2027届高考数学回归课本

2027届高考数学回归课本 1.研究集合问题时，一定要抓住集合的代表元. 例如：,,分别表示什么集合？ 2.是的子集，若，要注意的情况. 例如：已知集合，，满足，则实数的取值范围是________. 3.注意集合中的元素具有无序性和互异性. 例如：集合隐含条件，集合不能直接化成. 4.求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把直接转化为，而忽视. 例如：不等式的解集为______________. 5.已知"命题为假命题"求参数范围时，可先求"命题为真命题"时参数的范围，再取其补集，也可写出转化为为真命题，求解参数的范围. 例如：命题“存在，使”为假命题，则实数的取值范围是_________. 6.利用集合间的关系判断（或写出）充分条件、必要条件和充要条件. 例如：函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 7.已知含参二次型不等式恒成立问题求的取值范围时，你考虑过二次项系数为零的情形了吗？将“对一切实数恒成立”改为“在区间上恒成立”呢？对于不等式恒成立问题你能举出哪几种解法？ 例1：不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是___________. 例2：不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是__________ 8.函数的定义域、不等式的解集都要写成集合形式，涉及三角函数时注意定义域与解集的准确表述. 例如：若函数的最大值为3. (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)求不等式的解集. 9.函数和的运算、积的运算中定义域关注了吗？ 例如：已知，，则函数的解析式为 ______________，定义域为_____________. 10.函数单调区间不能用集合或不等式表示，要写成区间形式,如果有多个增(减)区间用"逗号"隔开. 例如：函数的单调递减区间是____________. 11.求解与函数有关问题时易忽略定义域优先原则. （1）求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？ 例如：设定义在区间上的函数（其中）是偶函数，则函数的单调减区间为__________. （2） 判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称） 若（其中）是偶函数，则实数._______ 12.解对数函数问题时注意到底数、真数的限制条件了吗？ 例如：方程的解集为__________. 13.函数的对称性你分清楚了吗？ 函数的对称性，周期性 (1)函数关于__________对称 (2)函数关于________对称 (3)，则； ，或，,； ，则的周期; 函数关于直线对称，关于直线对称，； 函数关于对称，关于对称，4. (4)函数与关于轴对称； 函数与关于轴对称. (5)若函数连续且可导，函数关于直线对称关于对称; 若函数连续且可导，函数关于对称关于对称. 例1：区别:若,则图像关于直线________对称（自对称）; 两函数与的图像关于直线_________对称（互对称）； 例2：形如的图像是双曲线，对称中心是点______. 14.注意两种切线方程的异同点，一般都是设切点，求导函数在切点处的函数值，写切线方程. 例如：已知曲线. (1)求曲线在处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 15.“函数在某点取得极值”不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两侧函数值的符号相异的，注意检验. 例如：已知函数在处取得极值0，则= . 16.三次多项式的图形和它的性质要熟悉. 例1：对于三次函数（），给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探索发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，请你根据这一发现，计算 ． 例2：已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ） A．5 B．10 C. 1 D．0 17.若角与的终边相同，则 若角与的终边共线，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于原点对称，则： 若角与的终边关于直线对称，则： 18.利用终边上一点的坐标，求角时注意先定象限，再定角. 例如:角的终边过点，则最小正角 . 19.任意角三角函数的定义要看清是否为其终边和单位圆的交点. 例如：已知是角的终边上一点，则　　 A． B． C． D． 20. “给值求值”问题的核心解法主要围绕“配凑角”和公式应用展开，重点在于观察未知角和已知角的关系. 例如：已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 21.利用与之间的关系，可以将函数转化为熟知函数. 例如：求函数的最大、最小值． 22.函数图象的对称中心是点，不能写成. 23.会根据图象求参数、的值,注意：的值可能是负数. 例1：函数的部分图象如图所示，则函数表达式为_____________. 例2：如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：（在水面下则为负数），若从盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：之间的关系为，则其中，，，的值分别为( ) A．，，3，B．，，3， C．3，，，D．3，，， 24.会求形如，的最小正周期. 例如：在函数、、、，中，最小正周期为的函数的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 25.三角恒等变换及其应用 （1）三角形内角和定理的使用： ,, （2）三角形中用正弦定理可得角平分线定理： 在中，的内角平分线交于，则. （3）用正弦定理、余弦定理可以实现边角互化，灵活使用二倍角、和差角、和差化积、积化和差公式进行变形. 例1：在中，若，则△ABC的形状是 ( D) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 （4）等差数列与三角函数结合，涉及求和问题时可考虑先利用“和差角公式”及“和差化积、积化和差”公式变形，再进行“裂项相消法”求和. 例1：已知数列的前项和为，且满足，当时，. (1)证明为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 例2：已知函数. 若等差数列的公差，前项和为，，则 .. （5）已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，注意可能有两解. 例如：在中，，若解此三角形时，仅有一个解，则的取值范围（ ） A．B． C．D．或 （6）解三角形时,注意条件中锐(钝)角三角形对三角形的边或角的限定.特别地，中,为锐角. 例如：设中的三个内角的对边分别为，,且.若角为锐角，求的取值范围. （7）正弦平方差公式： 例如：函数的最小正周期为 . 26.向量数量积不满足结合律，消去律. 例如：下列各题正确的是______. （1）若·0，则，中至少有一个为零向量； （2）若，··，则； （3）对任意向量，有； （4）对任意向量，，，有（·）··（·）. 27.在方向上的投影向量的应用. 例如：已知平面向量，且，则在方向上的投影向量的坐标　　 A． B． C． D． 28. 向量、共起点求夹角. 例如：已知为正三角形且边长为，则_________ 29.当时，则与的夹角为锐角或同向共线； 当时, 则与的夹角为钝角或反向共线. 例如：已知，与夹角为45°，则当与的夹角为钝角时，的取值范围为 . 30.利用向量共线写出点的坐标. 例如：已知点，向量，，点P是线段的三等分点，则点P的坐标为 ． 31.已知求，由求数列通项时忽视的讨论致错. 例如:已知数列的前项和为，，求. 提醒：已知求，（需验证是否满足的表达式） 32.从函数角度判断数列的单调性时忽视数列中的致误.（从定义入手更不容易出错） 例1:若是递增数列，求的取值范围. 例2:已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 提醒：分段数列的单调递增，每一段都增，且分段左右两侧也要保证左侧最后一个整数处的取值小于右边第一个整数处的取值. 33.等比数列的单调性由首项与公比决定. 例如:设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 34.忽略了等比数列中相隔一项的两项符号必定相同而致误. 例如： 若，，，四个实数成等差数列，且，，，，五个实数成等比数列，则＝（ ） A．8 B．－8 C．±8 D． 35.(1)用等比数列求前项和时，没有讨论是否为1而致误. 例如:求和： 提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. (2)若数列为等比数列，命题“，，，……仍成等比数列”不一定成立，条件为：公比或且为奇数时，此时其公比为. 例如:（多选）已知数列的前项和为，则（   ） A．若是等差数列，则，，成等差数列 B．若是等比数列，则，，成等比数列 C．若，且，则存在数列，使得 D．若，且，则存在，使得 36.斐波那契数列中与求和有关的结论： ① ② ③ ④ 例如：意大利数学家斐波那契（约1170～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足： ， ，若 ，则（ ）． A．2020 B．2021 C．59 D．60 37.常用的不等式 二元基本不等式链： 对数平均不等式： 注：使用不等式性质证明或者放缩时，注意不等式的方向，不等式相乘时注意正可乘性. 38.忽视直线斜率是否存在（或者为零）或者忽视两直线是否重合. 39.直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零； 直线在两轴上的截距相等直线的斜率为-1或直线过原点； 直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点； 直线在两轴上的截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点. 例如.已知点， （1） 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 （2）经过点A且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线方程为； （3）经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为 . 40.审题时注意区分圆的一般方程和圆的标准方程；注意圆的一般方程中的隐含条件（）. 例1.一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 例2.过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是（ ） A. B. C.或 D.以上皆不对 41.两圆相交圆心距满足；两圆相切注意区分内切和外切. 例如：已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是__________. 42.将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围导致出错. 例如：若曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 43. 圆锥曲线的定义是解题的“根”，几何性质是解题的“桥”，标准方程是解题的“工具”，三者缺一不可，避免混淆参数含义. （1）混淆椭圆与双曲线的a、b、c关系，记错导致参数求解全错； （2）忽略抛物线的标准方程中，p的几何意义是“焦点到准线的距离”，且p > 0； （3）圆锥曲线的定义中，忽略限制条件（如椭圆2a > 2c，双曲线0 < 2a < 2c），导致轨迹判断错误； 例如：若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为（ ） A . B. C. D. 44.短轴与短半轴，长轴与长半轴、焦距与半焦距混用致错. 45.忽视讨论焦点位置致错. 例1：已知椭圆的离心率，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例2：已知椭圆内有一点，过点的一条弦恰好以为中点，则这条弦所在直线的方程为_________. 例3：抛物线的的准线方程为__________. 46.概念不清盲目分类. 例如：若双曲线的一条渐近线方程为，则（  ） A． B．-2 C． D．-4 47.审题时将点在渐近线上错当成点在双曲线上计算. 例如：已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线与的渐近线在第一象限交于点，与的左支交于点，线段的中点为，为坐标原点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 48.审题不认真，忽视直线与双曲线一支、还是两支相交. 例如：双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（） A. B. C. D. 49.将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围导致出错. 例如：若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是( ) A. B. C. D. 50.忽视题中隐藏的曲线. 例如：如图，已知定点轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点与相交于点，则的最小值为_________. 51.应用点差法时，忘记验证直线与圆锥曲线是否相交（需保证）. 例如：已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，点的坐标为，点P在圆上，线段的垂直平分线交线段于点Q． (1) 求动点Q的轨迹曲线C的方程； (2) 斜率为的直线m交双曲线E于点A，B，若弦的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标； (3) 记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为的平分线为n，在曲线C上是否存在不同的点S，T，使得点关于直线n对称？若存在，求出S，T所在直线方程，若不存在，请说明理由． 52.直线与圆锥曲线相交问题，未讨论直线斜率不存在的情况，导致漏解；直线与圆锥曲线的方程联立消元后未考虑判别式而失分；曲线与曲线的方程联立消元后未考虑方程中隐含的范围而理解错题意. 例如：已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点关于直线对称,则抛物线的方程为____________. 53. 立体几何审题时注意关键字：“体积、表面积、侧面积、轴截面面积”等. 例如：如图，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 54.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原平面图形的面积的关系：. 55.立体几何解答题中的辅助线、坐标轴要在答题卡上明确画出. （注意：先证垂直后建系，建系解题时几何关系分析到位有时可简化运算量） 56.判断异面直线的一种方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线. 例如：已知正方体，E为棱的中点，则下列与直线不互为异面直线的是（    ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 57.注意各类角的范围： （1）异面直线所成的角范围： （2）直线与平面所成的角范围： 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则． （3）二面角的平面角范围： ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a． ②平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c． （4）平面与平面的夹角范围： 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则 58.用空间向量研究距离 （1）点到直线的距离：已知是直线上任意两点, 是外一点，，则点到直线的距离为. (2)求点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为. （3）线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． ①直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． ②两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 59.线面、面面平行判定定理和性质定理以及定义要准确记忆. （证明过程紧扣定理、定义，避免用二级结论） 例如：使用线面平行判定定理要强调一条线在面内，一条线不在面内；使用向量法证明也要强调线不在面内； 面面平行证明时，必须先证两组线面平行，不能直接线线平行到面面平行； 性质定理使用时，需要点明交线。 60.线面、面面垂直的判定定理和性质定理以及定义要准确记忆. （证明过程紧扣定理、定义，避免用二级结论） 例如：线面垂直性质定理虽然使用不高频，但也是证空间中两直线平行的方法之一（垂直于同一平面的两直线平行）； 面面垂直性质定理使用时，需要点明面与面的交线。 61. 三棱锥中的 侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心; 侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心; 斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心; 例如：已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，， 是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积 为 　　．． 62. 补体法针对几何体的所有顶点均在补体后的规则几何体的顶点位置。 例如：墙角四面体、四直角四面体、等腰四面体 63. 外心垂线法是为了找到到所有顶点距离相等的点。 过一个面的外心作垂线：有一条侧棱垂直于底面的棱锥，圆锥，棱台，然后需要找到垂线上某个位置到其余顶点的距离等于到底面一个顶点的距离。 如果已知三棱锥两个面的二面角，也可以过两个面的外心分别做垂线，则交点为外接球球心。（两个面的外心，公共棱的中点，外接球球心这四点共圆）（最一般的情形是，余弦定理+正弦定理+勾股定理求外接球半径） 例如：如图为四棱锥的平面展开图，其中为平行四边形，是边长为1的等边三角形，为的中点，，则四棱锥的外接球表面积为______． 64. 翻折问题要注意翻折、展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”. 例如：如图，已知四边形是底角为的等腰梯形，且，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（    ） A． B． C．D． 65．立体几何动态轨迹最值问题可以建立空间直角坐标系，利用向量方法研究空间中的线面位置关系 例如：已知正方体的棱长为，为侧面的中心，为棱的中点，为线段上的动点（不含端点），为上底面内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则 C．若，则线段的最大值为 D．当与的所成角为时，点的轨迹为双曲线的一部分 66.求几何体表面上两点间距离的最小值，展开几何体时注意分类讨论 例如：在高为的正三棱柱中，的边长为2，为棱的中点，若一只蚂蚁从点沿表面爬向点，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．3 B． C． D．2 67．空间几何体与多球体内切问题注意找球心截面. 例如：将两个半径均为的球，一起放进一个正方体包装盒中，盒子棱长最小值为_________． 68．会求直线与平面交点的坐标 例如：在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，. (1)求证：平面平面； (2)平面于点，求二面角的余弦值. 69.内切球与外接球结论 （1）棱长为的正四面体的高为，体积为; 其外接球半径，内切球半径（）； （2）长方体的外接球的直径是其体对角线. （3）当多面体存在内切球时，多面体的内切球半径. 70.立体几何中的结论（小题中应用） 1.三余弦定理:和平面所成角是：,在平面内射影为,在平面内, 设,则：. 2.最小角定理：斜线与平面内所有直线所成角中，线面角θ最小. 3.角平分线定理：由从同一点O出发的三条不共面射线 OA、OB、OC ，若则OA在平面BOC的射影在的角平分线上. 4.三垂线定理及逆定理：（常用来研究异面垂直） 一、定理内容 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。简单记：射影垂 ⇒ 斜线垂 二、逆定理 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。简单记：斜线垂⇒射影垂 71. 排列数组合数公式与性质 排列数公式:,并且.规定:；组合数公式：,，.规定. 组合数的性质与恒等式:（1）；（2）； （2） ； （3） ，、为正整数，，例如二项分布的期望公式证明. （4）， （5）用于裂项相消求和. 例如：（多选）排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是（BCD ） A． B． C． D． 解析: ，故C正确；对于D，考虑从两个各有个元素的集合和中选取总共个元素的方式数，总的选取方式数是.另一方面，我们可以将选取过程分为不同的情况，即从集合中选取个元素，从集合中选取个元素，其中从0到，对于每个，选取的方式数是.由于，所以每种情况的方式数是，因此，总的选取方式数可以表示为：，由于这两种方法计算的是同一个选取过程的方式数，所以它们相等：. 72.排列问题注意 ①相邻元素排列问题：捆绑法；②不相邻元素排列问题：插空法；③特殊元素/位置排列问题：优先法；④定序问题：除法处理,用总排列数A除以顺序固定元素的全排列数A，通过除法消去固定顺序带来的重复排列。 例如：（多选）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（） A．若五位同学排队，要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种 B．若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不排甲，则不同的排法共有42种 C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，其他人可以任意排列，则不同的排法有20种 D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位 同学，每位同学只能去一个社区，则不同的分配方案有72种 73.相同元素与不同元素的分配问题 ①相同元素分配：常用隔板法求解；②不同元素分配：结合分步乘法计数原理，先分组再进行全排列分配；③有限制条件分配：按限制要求分类讨论，再分别计算各类情况的分配数。 例如：（多选）现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（   ） A．若6个相同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 B．若6个不同的小球放入编号为的盒子，则共有种放法 C．若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 D．若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种 74.均匀分组分配问题要注意通过除法消除重复 ①完全均匀分组：所有组的元素个数均相同，分组后需除以组数的阶乘消去重复；②部分均匀分组：仅有部分组元素个数相同，有n组个数一致则分组后除以n!；③完全非均匀分组：各组元素个数均不同，直接按组合数分组即可，无需额外运算。 例如：（多选）现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法 B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有15种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法 75.二项式定理：二项式展开式的通项中和的顺序不能颠倒！第项的二项式系数为，注意系数与二项式系数的区别. 例1：求第5项的二项式系数是 ；第5项展开式系数是 .求的二项式系数和 ；展开式系数和 . 例2．已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（   ） A． B． C． D． 例3：多项式的展开式中，常数项为 76． 76.(1)二项展开式中系数的最值利用数列单调性来确定. 例1：已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为，则（  ） A． B．展开式中的常数项为 C．展开式中二项式系数最大项为 D．展开式中系数最大的项为 (2)会利用二项式定理求近似值和余数 例1：用二项式定理计算，精确到1的近似值为（ ） A 99000… B.99002 C 99004 D 99005 例2：除以所得余数为（ ） A． B． C． D． 77.总体、个体、样本、样本容量 总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体． 个体：构成总体的每一个元素叫做个体． 样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本． 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． 例如：某区教育局为了解本区今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述正确的是（　　） A．5000名学生是总体 B．抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本 C．样本量是250名学生的成绩 D．每一名学生是个体 解：总体指的是5000名参加今年大联考的学生的成绩，所以错误； 样本指的是抽取的250名学生的成绩，所以正确；样本量是250，所以错误； 个体指的是5000名学生中的每一名学生的成绩，所以错误．故选：． 78.简单随机抽样 有限性，逐一性，不放回性，等可能性，满足四个特点的抽样才是简单随机抽样． 例如：假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同．你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？ 解：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计出红球的比例．也可以采用不放回地摸球去估计红球的比例． 79.总体平均数，样本平均数 样本平均数具有随机性，总体平均数是一个确定的数． 例如：树人中学跨学科项目式研学小组的同学们准备研究高一年级新生的健康情况．他们从学校医务室得到高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生的平均身高为．然后，同学们用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，如下表． 抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 样本量为50的平均数 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.7 165.7 165.0 样本量为100的平均数 164.4 165.0 164.7 164.9 164.6 164.9 165.1 165.2 165.1 165.2 为了更方便地观察数据，以便我们分析样本平均数的特点以及与总体平均数的关系，我们把这20次试验的平均数用图形表示出来，如下图所示 从试验结果看，有以下四种说法：①不管样本量为50还是为100，不同样本的平均数往往是不同的；②样本平均数偏离总体平均数都不超过1cm；③大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动；④比较样本量为50和样本量为100的样本平均数，还可以发现样本量为100的波动幅度明显小于样本量为50的，这与我们对增加样本量可以提高估计效果的认识是一致的，其中正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 80.分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 【微点拨】分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的. 比例分配分层抽样:在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为，两层抽取的样本量分别为，两层的样本平均数分别为，两层的总体平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为.则＝＝ 在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数. 例1： 高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm. （1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高. （2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？ 例2：已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为.证明： （1）; （2）. 81.总体百分位数估计 1.根据样本数据估计总体百分位数 计算一组个数据的第百分位数的一般步骤 第1步，按照从小到大排列原始数据． 第2步，计算％. 第3步，若不是整数，大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项和第(＋1)项数据的平均数． 例1：从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下： 7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8，8.3,8.0，分别求出这组数据的25%,95%分位数． 2.根据频率分布表或图估计总体百分位数 例2：某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现按比例分配分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)． (1)A类工人和B类工人中各应抽查多少人？ (2)A类工人中的抽查结果和B类工人中的抽查结果分别如表1和表2所示． 表1 生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 人数 4 8 x 5 3 表2 生产能力分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 人数 6 y 36 18 先确定的值，再分别计算A类工人和B类工人生产能力的样本数据的60%分位数(保留两位小数)． 82.总体集中趋势的估计 表达集中趋势的特征数 众数：一组数据中重复出现次数最多的数． 中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在最中间位置位置(或最中间两个数据的平均数)的数叫做这组数据的中位数． 平均数：如果个数，那么叫做这个数的平均数． 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数: ①在频率分布直方图中，将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； ③平均数的估计值为频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标 众数、中位数、平均数的应用 众数、中位数、平均数 ①众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题．众数可以有一个，也可以有多个． ②中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势． ③平均数受个别极端数据的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据时，平均数对总体估计的可靠性较差，往往用众数或中位数去估计总体．有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体． 例1：平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在右图中的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？ 例2：四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.8 83.总体离散程度的估计 方差、标准差 1.一组数据，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为 2.如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称＝为总体方差，＝为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，记为其中出现的频数为 (i＝1,2，…，k)，则总体方差为＝ 3.如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称 ＝为样本方差，为样本标准差． 4.标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差. 例1：数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明. 证明：设数据的平均数，数据的平均数为，则. ， . 例2：在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5.全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1.全年失球个数的标准差是0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？ （1）平均说来一队比二队防守技术好； （2）二队比一队技术水平更稳定； （3）一队有时表现很差，有时表现又非常好； （4）二队很少不失球. 解：（1）对，从平均数的角度考虑； （2）对，从标准差的角度考虑. （3）对，从平均数和标准差的角度考虑. （4）对，从平均数和标准差的角度考虑. 例3：某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（    ） A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 84.要掌握复数的基本概念 例如. 以下有四个命题： （1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）若，则； （3）若且，则;（4），则． 其中正确的有 个． 85.要正确计算复数的模长 例如．若复数满足(为虚数单位)，则（ ） A．1 B． C． D． 86．方程有解的条件判断出错 例如 已知关于x的方程有实数根，求实数k应满足的条件． 错解： 由于方程有实数根，得，解得或 错因：误运用系数为实数情况下方程有根的充要条件，方程有实数根时，可把实数根代入方程整理成复数的标准形式，再根据复数相等的充要条件解出和的值即可． 正解：设是方程的实数根，代入方程并整理得， 由复数相等的充要条件，得，解得或． 87.要掌握复数的几何意义 例1．设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 例2．非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（    ） A．、、三点共线 B．是直角三角形 C．是等边三角形 D．以上都不对 例3（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有A．若则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例4 （多选）．已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 例5．在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 88. 混淆“有放回”与“不放回”致错 在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变. 例如 已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（    ） A． B． C． D． 89.要掌握事件互斥的定义和性质 例如．已知事件两两互斥，若，，，则（ ）． A． B． C． D． 90.要掌握事件独立的定义和性质 例.（多选）已知事件与事件相互独立，且，则下列正确的是 A． B． C． D． 91.要掌握条件概率的性质 条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。 注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 例如．已知随机事件互相独立，满足，，则（  ） A． B． C． D． 92.要掌握离散型随机变量的分布列的两个性质（1）;（2） 例．设随机变量的概率分布为，a为常数，，则___________． 93．要掌握全概率公式的应用 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，＝1，2，…，，则对任意的事件，有. 例如.某不透明的袋子中有2张蓝色卡片，3张红色卡片，现抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，记录朝下一面的点数，掷出几点就从袋中取出几张卡片，取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D．. 94.要掌握贝叶斯公式应用 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 有 ，在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 例如.小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 95.要掌握二点分布的分布列 若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 96.要掌握二项分布的分布列 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 97.要掌握超几何分布的分布列 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 98.要掌握数学期望、方差、标准差的计算公式： （1） （2） （3）= （4）期望与方差的性质： （5） 若则 （6）若服从超几何分布， 则 ， 99.要掌握正态曲线的性质 正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 例1．小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（   ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 例2．若随机变量，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 100.要正确区分超几何分布与二项分布 例1 为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前组的频率之比为， 其中第二组的频数为． （1）求该校报考飞行员的总人数； （2） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过公斤的学生人数，求的分布列和数学期望． 例2．（多选）一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；则（    ） A． B． C． D． 101.要掌握有关概率与数列的交汇（含马尔科夫链） 例如．足球传球训练中，A，B，C三名运动员相互传球，由A最先控制球（本次控球不计算控球次数），A传给B、C的可能性相同；当B控制球时，B传给A的概率为传给C的概率的2倍；当C控制球时，C传给A的概率为传给B的2倍．记，，为经过n次传球后球分别由A，B，C控制的概率，易知． (1)求，； (2)若，C队员控球的次数为X，A队员控球的次数为Y，比较与的大小； (3)求数列的通项公式，并判断经过2025次传球后，B队员控制球的概率与的大小． 102. 样本相关系数 当时，称成对样本数据正相关，当时，称成对样本数据负相关； 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强， 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 103.一元线性回归模型的参数的公式能相互转化. 104.刻画回归效果的三种方法 ①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． ②残差平方和法：残差平方和越小，模型的拟合效果越好． ③决定系数法：越接近1，表明回归的效果越好． 105.要熟悉等等高条形图 （1）绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色． （2）等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(与(或与)相差很大)，就判断两个分类变量之间有关系． （3）通过等高条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度． 例：观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（ ） A． B．C．D． 【答案】D 观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强． 106.要掌握分类变量独立性检验的步骤 （1）零假设 （2）通过联表，计算 （3）由小概率值对应的临界值得出结论，随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 例如．（2025·全国一卷）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 1 学科网（北京）股份有限公司 $山西大学附属中学志存高远、脚踏实地 2026届高考数学考前再回首 1.研究集合问题时，一定要抓住集合的代表元. 例如：,,分别表示什么集合？ 2.是的子集，若，要注意的情况. 例如：已知集合，，满足，则实数的取值范围是. 3.注意集合中的元素具有无序性和互异性. 例如：集合隐含条件，集合不能直接化成. 4.求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把直接转化为，而忽视. 例如：不等式的解集为. 5.已知"命题为假命题"求参数范围时，可先求"命题为真命题"时参数的范围，再取其补集，也可写出转化为为真命题，求解参数的范围. 例如：命题“存在，使”为假命题，则实数的取值范围是. 6.利用集合间的关系判断（或写出）充分条件、必要条件和充要条件. 例如：函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（ C  ） A． B． C． D． 7.已知含参二次型不等式恒成立问题求的取值范围时，你考虑过二次项系数为零的情形了吗？将“对一切实数恒成立”改为“在区间上恒成立”呢？对于不等式恒成立问题你能举出哪几种解法？ 例1：不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是. 例2：不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是. 8.函数的定义域、不等式的解集都要写成集合形式，涉及三角函数时注意定义域与解集的准确表述. 例如：若函数的最大值为3. (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)或 9.函数和的运算、积的运算中定义域关注了吗？ 例如：已知，，则函数的解析式为 ，定义域为. 10.函数单调区间不能用集合或不等式表示，要写成区间形式,如果有多个增(减)区间用"逗号"隔开. 例如：函数的单调递减区间是. 11.求解与函数有关问题时易忽略定义域优先原则. （1）求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？ 例如：设定义在区间上的函数（其中）是偶函数，则函数的单调减区间为. （2） 判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称） 若（其中）是偶函数，则实数.2 12.解对数函数问题时注意到底数、真数的限制条件了吗？ 例如：方程的解集为. 13.函数的对称性你分清楚了吗？ 函数的对称性，周期性 (1)函数关于对称 (2)函数关于对称 (3)，则； ，或，,； ，则的周期; 函数关于直线对称，关于直线对称，； 函数关于对称，关于对称，4. (4)函数与关于轴对称； 函数与关于轴对称. (5)若函数连续且可导，函数关于直线对称关于对称; 若函数连续且可导，函数关于对称关于对称. 例1：区别:若,则图像关于直线对称（自对称）; 两函数与的图像关于直线对称（互对称）； 例2：形如的图像是双曲线，对称中心是点. 14.注意两种切线方程的异同点，一般都是设切点，求导函数在切点处的函数值，写切线方程. 例如：已知曲线. (1)求曲线在处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 答案：或 15.“函数在某点取得极值”不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两侧函数值的符号相异的，注意检验. 例如：已知函数在处取得极值0，则= . 解析：，则， 即，解得或. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， 令，得或；令，得． 所以在上单调递增， 在上单调递减，符合题意，则．故选：D 16.三次多项式的图形和它的性质要熟悉. 例1：对于三次函数（），给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探索发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，请你根据这一发现，计算 ．答案：2016 例2：已知函数在上的最大值为，最小值为，则（B ） A．5 B．10 C. 1 D．0 17.若角与的终边相同，则 若角与的终边共线，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于原点对称，则： 若角与的终边关于直线对称，则： 18.利用终边上一点的坐标，求角时注意先定象限，再定角. 例如:角的终边过点，则最小正角 . 19.任意角三角函数的定义要看清是否为其终边和单位圆的交点. 例如：已知是角的终边上一点，则　　 A． B． C． D． 解：是角的终边上一点， 由三角函数的定义可知，，， 故．故选：． 20. “给值求值”问题的核心解法主要围绕“配凑角”和公式应用展开，重点在于观察未知角和已知角的关系. 例如：已知，，则的值为（  D  ） A． B． C． D． 21.利用与之间的关系，可以将函数转化为熟知函数. 例如：求函数的最大、最小值． 解：，令（换元注意范围），则当时最大，为， 当时最小，为. 22.函数图象的对称中心是点，不能写成. 23.会根据图象求参数、的值,注意：的值可能是负数. 例1：函数的部分图象如图所示，则函数表达式为. 例2：如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为，设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：（在水面下则为负数），若从盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：之间的关系为，则其中，，，的值分别为( ) A．，，3，B．，，3， C．3，，，D．3，，， 解：由题意可知的最大值为，最小值为， 所以，，得，，因为筒车每分钟转2圈，所以函数的周期为，故，即，所以，由题，时，，所以，即，因为，故．故选． 24.会求形如，的最小正周期. 例如：在函数、、、，中，最小正周期为的函数的个数为（ C ） A．个 B．个 C．个 D．个 25.三角恒等变换及其应用 （1）三角形内角和定理的使用： ,, （2）三角形中用正弦定理可得角平分线定理： 在中，的内角平分线交于，则. （3）用正弦定理、余弦定理可以实现边角互化，灵活使用二倍角、和差角、和差化积、积化和差公式进行变形. 例1：在中，若，则△ABC的形状是 ( D ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 （4）等差数列与三角函数结合，涉及求和问题时可考虑先利用“和差角公式”及“和差化积、积化和差”公式变形，再进行“裂项相消法”求和. 例1：已知数列的前项和为，且满足，当时，. (1)证明为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 例2：已知函数. 若等差数列的公差，前项和为，，则 .. （5）已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，注意可能有两解. 例如：在中，，若解此三角形时，仅有一个解，则的取值范围（ D ） A．B． C．D．或 （6）解三角形时,注意条件中锐(钝)角三角形对三角形的边或角的限定.特别地，中,为锐角. 例如：设中的三个内角的对边分别为，,且.若角为锐角，求的取值范围. 答案： （7）正弦平方差公式： 例如：函数的最小正周期为 . 26.向量数量积不满足结合律，消去律. 例如：下列各题正确的是（3）. （1）若·0，则，中至少有一个为零向量； （2）若，··，则； （3）对任意向量，有； （4）对任意向量，，，有（·）··（·）. 27.在方向上的投影向量的应用. 例如：已知平面向量，且，则在方向上的投影向量的坐标　　 A． B． C． D． 解：已知，由于，所以，解得， 所以，得， 则， 得在方向上的投影向量为．故选：． 28. 向量、共起点求夹角. 例如：已知为正三角形且边长为，则. 29.当时，则与的夹角为锐角或同向共线； 当时, 则与的夹角为钝角或反向共线. 例如：已知，与夹角为45°，则当与的夹角为钝角时，的取值范围为 . 30.利用向量共线写出点的坐标. 例如：已知点，向量，，点P是线段的三等分点，则点P的坐标为 ． 31.已知求，由求数列通项时忽视的讨论致错. 例如:已知数列的前项和为，，求. 答案： 提醒：已知求，（需验证是否满足的表达式） 32.从函数角度判断数列的单调性时忽视数列中的致误.（从定义入手更不容易出错） 例1:若是递增数列，求的取值范围. 答案：从函数角度,由对称轴 得， 从定义角度，对恒成立，即对恒成立， 得 例2:已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D. 提醒：分段数列的单调递增，每一段都增，且分段左右两侧也要保证左侧最后一个整数处的取值小于右边第一个整数处的取值. 33.等比数列的单调性由首项与公比决定. 例如:设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：当且，时或且，数列是递增数列；所以“”是”数列为递增数列的既不充分也不必要条件.故选D. 34.忽略了等比数列中相隔一项的两项符号必定相同而致误. 例如： 若，，，四个实数成等差数列，且，，，，五个实数成等比数列，则＝（ ） A．8 B．－8 C．±8 D． 答案：B. 35.(1)用等比数列求前项和时，没有讨论是否为1而致误. 例如:求和： 答案： 提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. (2)若数列为等比数列，命题“，，，……仍成等比数列”不一定成立，条件为：公比或且为奇数时，此时其公比为. 例如:（多选）已知数列的前项和为，则（   ） A．若是等差数列，则，，成等差数列 B．若是等比数列，则，，成等比数列 C．若，且，则存在数列，使得 D．若，且，则存在，使得 答案：AC. 【详解】对于选项A：是等差数列，设其公差为d， 因为，， 则，所以，，，成等差数列，故A正确； 对于选项B：例如，则， 可得，，不成等比数列，故B错误； 对于选项C：例如周期数列，满足，且， 此时，故C正确； 对于选项D：因为，且，所以该数列的项奇偶交替，且为整数，而前项包含个奇数，个偶数，这些项的和为奇数，而为偶数，矛盾，故D错误；故选：AC 36.斐波那契数列中与求和有关的结论： ① ② ③ ④ 例如：意大利数学家斐波那契（约1170～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足： ， ，若 ，则（ ）． A．2020 B．2021 C．59 D．60 答案：D. 37.常用的不等式 二元基本不等式链： 对数平均不等式： 注：使用不等式性质证明或者放缩时，注意不等式的方向，不等式相乘时注意正可乘性. 38.忽视直线斜率是否存在（或者为零）或者忽视两直线是否重合. ； 39.直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零； 直线在两轴上的截距相等直线的斜率为-1或直线过原点； 直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点； 直线在两轴上的截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点. 例如.已知点， （1） 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ； （2）经过点A且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线方程为； （3）经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为 . 40.审题时注意区分圆的一般方程和圆的标准方程；注意圆的一般方程中的隐含条件（）. 例1.一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 例2.过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是（ D ） A. B. C.或 D.以上皆不对 41.两圆相交圆心距满足；两圆相切注意区分内切和外切. 例如：已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是或. 42.将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围导致出错. 例如：若曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是( C ) A. B. C. D. 43. 圆锥曲线的定义是解题的“根”，几何性质是解题的“桥”，标准方程是解题的“工具”，三者缺一不可，避免混淆参数含义. （1）混淆椭圆与双曲线的a、b、c关系，记错导致参数求解全错； （2）忽略抛物线的标准方程中，p的几何意义是“焦点到准线的距离”，且p > 0； （3）圆锥曲线的定义中，忽略限制条件（如椭圆2a > 2c，双曲线0 < 2a < 2c），导致轨迹判断错误； 例如：若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为（ C ） A . B. C. D. 44.短轴与短半轴，长轴与长半轴、焦距与半焦距混用致错. 45.忽视讨论焦点位置致错. 例1：已知椭圆的离心率，则实数的取值范围是（ C ） A. B. C. D. 例2：已知椭圆内有一点，过点的一条弦恰好以为中点，则这条弦所在直线的方程为. 例3：抛物线的的准线方程为. 46.概念不清盲目分类. 例如：若双曲线的一条渐近线方程为，则（ D  ） A． B．-2 C． D．-4 47.审题时将点在渐近线上错当成点在双曲线上计算. 例如：已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线与的渐近线在第一象限交于点，与的左支交于点，线段的中点为，为坐标原点，若，，则的离心率为（ D ） A. B. C. D. 4 48.审题不认真，忽视直线与双曲线一支、还是两支相交. 例如：双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（A C） A. B. C. D. 49.将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围导致出错. 例如：若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是( C ) A. B. C. D. 50.忽视题中隐藏的曲线. 例如：如图，已知定点轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点与相交于点，则的最小值为. 51.应用点差法时，忘记验证直线与圆锥曲线是否相交（需保证）. 例如：已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，点的坐标为，点P在圆上，线段的垂直平分线交线段于点Q． (1) 求动点Q的轨迹曲线C的方程； (2) 斜率为的直线m交双曲线E于点A，B，若弦的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标； (3) 记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为的平分线为n，在曲线C上是否存在不同的点S，T，使得点关于直线n对称？若存在，求出S，T所在直线方程，若不存在，请说明理由． （配答案） 52.直线与圆锥曲线相交问题，未讨论直线斜率不存在的情况，导致漏解；直线与圆锥曲线的方程联立消元后未考虑判别式而失分；曲线与曲线的方程联立消元后未考虑方程中隐含的范围而理解错题意. 例如：已知圆与抛物线在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且点关于直线对称,则抛物线的方程为. 53. 立体几何审题时注意关键字：“体积、表面积、侧面积、轴截面面积”等. 例如：如图，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 解：设原圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为， 新几何体的表面积， 故，故圆柱的侧面积为. 故选：A 54.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原平面图形的面积的关系：. 55.立体几何解答题中的辅助线、坐标轴要在答题卡上明确画出. （注意：先证垂直后建系，建系解题时几何关系分析到位有时可简化运算量） 56.判断异面直线的一种方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线. 例如：已知正方体，E为棱的中点，则下列与直线不互为异面直线的是（ C   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 57.注意各类角的范围： （1）异面直线所成的角范围： （2）直线与平面所成的角范围： 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则． （3）二面角的平面角范围： ①若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a． ②平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c． （4）平面与平面的夹角范围： 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则 58.用空间向量研究距离 （1）点到直线的距离：已知是直线上任意两点, 是外一点，，则点到直线的距离为. (2)求点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为. （3）线面距和面面距 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． ①直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． ②两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 59.线面、面面平行判定定理和性质定理以及定义要准确记忆. （证明过程紧扣定理、定义，避免用二级结论） 例如：使用线面平行判定定理要强调一条线在面内，一条线不在面内；使用向量法证明也要强调线不在面内； 面面平行证明时，必须先证两组线面平行，不能直接线线平行到面面平行； 性质定理使用时，需要点明交线。 60.线面、面面垂直的判定定理和性质定理以及定义要准确记忆. （证明过程紧扣定理、定义，避免用二级结论） 例如：线面垂直性质定理虽然使用不高频，但也是证空间中两直线平行的方法之一（垂直于同一平面的两直线平行）； 面面垂直性质定理使用时，需要点明面与面的交线。 61. 三棱锥中的 侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心; 侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心; 斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心; 例如：已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，， 是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积 为 　　．答案：． 62. 补体法针对几何体的所有顶点均在补体后的规则几何体的顶点位置。 例如：墙角四面体、四直角四面体、等腰四面体 63. 外心垂线法是为了找到到所有顶点距离相等的点。 过一个面的外心作垂线：有一条侧棱垂直于底面的棱锥，圆锥，棱台，然后需要找到垂线上某个位置到其余顶点的距离等于到底面一个顶点的距离。 如果已知三棱锥两个面的二面角，也可以过两个面的外心分别做垂线，则交点为外接球球心。（两个面的外心，公共棱的中点，外接球球心这四点共圆）（最一般的情形是，余弦定理+正弦定理+勾股定理求外接球半径） 例如：如图为四棱锥的平面展开图，其中为平行四边形，是边长为1的等边三角形，为的中点，，则四棱锥的外接球表面积为______． 【详解】是边长为1的等边三角形，故侧棱，，底边； 是中点，，是平行四边形，故底边，，，. 可知底面为等腰梯形， 因为为等边三角形，且为平行四边形， 可得：，在底面中连接， 则， 即，， 在底面以分别为轴，过作平面的垂线为轴，如图： 可得： ，，，， 因为，则底面外接圆，也即是的外接圆， 即的中点即为底面外接圆圆心，坐标为， 设，由、、​​， 可得， 解得 即 由四棱锥外接球的性质， 外接球的球心在过​垂直于底面的直线上，故设球心， 由得： ，解得​， 因此外接球半径平方： ， 外接球表面积： . 如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为________. 【答案】 64. 翻折问题要注意翻折、展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”. 例如：如图，已知四边形是底角为的等腰梯形，且，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（    ） A． B． C．D． 【答案】B 解：设的中点为点，连接交于点，在底面内，过点、分别作、，垂足分别为点、， 设，由四边形为底角为的等腰梯形，且，可得，， ，为的中点，则且， 四边形为菱形，所以为线段的垂直平分线， 则，，，平面， 在翻折的过程中，点在底面内的投影在线段上， 所以，为二面角的平面角，即， 当点在底面内的投影在线段上时，， 而，所以此时； 当点在底面内的投影在线段上时，则，，， 则在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以此时． 综上所述，.故选：B． 65．立体几何动态轨迹最值问题可以建立空间直角坐标系，利用向量方法研究空间中的线面位置关系 例如：已知正方体的棱长为，为侧面的中心，为棱的中点，为线段上的动点（不含端点），为上底面内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则 C．若，则线段的最大值为 D．当与的所成角为时，点的轨迹为双曲线的一部分 【详解】因为为侧面的中心，所以为的中点， 又为棱的中点，所以， 所以点到直线的距离等于点到直线的距离， 所以点到直线的距离等于点到直线的距离的一半， 设，所以点到直线的距离为， 所以点到直线的距离为，所以的面积， 又，，，平面， 所以平面， 所以三棱锥的体积，A正确； 如图以点为原点，为的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以向量为平面的一个法向量， 设，， 所以， 因为平面，所以， 所以，所以，所以，B错误； 设，则，又， 因为，所以，所以， 所以， 又，所以， 所以当时，线段取最大值，最大值为；C正确； 因为，， 又与的所成角为，所以， 化简可得，且， 所以点的轨迹为抛物线的一部分，D错误；故选：AC. 66.求几何体表面上两点间距离的最小值，展开几何体时注意分类讨论 例如：在高为的正三棱柱中，的边长为2，为棱的中点，若一只蚂蚁从点沿表面爬向点，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ）【答案】A A．3 B． C． D．2 【详解】如图1，将矩形翻折到与平面共面的位置, 此时，爬行的最短距离为； 如图2，将翻折到与平面共面的位置， 易知，，此时爬行的最短距离； 如图3，将矩形翻折到与平面共面的位置， 此时，爬行的最短距离. 综上，小蚂蚁爬行的最短距离为3.故选：A. 67．空间几何体与多球体内切问题注意找球心截面. 例如：将两个半径均为的球，一起放进一个正方体包装盒中，盒子棱长最小值为_________．【答案】/ 【详解】由题可知当两球外切且与正方体包装盒对角的三个面相切时盒子棱长最小， 过正方体对角作截面如图， 设此时盒子棱长为，则，， ∴()，即盒子棱长最小值为.故答案为：. 68．会求直线与平面交点的坐标 例如：在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，. (1)求证：平面平面； (2)平面于点，求二面角的余弦值. 【详解】（1）在和中， ，， 与互余，所以，即. 又平面，平面，. 又平面中，， 平面， 又平面，平面平面. （2），，两两互相垂直， 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 不妨设，则，，，， ，. 点在平面内，设， 则 ， 平面，，， ，解得， ，即， 点到平面的距离， 点到棱的距离， 设二面角大小为，则， ， 即二面角的余弦值为. 69.内切球与外接球结论 （1）棱长为的正四面体的高为，体积为; 其外接球半径，内切球半径（）； （2）长方体的外接球的直径是其体对角线. （3）当多面体存在内切球时，多面体的内切球半径. 70.立体几何中的结论（小题中应用） 1.三余弦定理:和平面所成角是：,在平面内射影为,在平面内, 设,则：. 2.最小角定理：斜线与平面内所有直线所成角中，线面角θ最小. 3.角平分线定理：由从同一点O出发的三条不共面射线 OA、OB、OC ，若则OA在平面BOC的射影在的角平分线上. 4.三垂线定理及逆定理：（常用来研究异面垂直） 一、定理内容 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。简单记：射影垂 ⇒ 斜线垂 二、逆定理 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。简单记：斜线垂⇒射影垂 71. 排列数组合数公式与性质 排列数公式:,并且.规定:；组合数公式：,，.规定. 组合数的性质与恒等式:（1）；（2）； （2） ； （3） ，、为正整数，，例如二项分布的期望公式证明. （4）， （5）用于裂项相消求和. 例如：（多选）排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是（BCD ） A． B． C． D． 解析: ，故C正确；对于D，考虑从两个各有个元素的集合和中选取总共个元素的方式数，总的选取方式数是.另一方面，我们可以将选取过程分为不同的情况，即从集合中选取个元素，从集合中选取个元素，其中从0到，对于每个，选取的方式数是.由于，所以每种情况的方式数是，因此，总的选取方式数可以表示为：，由于这两种方法计算的是同一个选取过程的方式数，所以它们相等：. 72.排列问题注意 ①相邻元素排列问题：捆绑法；②不相邻元素排列问题：插空法；③特殊元素/位置排列问题：优先法；④定序问题：除法处理,用总排列数A除以顺序固定元素的全排列数A，通过除法消去固定顺序带来的重复排列。 例如：（多选）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（BC） A．若五位同学排队，要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种 B．若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不排甲，则不同的排法共有42种 C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，其他人可以任意排列，则不同的排法有20种 D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位 同学，每位同学只能去一个社区，则不同的分配方案有72种 73.相同元素与不同元素的分配问题 ①相同元素分配：常用隔板法求解；②不同元素分配：结合分步乘法计数原理，先分组再进行全排列分配；③有限制条件分配：按限制要求分类讨论，再分别计算各类情况的分配数。 例如：（多选）现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（ AC  ） A．若6个相同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 B．若6个不同的小球放入编号为的盒子，则共有种放法 C．若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 D．若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种 74.均匀分组分配问题要注意通过除法消除重复 ①完全均匀分组：所有组的元素个数均相同，分组后需除以组数的阶乘消去重复；②部分均匀分组：仅有部分组元素个数相同，有n组个数一致则分组后除以n!；③完全非均匀分组：各组元素个数均不同，直接按组合数分组即可，无需额外运算。 例如：（多选）现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（  AC  ） A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法 B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有15种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法 75.二项式定理：二项式展开式的通项中和的顺序不能颠倒！第项的二项式系数为，注意系数与二项式系数的区别. 例1：求第5项的二项式系数是 5 ；第5项展开式系数是 10 .求的二项式系数和 32 ；展开式系数和 243 . 例2．已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（  BCD  ） A． B． C． D． 例3：多项式的展开式中，常数项为 76． 76.(1)二项展开式中系数的最值利用数列单调性来确定. 例1：已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为，则（ ABD  ） A． B．展开式中的常数项为 C．展开式中二项式系数最大项为 D．展开式中系数最大的项为 (2)会利用二项式定理求近似值和余数 例1：用二项式定理计算，精确到1的近似值为（ C ） A 99000… B.99002 C 99004 D 99005 例2：除以所得余数为（ C ） A． B． C． D． 77.总体、个体、样本、样本容量 总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体． 个体：构成总体的每一个元素叫做个体． 样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本． 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． 例如：某区教育局为了解本区今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述正确的是（　　） A．5000名学生是总体 B．抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本 C．样本量是250名学生的成绩 D．每一名学生是个体 解：总体指的是5000名参加今年大联考的学生的成绩，所以错误； 样本指的是抽取的250名学生的成绩，所以正确；样本量是250，所以错误； 个体指的是5000名学生中的每一名学生的成绩，所以错误．故选：． 78.简单随机抽样 有限性，逐一性，不放回性，等可能性，满足四个特点的抽样才是简单随机抽样． 例如：假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同．你能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？ 解：我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复，即可用红球出现的频率估计出红球的比例．也可以采用不放回地摸球去估计红球的比例． 79.总体平均数，样本平均数 样本平均数具有随机性，总体平均数是一个确定的数． 例如：树人中学跨学科项目式研学小组的同学们准备研究高一年级新生的健康情况．他们从学校医务室得到高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生的平均身高为．然后，同学们用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，如下表． 抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 样本量为50的平均数 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.7 165.7 165.0 样本量为100的平均数 164.4 165.0 164.7 164.9 164.6 164.9 165.1 165.2 165.1 165.2 为了更方便地观察数据，以便我们分析样本平均数的特点以及与总体平均数的关系，我们把这20次试验的平均数用图形表示出来，如下图所示 从试验结果看，有以下四种说法：①不管样本量为50还是为100，不同样本的平均数往往是不同的；②样本平均数偏离总体平均数都不超过1cm；③大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动；④比较样本量为50和样本量为100的样本平均数，还可以发现样本量为100的波动幅度明显小于样本量为50的，这与我们对增加样本量可以提高估计效果的认识是一致的，其中正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：对①，从表中的数据来看不管样本量为50还是为100，不同样本的平均数往往是不同的，故①正确； 对②，由表中数据可见最小数据是，而平均身高是165，故②错误； 对③，由样本平均数图形可见大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动，故③正确； 对④，由样本平均数图形可发现样本量为100的波动幅度明显小于样本量为50的，这与我们对增加样本量可以提高估计效果的认识是一致的，故④正确. 所以正确的说法有①③④. 故选：C. 80.分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. 【微点拨】分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的. 比例分配分层抽样:在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为，两层抽取的样本量分别为，两层的样本平均数分别为，两层的总体平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为.则＝＝ 在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数. 例1： 高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm. （1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高. （2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？ 解：（1）抽取男生人数为，抽取女生人数为. 高二年级全体学生的平均身高估计为（cm）. （2）仍按（1）方式进行估计，即（cm）. 例2：已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为.证明： （1）; （2）. 解：证明：（1）. （2） . 由可得. 同理. 因此. 81.总体百分位数估计 1.根据样本数据估计总体百分位数 计算一组个数据的第百分位数的一般步骤 第1步，按照从小到大排列原始数据． 第2步，计算％. 第3步，若不是整数，大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项和第(＋1)项数据的平均数． 例1：从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下： 7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8，8.3,8.0，分别求出这组数据的25%,95%分位数． 解：将所有数据从小到大排列得7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9， 因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×95%＝11.4， 则25%分位数是＝8.15，95%分位数是第12个数据9.9. 2.根据频率分布表或图估计总体百分位数 例2：某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现按比例分配分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)． (1)A类工人和B类工人中各应抽查多少人？ (2)A类工人中的抽查结果和B类工人中的抽查结果分别如表1和表2所示． 表1 生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 人数 4 8 x 5 3 表2 生产能力分组 [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 人数 6 y 36 18 先确定的值，再分别计算A类工人和B类工人生产能力的样本数据的60%分位数(保留两位小数)． 解：(1)由已知可得，从A类工人中应抽查100×＝25(人)，从B类工人中应抽查100×＝75(人)． (2)由题意知4＋8＋x＋5＋3＝25，解得x＝5，6＋y＋36＋18＝75，解得y＝15. A类工人生产能力频率分布表为 生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 频率 0.16 0.32 0.20 0.20 0.12 由频率分布表可知，A类工人生产能力在120以下的所占比例为16%＋32%＝48%. A类工人生产能力在130以下的所占比例为48%＋20%＝68%. 因此，60%分位数一定位于[120,130)内． 由120＋10×＝126， 82.总体集中趋势的估计 表达集中趋势的特征数 众数：一组数据中重复出现次数最多的数． 中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在最中间位置位置(或最中间两个数据的平均数)的数叫做这组数据的中位数． 平均数：如果个数，那么叫做这个数的平均数． 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数: ①在频率分布直方图中，将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值. ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； ③平均数的估计值为频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标 众数、中位数、平均数的应用 众数、中位数、平均数 ①众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题．众数可以有一个，也可以有多个． ②中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势． ③平均数受个别极端数据的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据时，平均数对总体估计的可靠性较差，往往用众数或中位数去估计总体．有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体． 例1：平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在右图中的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？ 解：一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形 状是对称的(图(1))，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”(图(2))，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”(图(3))，那么平均数小于中位数，也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边． 例2：四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为2，方差为2.4 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为2.8 解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故B正确； 对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故D错误； 故选：B． 83.总体离散程度的估计 方差、标准差 1.一组数据，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为 2.如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称＝为总体方差，＝为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，记为其中出现的频数为 (i＝1,2，…，k)，则总体方差为＝ 3.如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称 ＝为样本方差，为样本标准差． 4.标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差. 例1：数据的方差和标准差分别为.数据的方差和标准差分别为，若成立，a，b为常数，证明. 证明：设数据的平均数，数据的平均数为，则. ， . 例2：在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5.全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1.全年失球个数的标准差是0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？ （1）平均说来一队比二队防守技术好； （2）二队比一队技术水平更稳定； （3）一队有时表现很差，有时表现又非常好； （4）二队很少不失球. 解：（1）对，从平均数的角度考虑； （2）对，从标准差的角度考虑. （3）对，从平均数和标准差的角度考虑. （4）对，从平均数和标准差的角度考虑. 例3：某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（    ） A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 解：讲座前中位数为,所以错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对； 讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错； 讲座后问卷答题的正确率的极差为， 讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错. 故选:B. 例4：已知一组正数的方差为，则数据的平均数为 . 解：由方差的计算公式可得， 可得平均数，对于数据有． 84.要掌握复数的基本概念 例如. 以下有四个命题： （1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）若，则； （3）若且，则;（4），则． 其中正确的有 个． 【答案】0 85.要正确计算复数的模长 例如．若复数满足(为虚数单位)，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 86．方程有解的条件判断出错 例如 已知关于x的方程有实数根，求实数k应满足的条件． 错解： 由于方程有实数根，得，解得或 错因：误运用系数为实数情况下方程有根的充要条件，方程有实数根时，可把实数根代入方程整理成复数的标准形式，再根据复数相等的充要条件解出和的值即可． 正解：设是方程的实数根，代入方程并整理得， 由复数相等的充要条件，得，解得或． 87.要掌握复数的几何意义 例1．设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 【答案】B 例2．非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（    ） A．、、三点共线 B．是直角三角形 C．是等边三角形 D．以上都不对 【答案】B 例3（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有A．若则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 例4 （多选）．已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 例5．在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 88. 混淆“有放回”与“不放回”致错 在处理与抽样有关的概率问题时要区分“有放回抽取”和“无放回抽取”的不同，有放回抽取时每一次抽取背景是一样的，即总体个数不变概率不变；无放回抽取时每一次抽取背景是变化的，即总体个数要变，概率也变. 例如 已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 89.要掌握事件互斥的定义和性质 例如．已知事件两两互斥，若，，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 90.要掌握事件独立的定义和性质 例.（多选）已知事件与事件相互独立，且，则下列正确的是 A． B． C． D． 【答案】 AB 91.要掌握条件概率的性质 条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。 注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 例如．已知随机事件互相独立，满足，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 92.要掌握离散型随机变量的分布列的两个性质（1）;（2） 例．设随机变量的概率分布为，a为常数，，则___________． 答案4 93．要掌握全概率公式的应用 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，＝1，2，…，，则对任意的事件，有. 例如.某不透明的袋子中有2张蓝色卡片，3张红色卡片，现抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，记录朝下一面的点数，掷出几点就从袋中取出几张卡片，取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】记“抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，朝下的一面为点”为事件. 记“取出的卡片全是红色”为事件B.. 则. 94.要掌握贝叶斯公式应用 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 有 ，在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 例如.小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 95.要掌握二点分布的分布列 若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． 96.要掌握二项分布的分布列 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 97.要掌握超几何分布的分布列 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 98.要掌握数学期望、方差、标准差的计算公式： （1） （2） （3）= （4）期望与方差的性质： （5） 若则 （6）若服从超几何分布， 则 ， 99.要掌握正态曲线的性质 正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差； （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值（最大值）； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示： （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：： 　 例1．小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（   ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 【答案】B 例2．若随机变量，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 100.要正确区分超几何分布与二项分布 例1 为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前组的频率之比为， 其中第二组的频数为． （1）求该校报考飞行员的总人数； （2） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过公斤的学生人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）．（2）服从二项分布， ． 易错：以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，全省的学生很多，是二项分布，不是超几何分布 例2．（多选）一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 101.要掌握有关概率与数列的交汇（含马尔科夫链） 例如．足球传球训练中，A，B，C三名运动员相互传球，由A最先控制球（本次控球不计算控球次数），A传给B、C的可能性相同；当B控制球时，B传给A的概率为传给C的概率的2倍；当C控制球时，C传给A的概率为传给B的2倍．记，，为经过n次传球后球分别由A，B，C控制的概率，易知． (1)求，； (2)若，C队员控球的次数为X，A队员控球的次数为Y，比较与的大小； (3)求数列的通项公式，并判断经过2025次传球后，B队员控制球的概率与的大小． 【解析】（1），. （2），，∴， ∴，由已知得B、C控球机会相同，所以，即，所以. （3）依题意，，根据传球规则，，，，所以，， 所以，，因为， 所以，该式可以表示为：， 解齐次方程：，特征方程为，所以， 故通解为：，设，代入递推关系：，即，所以，故通解为：，利用初始条件：，解得：，综上，通项公式为：，， 因为2025是奇数，所以，，， 即经过2025次传球后，B队员控制球的概率大于与． 102. 样本相关系数 当时，称成对样本数据正相关，当时，称成对样本数据负相关； 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强， 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 103.一元线性回归模型的参数的公式能相互转化. 104.刻画回归效果的三种方法 ①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． ②残差平方和法：残差平方和越小，模型的拟合效果越好． ③决定系数法：越接近1，表明回归的效果越好． 105.要熟悉等等高条形图 （1）绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色． （2）等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(与(或与)相差很大)，就判断两个分类变量之间有关系． （3）通过等高条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度． 例：观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（ ） A． B．C．D． 【答案】D 观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强． 106.要掌握分类变量独立性检验的步骤 （1）零假设 （2）通过联表，计算 （3）由小概率值对应的临界值得出结论，随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 例如．（2025·全国一卷）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.005 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有关 【解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，根据表中数据可得，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 第29页共34页 学科网（北京）股份有限公司 $