2.1 平方根（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年苏科版八年级上册数学《典例全解·题型通关》

该初中数学资料聚焦“平方根”核心知识，系统梳理算术平方根（正数x²=a的正数解，0的算术平方根为0）和平方根（x²=a的所有解）的定义，明确两者区别与联系，进而引出开平方运算，构建从概念到运算的学习支架。 知识链路按“定义-区别联系-运算”逻辑递进，达标检测题涵盖基础计算、黄金分割估算、物理自由落体应用及“老根数”“和谐组合”新定义问题，通过辨析对比培养抽象能力与推理意识，结合几何与实际情境发展应用意识，助力知识理解与灵活运用。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.1 平方根（知识梳理+达标检测） 知识点一算术平方根 1、算术平方根。 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0，即=0。 知识点二平方根 1、一般地，如果x²=a,那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。 2、算术平方根和平方根的区别与联系。 3、开平方。 求一个数的平方根的运算，叫作开平方，这个数叫作被开方数。 一、选择题 1．的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题需先计算出的值，再根据平方根的定义求解． 【解答】解：∵， ∴根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，3的平方根为． 2．已知实数x，y满足，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2012 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出和的值，再代入代数式计算即可． 【解答】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 3．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请估算的值（   ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【答案】B 【分析】先估算出的值，再估算出的值在1和2之间． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 4．小明发现根据小明的发现，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【解答】解：∵， ∴． 故选：B 5．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别是7和16，则这个大长方形的面积为（   ） A．28 B．30 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用，先求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积公式求解即可． 【解答】解：由题意，得：大正方形的边长为：，小正方形的边长为， ∴大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为． 故选：C． 6．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【解答】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 二、填空题 7．若，则的值为 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的定义，如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，正数的两个平方根互为相反数，其中正的平方根是它的算术平方根，负的平方根是它的算术平方根的相反数． 【解答】因为， 所以等于的平方根，即． 8．若一个正数的平方根是和，则这个正数是 _____． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用，根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再代入求出一个平方根，进而根据平方根求出这个正数即可，掌握平方根的性质是解题的关键． 【解答】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：． 9．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【解答】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 10．已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，代数式求值，平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关知识点． 根据算术平方根的被开方数非负，求出a的值，进而求出b的值；再由平方根的定义求出c的值，代入表达式计算即可． 【解答】解：∵被开方数，且， ∴， ∴，即， 代入原式得， ∴， ∵的平方根等于它本身， ∴， 则， 故答案为：． 11．物理研究表明：一个物体作自由落体运动，其下落时间与下落高度之间满足的关系式为，若，则下落时间___________s． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，把h的值代入中即可求解． 【解答】解：把代入，得， 故答案为：2． 12．把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分别为、、，则图中的阴影部分的周长＝______． 【答案】14 【分析】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和．根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案． 【解答】解：如图，标注字母如下： 则， ∴， ∴， ∴． 则阴影部分所有竖直的边长之和， 所有水平的边长之和， 则阴影部分的周长， 故答案为：14． 三、解答题 13．解方程： （1） （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 14．已知实数，不相等，且，． （1）若的算术平方根为3，求的值； （2）如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系． （1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数． 【解答】（1）解：的算术平方根为3， ， 即， ； （2）解：根据题意得：， 即：， ， ， 这个正数为． 15．已知两边长满足，求周长的取值范围． 【答案】 【分析】根据算术平方根和完全平方的非负性求出两边长，再根据三角形三边关系定理确定第三边的取值范围，即可求出周长的取值范围． 本题考查算术平方根和完全平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 【解答】解：根据题意，得， 所以， 解得， 所以的第三边的取值范围为，即 所以周长的取值范围为，即． 16．【阅读材料】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个无序且互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． （1）请证明：2，18，8这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根； （2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 【答案】（1）见详解，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 （2）或64 【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键． （1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可； （2）分三种情况进行解答即可，即，，，分别列方程求解即可． 【解答】（1）证明：因为，，， 所以2，18，8这三个数是“老根数”； 其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：当时，则， 解得， 当时，则，解得，不合题意，舍去； 当时，则， 解得， 综上所述，或64． 17．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形纸片． （1）大正方形纸片的边长是___________cm； （2）若沿着大正方形纸片边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为．若能，求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，请说明理由. 【答案】（1）4 （2）不能，见解析 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据平方根解方程， （1）求16的算术平方根可得答案； （2）先设长方形的边长，根据面积相等列出方程，求出算术平方根，再根据结果判断即可． 【解答】（1）解：， 所以大正方形纸片的边长为（）． 故答案为：4； （2）解：设长方形纸片的长为，宽为，依题意得 则， 即， 解得：（不符合题意，舍去）， 长方形的长，宽， ， 不能裁出长宽之比为，且面积为的长方形纸片． 18．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】（1）见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 （2）1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【解答】（1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.1 平方根（知识梳理+达标检测） 知识点一算术平方根 1、算术平方根。 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。规定：0的算术平方根是0，即=0。 知识点二平方根 1、一般地，如果x²=a,那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。 2、算术平方根和平方根的区别与联系。 3、开平方。 求一个数的平方根的运算，叫作开平方，这个数叫作被开方数。 一、选择题 1．的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 2．已知实数x，y满足，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2012 D． 3．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请估算的值（   ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 4．小明发现根据小明的发现，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别是7和16，则这个大长方形的面积为（   ） A．28 B．30 C． D． 6．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 二、填空题 7．若，则的值为 ______． 8．若一个正数的平方根是和，则这个正数是 _____． 9．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 10．已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为________． 11．物理研究表明：一个物体作自由落体运动，其下落时间与下落高度之间满足的关系式为，若，则下落时间___________s． 12．把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分别为、、，则图中的阴影部分的周长＝______． 三、解答题 13．解方程： （1） （2）． 14．已知实数，不相等，且，． （1）若的算术平方根为3，求的值； （2）如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 15．已知两边长满足，求周长的取值范围． 16．【阅读材料】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个无序且互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． （1）请证明：2，18，8这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根； （2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 17．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形纸片． （1）大正方形纸片的边长是___________cm； （2）若沿着大正方形纸片边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为．若能，求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，请说明理由. 18．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $