过一点作直线l的垂线； (4)两个锐角的和是钝角． 【答案】(1)是命题，是真命题 (2)是命题，是真命题 (3)不是命题 (4)是命题，不是真命题 【分析】本题考查了命题，判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，理解命题的定义是解题的关键． （1）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． （2）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． （3）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． （4）运用判断一件事情的语句是命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：是命题， 如果，，那么是正确的命题， 即是真命题； （2）解：是命题， 等角的补角相等是正确的命题， 即是真命题； （3）解：不是命题． （4）解：是命题， 两个锐角的和是钝角是错误的命题，比如，则， 即不是真命题； 巩固课内例5:角平分线与平行之间的证明(内错角) 1．如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 2．如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ．， 是的角平分线， ． 在中，，， ， 故答案为：． 3．如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数．    【答案】 【分析】首先利用三角形内角和定理得出的度数，再利用平行线的性质以及角平分线的定义分析得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质以及角平分线的定义，正确掌握相关性质是解题关键． 巩固课内例6:角平分线与平行之间的证明(同旁内角) 1．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵平分．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 2．如图，直线，点E在上，点F在上，点P在，之间，和的角平分线相交于点M，的角平分线交的反向延长线于点N，下列四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，作，证得，由平行线的性质即可判断①；同理可证，再根据角平分线的定义即可判断②；若，则，再由平行线的性质和角平分线的定义可得，由与不一定相等，即可判断③；由角平分线的定义得，即，即可判断④． 【详解】解：①：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 同理可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设交于点H， 若，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 若，则， ∵与不一定相等， ∴与不一定相等，故③不正确； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 3．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 巩固课内例7:证明三角形的内角和 1．一个三角形的三个内角中（   ） A．至少有一个等于 B．至少有一个大于 C．不可能有两个大于 D．不可能都小于 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．根据三角形的内角性质、三角形的内角和定理逐项判断即可得． 【详解】A、反例：锐角三角形的三个内角均小于，此项错误； B、反例：锐角三角形的三个内角均小于，此项错误； C、反例：一个三角形的三个内角分别为，此项错误； D、因为三角形的内角和等于，所以不可能都小于，此项正确； 故选：D． 2．如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，由，，，得，然后代入即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【答案】证法1：；；证法2见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 证法1中，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补求证；证法2中，利用两直线平行内错角相等，构造一个平角求证． 【详解】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：如图，过点作，     ， ，，     ，     . 巩固课内例8:三角形的外角与平行之间的证明 1．如图，将一个含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 由三角形外角的性质以及对顶角的性质可得，如图：过F作，则，易得；再根据余角的定义可得，最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：由三角形的外角的性质可得：，即； 由对顶角相等可得：， 如图：过F作，则， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选C． 2．已知如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 3．【问题原型】如图①，已知，试说明． 【解法1】下面是小京的解法，阅读解题过程，并在括号内填上相应的理论依据： 如图②，连结． 在中，．（___________） ． ，（已知） ．（___________） ． ． ．（等量代换） 【解法2】下面是小开的解法，阅读解题过程，并在括号内填上相应的理论依据： 如图③，作． （已知）． （___________） ， ．（___________） 同理，． ． ． 【方法应用】如图④，，当点P在此位置时，试判断的数量关系． 请你参考小开的解法，利用内错角来说明你的结论． 【问题探究1】如图⑤，，点P在和之间，直接写出的数量关系为___________． 【问题探究2】如图⑥，，点P在直线的下方，直接写出，的数量关系为___________． 【答案】解法1：三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补；解法2：平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；方法应用：，理由见解析；问题探究1：；问题探究2： 【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质； 解法1：结合图形，根据证明过程填写即可； 解法2：结合图形，根据证明过程填写即可；． 方法应用：过点P作，延长到R，延长到Q，首先证，根据平行线的性质得，，则，再根据平角的定义得，，据此即可得出、的数量关系； 问题探究1：过点P作，先证，再根据平行线的性质得，，进而得，据此即可得出、的数量关系； 问题探究2：设与交于点H，先由得，再根据三角形外角性质得，据此即可得出的数量关系． 【详解】解法1：如图②，连结． 在中，．（三角形内角和定理） ． ，（已知） ．（两直线平行，同旁内角互补） ． ． ．（等量代换） 故答案为：三角形内角和定理；两直线平行，同旁内角互补； 解法2：如图③，作． （已知）． ．（平行于同一直线的两条直线互相平行） ， ．（两直线平行，内错角相等） 同理，． ． ． 故答案为：平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； 方法应用：、的数量关系为：，证明如下： 过点P作，延长到R，延长到Q，，如图④所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即； 问题探究1：过点P作，如图⑤所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：． 问题探究2：设与交于点H，如图⑥所示： ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． 故答案为：． 类型一、找出图中的锐角、钝角、直角三角形 1．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（    ）．    A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形的分类即可判定． 【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三角形的一个锐角，解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝角． 2．在△ABC中，∠A=15°，∠B=65°，那么△ABC是 三角形．（选填“锐角”“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C的度数，据此即可判定． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=15°，∠B=65°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-15°-65°=100°， 故此三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，用最大角的度数确定三角形的形状是解决本题的关键． 3．在中，． (1)求、、； (2)确定的形状．（属于什么类型的三角形） 【答案】(1)，， (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． （1）根据各角之间的关系，结合三角形内角和定理，即可求出、、的度数； （2）由，可得出、、均为锐角，进而可得出是锐角三角形． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ； （2）， 、、均为锐角， 是锐角三角形． 类型二、比较边的大小 1．如图，一张正方形木板，点E，F分别在上，沿锯掉得到五边形，五边形的周长为，正方形的周长为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．，大小无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形中两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形中两边之和大于第三边，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，点P，G在△ABC内， 连接BP、PQ、QC，比较AB+AC与PB+PQ+QC的大小：AB+AC PB+PQ+QC 【答案】． 【分析】延长PQ分别交AB和AC于F、E两点，通过三角形中两边之和大于第三边即可证明． 【详解】解：如图，延长PQ交AC于F，反向延长PQ交AB于E， 根据三角形三边关系，AE+AF>EP+PQ+QF， BE+EP>BP，FQ+FC>QC； ∴AE+AF+BE+EP+FQ+FC>EP+PQ+QF+BP+QC 即AB+AC>BP+PQ+QC． 【点睛】本题考查三角形三边的关系，解题关键是知道任意两边之和大于第三边，通过式子的变换得到最后的结论． 3．如图，点、在直线的同侧，点是点关于的对称点，交于点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)在上再取一点，并连接与，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题主要考查轴对称最短路线问题，及三角形三边的关系，掌握三角形的两边之和大于第三边是解题的关键． 【详解】（1）点是点关于的对称点， ， ， ． （2）如图：连接，， ， ， ．    类型三、命题的定义 1．下列句子是命题的是（   ） A．连接 B．小于的角是锐角？ C．画 D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查命题的识别．命题是能够判断真假的陈述句，需满足两个条件：①是陈述句；②有明确的真假． 【详解】解：A．“连接”是作图指令，属于祈使句，无法判断真假，不是命题． B．“小于的角是锐角？”是疑问句，不是陈述句，因此不是命题． C．“画”是作图指令，属于祈使句，因此不是命题． D．“相等的角是对顶角”是陈述句，且可以判断真假．因此是命题． 故选：D． 2．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是 ． 【答案】③④ 【分析】根据命题的定义：对一件事情作出判断，是陈述句，进行判断即可． 【详解】解：①钝角大于90°、②两点之间，线段最短、⑤同旁内角不互补，两直线不平行，都对事情作出了判断，因此都属于命题； ③明天可能下雨，没有对一件事情作出判断，因此不是命题； ④作AD⊥BC属于作图语言，并未进行判断，因此不是命题， 故选③④． 【点睛】本题考查命题的定义：是否对一件事情进行了判断，而且是陈述句． 3．下列句子中，哪些是命题？ （1）今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果，那么；（4）奇数不能被2整除． 【答案】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题，分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 【详解】解：（1）今天的天气真好，是陈述句，不是命题； （2）这本书你看完了吗？不是命题； （3）如果，那么是命题， （4）奇数不能被2整除，是命题． 综上：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题 类型一、画出中线、高线 1．在下列各图形中，线段是的边上高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：根据三角形高的画法知： A、线段是的边上高，故选项A不符合题意； B、线段是的边上高，故选项B符合题意； C、线段不是的边上高，故选项C不符合题意； D、线段是的边上高，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．如图，，点A、B、F在一条直线上，点C、B、E在一条直线上，中，边上的高是线段 ．    【答案】/ 【分析】根据三角形高线的定义，求解即可，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 【详解】解：由三角形高线的定义可得：中，边上的高是线段， 故答案为： 【点睛】此题考查了三角形高线的定义，解题的关键是掌握三角形高线的定义． 3．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）由题意可得，的面积为，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ； （3）解：由题意得，的面积为． 故答案为：4． 类型二、根据中线求周长差 1．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是△的中线， ， 与的周长差为7， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，是边上的中线，已知，，则和的周长差为 cm． 【答案】2 【分析】本题考查有关三角形中线的计算，根据是边上的中线，得到， 结合三角形周长计算即可得到答案； 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2． 3．如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，与的周长差为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质是解题的关键； （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：是的高， ， 是的角平分线，， ， ； （2）是中点， ， 与的周长差为，； ， ， ． 类型三、改写如果。。。那么。。。 1．下列四个命题： ①在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交； ②在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行； ③在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c垂直； ④在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交．其中，真命题有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查的是真假命题的判定，平面内直线的位置关系，根据平面内直线的位置关系结合举反例逐一分析判断即可． 【详解】解：如图， ∴在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交，故①是假命题； 在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行；故②是真命题； 如图， ∴在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c平行；故③是假命题； 在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交；④是真命题； ∴真命题有②④； 故选：C 2．写出命题“如果，，那么”的题设和结论，题设是 ，结论是 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是明确命题的定义，知道题设和结论分别是哪部分． 根据命题的组成可知如果后面是题设，那么后面是结论． 【详解】解：命题：“如果，，那么”， 题设是如果，，结论是， 故答案为：，，． 3．把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式： (1)全等三角形的对应角相等； (2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 【答案】(1)如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等； (2)如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形． 【分析】本题考查了改写命题.将命题改写成 “如果……，那么……” 形式，关键是准确区分命题的条件和结论，使改写后的语句逻辑清晰、表意明确． “如果” 后面接的是命题的条件，“那么” 后面接的是命题的结论．对于 (1)，条件是两个三角形全等，结论是对应角相等；对于 (2)，条件是等腰三角形有一个角为，结论是该三角形是等边三角形． 【详解】（1）将全等三角形的对应角相等改写成“如果……，那么……” 的形式：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等； （2）将有一个角等于的等腰三角形是等边三角形改写成“如果……，那么……” 的形式：如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形． 类型一、证明的依据 1．下面关于基本事实和定理的联系说法不正确的是（　　） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理也是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】B 【分析】公理,也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律;定理:是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题,从公理和定理的概念可找到正确答案. 【详解】A.选项,基本事实和定理都是真命题表述正确, B选项,基本事实就是定理,定理也是基本事实,因为基本事实是不需要证明同时也无法去证明的客观规律,定理是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题,因此B选项表述错误, C选项,基本事实和定理都可以作为推理论证的依据,表述正确, D选项,基本事实的正确性不需证明,定理的正确性需证明,表述正确, 故选B. 【点睛】本题主要考查基本事实和定理的概念,解决本题的关键是要熟练掌握基本事实和定理的概念. 2．在数学课上，小明提出如下命题：“在同一平面内，如果直线l1，l2相交于P，且l1∥l，那么l2与l一定相交．”同学们，你认为小明提出的命题是 （填“真命题”或“假命题”），你的依据是： ． 【答案】 真命题 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理直接判断即可． 【详解】解：小明提出的命题是真命题， 依据是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：真命题，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行公理是解答此题的关键． 3．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整． 解：， ． ， ① ． 又，可解得（ ② ）． ， ． ， ③ ．（④此处填推理的依据） 又，可解得（ ⑤ ） （ ⑥ ）． 【答案】（1）①见解析，真命题；②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：．（2）①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）①根据题意、结合图形写出已知和求证，再进行判断； ②根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明． （2）根据推理过程填写所缺少内容即可． 【详解】解：（1）①如图， 命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”是真命题； ②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴∴， ∴， ∴该命题是真命题． （2）解：， ． ， ． 又，可解得． ， ． ， ．（两直线平行，内错角相等） 又，可解得 ． 故答案为：①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120 类型二、三边关系的应用 1．已知是的三条边，化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值即可． 【详解】解：a，b，c是的三边长， ，， 则，， ， ， 原式， 故选：B． 2．如果三角形的三边长分别是，4，，那么的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边；根据三角形的三边关系列式计算即可求解． 【详解】解：由三角形任意两边的和大于第三边以及三角形任意两边之差小于第三边可知： ，即：， 故答案为：． 3．如图中，点在边上，连接，点是上动点（不与、重合），连接． (1)如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ______， ______． 将不等式左边、右边分别相加，得 ______． ______． (2)如图，延长交于点，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进而可知三角形的外角大于与它不相邻的内角．点在运动过程中，请直接写出图中一定大于的角（除外）． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的一个外角大于和它不相邻任何一个内角． （1）由三角形两边之和大于第三边，不等式的性质，即可得到答案； （2）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ， ， 将不等式左边、右边分别相加，得 ， ， 故答案为：，，，； （2）解：依题意，是的外角， 则, 故； 同理得，，． 类型三、根据中线平分面积 1．如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质等知识点，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可得出结果，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决此题的关键． 【详解】解：∵E是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，是的中线，延长至点，使，连接，若的面积为3，则的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了中线的性质，三角形的面积公式，掌握知识点是解题的关键． 由可得，由三角形的中线的性质，可得，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：18． 3．如图，在中，是边上的中线，是边上的高，点为的中点． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的中线性质及三角形外角的性质，熟记三角形的中线平分该三角形的面积是解题的关键． （1）直接根据三角形外角的性质解答即可； （2）先根据E是中点，的面积为10得出的面积，再根据是边上的中线得出的面积，根据求出的长，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵点E为的中点，的面积为10， ∴，则， ∵是边上的中线， ∴． 则， ∵， ∴． ∵是边上的高线， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$