宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高二下学期期末考试复习卷（五）数学试卷

**基本信息** 本试卷为高二期末复习卷，通过函数性质、概率统计、导数应用等知识，结合企业利润分配、AI模型评估等真实情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的能力，解答题注重模型构建与数据应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数奇偶性、二项式定理|基础概念辨析，如第2题充分必要条件判断| |多选题|3/18|函数单调性、统计案例|多维度考查，如第10题结合方差与回归方程| |填空题|3/15|导数几何意义、概率|综合性强，如第13题结合函数单调性与正态分布| |解答题|5/77|函数建模、统计推断、导数证明|情境真实，如15题企业投资利润最大化（模型意识）、16题AI模型回归分析（数据观念）|

2025-2026学年第二学期高二年级期末考试复习卷（五） 数 学 试 卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则“函数为奇函数”是“存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．若的展开式中常数项为15，则实数a的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 5．下列函数中最小值为的是（    ） A． B． C． D． 6．已知实数x，y满足 ，则（    ） A． B． C． D． 7．某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（   ） A．30种 B．90种 C．150种 D．180种 8．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C．在区间上单调递增 D． 10．下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．随机变量X的方差，期望，则 C．360的正因数有24个 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则c，k的值分别是和4 11．设函数，则（    ） A．当时，只有一个零点 B．当时，在定义域内单调递增 C．对于任意实数的图象都是中心对称图形 D．若存在极值点，则一定存在两个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的最大值为________． 13．已知函数在上单调递增的概率为，且随机变量，若，则______．（若，则有，，） 14．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 16．(本小题15分) 近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： 若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，表示年1月份，表示年6月份，…），计算得，，． (1)由最小二乘法建立y关于t的线性回归方程； (2)根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在年4月发布了1款标准化测试得分为分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由； (3)现从该区域年已经发布的大模型中随机抽取3款，假设各款模型类型相互独立，根据年大模型的分布情况，用频率估计概率，求抽取的3款大模型中恰有2款是多模态模型的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 17．(本小题15分) 已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 18．(本小题17分) 数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． (1)现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； (2)有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 19．(本小题17分) 已知函数，． (1)求的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)记为函数从小到大的第个零点，证明：对任意都有． 试卷第4页，共5页 高二期末复习数学试卷 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年第二学期高二年级期末考试复习卷（五） 数学试卷答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A D C B C C B AC ACD ACD 1．B 解：由，，得， 而，则. 2．A 解：若函数为奇函数，则，都有，故充分性成立； 若，，则有， 但不为奇函数，故必要性不成立， 故“函数为奇函数”是“存在，使得”的充分不必要条件. 3．D 解：根据题意，故． 4．C 解：首先写出展开式的通项， 要求常数项，令的指数为0，即，解得. 将代入通项，得常数项为 ，计算得，因此常数项为. 由题知常数项为15，故 ，解得，即. 5．B 解：对于A，，当且仅当时，等号成立，所以最小值为3，故A错误； 对于B，因为函数定义域为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为4，故B正确； 对于C，因为，， 当且仅当，即时等号成立，所以等号取不到，故C错误； 对于D，的定义域为，所以， 当时，，故D错误. 6．C 解：因为，所以， 对于函数，定义域为R，且， 所以函数为偶函数， ，令，则， 所以单调递减，又 所以当时，，故在上递减； 当时，，故在上递增. 由即得，，所以，即， 对于A，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于B，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于C，因为，所以，根据在定义域上单调递增， 所以，正确； 对于D，当时，满足，此时， 故不成立，错误. 7．C 解：由已知可得5个人分三个班，每班至少1人，则可能的分配方案有或， 若分配方案为，则分配方案有种， 若分配方案为，则分配方案有种， 则不同分配方式共有种． 8．B 解：，的定义域为. ，为奇函数，图象关于原点对称. ，恰有4个零点， 可得时，恰有2个零点；时，恰有2个零点，且这4个零点关于原点对称.， 当时，，得. 时，， 当且时，令，得，即. 时，恰有2个零点，等价于且时，有2个解； 即与在且时有两个交点. 令（且），则； ；，； 当且时，，即在和上单调递减； 当时，；时，；，；时，；如图所示： 由图可知，当时，与有两个交点； 恰有4个零点时，实数k的取值范围是． 9．AC 解：令，则或，故的定义域关于原点对称， 选项A：的定义域为， ，满足奇函数定义，A正确。 选项B：，B错误。 选项C：由于在单调递增，而为定义域内的单调递增函数，为由复合函数“同增异减”得在区间单调递增，由于为奇函数，因此在区间上单调递增，C正确。 选项D：由于， 不满足，D错误。 10．ACD 解：A.，故A正确. B.因为，由方差，期望， 可得，即B错误. C.又； 其正因数（，1，2，3；，1，2；，1）； 故正因数个数有，故C正确. D.模型取对数得，令， 则回归方程为，已知，故，，即， ，故D正确. 11．ACD 于D选项，由极值点条件，有解，且解两侧导数变号求解即可. 解：对于A选项，将代入可得，， 此时的定义域为，解得， 当时，即，解得， 所以当时，只有一个零点，故A正确； 对于B选项，当时，， ，因为， 所以，故，所以当时，在定义域内单调递减，故B错误； 对于C选项，因为函数的定义域为， ， ， 所以， 所以对称中心为，故C正确； 对于D选项，，， 当时，解得，令，， 当时，，所以，所以当时，无解，无极值点； 当时，的解为，但在两侧均有，不变号，非极值点； 当时，有两个解，在上单调递减，在单调递增，最小值为， 所以当时，存在两个极值点，故D正确. 12．/ 解：由，则，即， 即，则，即， 解得，故函数的最大值为. 13．0.8 解：当函数在上单调递增，则，解得， 所以，即， 由， 可得， 由， 可得， 因为对称轴，且， 即离对称轴更远， 可知， 即，解得. 14．0或1 解：令，， 则，可得，， 则在点处的切线方程为， 令，则， 由题意可知方程有且仅有一个解， 若，则有且仅有一个解，符合题意； 若，则，解得；综上所述：或1. 15． 解：（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，，所获利润分别为万元、万元. 1分 由题意可设，. 2分 过点，则，则， 3分 过点，则，解得，则， 4分 故.. 5分 （2）（ⅰ）由（1）得，. 6分 所以总利润万元. 7分 （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 8分 则，. 9分 令，，则. 11分 所以当时，，此时，. 12分 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 13分 16． 解：（1），，， 表示年1月份，表示年6月份， ，，，， 1分 ，， 3分 ，根据， 5分 y关于t的线性回归方程为：． 6分 (2)已知年4月，则，计算多模态模型的预测值和残差， ，残差为：， 7分 ， 8分 再计算语言模型的预测值和残差，，残差为：， ，， 10分 根据Q值越小的大模型发生的可能性越大，所以该款大模型更有可能是语言模型 11分 （3）由年的数据可知，随机抽取了款大模型，其中多模态模型有6款，用频率估计概率，多模态模型的频率为，该区域发布的大模型是多模态模型的概率为， 12分 设抽取的3款大模型中多模态模型有X款，则， 13分 故． 15分 17． 解：（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得， 1分 对于任意实数，都有恒成立，故 3分 即，故， 5分 因为，故，所以， 6分 若，，则，， 8分 故的单调递增区间为； 8分 （2）若，则，故， 10分 因为，故 12分 故 15分 18． 解：（1）（i）由于本题得到了6分，因此标准答案必须为两项，记事件为该题他得到6分，则，那么该题他得到6分的概率为； 2分 （ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数，因为正确选项为两项的概率为，正确选项为四项的概率为0，所以正确选项为三项的概率为， 3分 则，， ，， 5分 令，解得； 6分 （2）记为小李该多选题的得分，执行方案一得分的可能取值为0、4、6， ，，， 9分 方案一的得分的分布列为 10分 0 4 6 所以. 11分 执行方案二得分的可能取值为0、6， ，， 14分 方案二的得分的分布列为 15分 0 6 所以. 16分 所以，成立，故选方案一. 17分 19． 解：（1）由题意， 1分 当时，；当时，；以的单调递减区间为的单调递增区间为． 3分 （2）当时，，同时除以得， 令，则，且， 4分 当时，在上单调递减，故； 对于函数，当时，，此时，则， 所以在上单调递减，故； 6分 当时，，此时有两根，， 则当时，，则，所以在上单调递增， 8分 故，不符合题意．综上，实数的取值范围为． 8分 （3）易知，则，由（1）可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 9分 且，， 10分 且在上单调递减，由零点存在性定理可知，该区间内仅有一个零点， 同理，在内也仅有一个零点， 11分 又因为，依次往后推，每个长度为的区间内都恰好包含第个零点， 12分 所以，故， 13分 因此，故； 14分 下证：． 由（2）可知，当时，不等式对任意恒成立， 15分 取，则有， 16分 所以， 17分 所以． 17分 答案第14页，共14页 高二期末复习数学试卷答案 第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $