2026年新高二数学暑假结业测试卷（人教A版，范围：选择性必修第一册全册，暑假预习举一反三）（基础篇）

**基本信息** 暑假结业测试卷（基础篇）聚焦人教A版选择性必修第一册，120分钟150分题量覆盖向量、直线、圆锥曲线等核心知识，通过正方体异面直线成角（单选7）、椭圆存在性探究（解答19）等题，构建基础巩固与能力提升梯度，培养数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量平行、抛物线准线、空间向量模|结合正方体模型（题7）考查空间想象| |多选|3/18|直线倾斜角、空间向量基底、抛物线性质|多选项设计（题11）辨析准线与最值| |填空|3/15|三点共线、直线截距、椭圆中点弦|中点弦问题（题14）渗透方程思想| |解答|5/77|直线倾斜角、双曲线参数、圆方程、椭圆综合|椭圆弦长探究（题19）体现模型应用与逻辑推理|

暑假结业测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解题思路】由空间向量垂直的坐标表示，得，再解方程即可． 【解答过程】由题意得，解得． 故选：C． 2．（5分）（25-26高二上·四川泸州·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴正半轴上，从而可求得准线方程. 【解答过程】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 3．（5分）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据直线一般式的平行关系列式求解即可. 【解答过程】因为已知直线，且 ， 所以，解得， 当时，的方程为，即，此时满足 . 故选：B. 4．（5分）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，即可求解. 【解答过程】由向量，，可得， 则， 因为，所以. 故选：C. 5．（5分）（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆长轴长、短轴长的定义，结合椭圆焦点的位置进行求解即可. 【解答过程】因为椭圆的焦点在x轴上，中心在原点， 所以设该椭圆的标准方程为， 因为该椭圆长轴长为10，短轴长为8， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：D. 6．（5分）（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由两圆的一般式作差，即可得到两圆公共弦所在的直线方程. 【解答过程】已知圆与圆， 由两圆的一般式作差可得：， 所以两圆公共弦所在直线的方程为. 故选：B. 7．（5分）（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【解答过程】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 8．（5分）（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，记线段与双曲线的交点为，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求双曲线的渐近线方程，进而得的直线方程，进而得点的坐标，又为的中点，利用中点公式得的坐标，又点在双曲线上，代入双曲线方程，解出方程即可求解. 【解答过程】由题意得：双曲线的一条渐近线为，又， 过作双曲线的一条渐近线的垂线方程为， 所以，所以， 又，又为的中点，设， 所以，， 所以，又点在双曲线上， 所以，化简得， 又， 即，又，所以， 所以，所以， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【解答过程】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD. 10．（6分）（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．能构成空间的一个基底 【答案】AB 【解题思路】根据空间向量的坐标运算分析判断ABC；分析可知，即可知不能构成空间的一个基底，即可判断D. 【解答过程】因为空间向量，，， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故C错误； 对于选项D：因为，即， 所以不能构成空间的一个基底，故D错误； 故选：AB. 11．（6分）（25-26高二上·云南昭通·期末）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为点，点在抛物线上，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最小值为2 D．当时， 【答案】ABD 【解题思路】对于A，由抛物线方程可直接判断A；对于B，将代入得，根据抛物线的定义可得；对于C，由抛物线定义得，从而判断C；对于D，由列方程解得． 【解答过程】对于A，由抛物线方程为知，焦点为，准线方程为，故A正确； 对于B，将代入，得，则，故B正确； 对于C，由抛物线定义得，当时，取等号，即的最小值为1，故C错误； 对于D，因为点、点，所以，， 因为，所以，即， 将代入得，解得（负值舍去），故D正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知，，三点共线，则__________. 【答案】 【解题思路】利用点的坐标可得对应向量的坐标，根据向量共线的坐标表示即可求解. 【解答过程】依题意，，， 因为，，三点共线，即， 所以，所以，，解得， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·青海海南·期末）直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为___________. 【答案】或 【解题思路】根据题意，分截距均为0和截距不为0，两种情况讨论，结合题意，列出方程组，即可求解. 【解答过程】当截距均为0时，即过，此时直线的方程为； 当截距不为0时，设直线的方程为，满足，解得， 此时直线的方程为， 综上可得直线的方程为或. 故答案为：或. 14．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 【答案】 【解题思路】借助点差法可得，再利用为线段AB的中点计算可得，即可得直线的方程. 【解答过程】设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，则，， 则， 又，故，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【解题思路】（1）结合两点斜率公式，根据直线斜率列方程求解即可. （2）结合两点斜率公式和斜率的定义，根据直线斜率列方程求解即可. （3）根据直线的倾斜角为锐角得，利用两点斜率公式列不等式求解即可. 【解答过程】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 16．（15分）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知，. (1)求的值； (2)若，求k的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先计算的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解； （2）根据向量坐标的线性运算计算和，利用即可求解. 【解答过程】（1）由题意有：， 所以； （2）由（1）有，所以， ， 因为， 所以， 所以. 17．（15分）（25-26高二上·浙江绍兴·期中）曲线且. (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）根据双曲线方程的特征得到不等式，求出； （2）时，求出，设，，根据垂直关系得到方程，结合，求出，得到答案. 【解答过程】（1）表示双曲线，则， 解得， 故的取值范围是； （2）时，曲线为双曲线， 设，，故， 因为， 所以， 解得， 故点的横坐标为. 18．（17分）（25-26高二上·北京·阶段检测）已知圆过和两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】(1); (2)或. 【解题思路】(1)利用弦的垂直平分线过圆心，可通过方程组求解圆心，再求半径，即可得圆的方程； (2)利用圆心到直线的距离等于半径来求切线方程即可. 【解答过程】（1）和两点的中点坐标是，斜率是， 则线段的中垂线方程为：， 则圆心在直线上，又因为圆心在直线上， 所以联立方程组，即圆心坐标， 再由，即得圆的半径为， 所以圆的方程为：； （2）当过点且斜率不存在时，此时直线不与圆相切， 所以可以设过点且与圆相切的直线的方程为， 整理得：， 再由直线与圆相切可得：， 解得：或， 所以直线的方程为或. 19．（17分）（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【解题思路】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【解答过程】（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或.    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假结业测试卷（基础篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．（5分）（25-26高二上·四川泸州·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（5分）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）焦点在x轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，记线段与双曲线的交点为，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．能构成空间的一个基底 11．（6分）（25-26高二上·云南昭通·期末）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为点，点在抛物线上，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最小值为2 D．当时， 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知，，三点共线，则__________. 13．（5分）（25-26高二上·青海海南·期末）直线l经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为___________. 14．（5分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 16．（15分）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知，. (1)求的值； (2)若，求k的值. 17．（15分）（25-26高二上·浙江绍兴·期中）曲线且. (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标． 18．（17分）（25-26高二上·北京·阶段检测）已知圆过和两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线的方程． 19．（17分）（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $