第二单元 包装盒——长方体和正方体（知识清单）数学青岛版五四制五年级上册（新教材）

第二单元 包装盒——长方体和正方体 单元知识清单讲义 【知识导图+知识梳理+典例精讲+培优练习】 知识导图 知识梳理 知识点1：长方体和正方体的基本特征 长方体和正方体都是立体图形，都由面、棱、顶点三部分组成，是本单元的基础知识点，二者既有共性也有区别。 1. 共同特征：都有6个面、12条棱、8个顶点；从一个方向观察，最多能同时看到3个面。 2. 长方体独有特征：6个面通常都是长方形，特殊情况有2个相对的面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形；相对的面完全相同（形状、大小一致）；12条棱分为3组，分别是4条长、4条宽、4条高，每组相对的棱长度相等。相交于同一个顶点的三条棱，分别叫做长方体的长、宽、高。 3. 正方体独有特征：6个面都是完全相同的正方形；12条棱的长度全部相等。 4. 二者关系：正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体就是正方体）。 知识点2：长方体和正方体的棱长总和计算 棱长总和是立体图形所有棱的长度之和，是解决框架、铁丝围图形问题的核心公式。 1. 长方体棱长总和公式：棱长总和 =（长 + 宽 + 高）×4，字母公式： 推导：长方体有4条长、4条宽、4条高，先求一组长、宽、高的和，再乘4即可。 2. 正方体棱长总和公式：棱长总和 = 棱长×12，字母公式： 推导：正方体12条棱长度全部相等，棱长乘12即为总长度。 易错点拨：已知棱长总和求边长时，长方体要先除以4，再拆分长、宽、高；正方体直接除以12即可。 知识点3：长方体和正方体的表面积 1. 定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积，常用于计算包装盒、铁皮、贴膜、粉刷面积等实际问题。 2. 长方体表面积公式：表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2，字母公式： 推导：长方体相对的面面积相等，上下面面积=长×宽、前后面面积=长×高、左右面面积=宽×高，三组面面积之和乘2即为总面积。 3. 正方体表面积公式：表面积 = 棱长×棱长×6，字母公式： 推导：正方体6个面是完全相同的正方形，单个面面积乘6即为总面积。 重点实际应用（高频考点）：生活中多数物体无需计算6个面面积，需要灵活取舍： ① 无盖鱼缸、抽屉、包装盒内侧：只算5个面（少一个上面）；② 通风管、烟囱：只算4个侧面（无上下底面）；③ 粉刷房间墙壁：算四周墙面+顶面，扣除门窗面积。 知识点4：长方体和正方体的体积 1. 定义：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。 2. 体积计算公式： ① 长方体体积：体积 = 长×宽×高，字母公式： ② 正方体体积：体积 = 棱长×棱长×棱长，字母公式：（读作a的立方，表示3个a相乘，注意与3a区分） ③ 通用体积公式：长方体、正方体体积都可以用 体积 = 底面积×高 计算，字母公式： 易错点拨：计算体积时，单位必须统一；≠3a，避免计算混淆。 知识点5：容积及容积、体积单位换算 1. 容积定义：容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积（只有空心容器才有容积，实心物体只有体积没有容积）。 2. 体积与容积的区别：体积是物体外部所占空间大小，容积是物体内部容纳空间大小；同一容器，体积大于容积（容器有厚度）。 3. 常用单位及进率： 体积单位：立方米（）、立方分米（）、立方厘米（） 容积单位：升（L）、毫升（mL） 单位换算：1立方米=1000立方分米、1立方分米=1000立方厘米；1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米、1升=1000毫升 易错点拨：大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率；计算容积时，需用容器内部的长、宽、高计算。 知识点6：拼接与切割图形的变式规律 1. 切割规律：把一个长方体/正方体切成若干个小立体图形，体积不变，表面积增加；每切1次，增加2个切面的面积。 2. 拼接规律：把多个小长方体/正方体拼成一个大立体图形，体积不变，表面积减少；每拼接1次，减少2个贴合面的面积。 3. 高频考点：多个正方体拼成长方体，拼接的面越多，表面积越小。 典例精讲 【典型例题】 计算下面图形的表面积和体积。 （1）    （2） 【答案】（1）150；125；（2）69；35 【分析】根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高 ）×2，长方体体积＝长×宽×高，代入数据即可求解。 【详解】（1）正方体表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（） 正方体体积： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（） （2）长方体表面积： （5×3.5＋5×2＋3.5×2）×2 ＝（17.5＋10＋7）×2 ＝34.5×2 ＝69（） 长方体体积： 5×3.5×2 ＝17.5×2 ＝35（） 【对应训练】 计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积：238平方厘米；体积：199立方厘米 【分析】由图可知，长方体的长、宽、高分别为9厘米、5厘米、3厘米；正方体的棱长为4厘米。 该图形的表面积是由正方体的4个侧面积（因为正方体和长方体重叠部分不计入在内）和长方体表面积组成。长方体的表面积公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），正方体4个面的面积为：S＝a×a×4（a为正方体的棱长），把数据分别代入公式计算后，再把结果相加即可得出该图形的表面积。 长方体的体积公式为V＝abh（a为长，b为宽，h为高），正方体的体积公式为V＝a×a×a（a为棱长），把数据分别代入公式计算后，再把结果相加即可得出该图形的体积。 【详解】（9×5＋9×3＋5×3）×2 ＝（45＋27＋15）×2 ＝（72＋15）×2 ＝87×2 ＝174（平方厘米） 4×4×4＝64（平方厘米） 表面积：174＋64＝238（平方厘米） 9×5×3＝135（立方厘米） 4×4×4＝64（立方厘米） 体积：135＋64＝199（立方厘米） 该图形的表面积是238平方厘米，体积是199立方厘米。 【典型例题】 要测量一块不规则的岩石标本的体积，灵灵先将1升水倒进如图的一个长方体水箱，量得水深8厘米，然后将岩石标本完全浸没在水中，这时水深13厘米。 (1)长方体水箱的底面积是多少平方厘米？ (2)请你求出岩石标本的体积。 【答案】(1)125平方厘米 (2)625立方厘米 【分析】（1）先把水的体积单位换算成立方厘米，再根据长方体体积公式V＝Sh，用水的体积除以水深，求出水箱的底面积。 （2）先用放入岩石后的水深减去原来的水深，求出水面上升的高度，再用底面积乘水面上升的高度，求出岩石标本的体积。 【详解】（1）1升＝1000立方厘米 1000÷8＝125（平方厘米） 答：长方体水箱的底面积是125平方厘米。 （2）125×（13－8） ＝125×5 ＝625（立方厘米） 答：岩石标本的体积是625立方厘米。 【对应训练】 测量一块不规则铁块的体积。 实验小组的同学先将6升水注入一个长方体水箱中，如图（1），然后将这块不规则的铁块放入长方体水箱中，如图（2）。先后测量得到的数据如图所示，请利用这些数据计算出不规则铁块的体积。 【答案】2400立方厘米 【分析】1升＝1000立方厘米；把6升化为立方厘米；再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；长×宽＝体积÷高，代入数据，先求出水箱的底面积，水面上升部分的体积就是这个不规则铁块的体积，再根据长方体体积公式，代入数据，求出铁块的体积。 【详解】6升＝6000立方厘米 6000÷10＝600（平方厘米） 600×（14－10） ＝600×4 ＝2400（立方厘米） 答：不规则铁块的体积是2400立方厘米。 【典型例题】 麻城特产店定制一款长方体有盖肉糕礼盒，礼盒长35厘米、宽35厘米、高20厘米。 (1)制作一个这样的礼盒，至少需要多少平方厘米的纸板？（接头处忽略不计） (2)如果纸板厚度忽略不计，这个礼盒的容积是多少立方厘米？ 【答案】(1)5250平方厘米 (2)24500立方厘米 【分析】（1）求制作礼盒需要的纸板面积，即求长方体的表面积，因为是有盖礼盒，所以需要计算6个面的面积之和；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值即可解答。 （2）求礼盒的容积，忽略纸板厚度，即求长方体的容积，根据长方体容积公式：体积＝长×宽×高，代入数值即可解答。 【详解】（1）（35×35＋35×20＋35×20）×2 ＝（1225＋700＋700）×2 ＝2625×2 ＝5250（平方厘米） 答：至少需要5250平方厘米的纸板。 （2）35×35×20 ＝1225×20 ＝24500（立方厘米） 答：这个礼盒的容积是24500立方厘米。 【对应训练】 一个长方体蓄水池，长30m、宽20m、深2.2m。 （1）这个蓄水池占地面积是多少平方米？ （2）池里的水离池口0.2m，池里一共蓄水多少立方米？ （3）如果在这个蓄水池的池底和四周铺上面积为0.25m2的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】（1）600平方米 （2）1200立方米 （3）3280块 【分析】（1）长方体蓄水池的占地面积即为长方体的底面积，用长×宽即30×20＝600（平方米），据此解答； （2）长方体容积的算法和体积相同，根据长方体的体积＝长×宽×高，池里的水离池口0.2m，即高度为2.2－0.2＝2（米），30×20×2＝1200（立方米），据此解答； （3）蓄水池的池底和四周铺上面积之和即为求无盖长方体的表面积，根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，即30×20＋30×2.2×2＋20×2.2×2＝820（平方米），再用总面积除以每块瓷砖的面积即可得到需要瓷砖的块数；据此解答。 【详解】（1）30×20＝600（平方米） 答：这个蓄水池占地面积是600平方米。 （2）2.2－0.2＝2（米） 30×20×2 ＝600×2 ＝1200（立方米） 答：池里一共蓄水1200立方米。 （3）30×20＋30×2.2×2＋20×2.2×2 ＝600＋132＋88 ＝820（平方米） 820÷0.25＝3280（块） 答：至少需要3280块这样的瓷砖。 【点睛】本题考查长方体体积、无盖长方体的表面积，学生需熟练掌握。 培优练习 一、填空题 1．快递驿站要搭建长方体货物摆放架，架子长3米，宽0.5米，且宽与高相等。搭建这个框架至少需要( )米钢材。 【答案】16 【分析】宽与高相等，则高＝0.5米，求搭建这个框架需要钢材的长度，就是求这个长方体货物摆放架的棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此解答。 【详解】高＝宽，高＝0.5米 （3＋0.5＋0.5）×4 ＝4×4 ＝16（米） 2．一个长方体鱼缸，从里面量长5dm、宽4dm、高3dm，这个鱼缸的容积是( )L，最多能装水约( )（1L水约重1kg）。 【答案】 60 60000 【分析】根据长方体容积公式：容积 长 宽 高，利用从里面量得的数据计算出鱼缸的容积，单位是立方分米（）。根据容积单位换算关系：，将立方分米换算成升。 水约重，计算出水的质量。，将千克换算成克。 【详解】5×4×3＝60（dm3） 60dm3＝60L 60×1＝60（kg） 60kg＝60000g 所以一个长方体鱼缸，从里面量长5dm、宽4dm、高3dm，这个鱼缸的容积是60L，最多能装水约60000g。 3．学校生命科学社团准备做一个长4dm、宽5dm、高3dm的昆虫箱。它的上、下、左、右面是木板，前、后两面装铁纱网。制作这样一个昆虫箱，至少需要木板( )，铁纱网( )。 【答案】 70 24 【分析】长方体中各个面的长和宽对应关系：上、下面面积为长乘宽，左、右面面积为宽乘高，前、后面面积为长乘高。题目要求计算木板和铁纱网的面积，需分别找出对应面的数量进行计算。木板是上、下、左、右共4个面，铁纱网是前、后共2个面。 【详解】木板面积： 铁纱网： 4．一块面积为3.5平方分米的长方形木板（如下图），竖直放置在桌面上，将它贴着桌面沿箭头方向平移3分米，它扫过的部分可以看作是一个( )，体积是( )立方分米。 【答案】 长方体 10.5 【分析】根据题意可知，把这块长方形木板竖直放置在桌面上，然后沿箭头方向平移3分米，它扫过的部分可以看作一个长方体；木板的面积就是这个长方体的底面积，平移的距离就是长方体的高，根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】由分析可知，它扫过的部分可以看作是一个长方体； 体积：3.5×3＝10.5（立方分米） 5．甜甜从一个长方体形状的纸盒上撕下两个相邻的面的一部分（展开后如图），这个纸盒的棱长总和至少是( )，体积至少是( ) 【答案】 64 126 【分析】长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体体积＝长×宽×高 【详解】（6＋3＋7）×4 ＝16×4 ＝64（） 6×3×7 ＝18×7 ＝126（） 6．( )        2.4t＝( )t( )kg ( )( )        55hm2( ) 【答案】 840 2 400 92 92 0.55 【分析】根据1＝1000，1t ＝1000kg，1L＝1，1L＝1000mL，1＝100 hm2，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中单名数换复名数，只换算小数部分即可。 【详解】0.84×1000＝840（），840cm3 0.4×1000＝400（kg），2.4t＝2t400kg 92000÷1000＝92（L）、92L＝92，92L＝92dm3 55÷100＝0.55（），55hm20.55 7．用一张铁皮制作了一个长10cm、宽4.5cm、高4cm的长方体盒子。制作这个长方体盒子至少用了( )cm2的铁皮，这个盒子的占地面积是( )cm2。 【答案】 206 45 【分析】求铁皮面积相当于求长方体表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；占地面积指的是底面积，底面积＝长×宽。 【详解】铁皮面积：（10×4.5＋10×4＋4.5×4）×2 ＝（45＋40＋18）×2 ＝103×2 ＝206（cm2） 占地面积：10×4.5＝45（cm2） 8．用一根100cm长的铁丝焊成一个长方体，这个长方体的长9cm，宽6cm，高是( )cm。 【答案】10 【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，据此列式计算。 【详解】100÷4－9－6 ＝25－9－6 ＝10（cm） 二、选择题 9．乐乐感冒了，医生给他开了抗病毒口服液（如图所示），这支口服液的净含量是（    ）。 A．1mL B．10mL C．1L D．10L 【答案】B 【分析】1毫升大约是十几滴水的量，非常少；1升大约是2瓶矿泉水的量，据此解答。 【详解】A．1mL：1mL的量非常少，大约只有几滴，不符合一支口服液的实际容量。 B．10mL：这是生活中常见的口服液单支净含量，符合实际情况。 C．1L：1L这个容量对于单支口服液来说过大，不符合实际。 D．10L：10L的容量更是远远超出了口服液的合理范围，完全不符合实际。 10．一个体积是60立方分米的长方体木块，从顶点处挖掉一个棱长为1分米的小正方体，长方体的（    ）。 A．表面积变小，体积变小 B．表面积变大，体积不变 C．表面积不变，体积变小 D．表面积不变，体积不变 【答案】C 【分析】从顶点挖掉一个小正方体，减少的是小正方体的三个面，但同时露出三个新的面，新露出的面和减少的面面积相等。所以表面积不变。体积减少了挖掉的小正方体的体积，所以体积变小。 【详解】根据分析，从顶点处挖掉小正方体，长方体的表面积不变，体积变小。 11．石匠爷爷手工凿了一个长1.2m、宽0.8m、厚0.2m的石板，这块石板的体积是（    ）m3。 A．0.16 B．0.24 C．0.96 D．0.192 【答案】D 【分析】本题考查长方体体积的计算。根据长方体体积公式：长方体体积长宽高，题干中石板的“厚”即为长方体的“高”。将题干给出的长、宽、厚的数据代入公式进行小数乘法计算，得出结果后与选项对比即可。 【详解】长方体石板的长是，宽是，厚（高）是。 这块石板的体积是。 12．按的方式摆放在桌面上，8个按这种方式摆放，有（    ）个面露在外面。 A．20 B．23 C．26 D．29 【答案】C 【分析】1个小正方体1个底面贴在桌面不露在外面，露在外面的有5个面；再增加一个正方体，2个小正方体并排有8个面露在外面；3个小正方体并排有11个面露在外面；每增加1个小正方体，露在外面的面就增加3个；据此总结规律：n个小正方体，有5＋3×（n－1）个面露在外面；据此进行解答即可。 【详解】将n＝8代入到5＋3×（n－1）进行计算： 5＋3×（8－1） ＝5＋3×7 ＝5＋21 ＝26（个） 13．在太空中，由于失重，普通杯子里的水会形成球状漂浮在空中。为了让身处太空的宇航员能够正常饮水并闻到液体的味道，科学家们发明了如图所示的杯子，这个杯子的容量大约是（    ）毫升。 A．5 B．30 C．200 D．1000 【答案】C 【分析】普通矿泉水瓶的容量大约是500毫升。一大瓶家庭装可乐的容量大约是1000毫升。生活中常用的普通水杯（如马克杯）容量大约是200毫升到300毫升。眼药水瓶或口服液瓶的容量大约是5毫升到10毫升。观察图片中的杯子，它看起来是一个标准的饮水杯形状，据此结合参考量分析每个选项是否符合题意。 【详解】A．5毫升非常少，通常只有眼药水或口服液才这么少。作为饮水杯，这个容量太小了，不符合常理，所以选项A不符合题意。 B．如果容量是30毫升，这大约只有几口水的量，通常用于小药杯或量杯，作为宇航员的饮水杯显得偏小，所以选项B不符合题意。 C．如果容量是200毫升，这与我们在地球上使用的普通水杯容量相当，符合宇航员正常饮水的需求，所以选项C符合题意。 D．1000毫升相当于一大瓶可乐的量。宇航员在太空中使用的杯子通常是为了方便饮用，不会像大瓶饮料那样巨大，且图片中的杯子看起来并没有那么大，所以选项D不符合题意。 因此，这个杯子的容量大约是200毫升。 14．手工课上，聪聪要制作一个规格为5dm×4dm×3dm的长方体模型，有下面几种尺寸的长方形木板各2块，需要选择哪几种尺寸的木板？（    ）。 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】长方体有6个面，分为3组完全相同的对面，每组对面的长和宽分别对应长方体的长、宽、高的两两组合。先明确长方体的长、宽、高，再找出对应的三组面的尺寸，最后与木板尺寸进行匹配。 【详解】长方体三组对面尺寸：5dm×4dm、4dm×3dm、5dm×3dm。 ①5dm×3dm：与长方体第三组对面尺寸一致； ②4dm×4dm：长方体无此尺寸的面； ③4dm×3dm：与长方体第二组对面尺寸一致； ④5dm×4dm：与长方体第一组对面尺寸一致。 需要选择的木板尺寸有①③④。 15．在我国古代法典中，《大明律》是第一部以吏、户、礼、兵、刑、工六部分篇体例编撰的成文律典。将下列展开图围成正方体后，“吏”与“礼”相对的有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】正方体展开的各个面中，在同一行的面中，相间隔的2个面是相对的面；不在同一行的面中，相间隔一行的2个面是相对的面；在Z字结构中，只能是间隔一行或者一列的2个面是相对的面，相对的面不能是间隔一行一列的2个面，依此去逐一判断选出正确选项。 【详解】图1：“吏”与“工”所在的面是相间隔一行的两个面，所以“吏”与“工”是相对的，“吏”不与“礼”相对； 图2：“吏”与“礼”所在的面是相间隔一行的两个面，所以“吏”与“礼”是相对的； 图3：“工”与“户”所在的面是相间隔一列的两个面，“工”与“户”是相对的；“吏”与“兵”所在的面是相间隔一行的两个面，所以“吏”与“兵”是相对的，“吏”不与“礼”相对； 图4：“工”与“刑”所在的面是相间隔一列的两个面，“工”与“刑”是相对的；“吏”与“兵”所在的面是相间隔一行的两个面，所以“吏”与“兵”是相对的，“吏”不与“礼”相对。 所以正确选项有1个，所以A选项是正确选项。 16．下面的例子，没有体现“度量一致性”这一核心思想的是（    ） A．用1°作单位，数出一个角包含45个1°，这个角就是45° B．用1dm作单位，数出一条线段包含6个1dm，这条线段就是6dm C．用作单位，数出一个长方体包含8个，它的体积就是 D．数出盘子里有5个苹果，得出苹果一共有5个 【答案】D 【分析】度量一致性是指确定一个量的大小，就是看它包含多少个标准单位，据此逐项分析。 【详解】A．角的度量是用作为标准单位，数出包含多少个，体现了度量一致性，此选项错误； B．长度的度量是用作为标准单位，数出包含多少个，体现了度量一致性，此选项错误； C．体积的度量是用作为标准单位，数出包含多少个，体现了度量一致性，此选项错误； D．数出盘子里有个苹果，是对离散物体进行计数，不是对连续量进行度量，没有体现度量一致性，此选项正确。 三、计算题 17．计算下列图形的表面积。（单位：cm） 【答案】（1）48cm2；（2）234cm2 【分析】（1）根据长方体展开图可知，长方体的长是5cm，宽是2cm，长方体的长＋高＝7cm，用7－2，求出长方体的高，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高） ×2，据此解答。 （2）根据图可知，挖去一个正方体，减少2个正方形的面积，同时加上4个正方形的面积，即多加2个正方形的面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方形面积＝边长×边长，据此解答。 【详解】（1）7－5＝2（cm） （5×2＋5×2＋2×2）×2 ＝（10＋10＋4）×2 ＝（20＋4）×2 ＝24×2 ＝48（cm2） （2）6×6×6＋3×3×2 ＝36×6＋9×2 ＝216＋18 ＝234（cm2） 18．计算下面立体图形的表面积和体积（单位：cm）。 【答案】122cm2；84cm3；150cm2；125cm3 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答。 【详解】长方体的表面积： （7×3＋7×4＋3×4）×2 ＝（21＋28＋12）×2 ＝61×2 ＝122（cm2） 长方体的体积： 7×3×4 ＝21×4 ＝84（cm3） 正方体的表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 正方体的体积： 5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm3） 19．如图是一个长方体的展开图，求该长方体的体积。 【答案】252cm 【分析】由长方体的展开图可知长方体的长是9cm，宽是7cm，一个长加2个高是17cm，由此求出宽，再根据长方体的体积等于长乘宽乘高计算即可。 【详解】（17－9）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 9×7×4＝252（cm） 四、解答题 20．活动小组准备用一块（如图）所示的长方形铁皮，制作一个无盖的长方体铁盒，活动步骤如下： 第一步：剪掉四个角上的所有涂色部分的正方形。（每个正方形都相同） 第二步：沿着虚线折起来，做成没有盖的长方体铁盒。 (1)把这个铁盒的外面涂上防腐漆，每平方厘米用0.5克防腐漆，至少需要准备多少克防腐漆？ (2)该铁盒能装多少立方厘米的物品？（铁皮厚度不计） 【答案】(1)350克 (2)1500立方厘米 【分析】（1）观察图形可知，这个铁盒所需铁皮的面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求出这个无盖铁盒的表面积；再用每平方厘米需防腐漆的质量乘这个无盖铁盒的表面积，即可求出至少需准备防腐漆的质量。 （2）这个无盖长方体纸盒的长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，高是5厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算即可求解。 【详解】（1）40×20－5×5×4 ＝800－100 ＝700（平方厘米） 0.5×700＝350（克） 答：至少需要准备350克防腐漆。 （2）40－5－5＝30（厘米） 20－5－5＝10（厘米） 30×10×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 答：该铁盒能装1500立方厘米的物品。 21．你知道吗？虽然一张A4复印纸看起来很薄，但它其实也是个长方体，也有体积。如果已知一包A4复印纸高5厘米，请你结合图中提供的信息，计算出一张A4复印纸的体积大约是多少立方厘米。（提示：为了方便计算，图上规格中的297毫米，我们按照300毫米计算） 【答案】6.3立方厘米 【分析】先根据1厘米＝10毫米，将毫米换算成厘米，再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，计算出整包纸总体积，最后用整包纸总体积除以纸张张数，求出一张A4复印纸的体积。 【详解】210毫米＝210÷10＝21厘米 300毫米＝300÷10＝30厘米 21×30×5 ＝630×5 ＝3150（立方厘米） 3150÷500＝6.3（立方厘米） 答：一张A4复印纸的体积大约是6.3立方厘米。 22．如下图礼盒用丝带捆扎起来，如果打结处需要用丝带30厘米，则捆扎这个礼盒至少需要多长的丝带？（单位：厘米） 【答案】710厘米 【分析】由题图可知，求丝带的长即为求长方体的长乘4加宽乘4加高乘4，再加上打结处的30厘米，即为捆扎这个礼盒至少需要多长的丝带。 【详解】80×4＋60×4＋30×4＋30 ＝320＋240＋120＋30 ＝560＋120＋30 ＝680＋30 ＝710（厘米） 答：捆扎这个礼盒至少需要710厘米的丝带。 23．笑笑从超市买来一些梨，想测量其中一个梨的体积，她找来一个长方体玻璃缸，从里面量得长是12厘米，宽是10厘米，高是15厘米。她先往缸中注入960毫升水，再将这个梨完全浸没在水中，这时量得水面高9.5厘米。这个梨的体积是多少立方厘米？ 【答案】180立方厘米 【分析】先根据“1毫升＝1立方厘米”把容积单位转化为体积单位，玻璃缸中原来水的高度＝水的体积÷玻璃缸的底面积，这个梨的体积等于放入梨后上升部分水的体积，上升部分水的体积＝玻璃缸的底面积×上升部分水的高度。 【详解】960毫升＝960立方厘米 960÷（12×10） ＝960÷120 ＝8（厘米） 12×10×（9.5－8） ＝12×10×1.5 ＝120×1.5 ＝180（立方厘米） 答：这个梨的体积是180立方厘米。 24．一间教室长是15米，宽是8米，高是3米，现在要用涂料粉刷它的四壁和房顶，扣除门窗和黑板的面积33平方米，需要粉刷的面积有多大？ 【答案】225平方米 【分析】教室可看作一个长方体，粉刷四壁和房顶，即计算长方体5个面的面积之和（不含地面），再减去门窗和黑板的面积。房顶面积＝长×宽，四壁面积＝（长×高＋宽×高）× 2，最后用总面积减去扣除面积即可解答。 【详解】15×8＋（15×3＋8×3）×2－33 ＝120＋（45＋24）×2－33 ＝120＋69×2－33 ＝120＋138－33 ＝258－33 ＝225（平方米） 答：需要粉刷的面积有225平方米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 包装盒——长方体和正方体 单元知识清单讲义 【知识导图+知识梳理+典例精讲+培优练习】 知识导图 知识梳理 知识点1：长方体和正方体的基本特征 长方体和正方体都是立体图形，都由面、棱、顶点三部分组成，是本单元的基础知识点，二者既有共性也有区别。 1. 共同特征：都有6个面、12条棱、8个顶点；从一个方向观察，最多能同时看到3个面。 2. 长方体独有特征：6个面通常都是长方形，特殊情况有2个相对的面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形；相对的面完全相同（形状、大小一致）；12条棱分为3组，分别是4条长、4条宽、4条高，每组相对的棱长度相等。相交于同一个顶点的三条棱，分别叫做长方体的长、宽、高。 3. 正方体独有特征：6个面都是完全相同的正方形；12条棱的长度全部相等。 4. 二者关系：正方体是特殊的长方体（长、宽、高都相等的长方体就是正方体）。 知识点2：长方体和正方体的棱长总和计算 棱长总和是立体图形所有棱的长度之和，是解决框架、铁丝围图形问题的核心公式。 1. 长方体棱长总和公式：棱长总和 =（长 + 宽 + 高）×4，字母公式： 推导：长方体有4条长、4条宽、4条高，先求一组长、宽、高的和，再乘4即可。 2. 正方体棱长总和公式：棱长总和 = 棱长×12，字母公式： 推导：正方体12条棱长度全部相等，棱长乘12即为总长度。 易错点拨：已知棱长总和求边长时，长方体要先除以4，再拆分长、宽、高；正方体直接除以12即可。 知识点3：长方体和正方体的表面积 1. 定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积，常用于计算包装盒、铁皮、贴膜、粉刷面积等实际问题。 2. 长方体表面积公式：表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2，字母公式： 推导：长方体相对的面面积相等，上下面面积=长×宽、前后面面积=长×高、左右面面积=宽×高，三组面面积之和乘2即为总面积。 3. 正方体表面积公式：表面积 = 棱长×棱长×6，字母公式： 推导：正方体6个面是完全相同的正方形，单个面面积乘6即为总面积。 重点实际应用（高频考点）：生活中多数物体无需计算6个面面积，需要灵活取舍： ① 无盖鱼缸、抽屉、包装盒内侧：只算5个面（少一个上面）；② 通风管、烟囱：只算4个侧面（无上下底面）；③ 粉刷房间墙壁：算四周墙面+顶面，扣除门窗面积。 知识点4：长方体和正方体的体积 1. 定义：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。 2. 体积计算公式： ① 长方体体积：体积 = 长×宽×高，字母公式： ② 正方体体积：体积 = 棱长×棱长×棱长，字母公式：（读作a的立方，表示3个a相乘，注意与3a区分） ③ 通用体积公式：长方体、正方体体积都可以用 体积 = 底面积×高 计算，字母公式： 易错点拨：计算体积时，单位必须统一；≠3a，避免计算混淆。 知识点5：容积及容积、体积单位换算 1. 容积定义：容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积（只有空心容器才有容积，实心物体只有体积没有容积）。 2. 体积与容积的区别：体积是物体外部所占空间大小，容积是物体内部容纳空间大小；同一容器，体积大于容积（容器有厚度）。 3. 常用单位及进率： 体积单位：立方米（）、立方分米（）、立方厘米（） 容积单位：升（L）、毫升（mL） 单位换算：1立方米=1000立方分米、1立方分米=1000立方厘米；1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米、1升=1000毫升 易错点拨：大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率；计算容积时，需用容器内部的长、宽、高计算。 知识点6：拼接与切割图形的变式规律 1. 切割规律：把一个长方体/正方体切成若干个小立体图形，体积不变，表面积增加；每切1次，增加2个切面的面积。 2. 拼接规律：把多个小长方体/正方体拼成一个大立体图形，体积不变，表面积减少；每拼接1次，减少2个贴合面的面积。 3. 高频考点：多个正方体拼成长方体，拼接的面越多，表面积越小。 典例精讲 【典型例题】 计算下面图形的表面积和体积。 （1）    （2） 【对应训练】 计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【典型例题】 要测量一块不规则的岩石标本的体积，灵灵先将1升水倒进如图的一个长方体水箱，量得水深8厘米，然后将岩石标本完全浸没在水中，这时水深13厘米。 (1)长方体水箱的底面积是多少平方厘米？ (2)请你求出岩石标本的体积。 【对应训练】 测量一块不规则铁块的体积。 实验小组的同学先将6升水注入一个长方体水箱中，如图（1），然后将这块不规则的铁块放入长方体水箱中，如图（2）。先后测量得到的数据如图所示，请利用这些数据计算出不规则铁块的体积。 【典型例题】 麻城特产店定制一款长方体有盖肉糕礼盒，礼盒长35厘米、宽35厘米、高20厘米。 (1)制作一个这样的礼盒，至少需要多少平方厘米的纸板？（接头处忽略不计） (2)如果纸板厚度忽略不计，这个礼盒的容积是多少立方厘米？ 【对应训练】 一个长方体蓄水池，长30m、宽20m、深2.2m。 （1）这个蓄水池占地面积是多少平方米？ （2）池里的水离池口0.2m，池里一共蓄水多少立方米？ （3）如果在这个蓄水池的池底和四周铺上面积为0.25m2的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 培优练习 一、填空题 1．快递驿站要搭建长方体货物摆放架，架子长3米，宽0.5米，且宽与高相等。搭建这个框架至少需要( )米钢材。 2．一个长方体鱼缸，从里面量长5dm、宽4dm、高3dm，这个鱼缸的容积是( )L，最多能装水约( )（1L水约重1kg）。 3．学校生命科学社团准备做一个长4dm、宽5dm、高3dm的昆虫箱。它的上、下、左、右面是木板，前、后两面装铁纱网。制作这样一个昆虫箱，至少需要木板( )，铁纱网( )。 4．一块面积为3.5平方分米的长方形木板（如下图），竖直放置在桌面上，将它贴着桌面沿箭头方向平移3分米，它扫过的部分可以看作是一个( )，体积是( )立方分米。 5．甜甜从一个长方体形状的纸盒上撕下两个相邻的面的一部分（展开后如图），这个纸盒的棱长总和至少是( )，体积至少是( ) 6．( )        2.4t＝( )t( )kg ( )( )        55hm2( ) 7．用一张铁皮制作了一个长10cm、宽4.5cm、高4cm的长方体盒子。制作这个长方体盒子至少用了( )cm2的铁皮，这个盒子的占地面积是( )cm2。 8．用一根100cm长的铁丝焊成一个长方体，这个长方体的长9cm，宽6cm，高是( )cm。 二、选择题 9．乐乐感冒了，医生给他开了抗病毒口服液（如图所示），这支口服液的净含量是（    ）。 A．1mL B．10mL C．1L D．10L 10．一个体积是60立方分米的长方体木块，从顶点处挖掉一个棱长为1分米的小正方体，长方体的（    ）。 A．表面积变小，体积变小 B．表面积变大，体积不变 C．表面积不变，体积变小 D．表面积不变，体积不变 11．石匠爷爷手工凿了一个长1.2m、宽0.8m、厚0.2m的石板，这块石板的体积是（    ）m3。 A．0.16 B．0.24 C．0.96 D．0.192 12．按的方式摆放在桌面上，8个按这种方式摆放，有（    ）个面露在外面。 A．20 B．23 C．26 D．29 13．在太空中，由于失重，普通杯子里的水会形成球状漂浮在空中。为了让身处太空的宇航员能够正常饮水并闻到液体的味道，科学家们发明了如图所示的杯子，这个杯子的容量大约是（    ）毫升。 A．5 B．30 C．200 D．1000 14．手工课上，聪聪要制作一个规格为5dm×4dm×3dm的长方体模型，有下面几种尺寸的长方形木板各2块，需要选择哪几种尺寸的木板？（    ）。 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 15．在我国古代法典中，《大明律》是第一部以吏、户、礼、兵、刑、工六部分篇体例编撰的成文律典。将下列展开图围成正方体后，“吏”与“礼”相对的有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．下面的例子，没有体现“度量一致性”这一核心思想的是（    ） A．用1°作单位，数出一个角包含45个1°，这个角就是45° B．用1dm作单位，数出一条线段包含6个1dm，这条线段就是6dm C．用作单位，数出一个长方体包含8个，它的体积就是 D．数出盘子里有5个苹果，得出苹果一共有5个 三、计算题 17．计算下列图形的表面积。（单位：cm） 18．计算下面立体图形的表面积和体积（单位：cm）。 19．如图是一个长方体的展开图，求该长方体的体积。 四、解答题 20．活动小组准备用一块（如图）所示的长方形铁皮，制作一个无盖的长方体铁盒，活动步骤如下： 第一步：剪掉四个角上的所有涂色部分的正方形。（每个正方形都相同） 第二步：沿着虚线折起来，做成没有盖的长方体铁盒。 (1)把这个铁盒的外面涂上防腐漆，每平方厘米用0.5克防腐漆，至少需要准备多少克防腐漆？ (2)该铁盒能装多少立方厘米的物品？（铁皮厚度不计） 21．你知道吗？虽然一张A4复印纸看起来很薄，但它其实也是个长方体，也有体积。如果已知一包A4复印纸高5厘米，请你结合图中提供的信息，计算出一张A4复印纸的体积大约是多少立方厘米。（提示：为了方便计算，图上规格中的297毫米，我们按照300毫米计算） 22．如下图礼盒用丝带捆扎起来，如果打结处需要用丝带30厘米，则捆扎这个礼盒至少需要多长的丝带？（单位：厘米） 23．笑笑从超市买来一些梨，想测量其中一个梨的体积，她找来一个长方体玻璃缸，从里面量得长是12厘米，宽是10厘米，高是15厘米。她先往缸中注入960毫升水，再将这个梨完全浸没在水中，这时量得水面高9.5厘米。这个梨的体积是多少立方厘米？ 24．一间教室长是15米，宽是8米，高是3米，现在要用涂料粉刷它的四壁和房顶，扣除门窗和黑板的面积33平方米，需要粉刷的面积有多大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $