2027届高考数学一轮复习----立体几何中的动态问题——翻折问题

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何动态问题中的翻折问题，涵盖面面垂直判定、体积最值、外接球表面积、轨迹范围等高考核心考点，按“问题类型梳理—典型例题解析—变式拓展训练—分层巩固提升”逻辑架构，通过考点特征归纳、翻折不变量分析、真题题型演练等环节，帮助学生构建动态几何问题的解题框架。 讲义突出数学思维与空间观念培养，如将翻折问题类比函数参数问题，设计“折叠前后几何量对比—空间模型构建—逻辑推理证明”教学活动，例6通过动点翻折求轨迹范围，训练学生用数学眼光观察空间变化、用数学语言表达几何关系。设置基础巩固A、能力提升B分层练习，配合即时反馈，有效提升学生空间想象与解题能力，为教师精准把控复习节奏提供实用素材。

高中数学精选专题-立体几何 立体几何中的动态问题 翻 折 问 题 湖北天门 薛德斌 立体几何中的动态问题的要点：相当于函数中的含参数问题，因而有恒成立问题、存在性问题、最值问题、范围问题、不等式问题、轨迹问题、翻折问题等． 例1．（多项选择题）如图（1），在矩形中，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（    ）    图（1） 图（2） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 例2．（多项选择题）已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折过程中，下面四个命题中正确的是（       ） A．三棱锥的体积最大值为 B．三棱锥的外接球体积不变 C．异面直线与所成角的最大值为 D．与平面所成角的最大值为 例3．（多项选择题）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是 （ ） A． B．的长为定值 C．与的夹角为 D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是 例4．（多项选择题）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折到（不在底面上），为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个命题中正确的是（       ） A．平面 B．的长是定值 C．存在某个位置，使得平面 D．设直线与平面所成的角为，则的最大值是 例5．（多项选择题）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿着直线 翻折得到．记二面角的平面角为，，下列说法正确的有（    ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为 D．若直线与所成的角为，则 例6．如图，在长方形中，，，为 的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ． 变式1．如图，长方形中，，，为线段上一动点．现将沿折起，使平面平面． （1）的长度的的取值范围是 ； （2）在平面内过点作，垂足为，则的长度的取值范围是 ． 变式2．如图，长方形中，，，为线段上一动点．现将沿折起，使平面平面． （1）的长度的的取值范围是 ； （2）在平面内过点作，垂足为，则的长度的取值范围是 ． 变式3．如图，长方形中，，，，为线段上一动点．现将沿折起，使平面平面． （1）的长度的的取值范围是 ； （2）在平面内过点作，垂足为，则的长度的取值范围是 ． 例7．已知中，，，，上有一点，将沿折成一个直二面角，且，求二面角的正弦值． 例8．如图，平行四边形中，，，为边的中点，将沿着直线翻折为，连接，，得到四棱锥． （1）若棱的中点为，求的长； （2）若二面角的平面角为，求与平面所成角的正弦值． 例9．如图1，平面四边形中，，，，， 点，分别在线段，上．如图2，将平面四边形沿，折叠成四棱锥，使得平面平面，点与点重合． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）四棱锥是否存在外接球？若存在，求出外接球的半径；若不存在，说明理由． 图1 图2 巩固训练A 1．（多项选择题）如图，在等腰梯形中，，．现将沿直线翻折到，则 （       ） A．在翻折过程中，存在某个位置，使得 B．在翻折过程中，存在某个位置，使得平面 C．在翻折过程中，存在某个位置，使得三棱锥的体积为 D．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为 2．（多项选择题）如图，在矩形ABCD中，，，将沿直线AC翻折，形成三棱锥．下列说法正确的是（       ） A．在翻折过程中，三棱锥外接球的体积为定值 B．在翻折过程中，存在某个位置，使得 C．当平面平面ABC时， D．当平面平面ABC时，三棱锥的体积为 3．（多项选择题）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折到（不在底面上），为线段上一点（点与，不重合），则在翻折过程中，下面四个命题中正确的是（       ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得是定值 C．存在某个位置，使得 D．存在某个位置，使得平面 4．直角三角形中，，，为斜边的中点．现将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中， （ ） A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 6．（多项选择题）梯形中，，，，分别是的中点，将四边形沿直线进行翻折，在翻折过程中，下列结论中可能成立的有（ ） A．   B． C．面平面   D．平面平面 7．已知中，，，点在线段上除，的位置运动，现沿进行翻折，使得线段上存在一点，满足平面.若恒成立，则实数的最大值为（ ） A.1 B. C. 2 D. 8．（多项选择题）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法正确的是（    ）    A．在翻折过程中，存在某个位置使得 B．若，则与平面所成角的正切值为 C．当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正弦值为 D．当时，的最小值为 9．如图，在中，， ，，D为线段BC（端点除外）上一动点．现将沿线段 AD折起至，使二面角的大小为120°，则在点 D的移动过程中， （1）点在平面上的投影所形成的轨迹的长度是__________； （2）直线与平面所成角的正弦值的取值范围是__________； （3）线段的最小值是__________． 10．如图，在矩形中，，，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起得到，当二面角的大小为时，点在平面上的射影为，当从运动到时，  （1）点所形成轨迹的长度是__________； （2）直线与平面所成角的正弦值的取值范围是__________； （3）线段的最小值是__________． 巩固训练B 1．（多项选择题）如图，在中，， ，，D为线段BC（端点除外）上一动点．现将沿线段 AD折起至，使二面角的大小为120°，则在点 D的移动过程中，下列说法正确的是 （ ） A．不存在点，使得 B．点在平面上的投影轨迹是一段圆弧 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 D．线段的最小值是 2．如图所示，已知平面四边形，，，，．沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是______． 3．如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 4．在中，是斜边上的点，以为棱把它折成直二面角，当 为最小时，是的 （ C ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．以上都不是 5．如图，在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积的最大值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学精选专题-立体几何 立体几何中的动态问题 翻 折 问 题 湖北天门 薛德斌 立体几何中的动态问题的要点：相当于函数中的含参数问题，因而有恒成立问题、存在性问题、最值问题、范围问题、不等式问题、轨迹问题、翻折问题等． 例1．（多项选择题）如图（1），在矩形中，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（    ）    图（1） 图（2） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【详解】，，平面，∴平面平面，平面平面，故A，B正确． ，，平面，∴平面平面，D正确． 例2．（多项选择题）已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折过程中，下面四个命题中正确的是（       ） A．三棱锥的体积最大值为 B．三棱锥的外接球体积不变 C．异面直线与所成角的最大值为 D．与平面所成角的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，当平面平面时，点到平面的距离最大，此时三棱锥的体积最大，作，垂足为， ∵平面平面，平面，∴平面， ∵，∴， 又，∴， 即三棱锥的体积最大值为，A正确； 对于B，∵和均为以为斜边的直角三角形， ∴中点到四点的距离相等，即中点为三棱锥的外接球球心， ∴三棱锥的外接球体积为定值，B正确； 对于C，的轨迹为以为轴的圆锥面，， ∴异面直线与所成角的范围为，C错误； 对于D，设与平面所成角为，由最小角定理可知，， ∴当平面平面时，与平面所成角最大，，D正确． 故选ABD． 例3．（多项选择题）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是 （ ） A． B．的长为定值 C．与的夹角为 D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是 【答案】ABD 【详解】 取的中点，连接，， 对于A，菱形中，,，是等边三角形，又因为为的中点，所以，由翻折性质知，平面，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，与的夹角等于，故C不正确； 对于D，由题意可知当平面平面时三棱锥的体积最大.由A项知此时平面，因为，所以.如图，要求三棱锥外接球表面积即求如图长方体外接球的表面积，由已知得长方体的长宽高分别为，则长方体外接球半径，则表面积为，故D正确． 故选：ABD． 例4．（多项选择题）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折到（不在底面上），为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个命题中正确的是（       ） A．平面 B．的长是定值 C．存在某个位置，使得平面 D．设直线与平面所成的角为，则的最大值是 【答案】ABD 【详解】 取的中点，连接，， 选项A：，平面，A选项正确； 选项B：，B选项正确； 选项C：平面，C选项不正确； 选项D：解法一：设，则，点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，当平面平面时，点到平面的距离最大为，此时最大为，∴D选项正确． 解法二：直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由最小角定理可知，，，， ∴当平面平面时，最大为，D选项正确． 故选ABD． 例5．（多项选择题）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿着直线 翻折得到．记二面角的平面角为，，下列说法正确的有（    ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．当四棱锥的体积最大时，点到平面的距离为 D．若直线与所成的角为，则 【答案】ACD 【要点】翻折＋三垂线定理＋二面角＋线线角＋三角函数 解：A．三垂线定理 B．三垂线定理 C．等体积法，，． D．设的中点，点在平面上的射影为， 则，，， ∴， ∴， ∴． 例6．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ． 【答案】 解：作于点，延长交于点，则点在平面上的射影在直线上，∴当平面平面，时，平面，． ∽，，∴， ∴的取值范围是． 【注：平面，∴． ∵，∴平面，∴，∴，，三点共线，∴．】 变式1．如图，长方形中，，，为线段上一动点．现将沿折起，使平面平面． （1）的长度的的取值范围是 ； （2）在平面内过点作，垂足为，则的长度的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）作于点，延长交于点，则点在平面上的射影在直线上． ∵平面平面，∴，，， ，∴． （2）∽，，∴． 变式2．如图，长方形中，，，为线段上一动点．现将沿折起，使平面平面． （1）的长度的的取值范围是 ； （2）在平面内过点作，垂足为，则的长度的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2）． 解：（2）∽，，∴． 变式3．如图，长方形中，，，，为线段上一动点．现将沿折起，使平面平面． （1）的长度的的取值范围是 ； （2）在平面内过点作，垂足为，则的长度的取值范围是 ． 【答案】（1）；（2）． 解：（2）∽，，∴． 例7．已知中，，，，上有一点，将沿折成一个直二面角，且，求二面角的正弦值． 【答案】 【要点】翻折＋设角求角＋二面角 解：中，，． 解法一：（设角＋解三角形＋距离法求二面角） 设，则．作于D，，． 中， ， ， ∵平面平面，，∴平面，∴， ∴， ∴，，． 点到的距离是， 设二面角的大小为， 则， ∴二面角的正弦值为． 解法二：（设边＋列方程组＋距离法求二面角） 作于D，设，． ∵平面平面，，∴平面，∴， ∴，． ∵，∴， 中，，， ∴， ∴， ，，，， 点到的距离是， 设二面角的大小为，则， ∴二面角的正弦值为． 解法三：（三余弦定理解角＋三正弦定理求二面解） 设，则． 由三余弦定理得，，∴，． 设二面角的大小为， 由三余弦定理得，，， ∴二面角的正弦值为． 例8．如图，平行四边形中，，，为边的中点，将沿着直线翻折为，连接，，得到四棱锥． （1）若棱的中点为，求的长； （2）若二面角的平面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）3；（2）． 【解题要点】（1）平行关系；（2）翻折＋二面角＋求线面角的三种方法． 【分析】（1）方法一：取中点，连接，证明四边形为平行四边形，即可得出答案；方法二：延长交于点，连接，由题意可得，由余弦定理求出，即可求出的长； （2）方法一：设点到平面A′DE的距离为，由求出，由设与平面所成角为，则，求解即可得出答案； 方法二：，由题意证得平面，则即为与平面所成角，求解即可； 方法三：（面面垂直＋垂线法） 解：（1）方法一：取中点，连接，      分别为中点，，； 四边形为平行四边形，为中点，，， ，，四边形为平行四边形，， 为等边三角形，边长为，所以，所以. 方法二：延长交于点，连接，      四边形为平行四边形，，又为 中点，为中点，又为中点，， 为的中点，所以 ， . （2）取中点，连接，，连接，      ，四边形为平行四边形，四边形为菱形， ，则翻折后， 则即为二面角的平面角，， 作，垂足为，连接， ，，， 平面，平面，又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，； 为边长为的等边三角形，， ，，， 又，， ，； 方法一：（距离法） ，， 设点到平面A′DE的距离为， ，，，， 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为． 方法二：（平移转化＋垂线法） 取中点，连接，作，垂足为，连接，      分别为中点，且， 与平面所成角即为与平面所成角； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 即为与平面所成角， ，又，， ，即与平面所成角的正弦值为． 方法三：（面面垂直＋垂线法） 取中点，中点，连接，，， 由，，为边的中点， 得，所以为等边三角形，从而，， 又，为的中点所以，又是等边三角形， 所以，所以为二面角的平面角，所以， 过点作，过作交于，连接， 是等边三角形，所以可求得，，所以，， ，，，， 所以，，又，，面， 所以面，又，所以面， ∵平面，∴面面， 由，在中易求得，又， 所以，， ∵面面，面， ∴面，∴为与平面所成的角， 在中可求得，所以， ∴与平面所成角的正弦值为． 例9．如图1，平面四边形中，，，，， 点，分别在线段，上．如图2，将平面四边形沿，折叠成四棱锥，使得平面平面，点与点重合． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）四棱锥是否存在外接球？若存在，求出外接球的半径；若不存在，说明理由． 图1 图2 【答案】（2）；（3）不存在． 【要点】翻折问题＋鳖臑中的垂直关系＋二面角＋ 解：（1）连接AD． ∵平面ABC⊥平面BCD，平面平面BCD=BC，BD⊥BC，平面BCD， ∴BD⊥平面ABC，又平面ABC，∴BD⊥AC． 又AB⊥AC，BD∩AB=B，∴AC⊥平面ABD， 又平面ABD，∴AC⊥AE． （2）设，则，，． ∵AC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，∴AC⊥AD． 在Rt△ACD中，AF=DF，∴∠ADC=∠DAF，∴∠ACD=∠FAC，AF=FC， ∴，即F为CD的中点，． 设AF与平面ABE所成的角为α，点F到平面ABE的距离为d， ∵AC⊥平面ABD，∴点C到平面ABE的距离， 【注：过点F作平面ABE的垂线，则垂足为AD的中点．】 ∴，即直线与平面所成角的正弦值为． （3）设，，则，，． ∵BD⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴BD⊥AB， ∴，，∴． 取CE的中点O，连接OA，OF，OB， ∵，∴， 即O为三棱锥的外接球的球心，且三棱锥A-BEC的外接球是， ∵，∴四棱锥不存在外接球． 【注1：四边形不存在外接圆，∴四棱锥不存在外接球．】 【注2：四棱锥存在外接球四边形存在外接圆．】 巩固训练A 1．（多项选择题）如图，在等腰梯形中，，．现将沿直线翻折到，则 （       ） A．在翻折过程中，存在某个位置，使得 B．在翻折过程中，存在某个位置，使得平面 C．在翻折过程中，存在某个位置，使得三棱锥的体积为 D．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】取中点E，连接交于F， 因为，所以都是等边三角形， 所以，，， 在翻折过程中，，所以． 对选项A，当时，平面平面，因为，所以平面，又因为平面，所以，所以存在，使得，故A正确； 对于选项B，假设存在，使得平面，因为平面，所以，与矛盾，故B不正确； 对选项C，作于F，则， 设到平面的距离为d， 由，求得， 此时sinα＝，故或，故C正确； 对选项D，当时，平面平面，F是AC中点，E是AB中点， 如图所示，EF∥BC，，EF和BC均与平面垂直， 设是顶角是的外接圆圆心，由几何关系可知，过作平面的垂线m，则m∥EF∥BC. E是直角△ABC斜边中点，也是三角形ABC的外心，过E作平面ABC的垂线n，则m和n的交点即为三棱锥外接球球心O，显然四边形是矩形，， 在Rt△中，三棱锥的外接球半径R＝， 故三棱锥的外接球的表面积为，故D正确． 故选ACD． 2．（多项选择题）如图，在矩形ABCD中，，，将沿直线AC翻折，形成三棱锥．下列说法正确的是（       ） A．在翻折过程中，三棱锥外接球的体积为定值 B．在翻折过程中，存在某个位置，使得 C．当平面平面ABC时， D．当平面平面ABC时，三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】设O为AC的中点，则，所以三棱锥外接球的半径为5，所以三棱锥外接球的体积为定值，故A正确； 若在翻折过程中，存在某个位置，使得，又，则平面ABD， 而平面ABD， 所以，从而斜边CD的长大于直角边BC， 这与，矛盾，故B错误； 当平面平面ABC时，过D作AC的垂线DE，垂足为E，则平面ABC，，， 在平面ABC上，过B作AC的垂线BF，垂足为F， 则平面DAC，，， 所以，故C正确； 当平面平面ABC时，平面平面. 又，平面ABC， 所以平面DBC，计算得， 因为，，所以， 所以三棱锥的体积为，故D正确. 故选：ACD 3．（多项选择题）如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折到（不在底面上），为线段上一点（点与，不重合），则在翻折过程中，下面四个命题中正确的是（       ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得是定值 C．存在某个位置，使得 D．存在某个位置，使得平面 【答案】AB 【详解】 当为线段的中点时，取中点，连接，，， 则，，∴平面平面，平面，A选项正确； 由，定值，为定值， 由余弦定理，∴为定值，B选项正确； 解法一：，若，则平面，，矛盾，C选项不正确； 解法二：设在平面中的射影为，，与不垂直， ∴不存在某个位置，使，C选项不正确； ∵平面，∴， ∵，∴平面，∴，但， ∴，∴D选项不正确． 故选：AB． 4．直角三角形中，，，为斜边的中点．现将沿翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C． 解：，，∴， ∴，，． 5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中， （ ） A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 【答案】B 6．（多项选择题）梯形中，，，，分别是的中点，将四边形沿直线进行翻折，在翻折过程中，下列结论中可能成立的有（ ） A．   B． C．面平面   D．平面平面 【答案】BC 7．已知中，，，点在线段上除，的位置运动，现沿进行翻折，使得线段上存在一点，满足平面.若恒成立，则实数的最大值为（ ） A.1 B. C. 2 D. 【答案】A 解法一：平面中，，，∴， ∴，∴实数的最大值为1. 故选A. 解法二：要满足平面有两个极限状态，第一是为的角平分线时，此时，第二是点与点重合时，此时；故，∴实数的最大值为1.故选A. 8．（多项选择题）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法正确的是（    ）    A．在翻折过程中，存在某个位置使得 B．若，则与平面所成角的正切值为 C．当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正弦值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，当平面与平面垂直时，平面，，故A正确； 对于B，，平面， 设为的中点，，平面， 则即为与平面所成角的平面角， ，， 即与平面所成角的正切值为，故B正确；    对于C，当三棱锥体积取得最大值时，平面与平面垂直， 平面，故AD与平面ABC成角为，     因为，所以，，， 则，， 即AD与平面ABC成角的正弦值为，故C不正确； 对于D，当时，设为为的中点， ∵，∴平面，，， 如图，将与展开在同一平面内，则当三点共线时，最小， 即的最小值为， 在中，， 则， ∴，的最小值为，故D正确    9．如图，在中，， ，，D为线段BC（端点除外）上一动点．现将沿线段 AD折起至，使二面角的大小为120°，则在点 D的移动过程中， （1）点在平面上的投影所形成的轨迹的长度是__________； （2）直线与平面所成角的正弦值的取值范围是__________； （3）线段的最小值是__________． 答案：（1）；（2）；（3）． 解：（1）过点B作AD的垂线，交AD于点E，连接，，过点作BE的垂线，交BE于点H． ，则 平面 ，所以为二面角的平面角的补角，即 ，所以，即 H为BE的中点． 平面平面，又 ，所以平面ABC，所以在平面ABC上的投影为点 H． 取AB中点F，BF中点G，则，点H在以G为圆心，为半径，圆心角为的弧上，∴点在平面上的投影所形成的轨迹的长度是； （2） 连接AH，则与平面ABC所成的角为，设 ，则，由 ，得 ，所以 ， 所以 ，； （3） 设，则，， ， 其中，，∴， 当时，线段 取得最小值是． 10．如图，在矩形中，，，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起得到，当二面角的大小为时，点在平面上的射影为，当从运动到时，  （1）点所形成轨迹的长度是__________； （2）直线与平面所成角的正弦值的取值范围是__________； （3）线段的最小值是__________． 答案：（1）；（2）；（3）． 巩固训练B 1．（多项选择题）如图，在中，， ，，D为线段BC（端点除外）上一动点．现将沿线段 AD折起至，使二面角的大小为120°，则在点 D的移动过程中，下列说法正确的是 （ ） A．不存在点，使得 B．点在平面上的投影轨迹是一段圆弧 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 D．线段的最小值是 【答案】ABC 【分析】过点B作AD的垂线，交AD于点E，连接，，过点作BE的垂线，交BE于点H，进而证明平面 ABC，即在平面 ABC上的投影为点H，连接CH，假设,则 ，即可判断A；由 ，可判断点E的轨迹，进而判断B；连接AH,则与平面 ABC所成的角为，由相似可得 ，设 ，可得的范围,即可得 的范围,即可判断C；设 ，在中利用余弦定理求解，即可判断D. 【详解】过点B作AD的垂线，交AD于点E，连接，，过点作BE的垂线，交BE于点H． ，则 平面 ，所以为二面角的平面角的补角，即 ，所以，即 H为BE的中点． 平面平面，又 ，所以平面ABC，所以在平面ABC上的投影为点 H． 对于选项A，若，连接CH，则，而这是不可能成立的，故A正确； 对于选项D，设，则，， ， 其中，故，故D错误． 2．如图所示，已知平面四边形，，，，．沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是______． 【答案】 解：设直线与所成角为.设是中点，由已知得，如图所示，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，，，作于，翻折的过程中，始终与垂直，且的长度始终不变，，则，，因此可设， 则，与平行的单位向量为. 所以， 所以时，取最大值. 3．如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 解法一：若，此时，排除AC； 若，则，排除D.故选B. 解法二：设，设，则由题意，在空间图形中，设， 在中，， 在空间图形中，过作，过作，垂足分别为，， 过作，连结，∴， 则就是二面角的平面角，∴， 在中，，， 同理，，，故， 显然面，故， 在中，， 在中， 4．在中，是斜边上的点，以为棱把它折成直二面角，当 为最小时，是的 （ C ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．以上都不是 解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ. ∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝＝≥. ∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为. 5．如图，在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，则四面体的体积的最大值是 ． 【答案】 解：在中，因为，所以. 由余弦定理可得，所以.设，则，. 在中，由余弦定理可得 . 故. 在中，，. 由余弦定理可得， 所以. 过点作直线的垂线，垂足为.设，则， 即，解得.而的面积.设与平面所成角为，则点到平面的距离.故四面体的体积 ，当时等号成立，所以我们取. 设，因为，所以.则. 当时，有故. 此时，， 因为所以函数在上单调递减，故. 当时，有，故. 此时，， 由上述可知，函数在单调递减，故. 综上所述，四面体的体积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $