专题1.2.3 充分条件、必要条件（高效培优讲义）（7大题型）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦充分条件、必要条件、充要条件核心知识点，从定义及五种逻辑表述入手，通过充要条件分类细化概念，再从集合角度建立直观联系，结合高考高频考点结构形成递进学习支架。 资料特色在于以“数学眼光”融入《三国演义》案例激发兴趣，通过集合关系培养“数学思维”中的逻辑推理，设计七种题型（含典例与变式）强化“数学语言”表达。课中即学即练助教师高效授课，课后练习题覆盖多维度，助力学生查漏补缺。

专题1.2.3 充分条件、必要条件 教学目标 1、理解充分条件、必要条件的意义； 2、会判断充分条件和必要条件 3、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 4、会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件； 5、能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明。 教学重难点 1.重点 充分条件与必要条件以及充要条件概念的概念的理解 2.难点 充分条件、必要条件的判断方法；会证明充要条件的关系。 知识点01 充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 【即学即练】《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 知识点02 充分条件、必要条件 与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练】“”是“方程有两个相等实数根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点03 从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练】已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点04 充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【即学即练】使为真命题的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 题型 1: 充分必要条件的判断 【典例1】（2026·高一·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2026·高二·福建·学业考试）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 【变式1-2】（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2026·高二·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 2: 充分必要条件的性质 【典例2】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·江苏南京·期中）设，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A．都为0 B．都不为0 C．中至多有一个是1 D．都不为1 【变式2-2】（2026·高一·江西赣州·期末）使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·吉林长春·期中）已知：，那么的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 题型 3: 探求命题充要条件 【典例3】设，命题的充要条件是_________________． 【变式3-1】（2026·高一·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 【变式3-2】关于的方程有两个负实根的充要条件是______． 【变式3-3】（2026·高一·北京海淀·阶段检测）设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是________． 题型 4: 由充分条件求参数范围 【典例4】（2026·高一·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【变式4-1】已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式4-2】（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【变式4-3】（2026·高二·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 题型 5: 由必要条件求参数范围 【典例5】已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式5-1】（2026·高一·河南·期中）已知集合，非空集合. (1)若，求的取值范围； (2)设，，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围. 【变式5-2】（2026·高一·山西大同·阶段检测）（1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题或，命题或，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式5-3】（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）已知集合为实数集，或，. (1)若，求； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型 6: 由充要条件求参数范围 【典例6】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知集合内所有的元素均在第一象限，，，可以作为三条边的长. (1)若是假命题，求的取值范围； (2)若是的充要条件，求的值. 【变式6-1】已知，，求的充要条件. 【变式6-2】（2026·高二·海南三亚·期中）已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式6-3】已知，．是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求实数的取值范围． 题型 7: 充要条件的证明 【典例7】（2026·高一·青海·阶段检测）（1）已知命题p：，，当命题p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）已知命题p：或，命题q：或，若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． （3）已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 【变式7-1】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【变式7-2】（2026·高一·安徽六安·阶段检测）求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【变式7-3】（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知 ，求证：是的充要条件. 1．（2026·高一·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·高一·湖南娄底·开学考试）若x是实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·高一·江苏常州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·高一·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 6．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高一统练（二）数学试卷）已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（2026·高一·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知命题“是的必要不充分条件”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高三·云南·阶段检测）设集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 4．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）在下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（   ） A．p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； B．在一元二次方程中，有实数根，； C．，； D．，； 5．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选题）（2026·高一·云南文山·阶段检测）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 8．（多选题）（2026·高一·贵州黔东南·期末）下列说法中，正确的有（   ） A．命题，则命题的否定为 B．“”是“”的充要条件 C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D．命题“若，则”是假命题 9．（2026·高一·四川成都·期中）数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 10．（第二章常用逻辑用语（单元重点综合测试）-速记�巧练（苏教版2019必修第一册））线段在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件是________. 11．（2026·高一·上海宝山·阶段检测）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是____________. 12．集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． 13．（2026·高一·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 14．（2026·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 15．（2026·高一·陕西商洛·期中）已知集合，． (1)若，求和； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 16．（2026·高一·贵州贵阳·期中）若集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17．（2026·高一·河南南阳·阶段检测）已知集合，． (1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围； (2)若，，求的取值范围． 18．（2026·高一·山东泰安·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2.3 充分条件、必要条件 教学目标 1、理解充分条件、必要条件的意义； 2、会判断充分条件和必要条件 3、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 4、会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件； 5、能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明。 教学重难点 1.重点 充分条件与必要条件以及充要条件概念的概念的理解 2.难点 充分条件、必要条件的判断方法；会证明充要条件的关系。 知识点01 充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 【即学即练】《三国演义》是中国古典四大名著之一．《三国演义》中曾写道“卧龙凤雏，得一可安天下”，据此分析“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“卧龙凤雏，得一可安天下”的逻辑为：得到卧龙或凤雏中的任意一个，就可以安天下， 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分条件； 但是原句中未提及“安天下必须得到卧龙或凤雏”，即安天下可能通过其他途径实现， 则“得到卧龙或凤雏”不是“安天下”的必要条件； 则“得到卧龙或凤雏”是“安天下”的充分不必要条件. 故选：B. 知识点02 充分条件、必要条件 与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练】“”是“方程有两个相等实数根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】方程有两个相等实数根，则，解得：，或， 所以“”是“方程有两个相等实数根”的充分不必要条件, 故选：A 知识点03 从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练】已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若的一个充分不必要条件是，可知集合A是集合B的真子集， 且，，可得， 所以m的取值范围是. 故选：A. 知识点04 充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【即学即练】使为真命题的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使为真命题，则只需，可得， 结合各项知，只有A中是该命题为真的一个充分条件. 故选：A 题型 1: 充分必要条件的判断 【典例1】（2026·高一·云南文山·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】取，成立，不成立，故， 若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. 【变式1-1】（2026·高二·福建·学业考试）已知”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件． 【答案】A 【解析】若三角形的三个内角都相等，则该三角形为等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形， 故”三角形的三个内角都相等”可推出”三角形是等腰三角形”，充分性成立. 等腰三角形只需至少两个内角相等，不一定三个内角都相等， 故”三角形是等腰三角形”不能推出”三角形的三个内角都相等”，必要性不成立. 因此，”三角形的三个内角都相等”是”三角形是等腰三角形”的充分不必要条件. 【变式1-2】（2026·重庆·模拟预测）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，故，则， 若，解得或， 故是的充分不必要条件. 【变式1-3】（2026·高二·浙江宁波·期末）已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 题型 2: 充分必要条件的性质 【典例2】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题“，”为真命题， 所以，恒成立，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充要条件； “”是“”的必要不充分条件. 故选：D 【变式2-1】（2026·高一·江苏南京·期中）设，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A．都为0 B．都不为0 C．中至多有一个是1 D．都不为1 【答案】C 【解析】，，即且， 对于A选项，若都为0，则，满足； 但当时，不一定都为0，比如时，， 所以“都为0”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B选项，若都不为0，比如，则，不满足， 而时，也可能为， 所以“都不为0”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，由“”即且能推出“中至多有一个是1”， 当“中至多有一个是1”时，比如，此时，不满足， 所以由“中至多有一个是1”不能推出“”， 因此“中至多有一个是1”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D选项，“都不为1”就是“”的等价条件， 所以“都不为1”是“”的充要条件，故D错误. 故选：C. 【变式2-2】（2026·高一·江西赣州·期末）使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题，所以. 所以的一个必要不充分条件. 故选：A 【变式2-3】（2026·高一·吉林长春·期中）已知：，那么的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为当时，推不出成立，当时，能推出成立， 所以是成立的必要不充分条件， 故选：D 题型 3: 探求命题充要条件 【典例3】设，命题的充要条件是_________________． 【答案】 【解析】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 故答案为：. 【变式3-1】（2026·高一·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______. 【答案】 【解析】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 【变式3-2】关于的方程有两个负实根的充要条件是______． 【答案】 【解析】充分性：由题意可得，即得，充分性成立； 必要性：若，则此时， 满足方程有两个负实根，必要性成立． 故关于的方程有两个负实根的充要条件是充要条件是． 故答案为： 【变式3-3】（2026·高一·北京海淀·阶段检测）设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是________． 【答案】（只需与等价即可）. 【解析】， 所以，“”的充分必要条件是“”. 故答案为：（只需与等价即可）. 题型 4: 由充分条件求参数范围 【典例4】（2026·高一·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）已知，或， 若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 【变式4-1】已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. 【变式4-2】（2026·高二·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 【变式4-3】（2026·高二·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 题型 5: 由必要条件求参数范围 【典例5】已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 【变式5-1】（2026·高一·河南·期中）已知集合，非空集合. (1)若，求的取值范围； (2)设，，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围. 【解析】（1）由，解得，则， 由，得，解得， 由，得或，解得或，因此或， 所以的取值范围为. （2）由p是q的必要不充分条件，得集合B是集合A的真子集，而， 则，解得， 检验当和时均符合题意， 所以的取值范围为. 【变式5-2】（2026·高一·山西大同·阶段检测）（1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）已知命题或，命题或，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为命题是真命题， 所以方程有解， 当时，，满足题意； 当时，； 所以. （2）因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 当即时，集合或,符合题意； 若， 则或，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 【变式5-3】（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）已知集合为实数集，或，. (1)若，求； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，且， 故； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当，即，即时，此时满足题意； 当，即，即时， 只需或，即或， 又，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 题型 6: 由充要条件求参数范围 【典例6】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）已知集合内所有的元素均在第一象限，，，可以作为三条边的长. (1)若是假命题，求的取值范围； (2)若是的充要条件，求的值. 【解析】（1）因为是假命题，所以是真命题，则，解之得； （2）由上可知，且为等腰三角形， 则要满足三角形存在，需成立， 因为互为充要条件，则. 【变式6-1】已知，，求的充要条件. 【解析】的充要条件是方程组至少有一组实数解，即方程至少有一个非负根，方程有根则，解得. 上述方程有两个负根的充要条件是且，即， ∴. 于是这个方程至少有一个非负根的的取值范围是. 故的充要条件为. 【变式6-2】（2026·高二·海南三亚·期中）已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）集合，集合. 因为是的充分条件，所以， ∴集合可以分为或两种情况来讨论： 当时，满足题意，此时，解得：； 当时，要使成立， 需满足， 综上所得，实数的取值范围. （2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么， 则必有，解得，综合得无解. 故不存在实数，使得， 即不存在实数，使得是的充要条件. 【变式6-3】已知，．是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求实数的取值范围． 【解析】因为是的充要条件，则， 由，， 知要使，则，无解， 故不存在实数，使得是的充要条件． 题型 7: 充要条件的证明 【典例7】（2026·高一·青海·阶段检测）（1）已知命题p：，，当命题p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）已知命题p：或，命题q：或，若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． （3）已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 【解析】（1）由题设，命题的否定为真命题，命题的否定为， 当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或或,解得， 即实数的取值范围是； （3）先证充分性： 若，则成立，充分性成立； 再证必要性： 若，则，即， 所以，即，又， 所以，即成立，必要性成立； 综上：成立的充要条件是． 【变式7-1】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【解析】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，， 则，，， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 令， 当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点， 则，解得； 当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线 若关于的方程有两个同号且不相等的实根 则必有两个不等的负根， 则函数，有两个负零点， 则，无解； 故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是； 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【变式7-2】（2026·高一·安徽六安·阶段检测）求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【解析】证明：必要性：若方程有且只有一个负数根， 当时，方程为，解得，合乎题意； 若时，，设方程的两根分别为、，则， 此时方程有且只有一个负数根； 当时，则，可得， 设方程的两根分别为、，则， 则、均为负数，由题意可知，可得. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”； 充分性：当时，原方程变为，解得，原方程只有一个负根； 当时，方程为，解得，原方程只有一个负根； 当时，对于原方程，，此时方程有两根，设为、， 则，此时方程有且只有一个负数根. 所以，“方程有且只有一个负数根”“或”. 综上所述，方程有且只有一个负数根的充要条件为或. 【变式7-3】（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知 ，求证：是的充要条件. 【解析】设，， 先证充分性： ∵， ∴，即， ∵，， ∴，即； 再证必要性： ∵， ∴， ∴； 综上：是的充要条件. 1．（2026·高一·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】记“”为条件，“”为条件， 因为，所以成立； 当时，，但，此时不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 2．（2026·高一·湖南娄底·开学考试）若x是实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】解不等式 ，得 或 ， 由于 或 不能推出 ，例如 满足 ，但不满足 ， 因此“”是“”的不充分条件， 由 ，则一定满足 ，即 可以推出 ， 因此“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．（2026·高一·江苏常州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，不妨取，，满足条件，但推不出； 当时，一定有，故“”是“”的必要不充分条件. 4．（2026·高一·重庆·期中）已知集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则一定有，因此“”是“”的充分条件， 若，又有，则有，因此若集合，则“”是“”的必要条件， 所以若集合，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】C 【解析】依题意，，，由p是q的必要不充分条件，得是的真子集， 则，解得，所以实数a的可能取值为0. 故选：C 6．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由命题， 设， 因为，可得集合不是空集， 又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 7．（北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高一统练（二）数学试卷）已知p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，设， 若p是q的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，满足题意， 当时，，则，解得， 当时，，显然不符合题意， 故a的范围为 故选：C 1．（2026·高一·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知命题“是的必要不充分条件”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若命题“是的必要不充分条件”是真命题，则， 由命题“是的必要不充分条件”是假命题，所以. 故选：A. 2．（2026·高三·云南·阶段检测）设集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是的必要不充分条件，可得是的真子集， 又因为集合， 当时，此时方程组无解； 当时，解得，此时，满足是的真子集， 综上可得，实数的值为. 故选：C. 3．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【解析】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 4．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）在下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（   ） A．p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； B．在一元二次方程中，有实数根，； C．，； D．，； 【答案】A 【解析】对于A：因为三角形是等边三角形三角形是等腰三角形， 但是三角形是等腰三角形无法推出三角形是等边三角形， 所以p是q的必要不充分条件，故A正确； 对于B：在一元二次方程中，有实数根判别式， 即； 又因为在一元二次方程中，判别式，即有实数根，所以p是q的充要条件，故B错误； 对于C：因为；但是，不能推出，， 如下图所示， 所以，p是q的充分不必要条件，故C错误； 对于D：因为不能推出，如下图所示； 但是，；所以p是q的充分不必要条件，故D错误， 故选：A. 5．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 6．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 7．（多选题）（2026·高一·云南文山·阶段检测）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【解析】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 8．（多选题）（2026·高一·贵州黔东南·期末）下列说法中，正确的有（   ） A．命题，则命题的否定为 B．“”是“”的充要条件 C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D．命题“若，则”是假命题 【答案】ACD 【解析】对于A，命题的否定为，故A正确； 对于B，当时，满足不满足，所以“”不是“”的充要条件，故B错误； 对于C，对任意实数，二次函数的图象关于轴对称，故C正确； 对于D，当时，得，所以命题“若，则”是假命题，故D正确. 故选：ACD. 9．（2026·高一·四川成都·期中）数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 【答案】 必要不充分条件 充分不必要条件 必要不充分条件 【解析】（i）在本题的情境中，网络暴力是截图加上恶毒的语言辱骂共同作用的结果，因此q 是 s 的不充分条件； 网络暴力是在校园论坛上发生的，其起因是宋某将蔡宇杰的朋友圈内容截图和转发行为，如果没有宋某的这一行为，该事件就不会发生，故q 是 s 的必要条件， 故q 是 s 的必要不充分条件； （ii）宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰，这必然导致论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力，所以r 是 s 的充分条件， 但网络暴力的产生不一定是由宋某的这一行为发生的，可能是其他人的行为发生的，所以r 是 s 的不必要条件， 故r 是 s 的充分不必要条件； （iii）宋某不直接辱骂，他有其他违法行为仍需承担责任，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的不充分条件， 若宋某直接辱骂了，他显然是需承担责任的，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要条件， 故“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要不充分条件. 10．（第二章常用逻辑用语（单元重点综合测试）-速记�巧练（苏教版2019必修第一册））线段在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件是________. 【答案】(答案不唯一) 【解析】结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，需,． 就是一个使命题成立的充分条件但不是必要条件． 故答案为: . 11．（2026·高一·上海宝山·阶段检测）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是____________. 【答案】 12．集合，．若是的必要条件，求实数的取值范围． 【解析】因为是的必要条件，所以， 所以，解得，故实数的取值范围为． 13．（2026·高一·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 14．（2026·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由可得， 当时，则，解得； 当时，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （2）若p是q的充分不必要条件，则真包含于，这等价于且， 由可得 ，解得， 又（即且）无解，故恒成立， 所以实数的取值范围是. 15．（2026·高一·陕西商洛·期中）已知集合，． (1)若，求和； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）由， 当时，，，     所以；； （2）由（1）得，，     因为是的必要条件，所以， 所以，解得，     所以实数的取值范围是． 16．（2026·高一·贵州贵阳·期中）若集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， ， ，其子集个数为个; （2）由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 17．（2026·高一·河南南阳·阶段检测）已知集合，． (1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围； (2)若，，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得， 得得 两式相加得，即的取值范围为． （2）由题意得，且． 当时，，得． 当时，得． 综上，的取值范围为． 18．（2026·高一·山东泰安·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意知， 又，故当时，，即，符合题意； 当时，，或， 解得， 综合上述可得实数的取值范围为； （2）命题；命题，且命题是命题的必要不充分条件， 故B是A的真子集， 又时，，即不是空集， 则（等号不同时成立），即得， 即实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $