专题12 直线与圆（5年汇编）（全国通用）2022-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 直线与圆专题高考真题汇编，涵盖2022-2026年全国及地方卷24题，聚焦直线方程、圆的方程核心考点，体现五年考情与命题规律。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/多选题|24题|直线倾斜角、距离，圆的弦长、切线、最值，与双曲线等综合|结合古代建筑情境（2022新高考Ⅱ卷），多选题考查圆的位置关系（2026全国二卷），体现真题高频考点如弦长问题|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题12直线与圆 5年考情·探规律 00 考点分类 五年考情(2022-2026) 命题规律 2026上海卷 直线方程的相关考点考查较少但基 2025上海卷 础不减，其与圆的综合应用，如直 考点01直线的方 2024北京卷、2024上海卷 程 线与圆的位置关系中涉及的距离问 2022年新高考全国Ⅱ卷、2022上 题是隐含的考查点，体现了对基础 海卷 概念的间接重视。 2026全国一卷、2026全国二卷、 2026北京卷 考查求圆的方程、圆心半径确定、 2025年全国一卷、2025天津卷 直线与圆的位置关系、弦长、切 2024年全国甲卷、2024北京卷、 线、对称及最值问题，几乎涵盖圆 2024上海卷 的全部核心知识点。其中，圆的弦 考点2圆的方程 2023年新课标I卷、2023年新课 长问题和圆的最值问题出现频率较 标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023 高，体现了对直线与圆位置关系、 几何性质应用的重点考查，且在天 年全国乙卷、2023北京卷、2023 津、北京等地区的考题中尤为突出 天津卷、2023上海卷 2022年新高考全国I卷、2022年 117 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 新高考全国Ⅱ卷、2022年全国甲 卷、 2022年全国乙卷、2022北京卷、 2022天津卷、2022上海卷 二 5年真题·精准练 品考点01直线的方程 1. (2025·上海高考真题)己知 0,B0,2,c在：×-了=x≥l≥0上，则a4B 的面积() A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 2.(2024北京高考真题)已知M={《x)y=x+(:-1≤x≤2,0≤1≤1是平面直角坐标系中的点集 设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则() A.d=3.S<1 B.d=3.S>1 c.d=vo s<1 D.d=v10 S>1 AA,BB,CC',DD 3.(2022新高考全国川卷·高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻 DD,CC BB,AA 桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中 是 0-受-4器-6龄-6 举，OD,DC,CB,BA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为OD,DC kik2,k 成公差为01的等差数列，且直线01的斜率为0725，则=（) 217 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A C B C B D C D 图1 图2 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 4. (2026上海高考真题)在平面直角坐标系中，点仙2）到直线4红-3y+5=0 距离为 5.(2024上海高考真题)直线x-y+1=0的倾斜角一 [x+my=2 6.(2022上海高考真题)已知方程组mx+16y=8有无穷解，则m的值为 品 考点02圆的方程 1.(2025全国一卷高考真题)已知因+0+2P=r产r>0上到直线y=V3r+2 距离为1的点有且仅 有2个，则r的取值范围是() A.(01) B.(1,3) C.(3,+0) D.(0,+∞) 2.(2024全国甲卷高考真题)已知直线 +-a+26-=0与因G+广+4y-10交于4B “交于两点，则 AB 的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.6 《20北京离考真题)圆+广-2x+6-0的圆心到地-y+2-0 距离为() A.V2 B.2 C.3 D.3V2 317 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a.c 4.(2024全国甲卷高考真题)己知b是”的等差中项，直线 ax+by+c=0 x2+y2+4y-1=0 与圆 交于 A,B两点，则 AB 的最小值为() A.1 B.2 C.4 D.25 5.(2023全国乙卷高考真题)已知实数'满足+少-4-2y-4=0,则-V的最大值是() A13 2 B.4 C.1+3v2 D.7 ,2023全国甲卷高老真题)已知双曲线（子尔=a>Q6>0 的离心率为V5,C的一条渐近线与 圆6x-29+0-3)2=1 交于A,B两点，则 ABF() V5 2w5 3v5 4v5 A.5 B.5 C.5 D.5 7. (2023全国乙卷高考真题)设0为平面坐标系的坐标原点，在区域《x,1≤+广≤4内随机取 点，记该点为A,则直线OA的倾斜角不大于4的概率为() 1 A.8 B.6 C. D.Z 8.(2023新课标1卷·高考真题)过点 0，-2)与圆+少-r-1=0相切的两条直线的夹角为“，则n0 () 5 √10 A.1 B.4 C.4 D.4 9.(2022上海高考真题)在平面直角坐标系中，已知关于点集9=x)x-k+(y-k2=4个，keZ 的两个结论： ①存在直线L,使得集合2中不存在点在直线1上，而存在点在1的两侧； 417 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②存在直线1，使得集合2中存在无数个点在直线上 则下列判断正确的是() A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立 C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立 10.（2022北京高考真题)若直 2r+y-1=0是圆-+少 的一条对称轴，则=() A B.2 C.1 D.-1 1山.（多选题)(2026全国二卷高考真题)已知00.+少=1,0A,+2-6x-8y+k=0 ,则 () A.点A的坐标为 -3,-4) B.当k=9时，OA与x轴相切 C.当k=-11时，⊙0与⊙A相切 D.当⊙0与⊙A相交时，两个交点所在直线的方程为6x+8y-k-2=0 12.（多选题)(2026：全国-卷高考真题)已知圆 x+2+y2=1国C:-+少=1，圆 ，圆 C:r+0-=1,直线y=c+b与C,G,C均有两个交点.记'被9，C,C截得的弦长分别 为、”、5，则() A.《可以取任意实数 B.满足9=9=S 的直线共有3条 221 C.满足9+S,+=3的直线l多于3条D.当b=0时，9+S+S的最大值为3 13.(2026北京高考真题)已知直线r+y=0与圆x-2+0-2少=4相切，则“= 14.(2025天津高考真题)：x-y+6=0 ,与x轴交于点A,与y轴交于点B,与 517 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (x++(0-3)=r(>0)交于C、D两点，14B非3引CD,则r= 15.(2024上海高考真题)正方形草地ABCD边长12，E到4B,4D距离为0.2，F到BC,CD距离为0.4，有 个圆形通道经过E,F,且经过AD上一点，求圆形通道的周长一（精确到0.01） E B 2+y2-4y-m=0 16.(2023:上海高考真题)已知圆的方程为 其面积为”，则m= x+2,x<-a, 17.(2023北京·高考真题)设 ，函数f()= Va2-x,-a≤x≤a,给出下列四个结论： a>0 -x-1,x>a. ①.f(x)在区间(a-l,+∞)上单调递减； ②当a之1时，f()存在最大值： ③设(，/≤a,N(fs>a）,测W1: ④设P(,f(sx<-a),Q(xf(x)x之-a).若P1存在最小值，则a的取值范围是 其中所有正确结论的序号是」 18.(2023·天津高考真题)已知过原点0的一条直线1与圆 C:(x+2)2+y2=3 相切，且1与抛物线 少=2pp>0交于点0，P两点，若o9=8,则P 19.(2023新课标1卷高考真题）己知直线'：-m心+1=0与OC:(x-1+广=4交于4，B两点，写出 617 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P 满足“△ABC面积为5”的m的一个值 2+2x+y2=0 20.(2023·上海高考真题)已知圆C的一般方程为 ,则圆C的半径为 21. (2022天津高考真题)若直线-y+m=0(m>0)被圆(x-少+0-=3 得的弦长为m，则m的 值为 22. (2022新高考全国1卷高考真题)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆 (x+3)2+0y+2)2=1 有公共点，则a的取值范围是 23.(2022全国甲卷高考真题)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)利0,1)均在⊙M上，则⊙M的方 程为 24.(2022全国乙卷高考真题)过四点(0,0)，(4,0)，(1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 7/7 专题12 直线与圆 考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律 考点01 直线的方程 2026上海卷 2025上海卷 2024北京卷、2024上海卷 2022年新高考全国Ⅱ卷、2022上海卷 直线方程的相关考点考查较少但基础不减，其与圆的综合应用，如直线与圆的位置关系中涉及的距离问题是隐含的考查点，体现了对基础概念的间接重视。 考点02 圆的方程 2026全国一卷、2026全国二卷、 2026北京卷 2025年全国一卷、2025天津卷 2024年全国甲卷、2024北京卷、 2024上海卷 2023年新课标Ⅰ卷、2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023北京卷、2023天津卷、2023上海卷 2022年新高考全国Ⅰ卷、2022年新高考全国Ⅱ卷、2022年全国甲卷、 2022年全国乙卷、2022北京卷、 2022天津卷、2022上海卷 考查求圆的方程、圆心半径确定、直线与圆的位置关系、弦长、切线、对称及最值问题，几乎涵盖圆的全部核心知识点。其中，圆的弦长问题和圆的最值问题出现频率较高，体现了对直线与圆位置关系、几何性质应用的重点考查，且在天津、北京等地区的考题中尤为突出 考点01 直线的方程 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 2．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可. 【详解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 【答案】D 【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 4．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】/0.6 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 5．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角______． 【答案】（或 ） 【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最终角度. 【详解】因为 ， 所以 所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）. 答案为：（或 ）. 6．（2022·上海·高考真题）已知方程组有无穷解，则的值为________ 【答案】4 【分析】依题意可得直线与直线重合，即可得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为方程组有无穷解，所以直线与直线重合，所以且，解得； 故答案为： 考点02 圆的方程 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 3．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 7．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解. 【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环， 则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角， 结合对称性可得所求概率. 故选：C.      8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      9．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【分析】对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑. 【详解】对于①，取直线, 则对于任意的，有， 故圆均在直线的下方， 而对任意的，有， 故圆均在直线的上方， 而当时，表示原点，它在直线的下方， 故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧. 所以①成立. 对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为 当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立. 故选：B 10．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 11．（多选题）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 12．（多选题）（2026·全国一卷·高考真题）已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 【答案】BCD 【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为对应圆心到直线的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可. 【详解】记到直线的距离分别为，则，，. ∵ 直线与三个圆均有两个交点， ∴ ，，，对应弦长为. A：∵ 解，得， 解，得， 不妨取， ∵， ∴，记， 解，得，记， 当，即时，， 此时不存在这样的直线与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数，A错误. B：∵ ， ∴ . 由得，平方得，即或. ①当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. ②当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. 综上，共条直线满足条件，B正确. C：令， ∴ ，， 令，则， ∴ . 令，即， 平方整理可得，解得或，即或， 经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确. D：当时，，， ∴ ，， 令，则， ∴ . 设，求导得， 令得，此时取最大值， ∴ 的最大值为，D正确.    【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误. 13．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 14．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 15．（2024·上海·高考真题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到）    【答案】 【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可. 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 16．（2023·上海·高考真题）已知圆的方程为，其面积为，则______. 【答案】 【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果. 【详解】由得，圆的半径为， 由圆的面积为得，，解得. 故答案为：. 17．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③ 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 18．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则_________． 【答案】 【分析】根据圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 19．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【答案】（中任意一个皆可以） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 20．（2023·上海·高考真题）已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________ 【答案】 【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径. 【详解】圆即， 所以圆的半径为. 故答案为： 21．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为_____． 【答案】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 22．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 23．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 【答案】 【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 24．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】或或或． 【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $