精品解析：天津市第一中学2025-2026学年高一下学期质量调查数学试卷

天津一中2025-2026-2高一年级数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 第I卷为第1页，第Ⅱ卷为第2-3页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得， 所以，所以在复平面内对应的点的坐标为. 2. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 3. 上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥内切球半径即为圆锥轴截面三角形的内切圆半径求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，则, 所以圆锥的高, 由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长, 所以轴截面等腰三角形内切圆的半径, 故该圆锥形模型的内切球的半径为 4. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 【答案】A 【解析】 【分析】利用线性变换 下平均数满足 、方差满足的性质分步计算，分别求出变换后数据的平均数与方差. 【详解】设原数据的平均数为，方差为，由题意得 ， . 设新数据 的平均数为， 则 设新数据的方差为， 则 新数据的平均数为，方差为. 5. 从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件列出随机试验的所有基本事件，再确定事件至少有一个白球中所包含的基本事件，利用古典概型概率公式求事件的概率. 【详解】设3个红球分别记为a，b，c，2个白球分别记为d，e， 则从袋子中随机摸出2个球的所有可能的结果为，共10种， 符合至少有一个白球条件的结果为，共7种， 所以事件至少有一个白球的概率为概率， 故选：A． 6. 已知，，若，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用向量垂直的坐标运算可得，再结合投影向量求法计算即可得. 【详解】由、，则， 由，则有，解得， 即，则在上的投影为， 则向量在上的投影向量为. 故选：C. 7. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则下列选项不正确的是（ ） A. 直线平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】C 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理可判断A，由线面垂直的性质定理可判断B，由三棱锥的体积公式可判断C，由直棱锥的外接球半径计算方法可判断D. 【详解】对于A，，平面，平面， 直线平面，故A正确； 对于B，，，， 平面，平面， 平面，又平面，，故B正确； 对于C，三棱锥的体积，故C错误； 对于D，设三棱锥的外接球的半径为，的外接圆半径为， ， 在中，由余弦定理得， 所以，则有， ， 三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：C. 8. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为90 【答案】C 【解析】 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再根据百分位数的计算公式求解即可；对D ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，C错误； 对于D：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，D正确. 9. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为3或4”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法不正确的是（ ） A. 事件与事件不是互斥事件 B. 事件M发生的概率为 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为 【答案】B 【解析】 【分析】由互斥事件的定义判断A；由互斥事件加法求概率判断B；根据判断C；根据对立事件的概率求法求发生的概率即可判断D. 【详解】对于A，由：“第一次向下的数字为3或4”与：“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A正确； 对于B，由题设知：，B错误； 对于C，因为，而，故，即事件M与事件N相互独立，C正确； 对于D，， 表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”， 故，所以，D正确. 10. 在三棱锥中，两两相互垂直，，侧面与底面的夹角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析出侧面与底面的夹角对应的平面角，结合面积关系及基本不等式得到的关系，求出三棱锥的体积最小时的值，进而求出三棱锥的外接球的表面积. 【详解】不妨设，作交于点，如图所示， 因为两两相互垂直，所以，， 又平面，， 所以平面，因为平面， 所以，又，，平面， 所以平面，平面， 所以，则为侧面与底面的夹角，即. 在中，， 因为， 所以，即. 又，所以（当且仅当时取等号）. （当且仅当时取等号）. 当三棱锥体积最小时，，设外接球的半径为， 则，解得. 所以外接球的表面积． 故选：A． 第Ⅱ卷 二．填空题：（每小题4分，共24分） 11. 若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为复数，化简得 ， 因为为纯虚数，所以实部为0，虚部不为0， 即，解得. 12. 已知向量不共线，且，则实数___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，列出等式求解即可. 【详解】因为， 则存在实数，使得：  整理得： 因为不共线，根据平面向量基本定理， 得方程组： ， 解得，代入得. 13. 数据1，2，3，5，5，6，10，9，8，7的60%分位数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的计算规则求解即可. 【详解】 首先将给定数据从小到大排列：，样本容量， 计算索引值：，为整数，因此分位数为排序后第项和第项数据的算术平均数， 排序后第6项为，第7项为，故分位数为。 14. 如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得结果. 【详解】依题意，画出图形，如图， 过作，垂足为， 可知点H为中点， 由平面， 可得，又 所以平面， 则即为所求角， 因为，， 所以， 故答案为：. 15. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，的平分线交于点，则线段的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理化简可得，由余弦定理结合基本不等式可得，利用化简即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 因为，所以， 又因为，所以，则， 由余弦定理可得：，可得：，即， 当且仅当时取等号， 因为为的角平分线，所以， 所以， 则， 化简得：，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以线段的最大值为. 16. 如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则____________.若是线段上的一个动点，则的最小值为____________. 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】①先利用向量的数量积公式及向量线性运算，由题可知：，由，可得，代入相应数据即可求得的值；②由①可得，则设，根据平面向量的混合运算可推出，再利用配方法即可得解，最后求出最小值. 【详解】①， 又，， 则：，且 原式， 解得 ； ② 设， 当时，有最小值，为 故答案为：①， ② . 三、解答题：（本大题共4小题共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： （3）若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】（1）2 （2）71， （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形所表示频率之和为1，可得，据此可得答案； （2）由频率分布直方图计算平均数，中位数方法可得答案； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，方法1，由可得答案；方法2，由对立事件概率关系可得答案. 【小问1详解】 由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； 【小问2详解】 平均数. 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； 【小问3详解】 记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）若. （i）求的值： （ii）求的值. 【答案】（1）6 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理即可得到，从而得到，再由二倍角公式以及余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得 【小问2详解】 （i）由余弦定理有， （ii）因为，所以， 从而， 则， 19. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面BCF平行于平面ADE，即可证明直线BF平行于平面ADE； （2）建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量，利用向量数量积即可求解； （3）分别求出平面BDE和平面ADE的法向量，利用向量数量积即可. 【小问1详解】 ∵ ， 平面ADE， 平面ADE， ， 平面BDE， 平面BDE， ， ∴平面ADE 平面BDE， 平面BDE， 平面ADE； 【小问2详解】 依题意， ，以A为原点建立空间直角坐标系如下图： 则 ， ， ， 设平面BDE的一个法向量为 ， 则有 ， ，令x=2，则y=-2，z=-1， ， 设CE与平面BDE的夹角为 ， 则有 ， 【小问3详解】 显然平面ADE的一个法向量为 =(0，1，0)，设平面ADE与平面BDE的夹角为 ， 则 ； 综上，CE与平面BDE的夹角的正弦值为 ，平面ADE与平面BDE的夹角的余弦值为 . 20. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1） 取的中点为，连接，，因为，分别为，中点， 所以且， 因为，，所以且， 即四边形是平行四边形．所以， 又平面，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，，根据线面平行判定定理证明即可； （2）空间向量法计算两平面夹角的余弦值； （3）空间向量法计算点到平面的距离； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接．因为，， 所以四边形是平行四边形．则， 因为，所以平行四边形是正方形． 则．因为平面，，平面， 所以，．则，，两两垂直． 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 因此，，，． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，得，令，则，所以， 设二面角的平面角为，依题意，， 所以， 所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 依题意，不妨设（），则，． 又由（2）得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以点到平面的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2025-2026-2高一年级数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 第I卷为第1页，第Ⅱ卷为第2-3页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 3. 上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 5. 从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则下列选项不正确的是（ ） A. 直线平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 8. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为90 9. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为3或4”，事件为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法不正确的是（ ） A. 事件与事件不是互斥事件 B. 事件M发生的概率为 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为 10. 在三棱锥中，两两相互垂直，，侧面与底面的夹角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二．填空题：（每小题4分，共24分） 11. 若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数___________． 12. 已知向量不共线，且，则实数___________. 13. 数据1，2，3，5，5，6，10，9，8，7的60%分位数是___________． 14. 如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为__________. 15. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，的平分线交于点，则线段的最大值为______． 16. 如图，在中，分别是直线，上的点，，且，则____________.若是线段上的一个动点，则的最小值为____________. 三、解答题：（本大题共4小题共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： （3）若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）若. （i）求的值： （ii）求的值. 19. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 20. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $