1.2 认识三角形与全等三角形（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义系统覆盖三角形与全等三角形核心知识点，从三角形的概念、分类入手，逐步深入内角和定理、三边关系、重要线段（角平分线、中线、高）及外角性质，延伸至全等三角形的概念、对应元素识别与性质，构建完整知识支架。 资料通过易错提醒、随学随练及题型分类强化教学，如对比表格明晰三种线段差异培养几何直观，实例解析提升推理能力。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，发展数学思维与应用意识。

第一章 三角形 1.2 认识三角形与全等三角形 课标要点 1.理解三角形的定义，掌握三角形的基本性质，熟练运用三角形三边关系，判断三条线段能否构成三角形，求解三角形边长的取值范围；掌握三角形内角和定理，能运用性质进行角度计算与简单几何推理。 2.认识三角形的三种重要线段，理解三角形中线、角平分线、高线的定义，掌握三种线段的画法与基本性质，了解线段交点的特征，能运用相关性质解决三角形面积、边长、角度的基础计算问题。 3.理解全等图形、全等三角形的概念，明确全等三角形能够完全重合的本质特征，掌握全等三角形的规范书写方式，能精准识别全等图形、全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角。 4.掌握全等三角形的核心性质，牢记全等三角形对应边相等、对应角相等，能利用该性质进行线段长度、角度大小的计算，完成基础的几何说理与简单推理问题。 5.初步建立平面几何图形认知与几何推理思维，规范几何语言的表达与书写，能结合图形分析三角形、全等三角形的数量关系与位置关系，为后续几何证明、全等判定学习奠定基础。 学习重难点 重点： 1.三角形的定义，熟练掌握三角形三边关系、内角和定理，并能灵活运用知识点进行计算与简单几何说理。 2.三角形中线、角平分线、高线的定义、画法及基础性质，能运用三种特殊线段的性质解决基础几何问题。 3.全等三角形的概念、表示方法，准确识别全等三角形的对应边、对应角。 4.全等三角形的性质，熟练利用对应边相等、对应角相等的结论，完成线段、角度的计算与基础几何推理。 难点： 1.灵活运用三角形三边关系，结合分类讨论思想求解含参数边长、不确定边长的取值范围，解决三角形构成判定问题。 2.熟练绘制直角三角形、钝角三角形的高线，区分不同三角形中中线、角平分线、高线的位置差异，规避概念混淆与画图错误。 3.在图形平移、翻折、旋转后的复杂变式图形中，快速、准确找准全等三角形的对应元素。 4.综合运用三角形边角性质与全等三角形性质，完成多步几何推理，规范书写几何语言，构建完整、严谨的简易推理逻辑链。 知识点 三角形的概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 2.三角形的三要素： 顶点：三条线段的三个端点，一个三角形有3个顶点。 边：组成三角形的三条线段，一个三角形有3条边。 内角：相邻两边组成的角，简称三角形的角，一个三角形有3个内角。 3.三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”。三条边可记作AB、BC、AC，也可对应顶点小写字母记作。 易错提醒 容易忽略定义中的“不在同一直线上”和“首尾顺次相接”两个关键条件。三条线段在同一直线上无法围成三角形，线段没有首尾相接也不能构成封闭三角形，做题时需重点甄别。 随学随练 1．（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：∵ 在中，边连接顶点B和C， ∴ 其对角为（顶点A所对的角）， 故选：A． 3．如图，写出一个以为角的三角形是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的定义． 根据三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：以为角的三角形是， 故答案为：． 知识点 三角形的分类 三角形有两种分类标准，分别按角分类、按边分类。 1. 按内角大小分类 锐角三角形：三个内角都是锐角（角度均小于90°）的三角形。 直角三角形：有一个内角是直角（等于90°）的三角形，可用Rt△表示，如Rt△ABC。直角三角形有两条直角边、一条斜边，斜边为最长边。 钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形。 2. 按边的长短关系分类 不等边三角形：三条边长度都不相等的三角形。 等腰三角形：有两条边长度相等的三角形。其中相等的两条边叫腰，另一条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 等边三角形（正三角形）：三条边长度都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 易错提醒 1）按角分类时：一个三角形中最多只有一个直角或一个钝角，最少有两个锐角，不存在两个直角或两个钝角的三角形； 2）按边分类时：等边三角形属于等腰三角形的特例，做题判断题中“等腰三角形是等边三角形”为错误的，“等边三角形是等腰三角形”为正确的。 随学随练 1．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 2．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】利用大边对大角的性质，判断最大角的类型，即可确定三角形的类型． 【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角是锐角，即三角形的最大角是锐角， ∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角， ∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形， ∴这个三角形是锐角三角形． 3．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类． 根据三角形的分类进行解答即可． 【详解】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形， 则图中“？”处是：直角三角形． 故答案为：直角三角形． 知识点 三角形内角和定理（重点） 1.三角形内角和定理内容：三角形的三个内角的和等于180°。 2.定理应用：①已知三角形两个内角的度数，求第三个内角；②已知三角形内角的数量关系，列方程求内角度数；③判断三角形的形状（通过计算最大内角的度数判断）。 特别提醒 1）直角三角形的两个锐角互余（和为90°），可直接用于快速计算角度； 2）三角形内角和与平行线性质、角平分线结合的题型是常考题型，解题核心始终围绕内角和180°推导。 随学随练 1．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图： 在中，，, ∴， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，若，则________． 【答案】 【分析】利用三角形内角和为求得，结合推导出的数值． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 3．（25-26七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)解：，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）先根据垂直定义得出，根据平行线判定可得出，故可得出，推出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）先根据得出，由直角三角形的性质得出的度数，故可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ， ， 又， ． 知识点 三角形的三边关系（重点） 1.核心定理：三角形任意两边的和大于第三边。 2.推论：三角形任意两边的差小于第三边。 特别提醒 易错提醒 如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 教材延伸 三角形中，大边对大角，小边对小角。即边长越长，对应的内角越大；边长越短，对应的内角越小，可用于快速比较三角形边角大小。 随学随练 1．（25-26七年级下·福建厦门·期末）下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，判断能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度和是否大于最长线段的长度，满足条件即可组成三角形，反之不能． 【详解】解：A、， 不能组成三角形，不符合题意； B、， 能组成三角形，符合题意； C、， 不能组成三角形，不符合题意； D、， 不能组成三角形，不符合题意． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期末）为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：连接， 在中， ∴，即， 解得， 只有在范围内． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 知识点 与三角形有关的线段（重点） 1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫作三角形的角平分线。 2.三角形的角平分线的性质： ①三角形的角平分线平分三角形的一个内角，将一个角分成两个相等的角； ②任意三角形的三条角平分线都在三角形内部，且三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心； ③三角形内心到三角形三边的距离相等。 3.三角形的中线定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫作三角形的中线。 4.三角形的中线的性质： 三角形的中线平分对边，将对边分为两条相等的线段； 任意三角形的三条中线全部在三角形内部，且三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心； 三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高，面积相等）； 三角形重心性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 5.三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫作三角形的这条边上的高（高线）。 6.三角形的高的作用：专门用于求三角形面积，面积公式：。 7.三角形高所在的位置 锐角三角形：三条高全部在三角形内部，交点在三角形内部； 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在斜边内部，三条高的交点为直角顶点； 钝角三角形：钝角所对边上的高在内部，另外两条边上的高在三角形外部（需延长对边作垂线），三条高的交点在三角形外部。 易错提醒 1）三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是直线、不是射线； 2）钝角三角形两条高在外部，作图时必须先延长对边再作垂线，不能直接在三角形内部画，考试作图题极易出错； 3）中线平分三角形面积，不平分周长！切勿主观认为中线可以平分三角形周长，周长是否相等需单独计算验证。 教材延伸 内心、重心、垂心汇总： 角平分线交点：内心（到三边距离相等）； 中线交点：重心（2:1比例性质）； 高线交点：垂心（位置随三角形类型变化）。 随学随练 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 3．（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）如图，中，已知是的高，点E是边上一点． (1)若是的角平分线，，，分别求和的度数． (2)若是的中线，和的面积相等吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)相等，见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理先求出，再由三角形内角和定理求解； （2）根据三角形的中线等分面积即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高 ∴ ∵ ∴, ∵，是的角平分线 ∴ ∴； （2）解：和的面积相等，理由如下： ∵是的中线， ∴ ∵是的高 ∴， ∴． 知识点 三角形外角性质（重点） 1.外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。每个三角形有6个外角，每组对顶角相等。 2.三角形外角的两大核心性质 性质1（等量关系）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 性质2（大小关系）：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 易错提醒 外角性质中，必须是“不相邻”的两个内角。切勿混淆为“三角形的外角等于任意两个内角和”，相邻内角与外角互为邻补角，和为180°，不适用该性质。 随学随练 1．（2026·四川内江·中考真题）如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）三角形的一个外角等于，与它不相邻的一个内角为，则另一个不相邻内角为_______°． 【答案】60 【分析】根据题意结合三角形外角的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵三角形的一个外角等于，与它不相邻的一个内角为， ∴另一个不相邻内角为． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，是的外角，若，，则_______ 【答案】 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， ∴. 知识点 全等三角形 1.全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2.全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 3.对应元素概念：互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。 4.表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。 注意：书写时必须严格对应顶点顺序，例如：△ABC≌△DEF，表示A与D、B与E、C与F分别为对应顶点，对应边、对应角随之确定，顺序不可混乱。 易错提醒 1）很多学生随意书写全等三角形顶点顺序，这是高频扣分点。“≌”连接的两个三角形，顶点顺序一一对应，顺序写错，对应边、对应角全部错误，后续计算和证明全盘出错； 2）区分“对应边/角”与“对边/角”：对应边、对应角是两个全等三角形之间的边角关系；对边、对角是同一个三角形内部边与角的位置关系，不可混用概念。 随学随练 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A正确； B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B错误； C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C错误； D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D错误． 故选：A． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 知识点 全等三角形的性质（重点） 1.全等三角形的性质：对应边相等；对应角相等。 2.性质符号语言（答题标准句式） ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形对应边相等） ∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形对应角相等） 教材延伸 1）两个全等三角形可以完全重合，位置可以不同，但形状大小完全一致。一个三角形的全等图形有无数个（位置不同），但边角数据完全相同； 2）全等三角形的周长相等、面积相等； 3）全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线全部相等。 随学随练 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“对顶角相等”判断A选项，再根据全等三角形的性质判断其余三项． 【详解】解：与交于点， 与是对顶角， ， 故A选项正确； ， 、、、， 故B、C选项正确，D选项错误． 2．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 【答案】 1.5 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，再根据求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，≌，，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到即可求解； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：：∵， ∴， 在中，． 拓展 三角形三种重要线段对比 对比维度 角平分线 中线 高（高线） 定义核心 平分三角形内角的线段 连接顶点与对边中点的线段 顶点向对边作的垂线段 核心功能 等分内角，角度计算 等分对边、等分三角形面积 计算三角形面积、证明垂直关系 交点名称 内心（内部） 重心（内部） 垂心（位置随三角形变化） 位置特点 所有三角形中均在内部 所有三角形中均在内部 锐角△全内部、直角△交于直角顶点、钝角△两条在外部 活学活用 1．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图，在中，，，平分． (1)求的度数． (2)在中，分别画出边上的高和边上的高；求出的度数，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：如图，线段、即为所求； 是高， ， ， ； 猜想；理由如下： 是高， ， ， ，，， ； 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，即可根据三角形外角的性质求得答案； （2）分别过点A和点B作对边的垂线段即可画出图形；根据三角形内角和定理即可求得的度数；根据三角形高的定义及三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）略 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少2，求的长度． 【答案】(1)15° (2)8 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出，进而求出，然后根据两锐角互余求出，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先结合已知条件和中线的性质确定的数量关系，继而可以求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 又∵为的角平分线， ∴． ∵为边上的高， ∴， ∴． （2）解：∵为边上的中线， ∴． 又∵的周长比的周长少2，， ∴， ∴， ∴． 拓展 三角形内角与外角性质对比 对比维度 三角形内角 三角形外角 数量 单个三角形共3个 单个三角形共6个（3组对顶角相等） 核心关系 三内角和为180° 一个外角=两个不相邻内角和；外角＞任意不相邻内角 取值范围 均大于0°、小于180° 均大于0°、小于180° 应用场景 求内角、判断三角形形状 角度推导、角度大小比较、证明不等关系 活学活用 1.（2026·河北唐山·模拟预测）在如图标出的四个角中，最大的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长交于点 由三角形的外角性质可得，， ∴最大的角是． 2．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 【答案】 【分析】先根据外角的性质得出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 题型 三角形的概念 解题贴士 1）判断核心：同时满足三条线段、不共线、首尾顺次封闭相接三个条件； 2）快速排错：曲线、开口图形、三点共线图形均不是三角形。 ▌例1.（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． ▌对点练1-1.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． ▌对点练1-2.（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． ▌对点练1-3.（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 题型 三角形的分类 解题贴士 1）按角判型：看最大内角，锐角为锐角三角形、直角为直角三角形、钝角为钝角三角形； 2）按边判型：三边不等为不等边三角形，两边及以上相等为等腰三角形（等边是特殊等腰）。 ▌例1.（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，这个三角形是（    ）    A．等腰三角形 B．等边三角形 C．三边都不相等的三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据已知三角形判断即可． 【详解】解：由图可知，这个三角形是三边都不相等的三角形． 故选：C． ▌对点练1-1.（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． ▌对点练1-2.（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到，进而得到是等边三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． ▌对点练1-3.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 【答案】 【分析】分三种情况，当时，当时，当时，分别找出符合条件的P点的个数，即可解决问题． 本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，分三种情况： 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 综上所述，为直角三角形，符合条件的P点的个数为（个）． 故答案为：6． 题型 三角形三边关系的应用 解题贴士 1）快速判定能否构成三角形：只需验证两短边之和＞最长边； 2）求第三边范围：两边之差＜第三边＜两边之和； 3）周长取值：最小周长略大于两倍短边，最大周长略小于两倍长边。 ▌例1.（25-26七年级下·重庆万州·期末）若三角形的两条边长分别为2和7，则第三边的边长可以是（     ） A．3 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配符合范围的选项即可，三角形三边关系为三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边． 【详解】设第三边的长为c， ∵三角形已知两条边长分别为2和7， ∴，即， 选项中只有C选项的8满足该范围，因此选C． ▌例2.（2026·河北沧州·二模）如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据三角形的三边关系可知， 又∵，， ∴ 则该圆的半径可能是（答案不唯一）． ▌对点练1-1.（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列长度的三条线段，不能够组成三角形的是（     ） A．5，8，2 B．3，4，5 C．6，6，1 D．5，12，13 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，依次判定各选项即可 【详解】解：A、∵ ，不满足三角形三边关系， ∴ 长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意； B、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意； C、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意； D、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意 ▌对点练1-2.（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形三边关系，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，化简即可． 【详解】解：∵、、是的三边长， ∴，， ∴，． ∴． ▌对点练1-3.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 【答案】3或5或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2而小于8，再结合三角形周长是奇数可知第三边是奇数即可求解． 【详解】解：设第三边长为x， 根据三角形三边关系可知：， 即， 则x可以是3，4，5，6，7， ∵三角形周长是奇数，另外两边之和为8， ∴x为奇数， 故x可取3或5或7． 题型 三角形的内角和定理 解题贴士 1）基础用法：直接利用内角和180°，已知两角求第三角； 2）直角三角形速算：两锐角互余，直接相减求角。 ▌例1.（25-26七年级下·江西南昌·期末）如果三角形的三个内角分别是，，，则x的值为（     ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】B 【分析】利用三角形内角和定理，将三个内角相加等于，化简后即可求出的值. 【详解】解：∵三角形的内角和为， ∴， ∴， ∴， 解得， 因此的值为. ▌例2.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，，则____________． 【答案】120 【分析】由三角形内角和定理可得，结合平行线的性质可得，最后再由多边形的外角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ▌对点练1-1.（25-26七年级下·福建莆田·期末）如图是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片和它的平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，然后由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ▌对点练1-2.（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，． (1)如图1，若，求∠BPC的度数； (2)如图2，过P点作交于点Q，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由如下： ， ， ，， ， 即， ． 【分析】（1）根据及，可证明，再根据三角形内角和定理，即可求得答案； （2）根据平行线的性质及三角形内角和定理，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）略 ▌对点练1-3.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查平行线的判定与性质，关键是根据平行线的性质得出解答． （1）根据平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义得出，进而利用平行线的判定解答即可； （2）根据平行线的性质得出，进而利用三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 题型 与三角形的角平分线有关的计算 解题贴士 1）基础技巧：角平分线等分内角，等分两角度数相等； 2）通用解法：设最小角为x，结合内角和、外角定理列方程求解。 ▌例1.（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线可得，由得． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ▌对点练1-1.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，结合题意得到，由此三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． ▌对点练1-2.（25-26七年级上·河南焦作·期末）如图所示，在中，，是的平分线，则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算． 根据求出，进而求出，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故答案为：． ▌对点练1-3.（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点． (1)若，则的度数为　　　． (2)若，求（用含的代数式表示）． 【答案】(1)110 (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和得出的值，再根据角平分线的定义易得出的值，然后再根据三角形内角和即可得出答案； （2）根据三角形内角和得出的值，再根据角平分线的定义易得出的值，然后再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． 题型 与三角形的中线有关的计算 解题贴士 1）边长技巧：中线平分对边，分割出两条等长线段； 2）面积技巧：任意中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； 3）周长技巧：两小三角形周长差=三角形剩余两边的边长差。 ▌例1.（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． ▌例2.（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． ▌对点练1-1.（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． ▌对点练1-2.（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． ▌对点练1-3.（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，是的中线，，、分别是的高与角平分线． (1)若与的周长差为2，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线和角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义可得，再由三角形的周长公式推出，据此可得答案； （2）由三角形内角和定理求出的度数，由高线和角平分线的定义求出，，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 与的周长差为2， ， ， ； （2）解：， ， 、分别是的高与角平分线， ，， ， ． 题型 画三角形的高 解题贴士 1）作图核心：过顶点，向对边或对边延长线作垂线，顶点到垂足线段即为高； 2）分类画法：锐角三角形三高在内部；直角三角形两直角边互为高；钝角三角形两条高在外部； 3）得分关键：必须标垂直符号，垂足落在对应边上。 ▌例1.（25-26七年级下·河北石家庄·期末）中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线的定义即可解答． 【详解】解：A选项中，作的是边上的高，不符合题意； B选项中，没有经过顶点，不符合题意； C选项中，不垂直，不符合题意； D选项中，过点且垂直，符合题意． ▌对点练1-1.（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． ▌对点练1-2.（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，边上的高线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段， ∴中边上的高应过顶点且垂直于所在直线， 观察图形可知，，垂足为， ∴边上的高线为． 题型 与三角形的高有关的计算 解题贴士 1）核心方法：等面积法，同一个三角形底×对应高的乘积相等； 2）直角三角形专属：两直角边乘积=斜边×斜边上的高； 3）解题思路：知底求高、知高求底，优先套用等面积公式。 ▌例1.（2026·陕西安康·二模）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． ▌例2.（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是边上的高线， ∴． ∴． ▌对点练1-1.（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高； 利用等面积法列式求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 故选：C． ▌对点练1-2.（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，是边上的中线，，，若于点E，则_______． 【答案】4 【分析】本题考查了与中线有关的三角形面积问题，根据三角形中线的性质得到，再根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴，即， 解得． ▌对点练1-3.（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【答案】(1)20；60 (2)24 【分析】本题考查了三角形的中线以及面积公式的应用，解题的关键是利用中线的性质确定底边长度，结合面积公式进行计算． （1）利用中线性质求的长，再用三角形面积公式求面积； （2）通过三角形面积的两种表示方法求的长． 【详解】（1）解： 是的中线， ， 则， 的面积为； （2）解： ， ． 题型 图形的全等 解题贴士 判定技巧：只需看形状、大小完全相同，与位置、旋转、翻转无关。 ▌例1.（25-26七年级下·河南南阳·期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 【答案】C 【分析】根据全等图形的定义，即能完全重合的两个图形是全等图形，逐一判断各选项即可得到结果. 【详解】解：∵ 能完全重合的两个图形叫做全等图形. A 选项：周长相等的三角形，边长不一定对应相等，无法完全重合，不是全等图形. B 选项：面积相等的三角形，边长和形状不一定相同，无法完全重合，不是全等图形. C 选项：圆的大小只由半径决定，半径相等的圆大小完全相同，可以完全重合，是全等图形. D 选项：底和高分别相等的平行四边形，内角大小不一定相同，形状不一定一致，无法完全重合，不是全等图形. ▌对点练1-1.（25-26八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． ▌对点练1-2.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列各组图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等图形，能完全重合的两个平面图形是全等图形．据此进行判断即可． 【详解】解：观察发现：B，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形； A选项中两个图形能完全重合，是全等形， 故选：A． 题型 全等三角形的性质 解题贴士 1）核心性质：对应边相等、对应角相等（解题第一依据）； 2）衍生性质：对应中线、对应高、对应角平分线相等，周长、面积相等； 3）解题关键：先找对应顶点，再匹配边角，杜绝对应关系错误。 ▌例1.（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形中边的标记确定全等三角形的对应关系，找出，利用三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解： ，且，，，， ， ，， ， ． ▌例2.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ▌对点练1-1.（25-26七年级下·上海闵行·期末）已知两个三角形全等，那么下列说法不一定正确的是（     ） A．这两个三角形的对应角相等 B．这两个三角形的对应边相等 C．这两个三角形的周长相等 D．这两个三角形的高相等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质逐一判断选项即可，需注意全等三角形仅对应元素相等，非对应元素不一定相等． 【详解】解：∵全等三角形的对应角相等，对应边相等，是全等三角形的基本性质， ∴选项A，B一定正确，不符合题意； ∵三角形的周长为三边长度之和，全等三角形三边对应相等， ∴两个三角形的周长一定相等，选项C正确，不符合题意； ∵全等三角形只有对应边上的高相等，题目未指明是对应高， ∴这两个三角形的高不一定相等，选项D不一定正确，符合题意． ▌对点练1-2.（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． ▌对点练1-3.（2026·四川成都·二模）如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，，然后根据已知线段的长度求出结果即可． 【详解】解：∵， ，， ∵， ， ∵， ，即． ▌对点练1-4.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 基础通关 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边长不可能是（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，即可判断出不可能的边长． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形的两边长分别为3和7， ∴即， ∵11不在的范围内， ∴第三边长不可能是11． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）要制作三角形相框，已有两根长度和的木条，现需再选一根木条拼接，下列长度中可选用的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再匹配符合条件的选项即可． 【详解】解：已有两根长度为和的木条，设第三根木条长度为， 根据三角形三边关系可得： ∴ 观察各选项，只有符合该范围． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．3，3，6 B．2，5，8 C．3，5，7 D．9，2，2 【答案】C 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项判断即可，只需比较较短两边的和与最长边的大小即可快速判断． 【详解】解：选项A：，等于第三边，不能组成三角形； 选项B：，和小于第三边，不能组成三角形； 选项C：，满足三边关系，能组成三角形； 选项D：，和小于第三边，不能组成三角形． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（     ） A．三角形三条中线的交点一定在三角形的外部 B．三角形的一个外角等于它的任意两个内角之和 C．三角形的任意两边之差大于第三边 D．全等三角形对应边上的高相等 【答案】D 【详解】解：∵ 三角形三条中线的交点为三角形的重心，一定在三角形内部， ∴ A选项错误； ∵ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴ B选项错误； ∵ 根据三角形三边关系，三角形任意两边之差小于第三边， ∴ C选项错误； ∵ 全等三角形对应边相等，面积相等，因此对应边上的高相等， ∴ D选项正确． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【详解】解：， ， ． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断． 【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形； 故选：B． 7．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________． 【答案】 【分析】过点作于，交于，可得，利用“等积法”可求出，进而求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于，交于，则， ∵， ∴， ∵点到的距离是， ∴， ∵，，，， ∴，即， 解得：， ∴， ∴与之间的距离是． 8．（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则的面积为________． 【答案】6 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵，的面积为4， ∴的面积为， ∵是的中点， ∴． 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和为180度可得答案； （2）根据角平分线的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：由（1）得， ∵平分， ∴． 10．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得，，再由，即可求解． 【详解】解：∵是中线，，， ∴，， ∵是高， ∴，即， ∴． 11．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，已知，若，求的长． 【答案】13 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． 先根据全等三角形的性质得到，再计算出的值，然后计算即可． 【详解】解：∵≌， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，点在上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等，是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，再根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与平行线的判定，解题的关键是利用全等三角形的对应角相等、对应边相等进行推理计算． （1）利用全等三角形的对应角相等，结合内错角相等判定两直线平行； （2）利用全等三角形的对应边相等，结合线段和的关系求出的长． 【详解】（1）证明： ， ， ； （2）解： ，， ， ， ， ， ． 素养提升 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 【答案】C 【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再结合周长为奇数的条件判断x的奇偶性，统计符合条件的x的个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，， 根据三角形三边关系得 ，即 ， 三角形周长为奇数，周长为 ，且是奇数， 必须为偶数，奇数加偶数结果为奇数， 边长为正整数， 符合条件的为，共个， 满足条件的三角形个数为个． 2．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 3．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，的周长为12，，则的长为______． 【答案】 【分析】先求出中的长，再利用全等三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：∵，的周长为， 的周长为，， ，， ， ． 5．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是、、的中点，那么阴影部分的面积为________． 【答案】12 【分析】连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为． 6．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，点C和点E，点A和点F是对应顶点，，，，，求的长，以及，的度数． 【答案】，， 【分析】利用全等三角形性质得对应边、对应角相等．由算出的长度，再根据对应边相等得到的长．由对应角相等直接得到的度数；再利用三角形内角和定理，先算出中的度数，最后根据对应角相等得到的度数． 【详解】解：∵，点和点、点和点是对应顶点， ∴，，． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，，， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，已知． (1)若，，求的度数； (2)若，，求AB的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，再利用三角形外角的性质进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质得到，利用线段的差得到，再求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 迁移创新 1．（2026·广东深圳·三模）如图所示，光的反射是生活中常见的现象，左图①是光的反射示意图；右图②是小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点O表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，点H为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内．当，，则反射角的大小（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点，先求出，再求出的度数，然后结合计算即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点为入射点，为法线， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，______；______（用含t的代数式表示）； (2)当时，的面积______； (3)连接、，当时，求t的值； (4)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可求解； （2）首先画出图形，然后根据题意得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）由得到，然后列方程求解即可； （4）根据是以为底的等腰三角形，则点P在边上，根据等腰三角形的性质得，又，然后根据，得方程，求解得到t值；最后根据三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵点P以的速度从A点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；； （2）解：当时，P运动的路程为：， ∵， 又∵， ∴此时点P在边上，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）如图所示， ∵ ∴ ∴ ∴； （4）解：∵是以为底的等腰三角形 ∴点P在边上， 过点P作交于点E，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵长方形， ∴根据题意可得四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，列代数式，一元一次方程的应用，三角形面积，熟练掌握相关性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形 1.2 认识三角形与全等三角形 课标要点 1.理解三角形的定义，掌握三角形的基本性质，熟练运用三角形三边关系，判断三条线段能否构成三角形，求解三角形边长的取值范围；掌握三角形内角和定理，能运用性质进行角度计算与简单几何推理。 2.认识三角形的三种重要线段，理解三角形中线、角平分线、高线的定义，掌握三种线段的画法与基本性质，了解线段交点的特征，能运用相关性质解决三角形面积、边长、角度的基础计算问题。 3.理解全等图形、全等三角形的概念，明确全等三角形能够完全重合的本质特征，掌握全等三角形的规范书写方式，能精准识别全等图形、全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角。 4.掌握全等三角形的核心性质，牢记全等三角形对应边相等、对应角相等，能利用该性质进行线段长度、角度大小的计算，完成基础的几何说理与简单推理问题。 5.初步建立平面几何图形认知与几何推理思维，规范几何语言的表达与书写，能结合图形分析三角形、全等三角形的数量关系与位置关系，为后续几何证明、全等判定学习奠定基础。 学习重难点 重点： 1.三角形的定义，熟练掌握三角形三边关系、内角和定理，并能灵活运用知识点进行计算与简单几何说理。 2.三角形中线、角平分线、高线的定义、画法及基础性质，能运用三种特殊线段的性质解决基础几何问题。 3.全等三角形的概念、表示方法，准确识别全等三角形的对应边、对应角。 4.全等三角形的性质，熟练利用对应边相等、对应角相等的结论，完成线段、角度的计算与基础几何推理。 难点： 1.灵活运用三角形三边关系，结合分类讨论思想求解含参数边长、不确定边长的取值范围，解决三角形构成判定问题。 2.熟练绘制直角三角形、钝角三角形的高线，区分不同三角形中中线、角平分线、高线的位置差异，规避概念混淆与画图错误。 3.在图形平移、翻折、旋转后的复杂变式图形中，快速、准确找准全等三角形的对应元素。 4.综合运用三角形边角性质与全等三角形性质，完成多步几何推理，规范书写几何语言，构建完整、严谨的简易推理逻辑链。 知识点 三角形的概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 2.三角形的三要素： 顶点：三条线段的三个端点，一个三角形有3个顶点。 边：组成三角形的三条线段，一个三角形有3条边。 内角：相邻两边组成的角，简称三角形的角，一个三角形有3个内角。 3.三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”。三条边可记作AB、BC、AC，也可对应顶点小写字母记作。 易错提醒 容易忽略定义中的“不在同一直线上”和“首尾顺次相接”两个关键条件。三条线段在同一直线上无法围成三角形，线段没有首尾相接也不能构成封闭三角形，做题时需重点甄别。 随学随练 1．（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 3．如图，写出一个以为角的三角形是____________． 知识点 三角形的分类 三角形有两种分类标准，分别按角分类、按边分类。 1. 按内角大小分类 锐角三角形：三个内角都是锐角（角度均小于90°）的三角形。 直角三角形：有一个内角是直角（等于90°）的三角形，可用Rt△表示，如Rt△ABC。直角三角形有两条直角边、一条斜边，斜边为最长边。 钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形。 2. 按边的长短关系分类 不等边三角形：三条边长度都不相等的三角形。 等腰三角形：有两条边长度相等的三角形。其中相等的两条边叫腰，另一条边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 等边三角形（正三角形）：三条边长度都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 易错提醒 1）按角分类时：一个三角形中最多只有一个直角或一个钝角，最少有两个锐角，不存在两个直角或两个钝角的三角形； 2）按边分类时：等边三角形属于等腰三角形的特例，做题判断题中“等腰三角形是等边三角形”为错误的，“等边三角形是等腰三角形”为正确的。 随学随练 1．（25-26七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 2．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 3．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 知识点 三角形内角和定理（重点） 1.三角形内角和定理内容：三角形的三个内角的和等于180°。 2.定理应用：①已知三角形两个内角的度数，求第三个内角；②已知三角形内角的数量关系，列方程求内角度数；③判断三角形的形状（通过计算最大内角的度数判断）。 特别提醒 1）直角三角形的两个锐角互余（和为90°），可直接用于快速计算角度； 2）三角形内角和与平行线性质、角平分线结合的题型是常考题型，解题核心始终围绕内角和180°推导。 随学随练 1．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，若，则________． 3．（25-26七年级下·河北衡水·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 知识点 三角形的三边关系（重点） 1.核心定理：三角形任意两边的和大于第三边。 2.推论：三角形任意两边的差小于第三边。 特别提醒 易错提醒 如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 教材延伸 三角形中，大边对大角，小边对小角。即边长越长，对应的内角越大；边长越短，对应的内角越小，可用于快速比较三角形边角大小。 随学随练 1．（25-26七年级下·福建厦门·期末）下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期末）为估计池塘两岸，间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）已知、、分别为的三边长，化简：_________． 知识点 与三角形有关的线段（重点） 1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫作三角形的角平分线。 2.三角形的角平分线的性质： ①三角形的角平分线平分三角形的一个内角，将一个角分成两个相等的角； ②任意三角形的三条角平分线都在三角形内部，且三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心； ③三角形内心到三角形三边的距离相等。 3.三角形的中线定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫作三角形的中线。 4.三角形的中线的性质： 三角形的中线平分对边，将对边分为两条相等的线段； 任意三角形的三条中线全部在三角形内部，且三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心； 三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高，面积相等）； 三角形重心性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。 5.三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫作三角形的这条边上的高（高线）。 6.三角形的高的作用：专门用于求三角形面积，面积公式：。 7.三角形高所在的位置 锐角三角形：三条高全部在三角形内部，交点在三角形内部； 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在斜边内部，三条高的交点为直角顶点； 钝角三角形：钝角所对边上的高在内部，另外两条边上的高在三角形外部（需延长对边作垂线），三条高的交点在三角形外部。 易错提醒 1）三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是直线、不是射线； 2）钝角三角形两条高在外部，作图时必须先延长对边再作垂线，不能直接在三角形内部画，考试作图题极易出错； 3）中线平分三角形面积，不平分周长！切勿主观认为中线可以平分三角形周长，周长是否相等需单独计算验证。 教材延伸 内心、重心、垂心汇总： 角平分线交点：内心（到三边距离相等）； 中线交点：重心（2:1比例性质）； 高线交点：垂心（位置随三角形类型变化）。 随学随练 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 3．（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）如图，中，已知是的高，点E是边上一点． (1)若是的角平分线，，，分别求和的度数． (2)若是的中线，和的面积相等吗？为什么？ 知识点 三角形外角性质（重点） 1.外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。每个三角形有6个外角，每组对顶角相等。 2.三角形外角的两大核心性质 性质1（等量关系）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 性质2（大小关系）：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 易错提醒 外角性质中，必须是“不相邻”的两个内角。切勿混淆为“三角形的外角等于任意两个内角和”，相邻内角与外角互为邻补角，和为180°，不适用该性质。 随学随练 1．（2026·四川内江·中考真题）如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南周口·期末）三角形的一个外角等于，与它不相邻的一个内角为，则另一个不相邻内角为_______°． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，是的外角，若，，则_______ 知识点 全等三角形 1.全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2.全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 3.对应元素概念：互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。 4.表示方法：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。 注意：书写时必须严格对应顶点顺序，例如：△ABC≌△DEF，表示A与D、B与E、C与F分别为对应顶点，对应边、对应角随之确定，顺序不可混乱。 易错提醒 1）很多学生随意书写全等三角形顶点顺序，这是高频扣分点。“≌”连接的两个三角形，顶点顺序一一对应，顺序写错，对应边、对应角全部错误，后续计算和证明全盘出错； 2）区分“对应边/角”与“对边/角”：对应边、对应角是两个全等三角形之间的边角关系；对边、对角是同一个三角形内部边与角的位置关系，不可混用概念。 随学随练 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 知识点 全等三角形的性质（重点） 1.全等三角形的性质：对应边相等；对应角相等。 2.性质符号语言（答题标准句式） ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形对应边相等） ∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形对应角相等） 教材延伸 1）两个全等三角形可以完全重合，位置可以不同，但形状大小完全一致。一个三角形的全等图形有无数个（位置不同），但边角数据完全相同； 2）全等三角形的周长相等、面积相等； 3）全等三角形对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线全部相等。 随学随练 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，≌，，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 拓展 三角形三种重要线段对比 对比维度 角平分线 中线 高（高线） 定义核心 平分三角形内角的线段 连接顶点与对边中点的线段 顶点向对边作的垂线段 核心功能 等分内角，角度计算 等分对边、等分三角形面积 计算三角形面积、证明垂直关系 交点名称 内心（内部） 重心（内部） 垂心（位置随三角形变化） 位置特点 所有三角形中均在内部 所有三角形中均在内部 锐角△全内部、直角△交于直角顶点、钝角△两条在外部 活学活用 1．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图，在中，，，平分． (1)求的度数． (2)在中，分别画出边上的高和边上的高；求出的度数，猜想与的数量关系，并说明理由． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少2，求的长度． 拓展 三角形内角与外角性质对比 对比维度 三角形内角 三角形外角 数量 单个三角形共3个 单个三角形共6个（3组对顶角相等） 核心关系 三内角和为180° 一个外角=两个不相邻内角和；外角＞任意不相邻内角 取值范围 均大于0°、小于180° 均大于0°、小于180° 应用场景 求内角、判断三角形形状 角度推导、角度大小比较、证明不等关系 活学活用 1.（2026·河北唐山·模拟预测）在如图标出的四个角中，最大的角是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，是的平分线，外角，求的度数． 题型 三角形的概念 解题贴士 1）判断核心：同时满足三条线段、不共线、首尾顺次封闭相接三个条件； 2）快速排错：曲线、开口图形、三点共线图形均不是三角形。 ▌例1.（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2.（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3.（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 题型 三角形的分类 解题贴士 1）按角判型：看最大内角，锐角为锐角三角形、直角为直角三角形、钝角为钝角三角形； 2）按边判型：三边不等为不等边三角形，两边及以上相等为等腰三角形（等边是特殊等腰）。 ▌例1.（25-26八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，这个三角形是（    ）    A．等腰三角形 B．等边三角形 C．三边都不相等的三角形 D．直角三角形 ▌对点练1-1.（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 ▌对点练1-2.（25-26八年级上·云南红河·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则是________三角形． ▌对点练1-3.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 题型 三角形三边关系的应用 解题贴士 1）快速判定能否构成三角形：只需验证两短边之和＞最长边； 2）求第三边范围：两边之差＜第三边＜两边之和； 3）周长取值：最小周长略大于两倍短边，最大周长略小于两倍长边。 ▌例1.（25-26七年级下·重庆万州·期末）若三角形的两条边长分别为2和7，则第三边的边长可以是（     ） A．3 B．5 C．8 D．9 ▌例2.（2026·河北沧州·二模）如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） ▌对点练1-1.（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列长度的三条线段，不能够组成三角形的是（     ） A．5，8，2 B．3，4，5 C．6，6，1 D．5，12，13 ▌对点练1-2.（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 题型 三角形的内角和定理 解题贴士 1）基础用法：直接利用内角和180°，已知两角求第三角； 2）直角三角形速算：两锐角互余，直接相减求角。 ▌例1.（25-26七年级下·江西南昌·期末）如果三角形的三个内角分别是，，，则x的值为（     ） A．40 B．45 C．50 D．55 ▌例2.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，，则____________． ▌对点练1-1.（25-26七年级下·福建莆田·期末）如图是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片和它的平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2.（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，． (1)如图1，若，求∠BPC的度数； (2)如图2，过P点作交于点Q，猜想与的数量关系，并说明理由． ▌对点练1-3.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型 与三角形的角平分线有关的计算 解题贴士 1）基础技巧：角平分线等分内角，等分两角度数相等； 2）通用解法：设最小角为x，结合内角和、外角定理列方程求解。 ▌例1.（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 ▌对点练1-2.（25-26七年级上·河南焦作·期末）如图所示，在中，，是的平分线，则________． ▌对点练1-3.（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点． (1)若，则的度数为　　　． (2)若，求（用含的代数式表示）． 题型 与三角形的中线有关的计算 解题贴士 1）边长技巧：中线平分对边，分割出两条等长线段； 2）面积技巧：任意中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； 3）周长技巧：两小三角形周长差=三角形剩余两边的边长差。 ▌例1.（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 ▌例2.（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． ▌对点练1-1.（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 ▌对点练1-2.（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． ▌对点练1-3.（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，是的中线，，、分别是的高与角平分线． (1)若与的周长差为2，，求的长； (2)若，，求的度数． 题型 画三角形的高 解题贴士 1）作图核心：过顶点，向对边或对边延长线作垂线，顶点到垂足线段即为高； 2）分类画法：锐角三角形三高在内部；直角三角形两直角边互为高；钝角三角形两条高在外部； 3）得分关键：必须标垂直符号，垂足落在对应边上。 ▌例1.（25-26七年级下·河北石家庄·期末）中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1.（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 ▌对点练1-2.（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，边上的高线为（   ） A． B． C． D． 题型 与三角形的高有关的计算 解题贴士 1）核心方法：等面积法，同一个三角形底×对应高的乘积相等； 2）直角三角形专属：两直角边乘积=斜边×斜边上的高； 3）解题思路：知底求高、知高求底，优先套用等面积公式。 ▌例1.（2026·陕西安康·二模）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌例2.（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． ▌对点练1-1.（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2.（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，是边上的中线，，，若于点E，则_______． ▌对点练1-3.（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 题型 图形的全等 解题贴士 判定技巧：只需看形状、大小完全相同，与位置、旋转、翻转无关。 ▌例1.（25-26七年级下·河南南阳·期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 ▌对点练1-1.（25-26八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列各组图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 题型 全等三角形的性质 解题贴士 1）核心性质：对应边相等、对应角相等（解题第一依据）； 2）衍生性质：对应中线、对应高、对应角平分线相等，周长、面积相等； 3）解题关键：先找对应顶点，再匹配边角，杜绝对应关系错误。 ▌例1.（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． ▌例2.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． ▌对点练1-1.（25-26七年级下·上海闵行·期末）已知两个三角形全等，那么下列说法不一定正确的是（     ） A．这两个三角形的对应角相等 B．这两个三角形的对应边相等 C．这两个三角形的周长相等 D．这两个三角形的高相等 ▌对点练1-2.（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3.（2026·四川成都·二模）如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． ▌对点练1-4.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 基础通关 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边长不可能是（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）要制作三角形相框，已有两根长度和的木条，现需再选一根木条拼接，下列长度中可选用的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．3，3，6 B．2，5，8 C．3，5，7 D．9，2，2 4．（25-26七年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（     ） A．三角形三条中线的交点一定在三角形的外部 B．三角形的一个外角等于它的任意两个内角之和 C．三角形的任意两边之差大于第三边 D．全等三角形对应边上的高相等 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·湖南株洲·期末）如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是，则与之间的距离是__________． 8．（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则的面积为________． 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 10．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 11．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，已知，若，求的长． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，已知，点在上，，求的度数． 13．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，已知，点、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 素养提升 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 2．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 3．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，的周长为12，，则的长为______． 5．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是、、的中点，那么阴影部分的面积为________． 6．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，点C和点E，点A和点F是对应顶点，，，，，求的长，以及，的度数． 7．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，已知． (1)若，，求的度数； (2)若，，求AB的长． 8．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 迁移创新 1．（2026·广东深圳·三模）如图所示，光的反射是生活中常见的现象，左图①是光的反射示意图；右图②是小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点O表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，点H为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内．当，，则反射角的大小（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，______；______（用含t的代数式表示）； (2)当时，的面积______； (3)连接、，当时，求t的值； (4)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $