第二章一元二次函数、方程和不等式训练卷（提升版）-2026年暑假预习高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学人教A版第二章同步练（提升版），通过基础理解、综合应用、创新拓展三层设计，实现从单一知识点到实际问题建模的递进，培养抽象能力、推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|命题判断、基本不等式求最值|单选1-5题聚焦概念辨析，强化运算能力| |综合应用|含参数不等式、恒成立问题|多选9-11题结合解集分析，培养推理意识| |创新拓展|实际情境建模、复杂不等式证明|解答题16题商家礼包问题，体现应用意识与数据观念|

高一数学人教A版第二章一元二次函数、方程和不等式训练卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽安庆·期中）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 5．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（25-26高一上·江西赣州·期末）设均为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为9 B．若，则的最小值为 C．的最小值为 D．若，则的最大值为 11．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）已知不等式的解集为或，则下列结论中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 13．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 14．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若关于x的不等式 的解集中恰好有两个整数，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）解答下列各题. (1)若，求的最小值； (2)若正数满足，求的最小值； (3)解关于的不等式:． 16．（25-26高一上·江苏扬州·期末）某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． (1)若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； (2)为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 17．（25-26高一上·河北保定·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 18．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 19．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）记关于的不等式的解集为. (1)①若或，求实数a，b的值； ②当且满足时，恒成立，求的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版第二章一元二次函数、方程和不等式训练卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质及利用特例对各项进行判断，从而求解． 【详解】对于A项：因为：，所以得：， 又因为：，所以得：，故A项错误； 对于B项：令，所以得：，但，故B项错误； 对于C项：若，则，所以C选项错误； 对于D项：由，得：， 所以得：，故D项正确. 故选：D. 2．（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：A 3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值. 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 4．（25-26高一上·安徽安庆·期中）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 5．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知在R上能成立，分类讨论参数，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，为真命题， 所以在R上能成立， 当，即时，在R上能成立，满足要求， 当，即时，的图象开口向上，满足要求， 当，即时，只需，则， 所以，即， 综上，. 故选：B 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先列出全称命题，根据其是真命题和二次函数的性质，分三种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，使得”为假命题， 所以命题“，使得”为真命题， 当时，在上恒成立，符合题意； 当对称轴时，即时，要使不等式成立，则， 化简得，解得，因为，所以； 当对称轴时，即时，要使不等式成立，则，解得， 而，所以此时无解； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 7．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件，对进行变形，利用基本不等式求出取最大值时的关系，再根据的关系求出的最大值. 【详解】因为正数满足， 所以， 设 ，则 ，， 所以， 令 ，则 ，且 ， ， 由基本不等式：， 当且仅当 时取等号， 联立 ，得 ， 即， 因为 则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. 8．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 10．（25-26高一上·江西赣州·期末）设均为正实数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的最小值为9 B．若，则的最小值为 C．的最小值为 D．若，则的最大值为 【答案】BC 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】对于A，因为均为正实数，则，解得：，即，当且仅当时等号成立，则的最小值为，故A不正确； 对于B,若，则，当时,取最小值为，故B正确； 对于C，令,则, 因为,当且仅当时等号成立， 则,当且仅当时取等号， 所以的最小值为,故C正确； 对于D，若，则, 所以 因为， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为，故D不正确. 故选：BC 11．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）已知不等式的解集为或，则下列结论中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项. 【详解】由题意不等式的解集为或，可知，故A正确； 且和5是方程的两个实数根， 由韦达定理可得，则； 对于选项B：不等式即为，解得， 所以不等式的解集是，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：不等式即为， 可得，解得或， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，再利用一元二次不等式在上恒成立得，从而可得实数的取值范围. 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得. 所以. 13．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的代换即可解答. 【详解】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 14．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若关于x的不等式 的解集中恰好有两个整数，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】构造二次函数，由分类确定不等式的另一个整数解，结合二次函数性质列出不等式组求解. 【详解】令函数，二次函数图象开口向上， 由，得是不等式的一个整数解， 又不等式的解集中恰好有两个整数，则或， 即或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）解答下列各题. (1)若，求的最小值； (2)若正数满足，求的最小值； (3)解关于的不等式:． 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为；当时，无解；当时，解集为 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）由结合基本不等式即可求解； （3）分情况讨论的取值即可. 【详解】（1）因为，由题 . 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为7. （2）由结合基本不等式可得： ， 又为正数，则 ，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （3）由，可得，令，解得或， 当时，有 ，的解集为两根之间，即 ； 当时，原不等式变为 ，无解； 当时，有 ，的解集为两根之间：. 综上：当时，解集为；当时，无解；当时，解集为 16．（25-26高一上·江苏扬州·期末）某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． (1)若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； (2)为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 【答案】(1)384 (2)存在， 【分析】（1）设B礼包共份，求出总成本建立不等式求解即可； （2）由题意，建立两个不等式，根据不等式恒成立求解，取交集即可得解. 【详解】（1）由题意知，B礼包共份，每份成本为元， 则， 整理得：，解得：， 因为，所以调整后的最大值是384. （2）假设存在实数满足要求， 由题意得：对恒成立．① 对恒成立．② 对于①，整理得：对恒成立， 所以且， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以； 对于②，整理得：对恒成立 所以且， 又因为，当时，，所以， 综上，，即存在满足条件，其取值集合为. 17．（25-26高一上·河北保定·期中）（1）已知，证明： ； （2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0. 【答案】 （1）因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 可得，当且仅当时，等号成立； 又因为， 即， 可得， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）若，则；若，则； （3）假设x，y，z中均小于0， 因为 ， 当且仅当时，等号成立， 这与相矛盾，假设不成立， 所以x，y，z中至少有一个不小于0. 【分析】（1）根据题意结合基本不等式分析证明即可； （2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断； （3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果. 【详解】（1）略 （2）因为， 且，则，，可得， 若，则，即； 若，则，即； （3）略 18．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 19．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）记关于的不等式的解集为. (1)①若或，求实数a，b的值； ②当且满足时，恒成立，求的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)①；②； (2)答案见解析. 【分析】（1）①由题可得1为方程的根，据此可得答案；②由①结合基本不等式可得答案； (2)分类讨论的不同取值，解不等式可得答案. 【详解】（1）①由题可得1为方程的根， 则. 则不等式可化为：， 解得或，即； ②由①可得，，恒成立. 而，当且仅当， 即时取等号， 则. （2）对于， 当，原不等式化为：； 当，. 若，. 若，则，则不等式解集为：； 若，原不等式化为：，解集为：； 若，则，则不等式解集为：； 若，， 因，则不等式解集为：或. 综上，时，解集为或；，解集为：； 若，解集为；若，解集为； 若，解集为：. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $