第4章 指数与对数（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 苏教版高一上第4章指数与对数单元自测提高卷，19题覆盖选择、填空、解答，通过基础运算、逻辑推理及放射性碳定年法等真实情境题，考查数学抽象、运算能力与模型意识，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|指数幂形式、对数性质|基础概念辨析，如第1题指数幂转化| |多选|3/18|指数对数运算律|多选项分层考查，如第9题运算正确性判断| |填空|3/15|方程根与对数求值|逆向思维，如第14题错解分析求真实根差| |解答|5/77|综合运算与实际应用|梯度设计，第19题放射性碳定年法体现数学建模，第7题地震能量计算关联现实|

第4章 指数与对数（单元自测·提高篇） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高一上·广东阳江·期中）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 4．（5分）（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）若是方程的两个实根，则ab的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 5．（5分）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 6．（5分）（2026高一·全国·专题练习）已知，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（5分）（2026·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 8．（5分）（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·四川绵阳·期中）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高一上·江苏徐州·期末）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 11．（6分）（25-26高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）求值：__________. 13．（5分）（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为__________． 14．（5分）（25-26高三上·上海·阶段检测）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根；乙写错了常数，得两根．则这个方程两个真实根的差值的绝对值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 16．（15分）（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）求满足下列条件的各式的值： (1)若，求的值； (2)设，求证：. 17．（15分）（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求：． 18．（17分）（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 19．（17分）（25-26高一上·上海·阶段检测）放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 指数与对数（单元自测·提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【解答过程】. 故选：A. 2．（5分）（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换底公式结合对数的运算即可求解. 【解答过程】由题意有：， 故选：B. 3．（5分）（25-26高一上·广东阳江·期中）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【解题思路】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误． 【解答过程】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 4．（5分）（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）若是方程的两个实根，则ab的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【解题思路】由韦达定理及对数的运算法则即可得解. 【解答过程】因为是方程的两个实根， 故由韦达定理可知，， 即，得. 故选：C. 5．（5分）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【解答过程】由，得，，则，因此， 所以. 故选：C. 6．（5分）（2026高一·全国·专题练习）已知，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】由指数转对数得到，再由对数的运算性质即可求解. 【解答过程】依题意，， 则． 故选：B. 7．（5分）（2026·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【解题思路】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案. 【解答过程】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和， 由题意：， . 于是， 所以. 故选：C. 8．（5分）（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数式与对数式的互化，结合指数式的运算法则，得到，进一步求的值. 【解答过程】设， 则，，， 所以 ， 又，，则，所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·四川绵阳·期中）设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】根据指数幂运算逐项分析判断即可. 【解答过程】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. 10．（6分）（24-25高一上·江苏徐州·期末）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【解题思路】AB由指数运算性质可判断选项正误； CD由对数运算性质可判断选项正误. 【解答过程】对于A，由指数运算性质可得：，故A正确； 对于B，由指数运算性质可得：，故B错误； 对于C，由题 ，故C错误； 对于D，，则.故D正确. 故选：AD. 11．（6分）（25-26高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可. 【解答过程】令，可得，，， ，故A正确； ，故B正确； ，，所以，得， 又，所以，得，所以，，故C不正确； ，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）求值：__________. 【答案】 【解题思路】由指数式、根式和对数式运算法则即可计算求解. 【解答过程】由题. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为__________． 【答案】 【解题思路】先利用指数与对数互换得出，然后利用对数运算性质与指数运算性质化简运算即可. 【解答过程】因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. 14．（5分）（25-26高三上·上海·阶段检测）甲、乙两人解关于的方程：，甲写错了常数，得两根；乙写错了常数，得两根．则这个方程两个真实根的差值的绝对值为__________． 【答案】 【解题思路】将已知方程化为，其中且，利用韦达定理可分别求得，由此可求得，进而转化为求得结果. 【解答过程】由得：，且， 且， 令，则且； 甲写错了常数，； 乙写错了常数，，解得：； ，解得：，，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·山西大同·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则与对数恒等式化简运算即可； （3）根据对数运算法则结合对数恒等式与指数运算性质化简计算即可. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3）. 16．（15分）（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）求满足下列条件的各式的值： (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）运用对数的运算法则即可求解； （2）运用对数的换底公式即可证明. 【解答过程】（1） ， ， ， （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 17．（15分）（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求：． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）将目标式化为，结合化简求值即可； （2）根据已知先求出、，再代入目标式求值. 【解答过程】（1）由，则， 而，则； （2）由， ， 所以. 18．（17分）（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】（1）由根式与分数指数幂的转换，结合指数幂的运算即可求解； （2）由条件通过平方得到，再次平方得到，进而可求解； （3）由指数与对数的转化，和对数的运算性质即可求解. 【解答过程】（1） ； （2）由， 平方可得：， 即，再平方可得：， 即， 所以； （3）由，可得， 由，可得， 所以. 19．（17分）（25-26高一上·上海·阶段检测）放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 【答案】(1)11460 (2)83 【解题思路】（1）设，根据题意得到，即，令，再解方程即可； （2）设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为，无误差时对应衰减时间为，再分别计算出，比较即可． 【解答过程】（1）根据题意，设， 又每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半，所以， 解得，则， 当，解得， 所以该化石距今约有年历史； （2）由于碳14含量的测量结果可能存在的误差， 设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为， 无误差时对应衰减时间为， 则①，②，③， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， 所以误差最大为83年． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $