陕西省西安市铁一中学2025-2026学年第二学期高二期末考试数学试题

陕西省西安市铁一中学高二年级期末考试 数学试题 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1．已知，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 4．已知为等差数列，若m，n，p，q是正整数，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分不必要条件 5．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列，若，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ） A．12，13 B．13，13 C．13，12 D．12，14 6．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中是“理想函数”的序号是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 7．若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数（且）的图象恒过点，函数的图象恰好过点，且在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．关于直线对称 C．关于点中心对称 D．的最小值为-3 10．已知函数，则（ ） A．有两个极值点 B．若方程有三个实根，则或 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 11．已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数m，n，都有，当时，恒成立，则（ ） A． B．在上是单调函数 C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．计算_________． 13．设函数（）是偶函数，则实数的值为_________． 14．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则A，B两点间的曼哈顿距离．已知，点在圆：上运动，若点满足，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 16．三棱柱中，，，，． （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 17．已知抛物线C：（）的焦点为，为上一点，且． （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点A，B，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点．求点的坐标． 18．已知函数． （1）若，求此时的值； （2）求的单调区间； （3）当，且时，判断与的大小，并说明理由． 19．已知双曲线C：，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，，，…，，，…，记． （1）求的通项公式； （2）过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，，记，，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.D2.B3.B4.A5.B6.C7.B8.B 9.ABD 10.ACD 11.ACD 12.813.114.V149+V13拼V13+V149 15.1)x2<x<4} (2) 【分析】(1)解不等式得到<1ogx<2,从而求出f()<0的解集： 2 t-3+二≥m (2)换元后得到t m对于1∈[2,4刊能成立，利用函数单调性求出”x,得到答案。 【小问1详解】 f(x)=(log2x-2)(log2x-1)<0=log2x, 则原不等式可化为-2)-)<0，解得1<1<2，即1<log2x<2 所以2<x<4,不等式∫(x)<0的解集{x2<r<4号 【小问2详解】 当x∈[4,16]时，令t=logx,可得∈[2,4， 原不等式可化为2-31+2≥mt对于1∈[2,4刊能成立， 即可得 -导严为到 由对勾函数性质可知 1-3+2 在∈[2,4刂上单调递增，所以 x=4-3+2-3 42 3 ≥m m≤ 因此只需 2 即可，得 2 即m的取值范围是 2 16.(1)证明见解析： 1 (2)8 【分析】(1)通过证明AB⊥平面AOC,即得AB⊥OC,从而得到CA=CB (2)根据求两平面法向量即可求得二面角余弦值. 【小问1详解】 如图所示：作AB中点O,连接OC,OA, :AA=AB∠BAA=60° △ABA是等边三角形，AB⊥OA 又“CA=4,AB=2W5,CB=27 满足C4+AB=CB,即有4B1AC, 而ABAB,所以AB⊥AC, OA∩AC=A,OA,ACc平面A0C, ·AB⊥平面AOC, 而0Cc平面40C 所以AB⊥OC,又因为O是AB中点， 所以CA=CB 【小问2详解】 若CA=4,则0C=V4-V5=3,易知04=3 以点O为原点，分别以OA,O4方向为x,y轴，以过点O竖直向上的直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示： A 过点C作CD LOA,垂足为D, 在△40C中， Cos/COA 13+9-16_3 2×V13×313. 所 -1c0-25, OD=3x 13 则4(5.0,0）.C01,23).40,30).C5.42).B(-233,) C4=(0,2,-25).cB=(-23,2-25).cC=(5,3,0) 设平面CB,4的法向量为m=(,,), m.CB=0-23x+2y-23z,=0 则有m:C=0,即2y-2W52=0 令片=5，则=1，=0，所um=05,. 同理可得：平面CBC的法向宝i-(3,V5,-2) cos(m. m元3-21 则 m园√4168 因为所求二面角为钝角，所以二面角4-CB-C的余弦值为8. 17.(1)y=3x: (2)(-4,0) 【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求p,,由此可得抛物线方程. (2)设l的方程为x=y+4,联立方程组并化简，设4，），B(:,乃)，D(:,-),应用韦达定 理得+片，少，写出直线AD方程，求出它与x轴的交点坐标即得. 【小问1详解】 m+卫、3 22 9 3 2pm= D=- 依题意， 4,解得2， 所以C的方程为y2=3x」 【小问2详解】 依题意，直线的斜率不为0，且过点(4,0)，设的直线l的方程为x=少+4（≠0）， x=y+4 由y=3x消去x得-30y-12=0,△=9r2+48>0, 设A),B(,乃)，则D(3,),不妨设片>0，则片+片=3，y=-12, 直线AD的方程为： 安2衣为到 X1-x2 ,即 -0w为3 即-2 因此3x=(仍-乃)小(-%)+片=%=-12，解得x=4, 所以(4,0) B 18.(1)2 a9,0wmm后..色 当a=0时，单调减区间为(0,0)和(0，+切），无单调增区间。 当a<0时，单调增区间为 f(c)厂fs)k1-1 (3) x,理由见详解 【分析】1)求出导数f'(,由'(0=c,得a>1,利用函数M(a)=(a-l)e,ca>1)的单 调性求得(a-l)e=e的解，即得a的值： "(x)=（ar-1e (2)求导得 x2 ,通过分类讨论可求得函数的单调性，得到答案： (3)构造函数 ()=f()- ，利用多次求导的方法判断出8(x)的单调区间，从而判断出两者的大小 关系。 【小问1详解】 函数 剥)=e-e-c-c )=e x2 x2」 因为f0=e心.所以a-le=e e>0,a-1>0,得a>1. 令M(a)=(a-le,(a>l),则M'(a)=e+(a-l)e=ae>0 所以M(o)=(a-l)e在山，+o)单调递增： 因为M(a)=(a-l)e=e=M(2),所以a=2. 【小问2详解】 f4ua国.7o- 当a>0时， 令a0,前心，我f 1 上单调递增： 令f(以0，利0c<日 政r0.所@no 上单调递减. ⅓华博传区务石 当a=0时， 由闪-0.N刊E(0@树)E5说 所以/(~)的单调减区间为0,0)和(0，+0），无单调增区间. 当a<0时， 令f'()<0,得a <x<0 >0，序u国r@日0 上单调递减， 1 -00, 所以/()的单调增区间为 a); 【小问3详解】 当a>0,x<x2且x>0时， f(G)小-f(s)<1-1 x1X2, 证明如下： 令国=f).(u0)】 则2安，g-6-0e x2 设h()=(ar-l)e+L.则h(r)=axe 因为a>0, 令()K0,得x<0,令()>0，得x>0. 所以()在区间(-∞，0)上单调递减，在区何(0，+)上单调递增， 所以h()>h(O)=0,即8'(x)>0, 所以8（的单调递增区间为(0,0），(0，+∞）】 当0<<.s)水g),))小 xx2」 当<50时，()小8)，用))大 综上所述，当<且x>0时， 片 19.(1)x=Vn (2)证明见解析 【分折】1)由点4，（化，北.）在双面线上，又儿.=1，得}是以=1为首项，公差为1的等差数 列，可求得大，=Vn 1 a; 1 (2)由切线方程代入渐近线，得 M,N,221-1 622+,由放缩法证明右边，通过构造 函数证明不等式，再利用放缩法证明左边. 【小问1详解】 双曲线C:x-y=1,渐近线方程为y=士x, B收A 7A 由已知可得：=1， 又点A,x)在双曲线上，所以-片=1，即。-=1， 所以}是以片=1为首项，公差为1的等莹数列，所以。=川即、，=园 【小问2详解】 设4(x,少)，有-=1 以A为切点的双曲线的切线，片≠0时斜率存在时，设斜率为k, 切线方程为y=k(x-x)+片，代入双曲线C, 得1-k2)×-2k(0-c)x-(y-c广-1=0，由△=0， k=龙 得k-2xk+。=0,解得片，切线方程为x-=1, A(山，0)为切点的双曲线的切线方程x=1也满足， xx-yy=1 =y=11 ==i+i-1 由(y=x ,可得x-y-- 即M,(5+i,v5+可)】 xx-yy=1 x=-y=E1=-同 由(y=-x 可 龙+y+V- (--0,所M,N=2可+可=22 1 所u2MN22i,42N2币 先证右边： 1 1V2i+1-√2i-1 a-2W2+12i+1+2i+2i+1+V2可 2 所以间 站+□ 2 =V2n+1-1 ,右边得证. 下证左边： 先证x>l血(1+)，令f()=x-h(x+)(x>0), f()=1-1=x>0 x+1x+1 所以/()在(0，+0)递增，所以/()>f(0)=0, 即x>0时，t>n(1+x) 2W2i+1+1 2W2i+1 当≥2时，2√2i+1+1≥2√2i+3 明下.[22+-[22i+可=4(2i+1+42+1+1-4(2i+3) =4W2i+1-7≥45-7>0 2W2i+1+1 2W2i+3 >In 2n2i+3 所以( 2√2i+12√2i+122i+1 所以当n≥2时： 2 1、11 7 1 2n+31,1,2n+3 25+25+…+2N2m>26+2写+… +二ln -In 22n+12325, 1 ∑5≥、1+Jh2m+3 当n=1, A25成立，所以28之2店25，左边得证 In 所以命题得证.