陕西省西安市铁一中学2025-2026学年第二学期高二期末考试数学试题

陕西省西安市铁一中学高二年级期末考试 数学试题 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1．已知，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 4．已知为等差数列，若m，n，p，q是正整数，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分不必要条件 5．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列，若，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ） A．12，13 B．13，13 C．13，12 D．12，14 6．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中是“理想函数”的序号是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 7．若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数（且）的图象恒过点，函数的图象恰好过点，且在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．关于直线对称 C．关于点中心对称 D．的最小值为-3 10．已知函数，则（ ） A．有两个极值点 B．若方程有三个实根，则或 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 11．已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数m，n，都有，当时，恒成立，则（ ） A． B．在上是单调函数 C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．计算_________． 13．设函数（）是偶函数，则实数的值为_________． 14．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则A，B两点间的曼哈顿距离．已知，点在圆：上运动，若点满足，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 16．三棱柱中，，，，． （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 17．已知抛物线C：（）的焦点为，为上一点，且． （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点A，B，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点．求点的坐标． 18．已知函数． （1）若，求此时的值； （2）求的单调区间； （3）当，且时，判断与的大小，并说明理由． 19．已知双曲线C：，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，，，…，，，…，记． （1）求的通项公式； （2）过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，，记，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.D2.B3.B4.A5.B6.C7.B8.B 9.ABD 10.ACD 11.ACD 12.813.-114.V149+V13#V3+V149 15.1)x2<x<4} (2) 0,2 【分析】(1)解不等式得到1<10gx<2,从而求出(x)K0的解集： -3+2≥m (2)换元后得到 -3十之m对于1∈[2,4刊能成立，利用函数单调性求出y,得到答案. 【小问1详解】 f(x)=(logzx-2)(log2x-1)<0.1=log2x, 则原不等式可化为-2)-)<0，解得1<1<2，即1<1og,x<2 所以2<x<4,不等式f()<0的解集x2<x<4号 【小问2详解】 当xe[4,16]时，令1=log,x,可得e[2,4], 原不等式可化为P-3t+2≥mt对于1∈[2,4]能成立， -3+片之m对于2,4刊能成立， 即可得 t 由对勾函数性质可知 =1-3+2 在∈[2,4]上单调递增，所以 ax=4-3+2=3 42 3 3 m m≤ 因此只需 即可，得 2； 即m的取值范围是 16.（1)证明见解析： 1 (2)8 【分析】(1)通过证明AB⊥平面AOC,即得AB⊥OC,从而得到CA=CB (2)根据求两平面法向量即可求得二面角余弦值. 【小问1详解】 如图所示：作AB中点O,连接OC,OA, ,AA=AB∠BAA=60° ·△ABA是等边三角形，·AB⊥OA 又“CA=4,AB=25,CB=2V7 满足C4+AB=CB,即有AB⊥AC, 而ABAB,所以AB⊥AC, 0A∩4C=A,OA,ACc平面A0C, AB⊥平面AOC, 而0Cc平面40C 所以AB⊥OC,又因为O是AB中点， 所以CA=CB 【小问2详解】 若CA=4,则0C=V4-V5=3,易知0A=3 以点O为原点，分别以OA,O4方向为x,y轴，以过点O竖直向上的直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示： B A 过点C作CD⊥O4,垂足为D, 在△40C中， cos∠COA= 13+9-16_3 2×V13×313. 所以 -1cm-5, OD=3x 13 则4(5.0,0）.C0,125),40,3.0).G(5,425).a(-23,30) C4=(0,2,-25).cB=(-25,2,-25).cC=(5,3,0 设平面CB,4的法向量为而=(：，，)， mCB=0-23x+2y-232=0 则有mC4=0,即2y-232=0 令片=5，则-1，=0，所um=(Q,5, 同理可得：平面C8C的法向量=(3，V5,-2) cos(m.= m方3-21 则 :园√4168 因为所求二面角为钝角，所以二面角4-CB-C的余弦值为8. 17.(1)y=3x: (2)2(-4,0) 【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求p,,由此可得抛物线方程. (2)设l的方程为x=y+4,联立方程组并化简，设，少），B(:,乃)，D(3,一)，应用韦达定 理得+片，少，写出直线AD方程，求出它与x轴的交点坐标即得. 【小问1详解】 m+卫3 22 9 3 2pm= 卫= 依题意， 4,解得2， 所以C的方程为y2=3x 【小问2详解】 依题意，直线1的斜率不为0，且过点(4,0)，设的直线1的方程为X=少+41≠0)， x=y+4 由y=3x消去x得-30y-12=0,△=9r2+48>0, 设(，乃)，B(,乃)，则D(3,),不妨设片>0，则片+4=3,4=-12， 直线AD的方程为： 安2务- X-x2 ，即 即 -）令y=0-)归3x 片-y2 因此3x=(仍-乃)小(-%)+片=%=-12，解得x=4, 所以2(-4,0) B 18.(1)2 a90nmg）aao.o 当a=0时，单调减区间为(-0,0)和(0，+∞），无单调增区间。 当a<0时，单调增区间为 f()f)<1- (3) 2,理由见详解 【分析】1)求出导数f(,由'(0=c,得a>1,利用函数M(a=(a-l)e,ca>1)的单 调性求得(a-l)e'=e的解，即得a的值： (x)=（ar-)ea (2)求导得 x2 ,通过分类讨论可求得函数的单调性，得到答案： (3)构造函 8(x)=f) x,利用多次求导的方法判断出8()的单调区间，从而判断出两者的大小 关系 【小问1详解】 f()=e f'(y)=c,x-e_@-1e 函 ,则 2 x2 因为f0=e心，所以a-le=e2 e>0,a-1>0,得a>1. 令M(a=(a-le,(a>1),则M'(a)=e+(a-l)e=ae>0, 所以M(o)=(a-l)e在山，+o)单调递增 因为M(a=(a-l)e=e=M(),所以a=2. 【小问2详解】 fe49ua*.T-e 当a>0时， e0书exg 令f闭大0，南0< a或x<0,所以f()在(-0)和0a)上单调适藏. onu尚+小aAe 当a=0时， 了)=<0，得()n0,0+）上分眸网， 所以f()的单调减区何为一0,0)和(0，+0）：无单调增区间。 当a<0时， () 令f'()<0,得a <x<0 x>0.所似e0+w任0 上单调递减. 所以了的单调增区间为。 【小问3详解】 当a>0,<x且>0时， f()小f)<1-1 x1x2 证明如下： 6-/).e(0u0】 则-gg-a-e利 设h()=(ar-l)e+1,则h(x)=ae 因为a>0, 令()<0，得x<0,令h()>0,得x>0. 所以h(~)在区间(-0,0)上单调递减，在区间(0，+o)上单调递增， 所以h(x)>h(0)=0,即8()>0， 所以8()的单调递增区间为-0,0），(0，+0）】 当0<<时，8(g).即)f0)大 当西0,8)水8).即/))小 X X2 综上所述，当<且>0时， ae片黄 19.(1)xn=Vn (2)证明见解析 【分折】《①由点4，(，）在双曲线上，又出=，得代号是以矿=1为首项，公差为1的等差数 列，可求得出=Vn 1 1 4= (2)由切线方程代入渐近线，得 M,N,22-1 么-22+，由放缩法证明右边，通过构造 函数证明不等式，再利用放缩法证明左边. 【小问1详解】 双曲线C:x-y=1,渐近线方程为y=±x, B2 B A3 由已知可得：yn=x-, 又点4，（化）在双曲线上，所以号-层=1，即-=1， 所以代}是以=1为首项，公差为1的等差数列，所以心=川即=V厅 【小问2详解】 设4(，），有-=1 以4为切点的双曲线的切线，≠0时斜率存在时，设斜率为k, 切线方程为y=k(x)+,代入双曲线C, 待（1-k)r-2(y-c)r-(0-c广-1=0，由△=0， k支 得k-2xk+=0,解得，切线方程为x-y=1, A(,0)为切点的双曲线的切线方程x=1也满足， xx-yiy=1 由(y=x ,可得 即M,(5+i,v5+可) xx-yiy=1 x=-y=1E1=-同 由(y=-x 可 x+yvi+vi-I N(i-,可-），所以M,N=2可+2可=22可 1 1 所u2MN22i可，42N2币 先证右边： 1 1V2i+1-√2i-1 6=2W2+12i+1+2+i2i+1+V2 2 所以间 +□ =5+ 2 =V2n+1-1 ,右边得证. 下证左边： 先证x>ln(1+),令f()=x-血(x+)cx>0), f()=1-1=x>0 x+1x+1 所以/()在(0，+o)递增，所以/()>f(0)=0, 即x>0时，x>n(1+x) 2W2i+1+1 2W2i+1 当22时，2V2i+1+1≥2√2i+3 证明如下， [22i+1+1]-[2V2+3]=4(2i+1)+4W2i+1+1-4(2i+3) =4v2i+1-7≥4V5-7>0 In 2W2i+1+1 2W2i+3 >In n21+3 I 所以（ 2W2i+1 “(2√2i+12“2i+1 所以当n之2时： 1、11 7 1 2n+31,1,2n+3 25+25++ +二ln +…十 2n+12√52“5" 22n+12325, 1 ∑5≥、1+ln2n+3 么25成立，所以之2525，左边得证 In 当n=1. 所以命题得证.