2.4自由落体运动 课时4自由落体与竖直上抛相遇问题（举一反三·讲义）物理人教版必修第一册

本高中物理讲义聚焦自由落体与竖直上抛相遇问题核心知识点，在匀变速直线运动位移时间关系基础上，通过同地不同时（追及问题）、异地同时（相对运动法）情境构建学习支架，帮助学生掌握运动学规律应用。 资料以消防员接应、体育课抛接球等生活情景导入，结合例题与变式题训练，培养科学思维（模型建构、科学推理）和物理观念（运动和相互作用）。课中助力教师引导学生从生活到物理，课后分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

· 2.3匀变速直线运动位移与时间的关系 · 课时4自由落体与竖直上抛相遇问题 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 在日常生活中，我们常看到这样的场景：消防员从高处释放救生袋，而地面上的队员同时向上跳跃去接应；或者在体育课上，老师从地面竖直上抛一个球，而楼上同学在同一时刻释放另一个球。这两个物体在空中会不会相遇？如果相遇，是在什么时刻、什么位置？这背后隐藏着怎样的运动学规律？ 让我们从基本的匀变速直线运动规律出发，探究“相遇”背后的物理奥秘。 一、同地不同时释放的相遇问题（追及问题） 1.情境描述 物体A从地面以初速度竖直上抛，与此同时（），物体B在A正上方高处由静止释放（自由落体）。两物体在空中运动，求相遇时间及相遇点高度。 2.核心规律 (1)位移关系：相遇时，两物体的位移之和等于初始高度差。 (2)时间关系：两物体运动时间相同（设为）。 (3)公式表达： ①上抛物体A的位移： ②自由落体物体B的位移： ③相遇条件： 3.关键推论 (1)相遇时间:仅由初始高度和上抛初速度决定，与重力加速度无关。 (2)相遇点高度。 例题1、小球A从离地面20m高处做自由落体运动,小球B从A正下方的地面上以20 m/s的初速度做竖直上抛运动．两球同时开始运动,在空中相遇,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　  　) A．两球相遇时速度都是10 m/s，方向竖直向下 B．两球相遇位置离地面高度为15 m C．开始运动1.5 s时相遇 D．两球在空中相遇两次 【答案】B 【详解】C、小球A做自由落体运动，小球B做竖直上抛运动，设经过时间t在空中相遇，A自由落体位移：，B竖直上抛的位移：，，联立可得：，经过1s两球相遇，故C错误； A、相遇时，A球的速率，方向竖直向下，B球的速率，方向竖直向上，故A错误； B、相遇时离地面高度，故B正确； D、由题意知，B球速度减为零的时间为，两球第一次相遇后，A球继续下落，B球继续向上运动，当B球上升到最高点时，A球下落距离，故两球不可能在空中相遇两次，故D错误； 故B正确． 【点睛】小球A做自由落体运动，小球B做竖直上抛运动，根据位移时间公式分别求出A和B的位移大小；两球在空中相碰，则两球的位移之和等于20m，列式求解进行判断． 变式1-1、鸿恩寺公园的鸿恩阁为仿古建筑，共七层，是重庆主城最高观景台。登上鸿恩阁，渝中、南岸、江北、渝北、沙坪坝、北部新区等6个区的美景和两江上的舟桥都尽收眼底。某物理研究小组测量出鸿恩阁海拔高约为468m，甲同学在鸿恩阁阁楼，离地面20m高处让物体A由静止开始自由落下，同时乙同学将物体B自鸿恩阁地面以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．若，则A、B两物体在B上升的最高点相遇 B．若，则A、B 两物体在B上升的最高点相遇 C．若，A、B两物体相遇时，B正在下落途中 D．若，A、B两物体相遇时，B正在下落途中 【答案】AD 【详解】ABC．若物体B正好运动到最高点时两物体相遇，物体B速度减小为零所用的时间 此时A下落的高度 B上升的高度 且 解得 可知若，则A、B两物体在B上升的最高点相遇；若，A、B两物体相遇时，B正在上升途中，故A正确，BC错误； D．若A、B两物体恰好在落地时相遇，则有 此时A下落的高度 解得 可知若，A、B两物体相遇时，B正在下落途中，故D正确。 故选AD。 变式1-2、A球由塔顶自由落下，当落下am时，B球自距离塔顶bm处开始自由落下，两球恰好同时落地，则这塔的高度为：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据得 设塔高h，则B球下落的时间为 对A球有 联立解得： 故C正确． 变式1-3、在时刻，从水平地面以初速度竖直上抛一小球a，同时在小球a正上方离地高H处的位置自由释放小球b，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．若两球同时落地，则 B．若两球同时落地，则 C．若a、b能在空中相遇，则相遇的时刻 D．若a、b能在空中相遇，则相遇的时刻 【答案】AC 【详解】AB．由题可知，根据自由落体运动规律可知，b球落地的时间 故a球在空中运动时间 解得 A正确，B错误； CD．根据竖直上抛运动和自由落体运动的规律可知，二者在空中相遇的时间为 即有 解得 C正确，D错误。 故选AC。 二、异地同时释放的相遇问题（相对运动法） 1.情境描述 物体A从地面以初速度竖直上抛，经过时间后，物体B从离地高处由静止释放。 2.核心规律 (1)位移方程：设B释放后经过时间相遇。 ①A的总运动时间： ②A的位移： ③B的位移： ④相遇条件： 3.临界条件 (1)恰好相遇：判别式。 (2)相遇两次：判别式。 (3)不相遇：判别式。 例题2、小球从离地面高处做自由落体运动，小球从下方的地面上以的初速度做竖直上抛运动，两球同时开始运动，在空中相遇，不考虑相遇时的碰撞对运动过程的影响，两球落地后不反弹，取，则下列说法正确的是（　　） A．相遇时，小球的速率是 B．两球相遇位置离地面高度为 C．开始运动时两球相遇 D．两球在空中只相遇一次 【答案】BD 【详解】A．根据题意有，设两球相遇时间为，则 解得 所以当两球相遇时，球的速度为 （方向竖直向下）球的速度为 （方向竖直向上） 故A错误； B．两球相遇时离地面高度为 故B正确； C．由上分析，开始运动时相遇，故C错误； D．球A自由落体所需时间为 解得 球竖直上抛到最高点所需时间为 解得 所以当球刚落地时，球刚好到最高点，所以两球在空中只相遇过一次，故D正确。 故选BD。 变式2-1、如图所示，小球A自距离地面高为的位置在时刻自由下落，与此同时，小球正下方一长为的金属管从地面以的初速度竖直上抛，已知在金属管落地前小球能从管中穿过。已知重力加速度为，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球与金属管在空中相遇的时刻为 B．小球穿过金属管所用的时间等于 C．若，则小球一定在金属管上升阶段穿过金属管 D．若只增大，其他条件不变，小球穿过金属管的时间将变短 【答案】AC 【详解】规定竖直向上为正方向，小球自由落体运动 ，金属管竖直上抛 ，小球相对于金属管的速度 以金属管为参考系，小球的运动为向下匀速直线运动，速度为 A．小球相对金属管来说在做匀速直线运动，设小球与金属管相遇所用时间为， 解得 ，A正确； B．小球相对金属管来说在做匀速直线运动，小球穿过金属管的时间为， ，，B错误； C．小球从开始下落到穿过金属管所用时间 ；金属管上升时间 若小球在管上升阶段穿过金属管，则满足 解得 ，C正确； D．由以上解析可知，小球穿过金属管的时间与H无关，D错误。 故选AC。 变式2-2、从地面竖直上抛物体A，同时在离地面某一高度处有一物体B自由下落，两物体在空中同时到达同一高度时速度大小均为v，则下列说法正确的是    (　　) A．两物体在空中运动的时间相等 B．A上升的最大高度大于B开始下落时的高度 C．A上抛的初速度与B落地时速度大小相等，都是2v D．两物体在空中同时达到的同一高度处一定是B开始下落时高度的中点 【答案】C 【分析】竖直上抛运动看成向上的加速度为g的匀减速直线运动处理，根据两物体在空中同时到达同一高度求出运动经过的时间，由运动学公式和竖直上抛运动的对称性分析求解． 【详解】C．设两物体从下落到相遇的时间为t，竖直上抛物体的初速度为v0，则由题对B物体： v=gt 对A物体： v =v0-gt 解得： v0=2v 故C正确； A．根据竖直上抛运动的对称性可知，B自由落下到地面的速度为2v，在空中运动时间为 A竖直上抛物体在空中运动时间 故A错误； B．物体A能上升的最大高度： B开始下落的高度 故B错误； D．两物体在空中同时达到同一高度为： 故D错误． 故选C． 【点睛】本题涉及两个物体运动的问题，关键要分析两物体运动的关系，也可以根据竖直上抛运动的对称性理解． 变式2-3、在学习了自由落体运动和竖直上抛运动的知识之后，小刘同学对物理学产生了浓厚的兴趣，如图所示，他将小球a从地面以一定的初速度竖直上抛的同时，使另一相同质量的小球b从距地面高h处由静止释放，两球恰在离地面高处相遇。不计空气阻力，小球a、b均可视为质点，重力加速度为g，则小球a的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】a、b两小球在相等的时间内，运动的位移大小分别为、，由 联立解得v0= 故选A。 模块三 课后作业 1．如图所示，在一种“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球和小球，从距水平地面和高度的地方同时由静止释放。忽略空气阻力及碰撞时间，若B球与地面碰撞后原速率弹回，要使球B在第一次上升过程中与球A相碰，则的取值可能为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【详解】设B球自由下落的时间为，根据自由落体运动公式有 B球与地面碰撞后原速率弹回，做竖直上抛运动，根据对称性，B球回到原高度h处的时间为。要使B球在第一次上升过程中与A球相碰，临界情况是B球刚好回到原高度h时与A球相碰。此时A球下落的时间为，下落的位移为 相遇时A球的高度应小于等于B球的高度h，即 解得，又，可得 故选A。 2．如图所示，一长为L的竖直圆筒，底端距地面高度为H，由静止释放，同时在圆筒中心轴线的正下方将一小球从地面以初速度v0竖直向上抛出，小球的直径小于圆筒的内径。若圆筒落地前小球能进入圆筒且不会从圆筒上端离开，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小球初速度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆筒做自由下落运动，初始底端高度为，任意时刻圆筒底端位置 圆筒顶端位置 小球做竖直上抛运动，初始位置为0，任意时刻小球位置 可得 ， 圆筒落地时 ，代入得 解得落地时间 小球能进入圆筒（落地前进入） 小球到达筒底时 得时间，要求 可得 小球不会从上端离开（落地前不离开） 小球到达筒顶时 得时间，要求​（落地前未到达上端，即不离开 可得 ​​ 综上，​的范围是： ​​​ 故选D。 3．杂技团进行高空抛接表演，演员将一只长为0.4m的空心竖直圆筒、以6m/s的初速度竖直向上抛出。经过0.4s后，演员在同一位置以相同的初速度竖直向上抛出一小球，忽略空气阻力，重力加速度g取10。则小球抛出后，经过多长时间能从圆筒上端穿出（　　） A．0.1s B．0.25s C．0.35s D．0.5s 【答案】D 【详解】设小球抛出后经过时间从圆筒上端穿出，此时圆筒的总运动时间为，取竖直向上为正方向，抛出点为位移原点，竖直上抛位移公式为 小球的位移 圆筒底部的位移： 圆筒上端位移为（为圆筒长度） 穿出时小球位移等于圆筒上端位移，联立得 展开消去同类项后解得 即 故选D。 4．从地面竖直上抛一物体A，同时在某一高度处另一物体B开始做自由落体运动，物体A、B在空中相遇时速率均为v，重力加速度为g，则下列说法错误的是（　　） A．物体A上抛时的初速度大小和物体B落地时的速度大小都是2v B．物体A从上抛到落地经历的时间为 C．物体A能上升的最大高度和物体B开始下落的高度相等 D．物体A从开始上抛至与B相遇路程大小为或 【答案】D 【详解】AC．以向上为正方向，设相遇时间为，B做自由落体运动，相遇时速率为，故 得相遇时间 两物体同时运动，运动时间相同，物体A上抛时的初速度大小为，在下降阶段相遇有 可得，显然不合理，可知在上升阶段相遇，有 可得 因为A、B在空中相遇时速率均为v，方向相反，根据竖直上抛的对称性可知相遇后A上升的高度和相遇前B下降的高度相等，可知A上升的最大高度等于B开始下落的高度，有 可得，故AC正确； B．物体A从上抛到落地经历的时间为，故B正确； D．相遇仅发生在A上升阶段，从开始上抛至与B相遇，A路程等于位移大小，有 故不存在路程大小为的情况，故D错误。 本题选错误的，故选D。 5．如图所示，在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的球A和球B，分别从距水平地面高度为和h的位置同时由静止释放。球A的质量为m，球B的质量为3m。设小球与地面碰撞后以原速率反弹，忽略球的直径、空气阻力及小球与地面碰撞时间。若球B在第一次上升到最高点时刚好与球A相碰，则k值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】B从高度自由下落，由自由落体公式 得下落时间 碰地时速度 B反弹后做竖直上抛运动，上升到最高点时速度减为0，因此上升时间 上升高度 从释放到B上升到最高点的总时间 A全程做自由落体运动，总下落位移 代入总时间得 相遇时A离地面的高度等于B离地面的高度，因此有 解得 故选C。 6．离地高5h处的小球（视为质点）静止释放的同时，其正下方长为h的管从地面以初速度竖直上抛，球能从管穿过且互不影响，如题图所示，当球下落h时刚要进入管。不计空气阻力，则（    ） A．球穿过管的时间为 B．球穿过管的时间为 C．球落地时的速度为 D．球落地时的速度为 【答案】D 【详解】AB．由于球和管的加速度均为重力加速度，所以球相对于管做速度为的匀速直线运动，则球穿过管的时间为，故AB错误； CD．当球下落h时刚要进入管，设该过程所用时间为，则有， 可得 设球落地时的速度为，则有 解得，故C错误，D正确。 故选D。 7．如图所示，小球甲从距离地面高度为处以速度竖直向上抛出，同时小球乙从同一高度处以速度竖直向下抛出。已知小球运动的过程中均不计空气阻力，重力加速度取。若两小球落地后均能原速率反弹，当二者处于同一高度时视为相遇，则下列说法中正确的是（　　） A．小球乙落地前，乙球的速度比甲球的速度变化得更快 B．小球乙落地后，两小球的高度差一直增大 C．从一开始到小球乙落地前，两小球的速度差不断增大 D．在之后的运动过程中，两小球每隔都会相遇一次 【答案】D 【详解】A．小球乙落地前，两球加速度相同，两球速度变化一样快，故A错误； C．取向下为正方向，小球乙落地前，两球速度差为，故C错误； BD．小球甲上升到最高点的时间为 小球乙落地时间为 解得 小球乙落地时，小球甲恰好上升到最高点，小球乙落地后反弹向上运动时，小球甲向下运动，小球乙到达最高点时，小球甲落地，两个小球总是一个落地时，另一个一定位于最高点；以小球乙为参考系，小球甲一直在小球乙的上方，以20m/s的速率上升1s、下降1s，做往复运动，两小球每隔2s都会相遇一次；小球乙落地后，两小球的高度差，有时增大，有时减小，故B错误，D正确。 故选D。 8．小球a从距地面高5m的位置由静止释放，同时在a正下方另一小球b从地面以10m/s的初速度竖直向上抛出，重力加速度取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．b下降的过程中与a相碰 B．两小球经历1s相碰 C．两小球相碰时速度大小相等 D．两小球相碰时距地面高度为4m 【答案】C 【详解】B．设两小球相碰时间为。小球做自由落体运动，位移公式为 小球做竖直上抛运动，位移公式为（以向上为正方向）。 相碰时，两小球位移之和等于初始高度 代入公式 解得t=0.5s，B错误； A．上升阶段所需时间 相碰时间t=0.5s<1s，故在上升过程中相碰，不在下降过程，故A错误。 C．相碰时的速度大小 的速度大小，大小相等，故C正确。 D．相碰时距地面高度为，故 D 错误。 故选C。 9．如图所示，直杆长，圆筒高，直杆位于圆筒正上方处。圆筒离地面足够高，直杆从静止开始自由下落，并能竖直无接触穿过圆筒。g取，忽略空气阻力，由此可知（　　） A．直杆开始自由下落到下端刚好到达圆筒A端高度时经历的时间为 B．直杆穿过圆筒所用的时间为 C．若直杆下端刚好到达圆筒A端高度时，同时释放圆筒自由下落，则直杆穿过圆筒的时间为 D．若直杆开始自由下落的同时，将圆筒以的初速度竖直上抛，则在圆筒达到最高点时，直杆下端刚好与圆筒A端处于同一高度 【答案】C 【详解】A．直杆开始自由下落到下端刚好到达圆筒A端时，下降高度为，故自由落体的时间，故A错误； B．直杆开始自由下落到上端刚好穿出圆筒时，下降高度为 故自由落体的时间 直杆穿过圆筒所用的时间为，故B错误； C．若直杆下端刚好到达圆筒A端高度时，可知此时直杆的速度大小为 释放圆筒自由下落，两者均存在竖直向下的重力加速度g，则以圆筒为参考系，直杆做匀速运动，穿过圆筒的时间为，故C正确； D．若直杆开始自由下落的同时，将圆筒以的初速度竖直上抛，圆筒达到最高点用时 该段时间内，圆筒上升高度为 直杆下降高度为 可知直杆下端与圆筒A端相距，故D错误。 故选C。 10．如图所示，从空中将小球从点竖直向上抛出的同时，小球从点静止释放。已知的高度差为，点在点的正下方，的高度差为。不计空气阻力，重力加速度为，两小球均可视为质点。对两小球的运动，下列分析正确的是（　　） A．若小球在上升阶段与小球相遇，则小球的初速度应大于 B．若小球在点处与小球相遇，小球的初速度大小为 C．若小球在点处追上小球，则小球相对抛出点上升的最大高度为 D．若小球在点处追上小球，追上时小球的速度大小为 【答案】D 【详解】A．令、最高点相遇，则有 解得 又 解得 要小球在上升阶段与小球相遇，小球的初速度大小应满足，故A错误； B．要小球在A点处与小球相遇，对有 对有 解得，故B错误； C．小球在C点处追上小球，对有 对有 联立解得 则小球相对抛出点上升的最大高度为，故C错误； D．若小球在点处追上小球，追上时小球的速度大小为 则小球的速度大小为，故D正确。 故选D。 11．如图所示，有一空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度为H（已知量），筒的轴线竖直。圆筒轴线上与筒顶端等高处有一弹性小球，现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的，它与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。已知圆筒第一次反弹后再次落下，它的底端与小球同时到达地面（在此之前小球未碰过地），重力加速度为g，不计空气阻力，则下列选项正确的是（     ） A．圆筒的长度为 B．圆筒第一次碰地后的反弹速率为 C．小球从释放到第一次落地所经历的时间为 D．圆筒第一次落地弹起后相对于地面上升的最大高度为 【答案】AC 【详解】BD．圆筒第一次落地做自由落体运动，有 圆筒第一次碰地后的反弹速率 圆筒第一次落地弹起后到最高点做匀减速运动，可视为初速度为零的匀加速运动，有 联立解得，故BD错误； C．根据可得圆筒第一次落地的时间 圆筒第一次弹起后到最高点的时间 圆筒第一次弹起后到落地时小球同时到达地面，所以小球从释放到第一次落地所经历的时间，故C正确； A．小球下落的高度 则圆筒的长度，故A正确。 故选AC。 12．A、B两球紧靠在一起静止在水平地面上，将A球竖直拿离地面并从离地高H处由静止释放，同时B球以大小为的初速度竖直向上抛出，如图所示。已知两球均可视为质点，球与地面相撞后以相同的速率竖直向上反弹，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则（　　） A．两球第一次相遇的高度为 B．两球第一次相遇的时间为 C．两球第2次相遇的时间为 D．两球第2次相遇的时间为 【答案】BD 【详解】B．A球初始高度，由静止释放，由匀变速直线运动位移与时间的关系，离地高度 B球初始在地面，初速度，由匀变速直线运动位移与时间的关系，离地高度 第一次相遇时，有，代入得 联立解得，故B正确； A．由匀变速直线运动位移与时间的关系，可得第一次相遇高度，故A错误； CD．A球第一次落到地面时，解得落地时间 碰撞后原速率反弹，反弹后速度大小为 此时B的离地高度 B的速度 则B刚好到达最高点，因此可看作A、B互换位置，则两球第2次相遇的时间，故C错误，D正确。 故选BD。 13．如图所示，一小球从地面以大小为的速度竖直上抛，地面上方高h处有一长为L的竖直金属管同时自由下落，金属管和小球落地前小球从管中穿出。已知金属管和小球落地不反弹，不考虑二次进管，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（    ） A．小球穿过管所用时间为 B．若小球在上升阶段穿过管，则 C．若小球在下降阶段穿过管，则 D．小球有可能从金属管下端进入后又从下端穿出 【答案】BC 【详解】A．规定竖直向下为正方向，金属管的位移满足 小球的位移满足 两者相遇的时刻满足 小球穿过管的时刻满足 小球穿过管所用时间为，故A错误； B．若小球在上升阶段穿过管，则小球的速度变化量应小于初速度，即 解得，故B正确； C．小球在下降阶段穿过管，则小球的速度变化量应大于初速度，即 且金属管和小球落地前小球从管中穿出，即 解得，故C正确； D．小球做竖直上抛运动，若小球从金属管下端进入，则在之后的运动过程中金属管下落速度始终大于小球的下落速度，小球不可能从金属管下端穿出，故D错误。 故选BC。 14．如图所示，篮球运动员在争球训练时，从地面以的速度竖直起跳，在运动过程中身形保持不变，起跳的同时手的正上方高处有篮球自由下落，运动员落地前已经接触到篮球。已知重力加速度为，不计空气阻力，求 (1)运动员从开始运动到手接触到篮球所用的时间； (2)若运动员调整起跳速度，确保在上升阶段接触到篮球，起跳速度的范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设运动员经过时间接触到篮球，运动员做竖直上抛运动，时刻上升的高度 篮球做自由落体运动，时刻下降的高度 运动员从开始运动到手接触到篮球，两者相对靠近的距离为，满足 运动员从开始运动到手接触到篮球所用的时间 （2）运动员竖直上抛，上升到最高点的时间为 要在上升阶段接触篮球，要求接触时间满足 代入， 整理得 即 15．如图所示，长为的直杆AB沿竖直方向，直杆下侧的C点有一可视为质点的小球，小球到直杆下端的距离为，小球距离地面足够高。假设在下列运动过程中小球和直杆不会发生碰撞，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)若小球不动，直杆由静止释放，直杆通过小球的时间； (2)若直杆不动，小球以初速度竖直向上抛出，小球向上运动通过直杆的时间； (3)若直杆自由释放的同时，小球以初速度竖直向上抛出，欲使小球在竖直下落过程中（到达C点及C点之前）与直杆的下端相遇，则满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若小球不动，直杆由静止释放后，设经时间直杆的下端B刚好运动到小球所在的位置，则有 解得 设经时间直杆的上端A刚好运动到小球所在的位置，则有 解得 直杆通过小球的时间为 解得 （2）若直杆不动，小球做竖直上抛运动，设小球刚好运动到B端的时间为，则有 设小球刚好运动到A端的时间为，则有 小球通过直杆的时间为 代入数据解得 （3）若直杆自由释放的同时，小球以初速度竖直向上抛出，设经时间二者相遇，对小球有 对直杆有 小球与直杆的下端相遇时，有 整理得 小球上升到最高点的时间为 小球从抛出到回到抛出点的时间为 欲使小球在下落过程中与直杆的下端相遇，则应有 联立解得 第2页，共23页 第1页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 2.3匀变速直线运动位移与时间的关系 · 课时4自由落体与竖直上抛相遇问题 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 在日常生活中，我们常看到这样的场景：消防员从高处释放救生袋，而地面上的队员同时向上跳跃去接应；或者在体育课上，老师从地面竖直上抛一个球，而楼上同学在同一时刻释放另一个球。这两个物体在空中会不会相遇？如果相遇，是在什么时刻、什么位置？这背后隐藏着怎样的运动学规律？ 让我们从基本的匀变速直线运动规律出发，探究“相遇”背后的物理奥秘。 一、同地不同时释放的相遇问题（追及问题） 1.情境描述 物体A从地面以初速度竖直上抛，与此同时（），物体B在A正上方高处由静止释放（自由落体）。两物体在空中运动，求相遇时间及相遇点高度。 2.核心规律 (1)位移关系：相遇时，两物体的位移之和等于初始高度差。 (2)时间关系：两物体运动时间相同（设为）。 (3)公式表达： ①上抛物体A的位移： ②自由落体物体B的位移： ③相遇条件： 3.关键推论 (1)相遇时间:仅由初始高度和上抛初速度决定，与重力加速度无关。 (2)相遇点高度。 例题1、小球A从离地面20m高处做自由落体运动,小球B从A正下方的地面上以20 m/s的初速度做竖直上抛运动．两球同时开始运动,在空中相遇,g取10 m/s2,则下列说法正确的是(　  　) A．两球相遇时速度都是10 m/s，方向竖直向下 B．两球相遇位置离地面高度为15 m C．开始运动1.5 s时相遇 D．两球在空中相遇两次 变式1-1、鸿恩寺公园的鸿恩阁为仿古建筑，共七层，是重庆主城最高观景台。登上鸿恩阁，渝中、南岸、江北、渝北、沙坪坝、北部新区等6个区的美景和两江上的舟桥都尽收眼底。某物理研究小组测量出鸿恩阁海拔高约为468m，甲同学在鸿恩阁阁楼，离地面20m高处让物体A由静止开始自由落下，同时乙同学将物体B自鸿恩阁地面以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．若，则A、B两物体在B上升的最高点相遇 B．若，则A、B 两物体在B上升的最高点相遇 C．若，A、B两物体相遇时，B正在下落途中 D．若，A、B两物体相遇时，B正在下落途中 变式1-2、A球由塔顶自由落下，当落下am时，B球自距离塔顶bm处开始自由落下，两球恰好同时落地，则这塔的高度为：（    ） A． B． C． D． 变式1-3、在时刻，从水平地面以初速度竖直上抛一小球a，同时在小球a正上方离地高H处的位置自由释放小球b，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．若两球同时落地，则 B．若两球同时落地，则 C．若a、b能在空中相遇，则相遇的时刻 D．若a、b能在空中相遇，则相遇的时刻 二、异地同时释放的相遇问题（相对运动法） 1.情境描述 物体A从地面以初速度竖直上抛，经过时间后，物体B从离地高处由静止释放。 2.核心规律 (1)位移方程：设B释放后经过时间相遇。 ①A的总运动时间： ②A的位移： ③B的位移： ④相遇条件： 3.临界条件 (1)恰好相遇：判别式。 (2)相遇两次：判别式。 (3)不相遇：判别式。 例题2、小球从离地面高处做自由落体运动，小球从下方的地面上以的初速度做竖直上抛运动，两球同时开始运动，在空中相遇，不考虑相遇时的碰撞对运动过程的影响，两球落地后不反弹，取，则下列说法正确的是（　　） A．相遇时，小球的速率是 B．两球相遇位置离地面高度为 C．开始运动时两球相遇 D．两球在空中只相遇一次 变式2-1、如图所示，小球A自距离地面高为的位置在时刻自由下落，与此同时，小球正下方一长为的金属管从地面以的初速度竖直上抛，已知在金属管落地前小球能从管中穿过。已知重力加速度为，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球与金属管在空中相遇的时刻为 B．小球穿过金属管所用的时间等于 C．若，则小球一定在金属管上升阶段穿过金属管 D．若只增大，其他条件不变，小球穿过金属管的时间将变短 变式2-2、从地面竖直上抛物体A，同时在离地面某一高度处有一物体B自由下落，两物体在空中同时到达同一高度时速度大小均为v，则下列说法正确的是    (　　) A．两物体在空中运动的时间相等 B．A上升的最大高度大于B开始下落时的高度 C．A上抛的初速度与B落地时速度大小相等，都是2v D．两物体在空中同时达到的同一高度处一定是B开始下落时高度的中点 变式2-3、在学习了自由落体运动和竖直上抛运动的知识之后，小刘同学对物理学产生了浓厚的兴趣，如图所示，他将小球a从地面以一定的初速度竖直上抛的同时，使另一相同质量的小球b从距地面高h处由静止释放，两球恰在离地面高处相遇。不计空气阻力，小球a、b均可视为质点，重力加速度为g，则小球a的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．如图所示，在一种“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球和小球，从距水平地面和高度的地方同时由静止释放。忽略空气阻力及碰撞时间，若B球与地面碰撞后原速率弹回，要使球B在第一次上升过程中与球A相碰，则的取值可能为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．如图所示，一长为L的竖直圆筒，底端距地面高度为H，由静止释放，同时在圆筒中心轴线的正下方将一小球从地面以初速度v0竖直向上抛出，小球的直径小于圆筒的内径。若圆筒落地前小球能进入圆筒且不会从圆筒上端离开，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小球初速度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．杂技团进行高空抛接表演，演员将一只长为0.4m的空心竖直圆筒、以6m/s的初速度竖直向上抛出。经过0.4s后，演员在同一位置以相同的初速度竖直向上抛出一小球，忽略空气阻力，重力加速度g取10。则小球抛出后，经过多长时间能从圆筒上端穿出（　　） A．0.1s B．0.25s C．0.35s D．0.5s 4．从地面竖直上抛一物体A，同时在某一高度处另一物体B开始做自由落体运动，物体A、B在空中相遇时速率均为v，重力加速度为g，则下列说法错误的是（　　） A．物体A上抛时的初速度大小和物体B落地时的速度大小都是2v B．物体A从上抛到落地经历的时间为 C．物体A能上升的最大高度和物体B开始下落的高度相等 D．物体A从开始上抛至与B相遇路程大小为或 5．如图所示，在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的球A和球B，分别从距水平地面高度为和h的位置同时由静止释放。球A的质量为m，球B的质量为3m。设小球与地面碰撞后以原速率反弹，忽略球的直径、空气阻力及小球与地面碰撞时间。若球B在第一次上升到最高点时刚好与球A相碰，则k值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．离地高5h处的小球（视为质点）静止释放的同时，其正下方长为h的管从地面以初速度竖直上抛，球能从管穿过且互不影响，如题图所示，当球下落h时刚要进入管。不计空气阻力，则（    ） A．球穿过管的时间为 B．球穿过管的时间为 C．球落地时的速度为 D．球落地时的速度为 7．如图所示，小球甲从距离地面高度为处以速度竖直向上抛出，同时小球乙从同一高度处以速度竖直向下抛出。已知小球运动的过程中均不计空气阻力，重力加速度取。若两小球落地后均能原速率反弹，当二者处于同一高度时视为相遇，则下列说法中正确的是（　　） A．小球乙落地前，乙球的速度比甲球的速度变化得更快 B．小球乙落地后，两小球的高度差一直增大 C．从一开始到小球乙落地前，两小球的速度差不断增大 D．在之后的运动过程中，两小球每隔都会相遇一次 8．小球a从距地面高5m的位置由静止释放，同时在a正下方另一小球b从地面以10m/s的初速度竖直向上抛出，重力加速度取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．b下降的过程中与a相碰 B．两小球经历1s相碰 C．两小球相碰时速度大小相等 D．两小球相碰时距地面高度为4m 9．如图所示，直杆长，圆筒高，直杆位于圆筒正上方处。圆筒离地面足够高，直杆从静止开始自由下落，并能竖直无接触穿过圆筒。g取，忽略空气阻力，由此可知（　　） A．直杆开始自由下落到下端刚好到达圆筒A端高度时经历的时间为 B．直杆穿过圆筒所用的时间为 C．若直杆下端刚好到达圆筒A端高度时，同时释放圆筒自由下落，则直杆穿过圆筒的时间为 D．若直杆开始自由下落的同时，将圆筒以的初速度竖直上抛，则在圆筒达到最高点时，直杆下端刚好与圆筒A端处于同一高度 10．如图所示，从空中将小球从点竖直向上抛出的同时，小球从点静止释放。已知的高度差为，点在点的正下方，的高度差为。不计空气阻力，重力加速度为，两小球均可视为质点。对两小球的运动，下列分析正确的是（　　） A．若小球在上升阶段与小球相遇，则小球的初速度应大于 B．若小球在点处与小球相遇，小球的初速度大小为 C．若小球在点处追上小球，则小球相对抛出点上升的最大高度为 D．若小球在点处追上小球，追上时小球的速度大小为 11．如图所示，有一空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度为H（已知量），筒的轴线竖直。圆筒轴线上与筒顶端等高处有一弹性小球，现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的，它与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。已知圆筒第一次反弹后再次落下，它的底端与小球同时到达地面（在此之前小球未碰过地），重力加速度为g，不计空气阻力，则下列选项正确的是（     ） A．圆筒的长度为 B．圆筒第一次碰地后的反弹速率为 C．小球从释放到第一次落地所经历的时间为 D．圆筒第一次落地弹起后相对于地面上升的最大高度为 12．A、B两球紧靠在一起静止在水平地面上，将A球竖直拿离地面并从离地高H处由静止释放，同时B球以大小为的初速度竖直向上抛出，如图所示。已知两球均可视为质点，球与地面相撞后以相同的速率竖直向上反弹，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则（　　） A．两球第一次相遇的高度为 B．两球第一次相遇的时间为 C．两球第2次相遇的时间为 D．两球第2次相遇的时间为 13．如图所示，一小球从地面以大小为的速度竖直上抛，地面上方高h处有一长为L的竖直金属管同时自由下落，金属管和小球落地前小球从管中穿出。已知金属管和小球落地不反弹，不考虑二次进管，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（    ） A．小球穿过管所用时间为 B．若小球在上升阶段穿过管，则 C．若小球在下降阶段穿过管，则 D．小球有可能从金属管下端进入后又从下端穿出 14．如图所示，篮球运动员在争球训练时，从地面以的速度竖直起跳，在运动过程中身形保持不变，起跳的同时手的正上方高处有篮球自由下落，运动员落地前已经接触到篮球。已知重力加速度为，不计空气阻力，求 (1)运动员从开始运动到手接触到篮球所用的时间； (2)若运动员调整起跳速度，确保在上升阶段接触到篮球，起跳速度的范围。 15．如图所示，长为的直杆AB沿竖直方向，直杆下侧的C点有一可视为质点的小球，小球到直杆下端的距离为，小球距离地面足够高。假设在下列运动过程中小球和直杆不会发生碰撞，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)若小球不动，直杆由静止释放，直杆通过小球的时间； (2)若直杆不动，小球以初速度竖直向上抛出，小球向上运动通过直杆的时间； (3)若直杆自由释放的同时，小球以初速度竖直向上抛出，欲使小球在竖直下落过程中（到达C点及C点之前）与直杆的下端相遇，则满足的条件。 第2页，共23页 第1页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $