精品解析：山西运城市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期期末 高一数学试题 2026.7 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，则，， 因此. 2. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中，“”的充分条件是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面垂直、直线与平面垂直性质定理可以判断A，C；根据平面平行、直线与平面垂直，线面垂直的性质，推导两条直线的位置关系可以判断B，D. 【详解】选项A：由，可得或，因为，所以，正确. 选项B：若，，，可推出，无法推出，错误. 选项C：由，可得或，结合，与可能平行、相交不垂直或异面，无法推出，错误. 选项D：，，时，与的位置关系不确定，无法推出，错误. 3. 已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则C与B相互对立 B. 若事件A与B互斥，则 C. 若事件A与B相互独立，则 D. 若，则事件A与B相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件的概念可判断A；根据互斥和并事件的概率可判断B；根据相互独立事件和并事件的概率可判断C；根据独立事件概率关系可判断D. 【详解】对于A，因为不一定互斥，所以由得不到C与B对立，A错误； 对于B，若事件A与B互斥，则，则，B错误； 对于C，若事件A与B相互独立，则， 则，C错误； 对于D，由，，可得，， 满足独立事件概率的定义，因此事件A与B相互独立，D正确. 4. 抽样调查得到20个样本数据，记作，样本数据的平均数为8，方差为5.现去掉一个最大值12和一个最小值4，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（ ） A. 中位数一定不变 B. 平均数一定不变 C. 方差一定变小 D. 极差一定不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数，平均数，方差，极差的定义及计算方法，确定数据变化时的变化规律. 【详解】去掉一个最大值12和一个最小值4，数据的个数为偶数，且中间两个数的位置不变， 所以中位数不变，选项A正确； 原数据的和为，新数据的和为， 所以新数据的平均数为，选项B正确； 去掉最大值和最小值后，数据的波动变小， 所以方差一定变小，选项C正确； 原极差为，去掉最大值和最小值后，极差不一定不变， 选项D错误. 5. 已知正三棱台中，，，侧棱，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出棱台的高，根据棱台体积公式求解. 【详解】 正三棱台中，为高， ，， 过点作交于点，， ， 上底面面积为，下底面面积为， . 6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. 50m B. 100m C. 150m D. 200m 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，， 由正弦定义得. 由无人机的仰角、俯角可得，， 因此. 根据正弦定理，代入得. 在中，，因此. 7. 已知在中，点满足，点在线段（不含端点）上移动，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，利用向量的线性运算求得关于，的表达式，再结合平面向量基本定理中的分解唯一性即可求解. 【详解】如图所示，由题意可知存在实数，使得， 由于， 所以， 又因为，且，不共线， 则由平面向量的分解的唯一性，得，解得，故B正确. 8. 在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 5π B. 16π C. 20π D. 100π 【答案】C 【解析】 【分析】先由线面垂直的判定定理得到平面，计算得到，，的外心为斜边中点记为，则，设等腰的外心为，由正弦定理得到外接圆半径为，过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线交点即为外接球球心，设外接球半径为，在直角三角形中，则，即可求解外接圆表面积. 【详解】取中点D，连接，因，则， 因为平面平面，平面平面，平面 所以平面， 又因为平面，所以， 因，，则有，得到， 因为平面，所以平面， 又因平面，则，故， 故， 取斜边中点即的外心，则， 设三棱锥的外接球球心为点，半径为，则平面， 连接，在中，， 因平面，则，过点作于点， 易得矩形，则，， 在中，，解得 则三棱锥的外接球的表面积为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若为虚数，则也为虚数 C. 若，则 D. 若复数满足，则的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，结合复数乘法运算和复数模的公式即可推导关系；B选项，将分母实数化，根据虚数的定义求解即可；C选项，求解该方程的所有复数根即可判断；D选项，根据的几何意义是复平面上到点距离为1的点的轨迹，进而结合的几何意义求解最值. 【详解】选项A，设复数 ，共轭复数 ， 则，，，等式成立，A正确. 选项B，若为虚数，说明，对 化简得：， 由是虚数可得虚部不为0，即，得， 因此一定是虚数，B正确. 选项C，，解得，， 因此不一定等于1，C错误. 选项D，的几何意义：复平面上，对应点在以 为圆心、半径为1的圆上，是该点到原点的距离，原点到圆心的距离为1， 因此的最大值为，D正确. 10. 某运动队由足球运动员人，篮球运动员人，乒乓球运动员人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为的样本，若采用比例分配的分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义直接可得解. 【详解】由已知三种球类运动员人数比为， 即抽取的样本中各类运动员人数比也为， 则样本容量，， 当时，，当时，. 11. 如图，正方体的棱长为2，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，则下列结论正确的有（） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若，沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 C. 若，平面被正方体截得截面面积为 D. 若，，则点M的运动轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等体积法求解选项A.根据展开图求解距离求解选项B.首先找到截面，再根据梯形面积求解选项C.由线面垂直和面面平行的判定定理，设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，求得即可判断选项D； 【详解】选项A.，故A正确； 选项B.，即.若将平面与平面展开共面，； 如上图，若将平面与平面展开共面， 则，故B错误； 选项C. ，延长交延长线于，由全等于，得， 连接交于，由全等于，得是中点，因此截面为等腰梯形. ，，. 梯形的高，因此面积，故C正确； 选项D，因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，，平面，所以平面， 所以过点作交于，过作交于， 所以平面，同理可得平面， ，平面，所以平面平面，所以平面， 取，连接，则均在平面上， 则的运动轨迹为线段. 由于平面，平面，所以， 由点在棱上，且，可得，， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据：，，，，，，，，则这组数据的下四分位数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据下四分位数的定义直接计算. 【详解】由已知该组数据共个，且， 则该组数据的下四分位数为. 13. 小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为_____. 【答案】##0.34375 【解析】 【分析】分别求出在两轮比赛中，小张、小胡答对题目个数为的概率，然后结合独立事件的概率公式即可求解． 【详解】根据题意，设小张在两轮中答对的题目数为，小胡在两轮中答对的题目数为， 的可能取值为，由题意可知，，，； 的可能取值为，由题意可知，，，； 由于相互独立，所以 当两人都答对题时，； 当两人都答对题时，； 当两人都答对题时，； 因此小张、小胡答对题目的个数相等的概率为. 14. 在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的最大值为_______ 【答案】16 【解析】 【分析】取中点，计算可得，再结合图形可得，即可得解. 【详解】取中点，连接、， 则， 由点为梯形四条边上的一个动点， 由图可得， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，复数（i为虚数单位，），已知复数为纯虚数. （1）求m的值； （2）求向量在向量方向上的投影向量的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求出，再由纯虚数的定义列方程求参数值； （2）由投影向量的定义及向量的坐标运算求投影向量. 【小问1详解】 由题意， 若复数为纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 当时，， 所以在上的投影向量. 16. 已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件为，再应用三角恒等变换、内角的性质求角的大小； （2）根据（1）及三角恒等变换得，再由锐角三角形得，最后结合正弦函数的性质求范围. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 因为，所以， 即， 所以，即. 因为，所以，因为，所以. 【小问2详解】 由， 因为为锐角三角形，且，则，得， 所以，， 所以的取值范围. 17. 某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分.现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图. （1）请根据频率分布直方图，求出图中t的值.在本次测试中，拟将排在前60%的学生成绩定为合格成绩，试估计合格成绩的分数线； （2）在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率； （3）已知在内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在内的学生成绩的平均数和方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】（1），77.5分； （2） （3）平均数为81分，方差为27 【解析】 【小问1详解】 由直方图知，可得， 由题设及图知，合格成绩的分数线在内，设为， 则，所以分； 【小问2详解】 由（1）知，5人中来自，分别为2人、3人， 从抽取的两个人分别记为a，b，从抽取的三个人分别记为1，2，3， 记“抽取的两人均来自”为事件A， 则，. 则抽取的两人都来自的概率为， 所以两人中至少有一人成绩来自的概率为； 【小问3详解】 由题设，区间，内的学生人数分别为20人、30人， 所以内的学生成绩的平均数为分， 由内的学生成绩方差为6，学生成绩的平均数为75， 由内的学生成绩方差为1，学生成绩的平均数为85， 所以内的学生成绩的方差为. 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点，，分别为，的中点，点是线段上一动点，将沿折起，使得平面平面． （1）证明：； （2）若点为的中点，求三棱锥的体积； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）连接，易知四边形是正方形，则， ∵平面平面，平面平面，， ∴平面， 又平面，∴． 又，平面，∴平面． 又∵平面，∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过平面平面得到平面，再根据线线垂直推出平面，即可得到； （2）三棱锥即为三棱锥，分别求出底面的面积和高的长即可求出三棱锥的体积； （3）设与的交点为，推出即为平面与平面的夹角，再根据，的长即可求得的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知底面，平面，所以． 又，平面，所以平面． 故， 而，， 故． 【小问3详解】 设与的交点为，在中过点作，交于点，连接， 由（1）知平面，平面，∴． 又∵，∴平面，平面，∴ ∴即为平面与平面的夹角 在中，，，，∴， 设到的距离为，则，∴． ∵，∴，∴． 所以平面与平面的夹角大小为． 19. 定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”． （1）设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围． （2）已知的内角，，的对边分别为，，，其中，向量的“跟随函数”为，且． （i）若平分，并与交于点，且，求的长； （ii）若外接圆半径是，内切圆半径是，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）分别写出的“原向量”，利用两个向量夹角为锐角的充要条件建立不等式组即可解出参数的范围； （2）（i）根据已知条件可解出，再利用正弦定理和余弦定理求出，的值，最后根据三角形面积关系即可求解； （ii）根据正弦定理可得外接圆半径，根据面积关系可得内切圆半径是，再利用基本不等式和换元法可得到的取值范围． 【小问1详解】 由， 得， 由，得， 因为，的夹角为锐角，所以，且，不同向， 则，解得且． 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 因为向量的“跟随函数”为， 所以， 又，所以，因为，所以． （i）因为，所以由正弦定理可得， 故， 又由余弦定理得， 故，， ， 由，可得，因此． （ii）由正弦定理得， 又因为，故， 因此， 由余弦定理得：，即， 令，则， ，当且仅当即时等号成立， 因此的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末 高一数学试题 2026.7 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中，“”的充分条件是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则C与B相互对立 B. 若事件A与B互斥，则 C. 若事件A与B相互独立，则 D. 若，则事件A与B相互独立 4. 抽样调查得到20个样本数据，记作，样本数据的平均数为8，方差为5.现去掉一个最大值12和一个最小值4，产生一组新数据，关于这组新数据，下列说法错误的是（ ） A. 中位数一定不变 B. 平均数一定不变 C. 方差一定变小 D. 极差一定不变 5. 已知正三棱台中，，，侧棱，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. 50m B. 100m C. 150m D. 200m 7. 已知在中，点满足，点在线段（不含端点）上移动，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 5π B. 16π C. 20π D. 100π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若为虚数，则也为虚数 C. 若，则 D. 若复数满足，则的最大值为2 10. 某运动队由足球运动员人，篮球运动员人，乒乓球运动员人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为的样本，若采用比例分配的分层随机抽样的方法，且不用删除个体，则样本量的取值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为2，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，则下列结论正确的有（） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若，沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 C. 若，平面被正方体截得截面面积为 D. 若，，则点M的运动轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据：，，，，，，，，则这组数据的下四分位数为_____. 13. 小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为_____. 14. 在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的最大值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，复数（i为虚数单位，），已知复数为纯虚数. （1）求m的值； （2）求向量在向量方向上的投影向量的坐标. 16. 已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）求的取值范围. 17. 某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分.现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图. （1）请根据频率分布直方图，求出图中t的值.在本次测试中，拟将排在前60%的学生成绩定为合格成绩，试估计合格成绩的分数线； （2）在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率； （3）已知在内的学生成绩的平均数为75，方差为6，在内的学生成绩的平均数为85，方差为1，求在内的学生成绩的平均数和方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 18. 如图，在直角梯形中，，，，是的中点，，分别为，的中点，点是线段上一动点，将沿折起，使得平面平面． （1）证明：； （2）若点为的中点，求三棱锥的体积； （3）求平面与平面的夹角的大小． 19. 定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”． （1）设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围． （2）已知的内角，，的对边分别为，，，其中，向量的“跟随函数”为，且． （i）若平分，并与交于点，且，求的长； （ii）若外接圆半径是，内切圆半径是，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $