第四章 指数函数与对数函数（单元自测，全国通用人教A版）数学初升高衔接

**基本信息** 初升高衔接阶段指数函数与对数函数单元卷，以核心素养为导向，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合文化传承与实际应用情境，适配衔接期知识深化需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|指数函数定义域、单调性比较、函数零点、充分必要条件|单选第5题以药物衰减为情境考查指数模型应用；多选第11题结合高斯函数培养数学抽象能力| |填空题|3题/15分|二分法、函数性质综合、奇函数应用|第13题开放型设计考查函数奇偶性与单调性，体现创新意识| |解答题|5题/77分|指数对数运算、函数定义域与最值、实际冷却模型、新定义问题|第17题以茶文化冷却为背景构建指数模型，体现数学建模与文化传承；第19题新定义“型函数”综合考查逻辑推理与创新思维|

第四章 指数函数与对数函数（单元自测） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 2．根据如图所示的函数图象，当时，以下不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据图像，当时，函数的图像在函数的上方，而在图像的上方，所以. 3．设 ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，又，所以， ，所以. 4．函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由，无零点. 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增. 又， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点. 综上所述，的零点个数为. 5．某药在病人血液中的量低于500mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（    ）h（精确到，参考数据：） A．3.6 B．5.7 C．7.0 D．8.0 【答案】C 【详解】因为药在血液中以每小时20%的比例衰减，所以设小时后，血液中的药量. 根据题意，整理得，两边取对数有， 由对数性质，又因为. 所以 所以再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过. 6．“函数在区间上单调递增”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由复合函数单调性和对数函数定义域可知： 函数在区间上单调递增等价于，即， 故“函数在区间上单调递增”是“”的充分不必要条件. 7．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，；当时，，； ，则当时，，即函数是R上的偶函数， 不等式， 整理得，解得，所以原不等式的解集为. 8．已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，的定义域为. ，则函数为偶函数. 当时，，函数在上单调递减，且，时，； 函数为偶函数，函数在上单调递增； 函数的值域为，图象如图所示： ， ，解得或. 方程有个不同的根， 函数的图象与直线和直线的图象共有3个交点. ，得. 实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．函数的图象（   ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】AC 【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误； 因为函数和函数在上均为增函数， 所以在上单调递增，故C正确，D错误. 10．若，，且，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，，且， 所以，所以， 所以， 故A正确，C错误； ，故B正确，D错误. 故选：AB. 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的＂高斯函数＂为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．在上是减函数 【答案】BC 【详解】对于A：因为，， 所以，则不是偶函数，故A错误； 对于B：函数的定义域为， 且，所以是奇函数，故B正确； 对于C：因为，所以，则，， 所以，即， 所以的值域为，故C正确； 对于D：因为，函数在上单调递增且， 又在上单调递增， 所以在R上是增函数，故D错误； 故选：BC 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 【答案】 【详解】设，因为所以零点在区间内， 所以第二次应该取区间的中点为. 故答案为： 13．写出一个同时具有下列性质①， ②， ③的函数， 其解析式可以为 ____________. ①，；         ② 在 上单调递增；            ③ 是偶函数. 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，，可联想， 此时， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，函数为偶函数，满足条件③， 当，， 因为函数为增函数，所以函数在上单调递增，满足条件②. 所以是满足条件①，②，③的函数之一（答案不唯一）. 14．已知是奇函数，函数，若使得，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由函数解析式有意义可得，且，所以且， 因为是奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，解得． 又，所以，解得. 经验证，当，时，为奇函数． 所以， 若，使得，即， 易知在上单调递减且恒大于0，当时，， 所以的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）化简并计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)1 (3)19 【详解】（1），， ， ， 原式 （2） （3）令， 则 ， 又，，， 原式. 16．（15分）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值及对应的值； (3)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)时最大值为 (3) 【分析】 【详解】（1）函数中，，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，而函数是增函数， 所以当时，函数取得最大值. （3）由（2）知，当时，，单调递增，取值集合为， 当时，，单调递减，取值集合为， 因此当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个不同的实数解， 所以实数的取值范围是. 17．（15分）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 【答案】(1) (2)33.4分钟. (3)当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 【分析】 【详解】（1）由题意知，，即， 所以，解得. （2）设该物体需要放置分钟温度降至24，由题意知，，即. 由（1）知，所以，即， 所以， 故该茶水的温度降至24需要33.4分钟. （3）当时，物体初始温度； 当时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度， 又当时，，因此，， 故. 当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 18．（17分）已知定义在上的函数不恒为0，且. (1)求的值，并判断的奇偶性. (2)对于定义在上的偶函数，满足，若函数的图象上不存在两点P，Q使得PQ//x轴，求a的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 【分析】 【详解】（1）由， 令，有，得， 令，则， 因为不恒为0，定义域为，所以， 则在上为奇函数. （2）因为，所以， 所以， 因为函数图象上不存在两点P，Q，使得PQ轴. 所以函数在定义域上严格单调， 下面讨论单调性：令，则t在上是增函数，且t＞0. 令， ①当，即或时， 若，在上单调递减， 则在上单调递减，符合； 若，在上单调递增， 则在上单调递增，符合； ②若时， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 不符合题意； 综上：a的取值范围为 19．（17分）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． (1)若函数是型函数，求a的值； (2)若函数是型函数，求a和b的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，．若在恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】 【详解】（1）函数是型函数， 得，即， 所以； （2）由是型函数， 得， 则，即对定义域内任意x恒成立， 又因为，解得且，由于x可取除0外的任意数， 于是必有，则，解得； （3）由是型函数，得， ①当时，，而，则，满足； ②当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，于是恒成立， 而函数在单调递增，则， 当且仅当时取等号，因此， ③当时，， 则， 由，得， 令，则当时，， 由②知，则只需时，恒成立， 即恒成立， 又，当且仅当时取等号，因此， 所以实数m的取值范围是． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数（单元自测） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．根据如图所示的函数图象，当时，以下不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设 ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 5．某药在病人血液中的量低于500mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（    ）h（精确到，参考数据：） A．3.6 B．5.7 C．7.0 D．8.0 6．“函数在区间上单调递增”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，关于的方程有个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．函数的图象（   ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 10．若，，且，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的＂高斯函数＂为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．在上是减函数 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为________． 13．写出一个同时具有下列性质①， ②， ③的函数， 其解析式可以为 ____________. ①，；         ② 在 上单调递增；            ③ 是偶函数. 14．已知是奇函数，函数，若使得，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）化简并计算下列各式： (1)； (2)； (3). 16．（15分）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值及对应的值； (3)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围 17．（15分）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 18．（17分）已知定义在上的函数不恒为0，且. (1)求的值，并判断的奇偶性. (2)对于定义在上的偶函数，满足，若函数的图象上不存在两点P，Q使得PQ//x轴，求a的取值范围. 19．（17分）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数． (1)若函数是型函数，求a的值； (2)若函数是型函数，求a和b的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，．若在恒成立，求实数m的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $