重难点专训07 关联速度与小船过河（福建专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以“模型分类+三步法”系统构建关联速度与小船过河解题体系，通过原理推导-模型应用-分层演练实现专项突破，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |研判·模型总结|4类绳模型、1类杆模型、3类小船问题|关联速度“标-分解-等”三步法；小船过河时间/位移/速度临界分析|从绳杆不可伸长特性推导关联速度原理，从运动合成与分解延伸小船过河三类问题| |模拟·基础演练|15题|单个物体/两个物体速度分解、最短时间过河|基础模型直接应用，强化原理理解| |重难·创新演练|15题|多物体系统速度关联、复杂水流渡河|综合模型变式拓展，提升问题解决能力|

重难点专训07 关联速度与小船过河 目 录 研判·模型总结 1 模拟·基础演练 4 重难·创新演练 16 研判·模型总结 关联速度绳/杆连接 关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。 绳、杆连接两物体速度关系： 第一步：“标”出两端. 第二步：“分解”沿绳、杆和垂直绳、杆分解. 第三步：“等”：沿绳、杆方向的速度相等列方程求解。 模型总结： 绳牵联模型 ①单个物体的绳子末端速度分解：如图所示，v⊥一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样v∥的大小就是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。 　 ，向左运行的过程中 ②两个物体的绳子末端速度分解：如图所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即。 向右拉小车, ③如图所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B的速度与A沿绳方向的分速度相等，即。 向上运动时. ④杆牵联模型 如图所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分速度大小相等，即。 小船过河问题 模型展示：小船在渡河时，同时参与了两个运动：一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相对水的运动。小船实际发生的运动是合运动，而这两个运动是分运动。一般涉及到三类问题：最短时间过河、最短距离过河和最小速度过河。设一条河宽为，船在静水中的速度（船本身的速度）为水流的速度为，下面讨论这三类问题。 ：相对于水的速度 ① ② ③ 注意：船的航行方向是指船头指向，即船本身速度方向，为分速度；而船的运动方向也就是船体的实际运动方向，是合速度，一般情况下与船头指向不一致。船头与河岸垂直，说明船在静水中速度与河岸垂直；行驶路线与河岸垂直，说明合速度与河岸垂直。 ①过河时间：只与小船自身速度相关，与水流速度无关. ②过河路程:实际轨迹，由船速和水速共同决定. Ⅰ:最短时间过河 由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即。由图可知，， 船的合速度为此时船渡河的位移， 位移方向满足。 Ⅱ：渡河位移最短问题 ①最短的位移为河宽，，此时渡河所用时间，船头与上游河岸夹角满足，如图所示。 ②若，如图丙所示，从出发点A开始作矢量，再以末端为圆心，以的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与上游河岸夹角满足，最短位移，而渡河所用时间仍用，计算。 ③以最小速度渡河，此类题目中通常实际航向与下游河岸夹角一定存在最小值，设为，要使最小，应使船头垂直于实际航行方向. 模拟·基础演练 1．一刚性杆AB，初始时紧靠在竖直墙面上静止放置，杆长为l，在其中点C处固定一个质量为m、大小不计的小球。在保证A端不脱离墙面的情况下，控制B端沿着水平地面以速度v向右匀速运动，A、B和O三点始终在同一竖直平面内。则（     ） A．当杆与地面成角时，小球的速度大小为 B．小球的竖直分速度为定值 C．当杆与地面成30°时，杆对小球的作用力大小为 D．从开始到杆与地面成30°的过程中，杆对小球做的功为 【答案】C 【详解】AB．将B端速度v沿杆方向和垂直于杆方向分解，根据刚性杆上各点沿杆方向分速度相等的特点，有 解得A端竖直向下的速度 小球C的速度等于A、B两端速度的矢量和的一半。建立直角坐标系，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则， 则小球C的合速度大小为，竖直分速度非定值，故AB错误； CD．当杆与地面成30°时，小球的速度 小球竖直方向的位移为 根据几何关系可知小球的水平速度等于，那么小球水平速度不变，说明小球水平不受力，那么杆对小球的力一定是竖直方向，由指向圆心的合外力提供向心力，即 解得 对小球，根据动能定理，可得 解得，故C正确，D错误。 故选C。 2．如图所示为拍电影时吊威亚的情景简化图。工作人员A向左运动，用绕过定滑轮的轻绳（不可伸长）将演员B竖直向上吊起。不计轻绳和定滑轮之间的摩擦，演员B沿竖直方向匀速上升的过程中，下列说法正确的是（     ） A．演员B的机械能不变 B．轻绳对定滑轮的作用力减小 C．工作人员A对地面的压力减小 D．工作人员A向左做加速运动 【答案】B 【详解】A．演员B匀速上升，其动能不变，但重力势能增加，所以演员B的机械能增大，故A错误； B．由分析可知，由于演员B匀速上升，受力平衡，所以轻绳的拉力大小始终等于演员B的重力，即 设两段轻绳间的夹角为，则有轻绳对定滑轮的作用力为 当工作人员A向左运动时，逐渐增大，则逐渐减小，所以轻绳对定滑轮的作用力会减小，故B正确； C．设轻绳与地面的夹角为，地面对工作人员A的支持力为，则对工作人员A进行受力分析，在竖直方向上有 解得 当工作人员A向左运动时，逐渐减小，则逐渐减小，由于和不变，所以地面对工作人员A的支持力增大。根据牛顿第三定律可知，工作人员A对地面的压力增大，故C错误； D．将工作人员A的速度沿绳方向和垂直绳方向进行正交分解，则沿绳方向的分速度等于B的速度，即 解得工作人员A的速度为 演员B匀速上升，其速度保持不变，当工作人员A向左运动时，逐渐减小，则逐渐增大，所以逐渐减小，即工作人员A向左做减速运动，故D错误。 故选B。 3．某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。ad杆的a点通过铰链固定在滑槽导轨中，d点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，bc杆的c点通过铰链固定在滑块上，b点通过铰链固定在ad杆上。某次关闭窗户的过程中，ad杆绕a点匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．点和点的速度大小可能相等 B．点的速度大小始终小于点的速度大小 C．点和点的加速度大小可能相等 D．点的加速度大小始终大于点的加速度大小 【答案】A 【详解】AB．b在ad杆上，速度方向垂直于ad杆；c在滑块上，速度沿水平滑槽方向。对杆bc，两端点沿杆方向的分速度大小相等。设ad与水平方向夹角为，bc与水平方向夹角为，由沿杆分速度相等，可得 关闭窗户过程中，、逐渐减小，当时，即时，有 说明b、c两点速度大小可能相等，不是点的速度大小始终小于点的速度大小。故A正确，B错误； CD．ad杆绕a点匀速转动，b、d都在ad杆上，二者角速度相同。匀速圆周运动的加速度为向心加速度，满足 转动半径的关系满足 因此恒成立，即点的加速度大小始终小于点的加速度大小，故CD错误。 故选A。 4．如图所示，匀质小球放置在斜面体与竖直墙壁间，斜面与竖直方向的夹角为，小球沿着墙壁下滑，斜面体沿着水平面向左运动。不计一切摩擦，某时刻小球与斜面、墙面未分离，小球的速度为，此时斜面体的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球的速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，有， 设斜面体的速度为v，将斜面体的速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，有， 由于小球和斜面体没有分离，所以垂直斜面方向的速度大小相等，也就是 整理有 解得 故选A。 5．某自动化生产线的物料托盘升降机构可简化为如图所示的联动装置，连杆OB、BC通过铰链（视为质点）连接于B点，连杆BC、滑块A（物料承载托盘）通过铰链（视为质点）连接于C点，连杆OB在竖直面内绕O点做圆周运动，可以使滑块A沿固定的竖直杆上下运动。已知连杆OB长为R，绕O点沿逆时针方向匀速转动的角速度为ω，设连杆BC与竖直方向的夹角为α时，BC杆与OB杆的夹角为β，则（　　） A．若连杆OB的长度不变，BC杆越长，滑块A上下运动的范围越大 B．当B点转到最低点时，滑块A的速度取最大值 C．当时，则滑块A的速度大小为ωR D．当时，则滑块A速度大小为ωR 【答案】C 【详解】A．杆OB转到最低点时，滑块A到O点的距离为；杆OB转到最高点时，滑块A到O点的距离为，故滑块A上下移动的范围为，与BC杆长无关，故A错误； B．当B点转到最低点时，速度水平向右，与杆夹角为， 有，则滑块A的速度，故B错误； C．若，由关联速度可得，则滑块A的速度为，故C正确； D．若，由关联速度可得，则滑块A的速度为，故D错误。 故选C。 6．如图所示，细线一端固定在天花板上，另一端连接在物块上，用水平铅笔与细线接触，开始铅笔上端细线竖直，现使铅笔以速度v水平向右匀速平移，运动中连接物块的细线始终水平，铅笔与铅笔两边细线所在竖直面始终垂直，当细线与竖直方向夹角为时，物块的速度大小（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对线与铅笔接触点的速度分解，当连接天花板的细线与竖直方向夹角为θ时， 线与铅笔接触点的速度沿倾斜绳方向的分速度大小等于vsinθ，此时物块的速度大小 故选B。 7．如图所示，半径为R的滑轮1可绕水平转轴O转动，直手柄AO固定在滑轮1上，手柄端点A到转轴O的距离为L。工人转动手柄，拉动纤绳牵引小船向岸边运动，纤绳跨过半径可忽略的滑轮2，且与滑轮间无相对滑动。当连接小船的纤绳与水平方向夹角为θ时，A点线速度大小为v0，此时船的速度v为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据线速度、角速度和半径间的关系，有 滑轮1边缘的速度为 根据速度的分解可得 故选A。 8．如图所示，质量为m、倾角为60°的斜面体放在水平面上，质量也为m的均质球夹在斜面和竖直墙面之间，水平外力作用在斜面体上，球和斜面体处于静止状态，斜面体对墙面的作用力为零，不计一切摩擦，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．水平外力的大小为 B．水平外力的大小为 C．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 D．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 【答案】C 【详解】AB．对斜面体受力分析，根据平衡条件，水平方向则有 解得，故AB错误； CD．撤去外力，球向下运动的过程中，设球的速度大小为，斜面体的速度大小为，根据运动的分解可得 解得，故C正确，D错误。 故选C。 9．在2026年央视春晚节目《追影》片段中，演员腾空而起，图为一演员表演简化图，工作人员甲拉着轻绳沿地面水平向左运动时，表演者乙在空中升起，不计轻绳和滑轮之间的摩擦，在乙匀速上升的过程中，下列说法正确的是（    ） A．乙的机械能守恒 B．甲需加速向左运动 C．悬绳对天花板的拉力大小不变 D．甲对地面的压力逐渐增大 【答案】D 【详解】A．乙匀速上升，动能不变，重力势能增加，根据机械能等于动能与重力势能之和可知，乙的机械能增加，故A错误； B．设绳子与水平方向的夹角为，将甲的速度沿绳子方向和垂直绳子方向分解，沿绳子方向的分速度等于乙的速度，即有 解得 甲向左运动过程中，减小，增大，而不变，所以减小，即甲做减速运动，故B错误； C．乙匀速上升，绳子拉力，甲向左运动，滑轮两侧的两股绳子的夹角增大，根据平行四边形定则，合力减小，即悬绳对滑轮的拉力减小，根据牛顿第三定律，滑轮对悬绳的拉力减小，故悬绳对天花板的拉力减小，故C错误； D．对甲，根据平衡条件，可知地面对甲的支持力 甲向左运动，减小，减小，T不变，则支持力增大，根据牛顿第三定律，甲对地面的压力逐渐增大，故D正确。 故选D。 10．如图所示，大圆环固定在竖直平面内，一根轻绳两端各系一个小球、（均可视为质点），轻绳跨过固定在大圆环顶端的小滑轮，为有孔小球套在光滑的大圆环上。开始时与大圆环圆心连线和竖直方向夹角为，已知的质量为，的质量为，大圆环半径为，重力加速度为，不计一切摩擦。由静止释放，当与大圆环圆心等高时，球的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与大圆环圆心等高时，根据关联速度有 由几何关系得球上升的高度为 对两球组成的系统，由系统机械能守恒有 解得 故选C。 11．如图所示，小船从河岸由静止出发过河，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对于静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸。已知船在运动过程中受到恒定的水的阻力，发动机牵引力随水流情况实时调整，下列说法正确的是（　　） A．若要保持航线垂直河岸且缩短过河时间，可适当增大α角并减小船速v B．船在过河过程中重力与浮力的合力始终为零，因此船的机械能守恒 C．船从出发点到对岸的整个运动过程中，合外力的总冲量为零 D．若水流速度增大，要保持航线垂直且准时到达，可适当减小α角并增大船速v 【答案】D 【详解】A．将船的运动分解为沿河岸方向和垂直河岸方向，则有， 则过河时间 若增大α角并减小船速v，则不一定增大，且减小，无法保持航线垂直河岸，故A错误； B．船在运动过程中，除了重力和浮力（合力为零）外，还受到水的阻力和发动机的牵引力。牵引力做正功，阻力做负功，且船从静止出发动能增加，机械能不守恒。 故B错误； C．船从静止出发，到达对岸时具有垂直河岸的速度，动量变化不为零，根据动量定理可知，合外力的总冲量不为零， 故C错误； D．若水流速度 增大时，需增大以平衡水流速度，减小α角并增大船速v，可以实现（航线垂直） 且增大可以保证准时到达河对岸，故D正确。 故选D。 12．某河水的流速与离某一侧河岸距离的变化关系如图1所示，船在静水中的速度与时间的关系如图2所示，该河宽为。假设渡河过程中船在河中任意位置沿河流方向的速度与河水流速相等，要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是（    ） A．船渡河的最短时间是150s B．船沿河流方向的位移为200m C．船沿河岸方向的加速度大小先增大后减小 D．船在河水中的最大速度是 【答案】B 【详解】A．最短渡河时间 ，故A错误； B．垂直河岸方向满足，因此离河岸距离与时间成正比，水流速度随的变化等价于随的变化； 沿河岸位移等于图像的面积，为三角形，面积，故B正确； C．前50s随线性增大，后50s随线性减小，加速度，大小始终恒定，故C错误； D．船速是水流速度和船静水速度的合速度，两个方向垂直，最大合速度出现在最大时：，故D错误。 故选B。 13．如图所示，两平行河岸的宽度为d=150m，水流速度大小为v1=5m/s，方向沿着河岸，一条小船从河岸的某点渡河到对岸，船在静水中的速度为v2大小恒定，船头与垂直河岸方向的夹角为30°时，小船相对河岸的速度大小为v，方向与垂直河岸方向的夹角为60°，下列说法正确的是（　　） A． B．v=5m/s C．小船渡河时间为20s D．小船渡河位移大小为300m 【答案】D 【详解】AB．把、分别沿着河岸和垂直河岸分解，则在垂直河岸方向有 沿着河岸方向有 联立解得，，故AB错误； CD．小船渡河位移大小为 渡河时间为，故C错误，D正确。 故选D。 14．如图所示，以岸边点为原点建立空间直角坐标系，轴沿河岸方向、轴垂直河岸方向、轴竖直向上。水速恒为，方向沿轴正向。时刻开始，某船保持船头始终朝向轴正方向运动至江心，船在方向上的初速度为零，加速度为。船在轴方向上的速度始终与水速相同。在时，船员相对船体以的速度将一个小石块垂直向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度取。求： （1）时船的位置坐标； （2）石块到达最高点时的位置坐标。    【答案】（1））；（2）（30m，70m，5m） 【详解】（1）x方向做匀速运动，则 解得沿y方向 解得时船的位置坐标为） （2）石块扔出瞬间，此时， 石块到达最高点的时间， 此时x方向，，，，， 石块到达最高点时的位置坐标（30m，70m，5m） 15．如图所示，一水平光滑长杆左端固定于竖直挡板，两个带孔小球A、B套在杆上，A球紧靠挡板，竖直细线一端连接B球，另一端绕过杆正上方的小定滑轮、悬挂小球C，整个装置处于静止状态，A、B球间距离为。现使A球从挡板处以初速度向右运动，此后A、B球发生弹性碰撞，A球碰后向左运动，与挡板碰撞后以相同速率被弹回，当B球第一次回到滑轮正下方时恰与A球又发生碰撞。已知A、B、C球质量分别为、、，定滑轮到水平杆的垂直距离为，且，碰撞时间均极短，重力加速度为，，。 (1)求第一次碰撞后瞬间A、B球的速度大小、； (2)从B球开始运动到细线与竖直方向夹角过程中拉力对B球做的功； (3)从A球开始运动到两球发生第次碰撞瞬间，拉力对C球的冲量大小。 【答案】(1)， (2) (3) 当为奇数， 当为偶数， 【详解】（1）A、B发生弹性碰撞，根据动量守恒 机械能守恒 ​​代入 解得 ，（“-”表示方向，速度大小，取正值） （2）B速度沿绳分量等于C的速度，当时， C上升距离 以B、C整体为研究对象，根据机械能守恒 代入、 解得， 对B应用动能定理，拉力做功等于B动能变化 解得 （3）B回到​正下方时，机械能守恒，B速度大小仍为，方向向左； A碰撞后向左运动，碰挡板弹回速率不变，总时间刚好和B回到原位置时间相等，发生第二次碰撞。 第二次碰撞前：A速度 ​向右，B速度向左， 弹性碰撞后解得：（向左），，C静止。 之后A弹回后向右运动到原碰撞位置，刚好第三次碰撞，回到初始碰撞状态，周期为2次碰撞。 碰撞均发生在正下方，碰撞瞬间C速度为0，A开始运动时C也静止，对C应用动量定理（向上为正） 可得拉力冲量 分情况讨论： 当为奇数，，代入得总时间 可得 当为偶数，，代入得总时间 可得 重难·创新演练 16．湘江水碧湘山绿，一艘船在横渡湘江，它在静水中的速度大小为，水流速度大小为，该船经时间航行到正对岸，则此处湘江两岸的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】船要到达正对岸，需调整航向使合速度方向垂直于河岸，即合速度的水平分量为零。设船在静水中的速度大小为，水流速度大小为，船头方向与垂直方向夹角为。船相对于水的速度水平分量（与水流反向）。水流速度（沿河岸方向）。合速度水平分量需为零 解得， 合速度垂直分量（即渡河速度） 渡河距离 故选 A。 17．如图所示，两平行河岸的间距为d，水稳定沿着河岸流动，一条小船从河岸渡到河对岸，船在静水中的速度（为已知量）指向河的上游与河岸的夹角为37°，船速（即合速度）（为未知量）指向河的下游与河岸的夹角也为37°，水流的速度（为未知量），，，下列说法正确的是（   ） A．船速 B．水速 C．小船被冲向下游的距离为 D．小船渡河的时间为 【答案】B 【详解】B．、、构成的矢量三角形如图所示 由几何关系可得， 解得，A错误，B正确； C．由几何关系可得小船被冲向下游的距离，C错误； D．小船渡河的位移s与同向，与河岸的夹角为37°，河宽为d，由几何关系可得 小船渡河的时间，D错误。 故选B。 18．一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短 B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大 C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大 D．图甲和图乙中小船均做曲线运动 【答案】A 【详解】A．由于图甲中比图乙中小船在垂直于河岸方向的分速度较大，所以图甲中比图乙中小船渡河的时间短，选项A正确； BC．根据运动的合成法则，图甲中比图乙中小船渡河的合速度小，因甲图中合速度与河岸的夹角较大，则合位移也小，选项B、C错误； D．图甲和图乙中小船两个方向的分运动都是匀速运动，可知合运动是匀速运动，即两船均做匀速直线运动，选项D错误。 故选A。 19．如图所示，地面上固定两根足够长的竖直杆，两杆间距为，一根长度的轻绳一端套在左杆上，另一端套在右杆上，一个光滑的动滑轮绕过轻绳，在动滑轮下面悬挂一个重物，再将轻绳左右两端分别以速度，沿竖直杆向上做匀速直线运动，则在图示位置时重物的速度为（　　） A．2m/s B． C． D． 【答案】B 【详解】将速度分解，则原题可以理解为绳子左端同时参与两个分运动，，其中左端速度和右端速度，使重物获得的速度为，方向竖直向上，左端另一个速度运动时，右端没有运动，如图所示 在时间内，左端上升的高度为，重物沿右端绳子上升的距离为，则由几何关系可知 可得重物沿右端绳子上升的速度为 所以重物同时参与两个分运动，竖直向上的，和沿右绳向上的，两个运动合成得到 又由几何关系可知 代入数据得 故选B。 20．如图，可视为质点的物块A、B用一不可伸长的轻绳连接，A穿在光滑竖直细杆上，细杆底部固定。轻绳跨过轻质光滑定滑轮。A、B的质量分别为，，定滑轮到杆的距离为，细绳长为。现让A从与定滑轮等高处由静止释放，不计一切摩擦、空气阻力及定滑轮大小，重力加速度为。关于A下落过程中的说法正确的是（　　） A．物块A的机械能一直增大 B．物块A的速度始终小于物块B的速度 C．物块A下落的最大距离为 D．物块A、B等高时物块B的速度大小为 【答案】C 【详解】A．由静止释放物块A，物块A向下运动的过程中，重力做正功，绳子的拉力做负功，物块A的机械能减小，故A错误； B．设物块A下滑的过程中绳与竖直方向的夹角为，则 所以，物块A的速度大于物块B的速度，当物块A的速度为零时，物块B的速度也为零，故B错误； C．当物块A的速度为零时，物块A的下落高度最大，此时物块B的速度也为0，设物块A下落的最大高度为，根据机械能守恒定律有 解得，故C正确； D．设物块A、B处于同一高度时定滑轮左侧细绳与水平方向所成的角为，根据几何关系有 又知， 联立解得 根据动能定理有 又知 联立解得，物块A、B等高时物块B的速度大小为，故D错误。 故选C。 21．图甲是某体能训练器械，图乙是简化示意图，不计绳子和滑轮的质量，忽略空气阻力和一切摩擦。训练者用手拉着绳子使末端Q水平向右匀速运动，直到弹簧恢复原长的过程中（   ） A．重物的速度增大 B．重物的速度减小 C．绳子拉力对重物做的功等于重物机械能的增加量 D．弹簧弹力对重物做的功等于重物机械能的增加量 【答案】A 【详解】AB． 设绳子末端的速度为，绳子与水平方向的夹角为。将点的速度沿绳子方向和垂直绳子方向分解，沿绳子方向的分速度即为绳子被拉出的速度，也就是重物上升的速度。根据运动的合成与分解可知 在点水平向右匀速运动的过程中，逐渐减小，逐渐增大，而不变，所以重物的速度逐渐增大，故A正确，B错误； CD．对重物进行受力分析，重物受到重力、绳子的拉力和弹簧的弹力。根据功能关系（除重力以外的其他力做的功等于物体机械能的变化量），有 其中为绳子拉力做的功，为弹簧弹力做的功，为重物机械能的增加量。在弹簧恢复原长的过程中，弹簧处于压缩状态并向上恢复，弹力方向向上，位移向上，所以弹簧弹力做正功，即 由上式可知 即绳子拉力对重物做的功小于重物机械能的增加量，同理， 由于拉力做正功 所以 即弹簧弹力对重物做的功小于重物机械能的增加量，故CD错误。 故选A。 22．如图所示，工人将长为5m的杆状货物从货箱里取出时，用机械装置控制着货物的A端沿着竖直的箱壁匀速上升，同时货物的B端在箱底的水平面上向左滑行。下列说法正确的是（   ） A．B端向左加速滑行 B．B端向左先加速滑行后减速滑行 C．时B端向左滑行的速度最大 D．当B端距离货箱左壁4m时，A、B两端的速度大小之比为3：4 【答案】A 【详解】ABC．根据沿杆方向的分速度大小相等可得 解得 θ逐渐减小的过程中，vB一直增大，B端向左加速滑行，A正确，BC错误； D．当B端距离货箱左壁4m时，则 可得 故A、B两端的速度大小之比为，D错误。 故选A。 23．如图所示，长杆水平固定，在杆O点正下方的Q点固定一光滑定滑轮，物块甲（可视为质点）套在长杆上，其下端用轻绳绕过定滑轮与物块乙相连。物块甲在水平外力的作用下从P点右侧以速度匀速向左运动，为运动过程中连接甲的轻绳与竖直方向的夹角，当物块甲运动到P点时为。下列说法正确的是（　　） A．物块甲运动到O点时，物块乙的速度不为0 B．物块甲运动到P点时，物块乙的速度大小为 C．物块甲运动到为的位置时，物块乙的速度大小为 D．物块甲从P点运动至O点的过程中，物块乙处于失重状态 【答案】B 【详解】A．物块甲、乙沿着绳方向的分速度大小是相等的，所以甲在O点时，，所以，故A错误。 B．甲运动到P点时， 所以，故B正确。 C．甲运动到为的位置时， 所以，故C错误。 D．根据公式有 其中是绳与竖直方向的夹角，物块甲从P运动到O的过程中，角度逐渐减小，所以物块乙的速度逐渐减小，物块乙向下做减速运动，加速度方向向上，所以处于超重状态，故D错误。 故选B。 24．如图所示，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着皮球（细绳延长线过球心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处以速度v匀速上升，某一时刻细绳与竖直方向夹角为θ，在球未离开墙面的过程中，下列说法正确的是（　　） A．该时刻玩具小车的速度为 B．该过程玩具小车做加速运动 C．该过程球对墙的压力逐渐变大 D．该过程绳对球的拉力逐渐减小 【答案】C 【详解】A．分解球的运动，如图所示 将球的速度v分解，可知沿绳方向的分速度（即绳子的速度）为 即该时刻玩具小车的速度为，故A错误； B．因球匀速上滑过程中θ增大，所以减小，故小车做减速运动，故B错误； CD．球受三力作用处于平衡状态，设球重为G，则绳对球的拉力大小T、球对墙的压力大小N分别为， 因球匀速上滑过程中θ增大，则T、N均增大，故C正确，D错误。 故选C。 25．（多选）图为简化后的纤夫拉船俯视图，甲、乙两人在河岸上，以恒定的速度平行河岸向右行走，通过不可伸长的轻绳拖船，船沿平行河岸方向行进。、、绳始终在同一水平面，、绳的夹角为且张力大小均为，则有（     ） A．船的速率为 B．船的速率为 C．绳对船的拉力大小为 D．绳对船的拉力大小为 【答案】AD 【详解】AB．甲、乙均以恒定速度沿河岸向右运动，绳子不可伸长，结点O随甲乙一起以向右运动，拉船的OP绳方向不变，船沿平行河岸方向行进，因此船的速率等于结点O的速率，大小为，故A正确，B错误； CD．AO、BO绳的张力大小均为，夹角为，根据力的平行四边形定则，两个大小相等、夹角为的力的合力为 该合力就是绳对船的总拉力大小，故C错误，D正确。 故选AD。 26．（多选）如图所示，细绳绕过定滑轮连接小球和小球，小球固定在轻质细杆的一端，细杆可绕轴自由转动，整个装置静止时，杆和绳与竖直方向的夹角均为。现施加外力抬高小球位置，使轻杆水平，（如图中虚线位置），然后由静止释放，不计一切摩擦，细绳足够长。则杆向下转动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球和小球的质量之比为 B．小球和小球的动能之和先增大后减小 C．图示位置时，小球和小球的速度之比为 D．图示位置时，小球和小球的重力功率之比为 【答案】AD 【详解】A．整个装置平衡时，对a球受力分析，如图所示 则有， 解得，故A正确； B．连接a球的杆为活杆，对a球作用力方向始终沿杆，与a球速度垂直，对a球不做功，所以对于a、b组成的系统机械能守恒。 b球上升重力势能增加量为 a球下降，重力势能减小量为 b球上升的高度即连接a端绳子的伸长量，如图则有 杆向下转动60°的过程中，减小， 由，系统重力势能一直在减小，则a、b动能之和一直在增大，故B错误； C．图示位置时，a球的速度与细杆垂直，b球的速度大小等于细绳斜向下拉的速度，由速度的分解可得 解得，故C错误； D．图示位置时，a球重力的功率 b球重力的功率 可得，故D正确。 故选AD。 27．（多选）一只小船渡河，船头方向始终垂直于河岸，水流速度各处相同且恒定不变。现小船相对于静水以初速度v0分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，可以判断（　　） A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同 B．小船沿AC轨迹渡河的时间最小 C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时的速率相同 D．小船沿轨迹运动到达河对岸时的速率最小 【答案】BD 【详解】A．小船沿三条不同轨迹渡河时，垂直河岸方向的位移相同，当垂直河岸方向做匀加速运动时用时间最短，匀减速运动时用时间最长，选项A错误； B．当小船垂直河岸做匀加速运动时，加速度指向河对岸，因加速度方向指向轨迹的凹向，可知AC为匀加速运动时的轨迹，即小船沿AC轨迹渡河的时间最小，选项B正确； C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时垂直河岸方向的速度不同，沿平行河岸方向的速度相同，可知合速度大小不同，即速率不相同，选项C错误； D．小船沿AD轨迹运动到达河对岸时，小船垂直河岸做匀减速运动，到达对岸时垂直河岸方向的速度最小，可知合速率最小，选项D正确。 故选BD。 28．（多选）船在静水中速度与时间的关系如图甲所示，河水流速与某河岸边的距离的变化关系如图乙所示，则（　　）    A．船渡河的最短时间50s B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船以最短时间渡河，船在河水中的最大速度是5m/s 【答案】BD 【详解】AB．当船在静水中速度与河岸垂直时，渡河时间是最短，最短时间为 故A错误，B正确； C．船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线，故C错误； D．船以最短时间渡河，即船在静水中速度与河岸垂直，船在河水中的最大速度是 故D正确。 故选BD。 29．如图甲所示，两质量均为m的光滑小球A、B（可视为质点），用长为L的轻杆连接。在水平向左的外力F的作用下保持静止，此时杆与水平方向的夹角为60°。已知重力加速度大小为g。 (1)求外力F的大小； (2)现将小球B推至墙角处后紧靠墙壁竖直立于水平面上（如图乙所示）。当A受到轻微扰动后由静止开始向右倾倒，两球始终在同一竖直平面内运动，求小球B即将离开墙壁时A距离地面的高度； (3)在第（2）问中若去除侧面墙壁（如图丙所示），小球A受到轻微扰动后，仍让其由图示初始位置由静止开始向右倾倒，B始终没有脱离地面。求当轻杆与水平方向的夹角为30°时，小球B的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）以小球A为研究对象，根据受力平衡关系 以AB整体为研究对象，水平方向受力平衡 解得 （2）设球B即将离开墙壁时，杆与水平方向夹角为θ，根据动能定理 B离开墙壁时，杆对小球没有作用力，对A球根据牛顿第二定律 联立解得 A距离地面的高度 （3）当轻杆与水平方向的夹角为30°时，设小球A水平和竖直方向的分速度分别为和，小球B的速度为 因小球A和B水平方向受合外力为零，则水平方向动量守恒 小球A、B组成的系统机械能守恒 小球A和小球B沿轻杆方向分速度相等 联立以上公式可得 30．如图甲为某曲柄连杆结构示意图，四根长度均为的细轻杆，用轻质铰链连成一个四边形OABC，O点固定在地面上，质量m1=2kg的物块P固定在B点，用轻绳经两定滑轮与物块Q相连。t=0时释放物块Q，使物块P带动B点由静止开始竖直向上做匀加速直线运动，t=1s时OABC恰好构成一个正方形，如图乙所示。此过程，轻杆对P物块始终无作用力。g取10m/s2，不计一切摩擦，求： (1)t=1s时B点的速度vB； (2)物块Q的质量m2； (3)t=1s时轻杆OA转动的角速度ω。 【答案】(1)，方向竖直向上。 (2) (3) 【详解】（1）根据几何关系可知，B点做匀加速直线运动的位移为 又因为 代入题中数据，联立解得 方向竖直向上。 （2）因为 解得 对物块Q有 对物块P有 联立解得 （3）分析可知 因为 联立解得 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训07 关联速度与小船过河 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A C B A C D C 题号 11 12 13 16 17 18 19 20 21 22 答案 D B D A B A B C A A 题号 23 24 25 26 27 28 答案 B C AD AD BD BD 模拟·基础演练 1．C 【详解】AB．将B端速度v沿杆方向和垂直于杆方向分解，根据刚性杆上各点沿杆方向分速度相等的特点，有 解得A端竖直向下的速度 小球C的速度等于A、B两端速度的矢量和的一半。建立直角坐标系，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则， 则小球C的合速度大小为，竖直分速度非定值，故AB错误； CD．当杆与地面成30°时，小球的速度 小球竖直方向的位移为 根据几何关系可知小球的水平速度等于，那么小球水平速度不变，说明小球水平不受力，那么杆对小球的力一定是竖直方向，由指向圆心的合外力提供向心力，即 解得 对小球，根据动能定理，可得 解得，故C正确，D错误。 故选C。 2．B 【详解】A．演员B匀速上升，其动能不变，但重力势能增加，所以演员B的机械能增大，故A错误； B．由分析可知，由于演员B匀速上升，受力平衡，所以轻绳的拉力大小始终等于演员B的重力，即 设两段轻绳间的夹角为，则有轻绳对定滑轮的作用力为 当工作人员A向左运动时，逐渐增大，则逐渐减小，所以轻绳对定滑轮的作用力会减小，故B正确； C．设轻绳与地面的夹角为，地面对工作人员A的支持力为，则对工作人员A进行受力分析，在竖直方向上有 解得 当工作人员A向左运动时，逐渐减小，则逐渐减小，由于和不变，所以地面对工作人员A的支持力增大。根据牛顿第三定律可知，工作人员A对地面的压力增大，故C错误； D．将工作人员A的速度沿绳方向和垂直绳方向进行正交分解，则沿绳方向的分速度等于B的速度，即 解得工作人员A的速度为 演员B匀速上升，其速度保持不变，当工作人员A向左运动时，逐渐减小，则逐渐增大，所以逐渐减小，即工作人员A向左做减速运动，故D错误。 故选B。 3．A 【详解】AB．b在ad杆上，速度方向垂直于ad杆；c在滑块上，速度沿水平滑槽方向。对杆bc，两端点沿杆方向的分速度大小相等。设ad与水平方向夹角为，bc与水平方向夹角为，由沿杆分速度相等，可得 关闭窗户过程中，、逐渐减小，当时，即时，有 说明b、c两点速度大小可能相等，不是点的速度大小始终小于点的速度大小。故A正确，B错误； CD．ad杆绕a点匀速转动，b、d都在ad杆上，二者角速度相同。匀速圆周运动的加速度为向心加速度，满足 转动半径的关系满足 因此恒成立，即点的加速度大小始终小于点的加速度大小，故CD错误。 故选A。 4．A 【详解】小球的速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，有， 设斜面体的速度为v，将斜面体的速度分解为垂直斜面方向和沿斜面方向，有， 由于小球和斜面体没有分离，所以垂直斜面方向的速度大小相等，也就是 整理有 解得 故选A。 5．C 【详解】A．杆OB转到最低点时，滑块A到O点的距离为；杆OB转到最高点时，滑块A到O点的距离为，故滑块A上下移动的范围为，与BC杆长无关，故A错误； B．当B点转到最低点时，速度水平向右，与杆夹角为， 有，则滑块A的速度，故B错误； C．若，由关联速度可得，则滑块A的速度为，故C正确； D．若，由关联速度可得，则滑块A的速度为，故D错误。 故选C。 6．B 【详解】对线与铅笔接触点的速度分解，当连接天花板的细线与竖直方向夹角为θ时， 线与铅笔接触点的速度沿倾斜绳方向的分速度大小等于vsinθ，此时物块的速度大小 故选B。 7．A 【详解】根据线速度、角速度和半径间的关系，有 滑轮1边缘的速度为 根据速度的分解可得 故选A。 8．C 【详解】AB．对斜面体受力分析，根据平衡条件，水平方向则有 解得，故AB错误； CD．撤去外力，球向下运动的过程中，设球的速度大小为，斜面体的速度大小为，根据运动的分解可得 解得，故C正确，D错误。 故选C。 9．D 【详解】A．乙匀速上升，动能不变，重力势能增加，根据机械能等于动能与重力势能之和可知，乙的机械能增加，故A错误； B．设绳子与水平方向的夹角为，将甲的速度沿绳子方向和垂直绳子方向分解，沿绳子方向的分速度等于乙的速度，即有 解得 甲向左运动过程中，减小，增大，而不变，所以减小，即甲做减速运动，故B错误； C．乙匀速上升，绳子拉力，甲向左运动，滑轮两侧的两股绳子的夹角增大，根据平行四边形定则，合力减小，即悬绳对滑轮的拉力减小，根据牛顿第三定律，滑轮对悬绳的拉力减小，故悬绳对天花板的拉力减小，故C错误； D．对甲，根据平衡条件，可知地面对甲的支持力 甲向左运动，减小，减小，T不变，则支持力增大，根据牛顿第三定律，甲对地面的压力逐渐增大，故D正确。 故选D。 10．C 【详解】与大圆环圆心等高时，根据关联速度有 由几何关系得球上升的高度为 对两球组成的系统，由系统机械能守恒有 解得 故选C。 11．D 【详解】A．将船的运动分解为沿河岸方向和垂直河岸方向，则有， 则过河时间 若增大α角并减小船速v，则不一定增大，且减小，无法保持航线垂直河岸，故A错误； B．船在运动过程中，除了重力和浮力（合力为零）外，还受到水的阻力和发动机的牵引力。牵引力做正功，阻力做负功，且船从静止出发动能增加，机械能不守恒。 故B错误； C．船从静止出发，到达对岸时具有垂直河岸的速度，动量变化不为零，根据动量定理可知，合外力的总冲量不为零， 故C错误； D．若水流速度 增大时，需增大以平衡水流速度，减小α角并增大船速v，可以实现（航线垂直） 且增大可以保证准时到达河对岸，故D正确。 故选D。 12．B 【详解】A．最短渡河时间 ，故A错误； B．垂直河岸方向满足，因此离河岸距离与时间成正比，水流速度随的变化等价于随的变化； 沿河岸位移等于图像的面积，为三角形，面积，故B正确； C．前50s随线性增大，后50s随线性减小，加速度，大小始终恒定，故C错误； D．船速是水流速度和船静水速度的合速度，两个方向垂直，最大合速度出现在最大时：，故D错误。 故选B。 13．D 【详解】AB．把、分别沿着河岸和垂直河岸分解，则在垂直河岸方向有 沿着河岸方向有 联立解得，，故AB错误； CD．小船渡河位移大小为 渡河时间为，故C错误，D正确。 故选D。 14．（1））；（2）（30m，70m，5m） 【详解】（1）x方向做匀速运动，则 解得沿y方向解得时船的位置坐标为） （2）石块扔出瞬间，此时， 石块到达最高点的时间， 此时x方向，，，，， 石块到达最高点时的位置坐标（30m，70m，5m） 15．(1)， (2) (3) 当为奇数， 当为偶数， 【详解】（1）A、B发生弹性碰撞，根据动量守恒 机械能守恒 ​​代入 解得 ，（“-”表示方向，速度大小，取正值） （2）B速度沿绳分量等于C的速度，当时， C上升距离 以B、C整体为研究对象，根据机械能守恒 代入、 解得， 对B应用动能定理，拉力做功等于B动能变化 解得 （3）B回到​正下方时，机械能守恒，B速度大小仍为，方向向左； A碰撞后向左运动，碰挡板弹回速率不变，总时间刚好和B回到原位置时间相等，发生第二次碰撞。 第二次碰撞前：A速度 ​向右，B速度向左， 弹性碰撞后解得：（向左），，C静止。 之后A弹回后向右运动到原碰撞位置，刚好第三次碰撞，回到初始碰撞状态，周期为2次碰撞。 碰撞均发生在正下方，碰撞瞬间C速度为0，A开始运动时C也静止，对C应用动量定理（向上为正） 可得拉力冲量 分情况讨论： 当为奇数，，代入得总时间 可得 当为偶数，，代入得总时间 可得 重难·创新演练 16．A 【详解】船要到达正对岸，需调整航向使合速度方向垂直于河岸，即合速度的水平分量为零。设船在静水中的速度大小为，水流速度大小为，船头方向与垂直方向夹角为。船相对于水的速度水平分量（与水流反向）。水流速度（沿河岸方向）。合速度水平分量需为零 解得， 合速度垂直分量（即渡河速度） 渡河距离 故选 A。 17．B 【详解】B．、、构成的矢量三角形如图所示 由几何关系可得， 解得，A错误，B正确； C．由几何关系可得小船被冲向下游的距离，C错误； D．小船渡河的位移s与同向，与河岸的夹角为37°，河宽为d，由几何关系可得 小船渡河的时间，D错误。 故选B。 18．A 【详解】A．由于图甲中比图乙中小船在垂直于河岸方向的分速度较大，所以图甲中比图乙中小船渡河的时间短，选项A正确； BC．根据运动的合成法则，图甲中比图乙中小船渡河的合速度小，因甲图中合速度与河岸的夹角较大，则合位移也小，选项B、C错误； D．图甲和图乙中小船两个方向的分运动都是匀速运动，可知合运动是匀速运动，即两船均做匀速直线运动，选项D错误。 故选A。 19．B 【详解】将速度分解，则原题可以理解为绳子左端同时参与两个分运动，，其中左端速度和右端速度，使重物获得的速度为，方向竖直向上，左端另一个速度运动时，右端没有运动，如图所示 在时间内，左端上升的高度为，重物沿右端绳子上升的距离为，则由几何关系可知 可得重物沿右端绳子上升的速度为 所以重物同时参与两个分运动，竖直向上的，和沿右绳向上的，两个运动合成得到 又由几何关系可知 代入数据得 故选B。 20．C 【详解】A．由静止释放物块A，物块A向下运动的过程中，重力做正功，绳子的拉力做负功，物块A的机械能减小，故A错误； B．设物块A下滑的过程中绳与竖直方向的夹角为，则 所以，物块A的速度大于物块B的速度，当物块A的速度为零时，物块B的速度也为零，故B错误； C．当物块A的速度为零时，物块A的下落高度最大，此时物块B的速度也为0，设物块A下落的最大高度为，根据机械能守恒定律有 解得，故C正确； D．设物块A、B处于同一高度时定滑轮左侧细绳与水平方向所成的角为，根据几何关系有 又知， 联立解得 根据动能定理有 又知 联立解得，物块A、B等高时物块B的速度大小为，故D错误。 故选C。 21．A 【详解】AB． 设绳子末端的速度为，绳子与水平方向的夹角为。将点的速度沿绳子方向和垂直绳子方向分解，沿绳子方向的分速度即为绳子被拉出的速度，也就是重物上升的速度。根据运动的合成与分解可知 在点水平向右匀速运动的过程中，逐渐减小，逐渐增大，而不变，所以重物的速度逐渐增大，故A正确，B错误； CD．对重物进行受力分析，重物受到重力、绳子的拉力和弹簧的弹力。根据功能关系（除重力以外的其他力做的功等于物体机械能的变化量），有 其中为绳子拉力做的功，为弹簧弹力做的功，为重物机械能的增加量。在弹簧恢复原长的过程中，弹簧处于压缩状态并向上恢复，弹力方向向上，位移向上，所以弹簧弹力做正功，即 由上式可知 即绳子拉力对重物做的功小于重物机械能的增加量，同理， 由于拉力做正功 所以 即弹簧弹力对重物做的功小于重物机械能的增加量，故CD错误。 故选A。 22．A 【详解】ABC．根据沿杆方向的分速度大小相等可得 解得 θ逐渐减小的过程中，vB一直增大，B端向左加速滑行，A正确，BC错误； D．当B端距离货箱左壁4m时，则 可得 故A、B两端的速度大小之比为，D错误。 故选A。 23．B 【详解】A．物块甲、乙沿着绳方向的分速度大小是相等的，所以甲在O点时，，所以，故A错误。 B．甲运动到P点时， 所以，故B正确。 C．甲运动到为的位置时， 所以，故C错误。 D．根据公式有 其中是绳与竖直方向的夹角，物块甲从P运动到O的过程中，角度逐渐减小，所以物块乙的速度逐渐减小，物块乙向下做减速运动，加速度方向向上，所以处于超重状态，故D错误。 故选B。 24．C 【详解】A．分解球的运动，如图所示 将球的速度v分解，可知沿绳方向的分速度（即绳子的速度）为 即该时刻玩具小车的速度为，故A错误； B．因球匀速上滑过程中θ增大，所以减小，故小车做减速运动，故B错误； CD．球受三力作用处于平衡状态，设球重为G，则绳对球的拉力大小T、球对墙的压力大小N分别为， 因球匀速上滑过程中θ增大，则T、N均增大，故C正确，D错误。 故选C。 25．AD 【详解】AB．甲、乙均以恒定速度沿河岸向右运动，绳子不可伸长，结点O随甲乙一起以向右运动，拉船的OP绳方向不变，船沿平行河岸方向行进，因此船的速率等于结点O的速率，大小为，故A正确，B错误； CD．AO、BO绳的张力大小均为，夹角为，根据力的平行四边形定则，两个大小相等、夹角为的力的合力为 该合力就是绳对船的总拉力大小，故C错误，D正确。 故选AD。 26．AD 【详解】A．整个装置平衡时，对a球受力分析，如图所示 则有， 解得，故A正确； B．连接a球的杆为活杆，对a球作用力方向始终沿杆，与a球速度垂直，对a球不做功，所以对于a、b组成的系统机械能守恒。 b球上升重力势能增加量为 a球下降，重力势能减小量为 b球上升的高度即连接a端绳子的伸长量，如图则有 杆向下转动60°的过程中，减小， 由，系统重力势能一直在减小，则a、b动能之和一直在增大，故B错误； C．图示位置时，a球的速度与细杆垂直，b球的速度大小等于细绳斜向下拉的速度，由速度的分解可得 解得，故C错误； D．图示位置时，a球重力的功率 b球重力的功率 可得，故D正确。 故选AD。 27．BD 【详解】A．小船沿三条不同轨迹渡河时，垂直河岸方向的位移相同，当垂直河岸方向做匀加速运动时用时间最短，匀减速运动时用时间最长，选项A错误； B．当小船垂直河岸做匀加速运动时，加速度指向河对岸，因加速度方向指向轨迹的凹向，可知AC为匀加速运动时的轨迹，即小船沿AC轨迹渡河的时间最小，选项B正确； C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时垂直河岸方向的速度不同，沿平行河岸方向的速度相同，可知合速度大小不同，即速率不相同，选项C错误； D．小船沿AD轨迹运动到达河对岸时，小船垂直河岸做匀减速运动，到达对岸时垂直河岸方向的速度最小，可知合速率最小，选项D正确。 故选BD。 28．BD 【详解】AB．当船在静水中速度与河岸垂直时，渡河时间是最短，最短时间为 故A错误，B正确； C．船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线，故C错误； D．船以最短时间渡河，即船在静水中速度与河岸垂直，船在河水中的最大速度是 故D正确。 故选BD。 29．(1) (2) (3) 【详解】（1）以小球A为研究对象，根据受力平衡关系 以AB整体为研究对象，水平方向受力平衡 解得 （2）设球B即将离开墙壁时，杆与水平方向夹角为θ，根据动能定理 B离开墙壁时，杆对小球没有作用力，对A球根据牛顿第二定律 联立解得 A距离地面的高度 （3）当轻杆与水平方向的夹角为30°时，设小球A水平和竖直方向的分速度分别为和，小球B的速度为 因小球A和B水平方向受合外力为零，则水平方向动量守恒 小球A、B组成的系统机械能守恒 小球A和小球B沿轻杆方向分速度相等 联立以上公式可得 30．(1)，方向竖直向上。 (2) (3) 【详解】（1）根据几何关系可知，B点做匀加速直线运动的位移为 又因为 代入题中数据，联立解得 方向竖直向上。 （2）因为 解得 对物块Q有 对物块P有 联立解得 （3）分析可知 因为 联立解得 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训07 关联速度与小船过河 目 录 研判·模型总结 1 模拟·基础演练 4 重难·创新演练 10 研判·模型总结 关联速度绳/杆连接 关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。 绳、杆连接两物体速度关系： 第一步：“标”出两端. 第二步：“分解”沿绳、杆和垂直绳、杆分解. 第三步：“等”：沿绳、杆方向的速度相等列方程求解。 模型总结： 绳牵联模型 ①单个物体的绳子末端速度分解：如图所示，v⊥一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样v∥的大小就是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。 　 ，向左运行的过程中 ②两个物体的绳子末端速度分解：如图所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即。 向右拉小车, ③如图所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B的速度与A沿绳方向的分速度相等，即。 向上运动时. ④杆牵联模型 如图所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分速度大小相等，即。 小船过河问题 模型展示：小船在渡河时，同时参与了两个运动：一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相对水的运动。小船实际发生的运动是合运动，而这两个运动是分运动。一般涉及到三类问题：最短时间过河、最短距离过河和最小速度过河。设一条河宽为，船在静水中的速度（船本身的速度）为水流的速度为，下面讨论这三类问题。 ：相对于水的速度 ① ② ③ 注意：船的航行方向是指船头指向，即船本身速度方向，为分速度；而船的运动方向也就是船体的实际运动方向，是合速度，一般情况下与船头指向不一致。船头与河岸垂直，说明船在静水中速度与河岸垂直；行驶路线与河岸垂直，说明合速度与河岸垂直。 ①过河时间：只与小船自身速度相关，与水流速度无关. ②过河路程:实际轨迹，由船速和水速共同决定. Ⅰ:最短时间过河 由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即。由图可知，， 船的合速度为此时船渡河的位移， 位移方向满足。 Ⅱ：渡河位移最短问题 ①最短的位移为河宽，，此时渡河所用时间，船头与上游河岸夹角满足，如图所示。 ②若，如图丙所示，从出发点A开始作矢量，再以末端为圆心，以的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与上游河岸夹角满足，最短位移，而渡河所用时间仍用，计算。 ③以最小速度渡河，此类题目中通常实际航向与下游河岸夹角一定存在最小值，设为，要使最小，应使船头垂直于实际航行方向. 模拟·基础演练 1．一刚性杆AB，初始时紧靠在竖直墙面上静止放置，杆长为l，在其中点C处固定一个质量为m、大小不计的小球。在保证A端不脱离墙面的情况下，控制B端沿着水平地面以速度v向右匀速运动，A、B和O三点始终在同一竖直平面内。则（     ） A．当杆与地面成角时，小球的速度大小为 B．小球的竖直分速度为定值 C．当杆与地面成30°时，杆对小球的作用力大小为 D．从开始到杆与地面成30°的过程中，杆对小球做的功为 2．如图所示为拍电影时吊威亚的情景简化图。工作人员A向左运动，用绕过定滑轮的轻绳（不可伸长）将演员B竖直向上吊起。不计轻绳和定滑轮之间的摩擦，演员B沿竖直方向匀速上升的过程中，下列说法正确的是（     ） A．演员B的机械能不变 B．轻绳对定滑轮的作用力减小 C．工作人员A对地面的压力减小 D．工作人员A向左做加速运动 3．某种窗户支架如图甲所示，其工作原理简化图如图乙所示。ad杆的a点通过铰链固定在滑槽导轨中，d点通过铰链固定在窗户底面，滑块可在滑槽导轨中自由滑动，bc杆的c点通过铰链固定在滑块上，b点通过铰链固定在ad杆上。某次关闭窗户的过程中，ad杆绕a点匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．点和点的速度大小可能相等 B．点的速度大小始终小于点的速度大小 C．点和点的加速度大小可能相等 D．点的加速度大小始终大于点的加速度大小 4．如图所示，匀质小球放置在斜面体与竖直墙壁间，斜面与竖直方向的夹角为，小球沿着墙壁下滑，斜面体沿着水平面向左运动。不计一切摩擦，某时刻小球与斜面、墙面未分离，小球的速度为，此时斜面体的速度大小为（　　） A． B． C． D． 5．某自动化生产线的物料托盘升降机构可简化为如图所示的联动装置，连杆OB、BC通过铰链（视为质点）连接于B点，连杆BC、滑块A（物料承载托盘）通过铰链（视为质点）连接于C点，连杆OB在竖直面内绕O点做圆周运动，可以使滑块A沿固定的竖直杆上下运动。已知连杆OB长为R，绕O点沿逆时针方向匀速转动的角速度为ω，设连杆BC与竖直方向的夹角为α时，BC杆与OB杆的夹角为β，则（　　） A．若连杆OB的长度不变，BC杆越长，滑块A上下运动的范围越大 B．当B点转到最低点时，滑块A的速度取最大值 C．当时，则滑块A的速度大小为ωR D．当时，则滑块A速度大小为ωR 6．如图所示，细线一端固定在天花板上，另一端连接在物块上，用水平铅笔与细线接触，开始铅笔上端细线竖直，现使铅笔以速度v水平向右匀速平移，运动中连接物块的细线始终水平，铅笔与铅笔两边细线所在竖直面始终垂直，当细线与竖直方向夹角为时，物块的速度大小（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，半径为R的滑轮1可绕水平转轴O转动，直手柄AO固定在滑轮1上，手柄端点A到转轴O的距离为L。工人转动手柄，拉动纤绳牵引小船向岸边运动，纤绳跨过半径可忽略的滑轮2，且与滑轮间无相对滑动。当连接小船的纤绳与水平方向夹角为θ时，A点线速度大小为v0，此时船的速度v为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，质量为m、倾角为60°的斜面体放在水平面上，质量也为m的均质球夹在斜面和竖直墙面之间，水平外力作用在斜面体上，球和斜面体处于静止状态，斜面体对墙面的作用力为零，不计一切摩擦，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．水平外力的大小为 B．水平外力的大小为 C．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 D．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 9．在2026年央视春晚节目《追影》片段中，演员腾空而起，图为一演员表演简化图，工作人员甲拉着轻绳沿地面水平向左运动时，表演者乙在空中升起，不计轻绳和滑轮之间的摩擦，在乙匀速上升的过程中，下列说法正确的是（    ） A．乙的机械能守恒 B．甲需加速向左运动 C．悬绳对天花板的拉力大小不变 D．甲对地面的压力逐渐增大 10．如图所示，大圆环固定在竖直平面内，一根轻绳两端各系一个小球、（均可视为质点），轻绳跨过固定在大圆环顶端的小滑轮，为有孔小球套在光滑的大圆环上。开始时与大圆环圆心连线和竖直方向夹角为，已知的质量为，的质量为，大圆环半径为，重力加速度为，不计一切摩擦。由静止释放，当与大圆环圆心等高时，球的速度大小为（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，小船从河岸由静止出发过河，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对于静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸。已知船在运动过程中受到恒定的水的阻力，发动机牵引力随水流情况实时调整，下列说法正确的是（　　） A．若要保持航线垂直河岸且缩短过河时间，可适当增大α角并减小船速v B．船在过河过程中重力与浮力的合力始终为零，因此船的机械能守恒 C．船从出发点到对岸的整个运动过程中，合外力的总冲量为零 D．若水流速度增大，要保持航线垂直且准时到达，可适当减小α角并增大船速v 12．某河水的流速与离某一侧河岸距离的变化关系如图1所示，船在静水中的速度与时间的关系如图2所示，该河宽为。假设渡河过程中船在河中任意位置沿河流方向的速度与河水流速相等，要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是（    ） A．船渡河的最短时间是150s B．船沿河流方向的位移为200m C．船沿河岸方向的加速度大小先增大后减小 D．船在河水中的最大速度是 13．如图所示，两平行河岸的宽度为d=150m，水流速度大小为v1=5m/s，方向沿着河岸，一条小船从河岸的某点渡河到对岸，船在静水中的速度为v2大小恒定，船头与垂直河岸方向的夹角为30°时，小船相对河岸的速度大小为v，方向与垂直河岸方向的夹角为60°，下列说法正确的是（　　） A． B．v=5m/s C．小船渡河时间为20s D．小船渡河位移大小为300m 14．如图所示，以岸边点为原点建立空间直角坐标系，轴沿河岸方向、轴垂直河岸方向、轴竖直向上。水速恒为，方向沿轴正向。时刻开始，某船保持船头始终朝向轴正方向运动至江心，船在方向上的初速度为零，加速度为。船在轴方向上的速度始终与水速相同。在时，船员相对船体以的速度将一个小石块垂直向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度取。求： （1）时船的位置坐标； （2）石块到达最高点时的位置坐标。    15．如图所示，一水平光滑长杆左端固定于竖直挡板，两个带孔小球A、B套在杆上，A球紧靠挡板，竖直细线一端连接B球，另一端绕过杆正上方的小定滑轮、悬挂小球C，整个装置处于静止状态，A、B球间距离为。现使A球从挡板处以初速度向右运动，此后A、B球发生弹性碰撞，A球碰后向左运动，与挡板碰撞后以相同速率被弹回，当B球第一次回到滑轮正下方时恰与A球又发生碰撞。已知A、B、C球质量分别为、、，定滑轮到水平杆的垂直距离为，且，碰撞时间均极短，重力加速度为，，。 (1)求第一次碰撞后瞬间A、B球的速度大小、； (2)从B球开始运动到细线与竖直方向夹角过程中拉力对B球做的功； (3)从A球开始运动到两球发生第次碰撞瞬间，拉力对C球的冲量大小。 重难·创新演练 16．湘江水碧湘山绿，一艘船在横渡湘江，它在静水中的速度大小为，水流速度大小为，该船经时间航行到正对岸，则此处湘江两岸的距离为（　　） A． B． C． D． 17．如图所示，两平行河岸的间距为d，水稳定沿着河岸流动，一条小船从河岸渡到河对岸，船在静水中的速度（为已知量）指向河的上游与河岸的夹角为37°，船速（即合速度）（为未知量）指向河的下游与河岸的夹角也为37°，水流的速度（为未知量），，，下列说法正确的是（   ） A．船速 B．水速 C．小船被冲向下游的距离为 D．小船渡河的时间为 18．一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角。已知小船在静水中航行的速度大小为，河水流速大小为，则下列说法正确的是（　　） A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短 B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大 C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大 D．图甲和图乙中小船均做曲线运动 19．如图所示，地面上固定两根足够长的竖直杆，两杆间距为，一根长度的轻绳一端套在左杆上，另一端套在右杆上，一个光滑的动滑轮绕过轻绳，在动滑轮下面悬挂一个重物，再将轻绳左右两端分别以速度，沿竖直杆向上做匀速直线运动，则在图示位置时重物的速度为（　　） A．2m/s B． C． D． 20．如图，可视为质点的物块A、B用一不可伸长的轻绳连接，A穿在光滑竖直细杆上，细杆底部固定。轻绳跨过轻质光滑定滑轮。A、B的质量分别为，，定滑轮到杆的距离为，细绳长为。现让A从与定滑轮等高处由静止释放，不计一切摩擦、空气阻力及定滑轮大小，重力加速度为。关于A下落过程中的说法正确的是（　　） A．物块A的机械能一直增大 B．物块A的速度始终小于物块B的速度 C．物块A下落的最大距离为 D．物块A、B等高时物块B的速度大小为 21．图甲是某体能训练器械，图乙是简化示意图，不计绳子和滑轮的质量，忽略空气阻力和一切摩擦。训练者用手拉着绳子使末端Q水平向右匀速运动，直到弹簧恢复原长的过程中（   ） A．重物的速度增大 B．重物的速度减小 C．绳子拉力对重物做的功等于重物机械能的增加量 D．弹簧弹力对重物做的功等于重物机械能的增加量 22．如图所示，工人将长为5m的杆状货物从货箱里取出时，用机械装置控制着货物的A端沿着竖直的箱壁匀速上升，同时货物的B端在箱底的水平面上向左滑行。下列说法正确的是（   ） A．B端向左加速滑行 B．B端向左先加速滑行后减速滑行 C．时B端向左滑行的速度最大 D．当B端距离货箱左壁4m时，A、B两端的速度大小之比为3：4 23．如图所示，长杆水平固定，在杆O点正下方的Q点固定一光滑定滑轮，物块甲（可视为质点）套在长杆上，其下端用轻绳绕过定滑轮与物块乙相连。物块甲在水平外力的作用下从P点右侧以速度匀速向左运动，为运动过程中连接甲的轻绳与竖直方向的夹角，当物块甲运动到P点时为。下列说法正确的是（　　） A．物块甲运动到O点时，物块乙的速度不为0 B．物块甲运动到P点时，物块乙的速度大小为 C．物块甲运动到为的位置时，物块乙的速度大小为 D．物块甲从P点运动至O点的过程中，物块乙处于失重状态 24．如图所示，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着皮球（细绳延长线过球心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处以速度v匀速上升，某一时刻细绳与竖直方向夹角为θ，在球未离开墙面的过程中，下列说法正确的是（　　） A．该时刻玩具小车的速度为 B．该过程玩具小车做加速运动 C．该过程球对墙的压力逐渐变大 D．该过程绳对球的拉力逐渐减小 25．（多选）图为简化后的纤夫拉船俯视图，甲、乙两人在河岸上，以恒定的速度平行河岸向右行走，通过不可伸长的轻绳拖船，船沿平行河岸方向行进。、、绳始终在同一水平面，、绳的夹角为且张力大小均为，则有（     ） A．船的速率为 B．船的速率为 C．绳对船的拉力大小为 D．绳对船的拉力大小为 26．（多选）如图所示，细绳绕过定滑轮连接小球和小球，小球固定在轻质细杆的一端，细杆可绕轴自由转动，整个装置静止时，杆和绳与竖直方向的夹角均为。现施加外力抬高小球位置，使轻杆水平，（如图中虚线位置），然后由静止释放，不计一切摩擦，细绳足够长。则杆向下转动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球和小球的质量之比为 B．小球和小球的动能之和先增大后减小 C．图示位置时，小球和小球的速度之比为 D．图示位置时，小球和小球的重力功率之比为 27．（多选）一只小船渡河，船头方向始终垂直于河岸，水流速度各处相同且恒定不变。现小船相对于静水以初速度v0分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，可以判断（　　） A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同 B．小船沿AC轨迹渡河的时间最小 C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时的速率相同 D．小船沿轨迹运动到达河对岸时的速率最小 28．（多选）船在静水中速度与时间的关系如图甲所示，河水流速与某河岸边的距离的变化关系如图乙所示，则（　　）    A．船渡河的最短时间50s B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船以最短时间渡河，船在河水中的最大速度是5m/s 29．如图甲所示，两质量均为m的光滑小球A、B（可视为质点），用长为L的轻杆连接。在水平向左的外力F的作用下保持静止，此时杆与水平方向的夹角为60°。已知重力加速度大小为g。 (1)求外力F的大小； (2)现将小球B推至墙角处后紧靠墙壁竖直立于水平面上（如图乙所示）。当A受到轻微扰动后由静止开始向右倾倒，两球始终在同一竖直平面内运动，求小球B即将离开墙壁时A距离地面的高度； (3)在第（2）问中若去除侧面墙壁（如图丙所示），小球A受到轻微扰动后，仍让其由图示初始位置由静止开始向右倾倒，B始终没有脱离地面。求当轻杆与水平方向的夹角为30°时，小球B的速度大小。 30．如图甲为某曲柄连杆结构示意图，四根长度均为的细轻杆，用轻质铰链连成一个四边形OABC，O点固定在地面上，质量m1=2kg的物块P固定在B点，用轻绳经两定滑轮与物块Q相连。t=0时释放物块Q，使物块P带动B点由静止开始竖直向上做匀加速直线运动，t=1s时OABC恰好构成一个正方形，如图乙所示。此过程，轻杆对P物块始终无作用力。g取10m/s2，不计一切摩擦，求： (1)t=1s时B点的速度vB； (2)物块Q的质量m2； (3)t=1s时轻杆OA转动的角速度ω。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $