宁夏吴忠市盐池中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 高二数学期末卷以真实情境为载体，通过排列组合、概率统计等知识考查数学眼光与应用能力，解答题融合支教选派、人工智能调查等现实问题，体现学科实践价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|排列组合、方差计算、正态分布|如第3题支教选派考查分步计数原理，基础巩固| |多选|3/18|二项式定理、回归分析|第10题辨析相关系数与拟合优度，培养推理意识| |填空|3/15|期望、独立事件概率|第13题由分布列求期望，强化数据观念| |解答题|5/77|线性回归、独立性检验、概率分布|16题零件加工时间回归分析，19题购票抽奖方案期望对比，突出模型应用与创新思维|

盐池中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 总分150分 答题时间120分钟 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．求的值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．30 2．已知离散型随机变量X的方差为1，则（    ） A．2 B．3 C．8 D．9 3．某校要从4名教师中选派3人分别到三个乡镇开展支教活动，则不同的选派方案数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（　　） A．56 B．70 C．84 D．126 6． 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．120 B．260 C．280 D．320 7．已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 8．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 10．下列说法正确的是（   ） A．两个变量，的相关系数为，则越大，与之间的相关性越弱 B．在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的更好 C．设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少4个单位 D．经验回归方程相对于点的残差为0.5 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量，若，，则______. 13．已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.5 0.3 则________ 14．已知，，且A，B相互独立，则 ________． 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）计算下列各式． (1) (2) 16．（15分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：   零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 参考公式：， (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出关于的线性回归方程； (3)预测加工10个零件需要多少小时？ 17．（15分）人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18．（17分）某地2025年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 19．（17分）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 高二数学 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐池中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试卷答案 总分150分 答题时间120分钟 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 ADBCC BCB 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BD 10. BC 11.ACD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13. 16 14 . 0.18 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．求的值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．30 【答案】A 【难度】0.94 【分析】应用组合数的计算公式计算即可. 【详解】， 故选：A. 2．已知离散型随机变量X的方差为1，则（    ） A．2 B．3 C．8 D．9 【答案】D 【难度】0.94 【分析】根据方差的性质，得到，即可求解. 【详解】由题意，离散型随机变量的方差为1，即， 则. 故选：D. 3．某校要从4名教师中选派3人分别到三个乡镇开展支教活动，则不同的选派方案数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【难度】0.94 【详解】不同的选派方案数为. 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【分析】由条件概率的计算公式求解即可. 【详解】由题意，知. 故选：C. 5．已知，则的值为（　　） A．56 B．70 C．84 D．126 【答案】C 【难度】0.85 【分析】求出展开式中的系数为，其中，从而求解出答案． 【详解】四项中不存在， 对于其余部分 展开式中的系数为，展开式中的系数为， 展开式中的系数为，展开式中的系数为， 故选：C. 6．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的4个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．120 B．260 C．280 D．320 【答案】B 【难度】0.65 【分析】利用分类分步计数原理，分4步分别计算即可求得结果. 【详解】将“田”字型的4个小方格分别编号为，如下图所示： 根据题意，将问题分成4步进行， 第一步：涂方格A，共有5种颜色选择， 第二步：涂方格B，需与A不同，共有4种颜色选择， 第三步：涂方格C，若方格C与方格B颜色相同，只有1种选择；若方格C与方格B颜色不同，则有3种选择； 第四步：涂方格D，当方格C与方格B颜色相同，方格D有4种颜色选择；当方格C与方格B颜色不同，方格D有3种颜色选择， 因此可得不同的涂色方法共有种. 故选：B 7．已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 【答案】C 【难度】0.65 【解题思路】由得出对应的正态密度函数的对称轴，利用正态分布的性质与对称性求解即可. 【解答过程】根据题意，，则正态密度函数关于对称，即， 则. 故选：C. 8．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【解题思路】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【解答过程】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 【答案】BD 【难度】0.85 【分析】由二项式展开的项数为，可判断A；求出二项式系数和为，可判断B；利用赋值法求出所有项的系数和，可判断C；求出第3项，可判断D. 【详解】对于A，因为，所以展开后共有7项，故A错误； 对于B，由题意可知二项式系数和为，故B正确； 对于C，令，则所有项的系数和，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：BD. 10．下列说法正确的是（   ） A．两个变量，的相关系数为，则越大，与之间的相关性越弱 B．在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的更好 C．设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少4个单位 D．经验回归方程相对于点的残差为0.5 【答案】BC 【难度】0.85 【分析】由相关系数r,回归直线方程，残差知识可逐一判断各个选项. 【详解】对于A项，两个变量的相关系数为，越大，与之间的相关性越强，故A错误 ； 对于B，在回归分析中， 越接近于1， 模型的拟合效果越好， ∴为0.99的模型比为0.98的模型拟合的更好，故B正确； 设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少4个单位，C正确； 对于 B，残差=观测值减去预测值=，故D错误. 故选：BC 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法即可求解.对于选项A，令即可求解；对于选项B，令即可求解；对于选项C，令，与时的式子作差即可求解；对于选项D，令，结合选项A即可求解. 【详解】令，得，故选项A正确； 令，得①，故选项B错误； 令，得②， 由①②得，故选项C正确； 令，得， 则， 得，故选项D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量，若，，则______. 【难度】0.85 【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【详解】因为随机变量， 所以，， 联立解得 故答案为： 13．已知随机变量的概率分布如下表 1 2 4 0.2 0.5 0.3 则________ 【答案】16 【难度】0.94 【分析】由期望公式以及期望值性质计算可得结果. 【详解】， 可得. 14．已知，，且A，B相互独立，则________． 【答案】0.18 【难度】0.65 【详解】A，B相互独立，， ， ， ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【分析】（1）利用排列数计算公式，即可求出结果； （2）利用排列数计算公式及阶乘公式，即可求出结果. 【详解】（1）. （2） . 16．（15分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：   零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 参考公式：， (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出关于的线性回归方程； (3)预测加工10个零件需要多少小时？ 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)8.05 【难度】0.85 【分析】（1）由数据表可得四个点的坐标，在坐标系中描点作图； （2）利用最小二乘法求得回归直线方程得系数，再求系数，得回归直线方程； （3）把代入回归直线方程，求得预报变量的值. 【详解】（1）    （2），， ，， ， 由公式得， 所以所求回归方程为. （3）当时，，所以预测加工个零件需要小时. 17．（15分）人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【解答过程】（1）零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）的可能取值为. ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 18．（17分）某地2025年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)不正确 (3)分布列见解析， 【难度】0.65 【解题思路】（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解； （3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为. （2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误. （3）解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望. 19．（17分）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)游客选择网上购票更划算 【解题思路】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【解答过程】（1），即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． （2）由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 （3）通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 学科网（北京）股份有限公司 $