21.3 实践与探索 第2课时 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，通过“折叠长方体”“产值增长”等现实问题导入，从具体情境抽象出方程模型，结合表格分析、函数图像探究，搭建从实际问题到数学表达的学习支架，衔接方程求解与实际应用。 其亮点在于以问题驱动贯穿教学，通过几何图形侧面积最值、增长率计算等实例，培养学生抽象能力、推理意识和模型观念。课堂小结提炼平均增长率公式与数形结合思想，学生能提升用数学语言解决实际问题的能力，教师可依托丰富实例实现高效教学。

第2课时 一元二次方程 1 问题 3 小明把一张边长为 10 cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子. （1）如果要求长方体的底面积为 81 cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ x x (10－2x)2 = 81 x = 0.5 探索新知 （2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？ 折叠成的长方体 底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形 边长（cm） 折叠成的长方体 侧面积（cm2） 底面积：(10－2x)2 0.5 18 1 32 1.5 42 2 48 2.5 50 3 48 3.5 42 4 32 以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点. 观察折叠成的长方体侧面积会不会有最大的情况？ 探 索 设减去的正方形边长为 x cm. 折叠成的长方体侧面积为 y cm2. y = 4·x·(10－2x) （0 < x < 5） 当 x = 2.5 时，y 有最大值 50. 如图，在一个长 10 cm、宽 6 cm 的矩形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子.设截去的小正方形的边长为 x cm. （1）若长方体盒子的底面积是 32 cm2，求 x 的值. 6 10 x x 解:（1）根据题意，得 (10－2x)(6－2x) ＝ 32， 解得 x1 ＝ 1，x2 ＝ 7 (不合题意，舍去). 则 x 的值为 1. （2）用含 x 的式子表示长方体盒子的侧面积为___________cm2 . （3）长方体盒子的侧面积随着截去的小正方形的边长的变化 而变化时，是否存在最大的侧面积？若存在，求出最大 的侧面积. 6 10 x x (－8x2 + 32x) （3）存在. 由（2）知，－8x2 + 32x ＝－8(x－2)2 + 32. 因为－8(x－2)2 ≤ 0，所以－8(x－2)2 + 32 ≤ 32. 所以当 x ＝ 2 时，侧面积有最大值，最大值为 32，所以最大的侧面积为 32 cm2. 问题 4 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率为多少？ 你是怎么理解的？ 翻一番 翻两番 翻三番 2 倍 22 倍 23 倍 解：设平均年增长率为 x. (1 + x)2 = 2 x1 =，x2 = （舍） 所以 x = ≈ 0.414 = 41.4%. 探 索 如果调整计划，两年后的产值为原产值的 1.5 倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率 分别应调整为多少？ 解：设平均年增长率为 x . (1 + x)2 = 1.5 (1 + x)2 = 1.2 x = ≈ 0.225 = 22.5%. x = ≈ 0.095 = 9.5%. 又如果第二年的增长率为第一年的 2 倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后的产值翻一番？ (1 + x) (1 + 2x) = 2 解：设第一年的增长率为x. 移项，得 2x2 + 3x－1 = 0 解得 ＝ = ≈ 0.281 = 28.1%. 芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业. 某芯片公司 引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片 100 万个，第三季度生产芯片 144 万个. 试解决下列问题: （1）求前三季度生产量的平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到 175 万个，则该目标能否实现？ 解:（1）设前三季度生产量的平均增长率为 x. 根据题意，得 100 (1 + x)2 ＝ 144， 解得 x1 ＝ 0.2 ＝ 20％ ，x2 ＝－2.2 (不合题意，舍去). 答:前三季度生产量的平均增长率为 20％ . （2）第四季度的芯片生产量为 144 × (1 + 20％)＝ 172.8 (万个). 因为 172.8 < 175，所以该目标不能实现. 1. 某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为 3000 kg，出油率为 55%. 改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油 2025 kg. 已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种 有所增加，其中出油率的增长率是每公顷产量增长率的一半， 求两者的增长率. (精确到 1%) 【选自教材第43页 练习 第1题】 解: 设每公顷产量的增长率为 x，则出油率的增长率为 . 由题意，得 3000 (1 + x) · 55％ · (1 + ) ＝ 2025， 解得 x1 ≈ 0.14 ＝ 14％ ，x2 ≈－3.14 (不合题意，舍去). 故 ＝ 7％ . 答: 每公顷产量的增长率约为 14％ ，出油率的增长率约为 7％ . 2. 某商店准备购进一种季节性小家电，每台进价为 40 元. 经市场 预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 台；销售定价每增加 (或降低) 1元，销售量将减少（或增多) 10 台. 商店若希望获利 2000 元，则应进货多少台？销售定价为多少？ 【选自教材第43页 练习 第2题】 （1）本题如何设未知数较合适？需要列出哪些相关量的代数式？ （2）所列方程的解是否都符合题意？如何解释？ （3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少台？销售定价为多少？ 解:（1）设销售定价增加 x 元较合适，需要列出的代数式有: 每台利润为 (52 + x－40)元，销售量为 (180－10x)台. （2）由题意，得 (52 + x－40)(180－10x) ＝ 2000， 解得 x1 ＝－2，x2 ＝ 8. 当 x ＝－2 时，销售定价为 52－2 ＝ 50 (元)， 销售量为 180－10×(－2)＝ 200 (台)， 当 x ＝ 8 时，销售定价为 52 + 8 ＝ 60 (元)， 销售量为 180－10×8 ＝ 100 (台). 故都符合题意. （3）设利润为 w 元，则 w ＝ ( 52 + x － 40)( 180 － 10x ) ＝－10(x－3)2 + 2250 . 因为 (x－3)2 ≥ 0，所以 －10(x－3)2 ≤ 0， 所以当 x ＝ 3 时，w最大＝ 2250. 故应进货 180－3×10 ＝150 (台)， 销售定价为 52 + 3 ＝ 55 (元). 3. 某市人均居住面积为 43.8 m²，计划在两年后达到 54 m². 在 预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等， 请你把问题补充完整，再给出解答. 【选自教材第43页 练习 第3题】 1. 利用一元二次方程探究图形的相关问题时，要注意结合 图形的相关性质，从中找出等量关系，进而列出方程求解， 这体现了数形结合思想. 2. a 为起始量，b 为终止量，n 为增长(或降低)的次数， 平均增长率公式: a(1 + x)n ＝ b (x 为平均增长率)； 平均降低率公式: a(1－x)n ＝ b (x 为平均降低率). 课堂小结 $