第11讲 绝对值有关综合题（暑假预习培优讲义，5重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版

第11讲 绝对值有关综合题（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 绝对值双重定义 2 知识点02 五大培优核心性质 2 释疑惑·重难拓展 题型1 数轴定位化简绝对值（中档高频） 2 题型2 型符号求值（压轴小题高频） 4 题型3 绝对值几何意义求最值（培优压轴） 5 题型4 绝对值方程综合（解答题拓展） 7 题型5 绝对值几何意义求最值实际应用（培优压轴） 9 知中考·真题探源 11 练好题·提分培优 13 课标要点 1.借助数轴理解绝对值的几何意义，熟练掌握有理数绝对值的求解方法，能够利用绝对值比较两个负数的大小。 2.掌握绝对值代数化简法则，可独立对含字母、代数式的绝对值式子进行化简、求值。 3.深刻理解绝对值非负性，熟练运用“多个非负数的和为0，则每一项均为0”的核心模型解题。 4.掌握数轴两点距离公式|a-b|，能够利用绝对值几何意义解决最值、数轴动点等综合压轴问题。 重点：绝对值双重定义、非负性、数轴绝对值化简、基础绝对值运算。 难点：零点分段法化简多绝对值式子、绝对值最值问题、数轴综合、含参数 知识点01 绝对值双重定义 1. 几何定义（数形核心根基） 数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。 核心本质：距离恒大于等于0，因此绝对值具有核心性质：|a|≥0（非负性）。 拓展公式：数轴上任意两点a、b之间的距离：|a-b|。 2. 代数分段定义（去绝对值万能公式） 根据数的正负性，分段化简绝对值，是所有化简题的核心依据： 绝对值化简分段规则：当a＞0时，绝对值等于本身a；当a=0时，绝对值为0；当a＜0时，绝对值等于它的相反数-a。 易错警示：当a＜0时，-a是正数，绝非负数，切勿主观判断符号。 知识点02 五大培优核心性质 1.非负性：任意有理数a，都满足|a|≥0，绝对值最小的数是0。 2.零和模型：若|m|+|n|=0，则m=0，n=0；多个绝对值相加和为0，每一项绝对值内部式子均为0。 3.相等模型：|a|=|b| 等价于 a=b 或 a=-b（两数相等或互为相反数）。 4.符号判定模型：|a|=a 等价于 a≥0（非负数）；|a|=-a 等价于 a≤0（非正数）。 5.运算性质：|ab|=|a|·|b|；(b≠0)。 题型1 数轴定位化简绝对值（中档高频） 方法技巧 1. 定符号：根据数轴上点的位置，判断每个绝对值内代数式的正负； 2. 去绝对值：正数直接去符号保留原式，负数整体加负号； 3. 去括号：严格遵循去括号法则，负号在前逐项变号； 4. 合并同类项：化简得到最终最简式子。 【典例1-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【典例1-2】（24-25七年级下·重庆·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【典例1-3】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“＜”，“＝”，“＞”填空：_____，_____，_____，_____0； (2)化简：． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东德州·期末）如果在数轴上表示a、b、c三个实数的点的位置如图所示，且那么（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，数轴上四个点表示的数分别为a，b，c，d，若，，，则的值为_____． 题型2 型符号求值（压轴小题高频） 方法技巧 核心结论：a＞0时，；a＜0时，；a=0时式子无意义。 常考拓展：已知ab≠0，求的值。分三类讨论：同正得2、同负得-2、一正一负得0。 【典例2-1】（25-26七年级上·福建福州·期末）已知有理数a，b，c，d满足，其中，且，则式子的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【典例2-1】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 【典例2-3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知两个非零有理数x，y满足，则的值为__________． 【变式2-1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知x、y、z是非零有理数，有以下结论： ①的值为0或； ②当时，的值为； ③当，时，的值为或； ④当时，的值为0． 其中结论正确的是________（填序号）． 【变式2-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值． 【变式2-3】（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）下列说法中，正确的是__________．（请写出正确的序号） ①若，则； ②A，B，C三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ④已知，，若，则的最大值与最小值的乘积为． 题型3 绝对值几何意义求最值（培优压轴） 方法技巧 1. 偶数个零点：|x-m|+|x-n|，最小值为两点距离|m-n|，x取两点之间任意数，无最大值； 2. 奇数个零点：多个绝对值相加，取中间零点时，式子取得最小值； 3. |x-m|-|x-n|型：最值在区间端点处取得，有固定最大、最小值。 【典例3-1】（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3-2】（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）设是一个四位数，，，，代表阿拉伯数字，且，则式子的最大值是________． 【典例3-3】（25-26七年级上·湖南常德·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，若将数轴上点表示的数记为，点表示的数记为，那么两点之间的距离（或者），反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．例如：数轴上表示与的两点间的距离为；而，所以表示数与两点间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______； (2)数轴上点用数表示，若，那么的值为______； (3)数轴上点用数表示： ①若，那么的值是______； ②利用数轴求出的最小值，并写出此时的所有整数值． 【变式3-1】（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 【变式3-2】（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【变式3-3】（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 题型4 绝对值方程综合（解答题拓展） 方法技巧 将绝对值方程转化为常规一元一次方程，|A|=B(B＞0) 等价于 A=B或A=-B。 【典例4-1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【变式4-2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 【变式4-2】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 【变式4-3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． [操作发现] （1）如图，数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；数轴上表示和2的两点之间的距离是 ； [类比探究] （2）若点M表示的数是m，点N表示的数是n，则点M、N之间的距离为 ； [拓展应用] （3）若数轴上分别表示m和的两点A和B之间的距离是24，则 ； （4）表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ． （5）若数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间，求的值； （6）利用数轴分析，若x是整数，且满足，则满足条件的所有x的值的和为 ． 题型5 绝对值几何意义求最值实际应用（培优压轴） 【典例5】（25-26七年级上·河南郑州·期末）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【变式5-1】（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【变式5-2】（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3） 某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 一、单选题 1．（2022·贵州黔东南·中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）将多项式中的项（）的符号改为“-”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对操作”．例如：当时，对多项式进行“绝对操作”后得到代数式：，去掉绝对值则得到“绝对操作”的最终结果．下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法： ①所有最终结果的乘积非负； ②当时，若，则“绝对操作”的所有最终结果的和为0； ③若，则共有8种不同的最终结果． 正确的有几项（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023·重庆·中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）当取得最小值时，x满足_____ 三、解答题 5．（2025·河北·模拟预测）已知是最小的正整数，且，，满足． (1)请直接写出，，值：__________________． (2)图中，，所对应的点分别为，，，点为一动点，其对应的数为，当点在到之间运动，即时，请化简：． 1．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，x，y，z均不为0，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 2．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则；②的最大值为2；③若，则是负数；④三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等，则；⑤若代数式的值与无关，则该代数式值为2024；⑥若，则的值为1． A．①②④⑤ B．①②④⑥ C．①②⑤⑥ D．①②③⑥ 二、填空题 3．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）已知、、在数轴上的位置如图所示，化简______． 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知有理数，下列说法： ①若，则； ②若，则； ③若．则； ④若，则． 其中一定正确的结论是___________． 6．（25-26七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 7．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）下列四个结论中： ①若单项式与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ④若，且，则的运算结果只有一种． 其中正确的是_________．（填序号） 8．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 9．（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 10．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，规定，，例如：，． (1)若，求的值： (2)求的最值： (3)若有理数a，b，c满足，，求的值． 11．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），A、B两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，所以的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离，若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请解决以下问题： 直接应用 （1）若点P到所表示的点之间的距离是3个单位长度，则a的值为______； （2）若点P在表示2和的两点之间运动，请写出代数式的几何意义，并求的值； 拓展应用 （3）代数式的最小值为______； 迁移应用 （4）若对于有理数x，m，n满足，则我们称x是关于m，n的“整十数”．如果有理数x是关于3，的“整十数”，请直接写出x的值． 12．（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 绝对值有关综合题（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 绝对值双重定义 2 知识点02 五大培优核心性质 2 释疑惑·重难拓展 题型1 数轴定位化简绝对值（中档高频） 2 题型2 型符号求值（压轴小题高频） 6 题型3 绝对值几何意义求最值（培优压轴） 10 题型4 绝对值方程综合（解答题拓展） 14 题型5 绝对值几何意义求最值实际应用（培优压轴） 18 知中考·真题探源 23 练好题·提分培优 26 课标要点 1.借助数轴理解绝对值的几何意义，熟练掌握有理数绝对值的求解方法，能够利用绝对值比较两个负数的大小。 2.掌握绝对值代数化简法则，可独立对含字母、代数式的绝对值式子进行化简、求值。 3.深刻理解绝对值非负性，熟练运用“多个非负数的和为0，则每一项均为0”的核心模型解题。 4.掌握数轴两点距离公式|a-b|，能够利用绝对值几何意义解决最值、数轴动点等综合压轴问题。 重点：绝对值双重定义、非负性、数轴绝对值化简、基础绝对值运算。 难点：零点分段法化简多绝对值式子、绝对值最值问题、数轴综合、含参数 知识点01 绝对值双重定义 1. 几何定义（数形核心根基） 数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|。 核心本质：距离恒大于等于0，因此绝对值具有核心性质：|a|≥0（非负性）。 拓展公式：数轴上任意两点a、b之间的距离：|a-b|。 2. 代数分段定义（去绝对值万能公式） 根据数的正负性，分段化简绝对值，是所有化简题的核心依据： 绝对值化简分段规则：当a＞0时，绝对值等于本身a；当a=0时，绝对值为0；当a＜0时，绝对值等于它的相反数-a。 易错警示：当a＜0时，-a是正数，绝非负数，切勿主观判断符号。 知识点02 五大培优核心性质 1.非负性：任意有理数a，都满足|a|≥0，绝对值最小的数是0。 2.零和模型：若|m|+|n|=0，则m=0，n=0；多个绝对值相加和为0，每一项绝对值内部式子均为0。 3.相等模型：|a|=|b| 等价于 a=b 或 a=-b（两数相等或互为相反数）。 4.符号判定模型：|a|=a 等价于 a≥0（非负数）；|a|=-a 等价于 a≤0（非正数）。 5.运算性质：|ab|=|a|·|b|；(b≠0)。 题型1 数轴定位化简绝对值（中档高频） 方法技巧 1. 定符号：根据数轴上点的位置，判断每个绝对值内代数式的正负； 2. 去绝对值：正数直接去符号保留原式，负数整体加负号； 3. 去括号：严格遵循去括号法则，负号在前逐项变号； 4. 合并同类项：化简得到最终最简式子。 【典例1-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ． 【典例1-2】（24-25七年级下·重庆·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【详解】解：根据数轴可知，，， 则，，， 【典例1-3】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“＜”，“＝”，“＞”填空：_____，_____，_____，_____0； (2)化简：． 【详解】（1）解：观察数轴，得，， ∴，，， ∵ ∴， ∴， （2）解： ． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东德州·期末）如果在数轴上表示a、b、c三个实数的点的位置如图所示，且那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由和数轴可知： ，，，且， ∴， ∴ ， 故选：C． 【变式1-2】（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，数轴上四个点表示的数分别为a，b，c，d，若，，，则的值为_____． 【答案】6或9 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点d在点c右侧时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点d在点c左侧时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为6或9； 故答案为：6或9． 题型2 型符号求值（压轴小题高频） 方法技巧 核心结论：a＞0时，；a＜0时，；a=0时式子无意义。 常考拓展：已知ab≠0，求的值。分三类讨论：同正得2、同负得-2、一正一负得0。 【典例2-1】（25-26七年级上·福建福州·期末）已知有理数a，b，c，d满足，其中，且，则式子的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】解：∵， ∴. 原式 ． ∵且， ∴，故， ∵， ∴. 由和，得，即， ∴. ∴原式． 故选：A． 【典例2-1】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【详解】解：∵且， ∴a，b，c中只有一个负数， ∵， ∴，，， ∴， 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴x的最大值为，最小值为， ∴x的最大值与最小值的乘积为， 故选：A． 【典例2-3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知两个非零有理数x，y满足，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴和互为相反数． 当，则， 即， ∴， ∴； 当，则， 即， ∴， ∴； 故答案为： 【变式2-1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知x、y、z是非零有理数，有以下结论： ①的值为0或； ②当时，的值为； ③当，时，的值为或； ④当时，的值为0． 其中结论正确的是________（填序号）． 【答案】①②④ 【详解】解：①当x和y同为正时，原式， 当x和y同为负时，原式， 当x和y为一正一负时，原式， 故结论正确； ②当时，则，x和y为一正一负， 若x正y负，， 若x负y正，， 故结论正确； ③当，时，则x，y，z中必有一负两正，可设z为负， ∵，，， ∴； 故结论错误； ④当时，则x，y，z为一正两负或一负两正， 当为一正两负时，可设z为正，， 当为一负两正时，可设z为负，， 故结论正确． 故答案为：①②④． 【变式2-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值． 【详解】（1）解：，a、b异号， ， ； （2）解：当a，b，c都是正数时，， 当a，b，c中有两个正数，一个负数时，不妨设a、b为正数，， 当a，b，c中有一个正数，两个负数时，不妨设b、c为负数，， 当a，b，c都是负数时，， 综上，的值为或． 【变式2-3】（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）下列说法中，正确的是__________．（请写出正确的序号） ①若，则； ②A，B，C三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ④已知，，若，则的最大值与最小值的乘积为． 【答案】①③④ 【详解】解：①由，因绝对值非负，故，即，且，所以，正确． ②三点对应数，相邻距离相等， 则可能顺序为时， 时， 时， 故不一定成立，错误． ③代数式， 当时，，，代入得，与无关，正确． ④由，得，，， 故． 由且，知中两正一负． 若，则； 若，则； 若，则． 故可能值为，最大值与最小值乘积为，正确． 故答案为①③④． 题型3 绝对值几何意义求最值（培优压轴） 方法技巧 1. 偶数个零点：|x-m|+|x-n|，最小值为两点距离|m-n|，x取两点之间任意数，无最大值； 2. 奇数个零点：多个绝对值相加，取中间零点时，式子取得最小值； 3. |x-m|-|x-n|型：最值在区间端点处取得，有固定最大、最小值。 【典例3-1】（25-26七年级上·山东威海·期末）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 【典例3-2】（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）设是一个四位数，，，，代表阿拉伯数字，且，则式子的最大值是________． 【答案】16 【详解】解：， ，，，， 原式 ， 要使最大，需最大， 取，，，， 原式的最大值为：， 故答案为：16． 【典例3-3】（25-26七年级上·湖南常德·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，若将数轴上点表示的数记为，点表示的数记为，那么两点之间的距离（或者），反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．例如：数轴上表示与的两点间的距离为；而，所以表示数与两点间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______； (2)数轴上点用数表示，若，那么的值为______； (3)数轴上点用数表示： ①若，那么的值是______； ②利用数轴求出的最小值，并写出此时的所有整数值． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， 解得：或； 故答案为：或； ②∵表示数轴上数表示的点到表示的点的距离，表示数轴上数到表示的点的距离， 当时，则， 当时，则， 当时，则， ∴当时，的值最小，此时的所有整数值为：；；；；． 【变式3-1】（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 【答案】8 【详解】解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 【变式3-2】（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 【变式3-3】（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 【详解】解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则， 由题意得，， 故答案为：2； （2）由题意得，， 即， 解得或， 故答案为：或2； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端）， ∵， ∴式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和， 当表示a的点位于和3之间（包含两端）时，距离之和为， 即的值为7； （4）式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和， 当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小， 此时最小值为， 故答案为：3． 题型4 绝对值方程综合（解答题拓展） 方法技巧 将绝对值方程转化为常规一元一次方程，|A|=B(B＞0) 等价于 A=B或A=-B。 【典例4-1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 【变式4-2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴或， 即或， ∴或； （3）解：∵表示到和的距离和，且与在数轴上的距离为， ∴在到之间（含和）． ∴符合条件的整数为：，，，，，． 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，我们可以从两个角度来看．从数的角度上看，可以对值的正负性进行分类讨论，从而去掉绝对值符号；从形的角度上看，可以看作是数轴上两点的距离，即点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则两点间的距离可表示为．请你利用以上方法解方程：得，_______． 【答案】0或 【详解】解：方程为， 绝对值零点为和，将数轴分为三个区间讨论： 当时，，，方程化为， 整理得，解得，不符合题意，舍去； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 当时，，，方程化为， 整理得，解得，符合题意； 故方程为或． 从形的角度，设数轴上点P对应x，点A对应，点B对应，，即点到点距离的2倍， ∴方程的几何意义为：， 当时，方程为，解得(舍去)； 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 故答案为：0或． 【变式4-2】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； 故答案为：，； （2）解：表示数轴上有理数x所对应的点到3所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； 故答案为：，． （3）解：表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 【变式4-3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离． [操作发现] （1）如图，数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；数轴上表示和2的两点之间的距离是 ； [类比探究] （2）若点M表示的数是m，点N表示的数是n，则点M、N之间的距离为 ； [拓展应用] （3）若数轴上分别表示m和的两点A和B之间的距离是24，则 ； （4）表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ； 表示的几何意义是 ． （5）若数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间，求的值； （6）利用数轴分析，若x是整数，且满足，则满足条件的所有x的值的和为 ． 【详解】（1）解：数轴上表示2和7的两点之间的距离是5；数轴上表示1和4的两点之间的距离是3；数轴上表示和2的两点之间的距离是5； 故答案为：5；3；5； （2）解：若点表示的数是，点表示的数是，则点、之间的距离为； 故答案为：； （3）解：∵数轴上分别表示和的两点和之间的距离是24， ∴， ∴或， ∴或； 故答案为：22或； （4）解：表示的几何意义是在数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离； 表示的几何意义是数轴上表示数a的点和表示有理数2的点之间的距离； 表示的几何意义是数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间； 故答案为：在数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离；数轴上表示数a的点和表示有理数的点之间的距离；数轴上表示a的点位于表示与2的两点之间； （5）解：数轴上表示的点位于表示与2的两点之间， ∴， ∴，， ∴ ； （6）解：数轴上表示和2的两点之间的距离是5， ∴满足的值在数轴上表示的点位于表示与2的两点之间， ∵是整数， ∴，，，0，1，2． ∴满足条件的所有的值的和为：． 故答案为：． 题型5 绝对值几何意义求最值实际应用（培优压轴） 【典例5】（25-26七年级上·河南郑州·期末）数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和请根据数轴解决以下问题： (1)可理解为_____与____在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)请你结合数轴探究： ①的最小值是_____； ②的最小值为______； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O．居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧1，右侧3，A小区有居民3千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民1千人现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室P．用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【详解】（1）解：表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：，3； （2）解：①可理解为在数轴上对应的点分别到3和所对应的点的距离之和，3和之间的距离为， 当时，的最小， 则的最小值是5； 故答案为：5； ②表示在数轴上x对应的点分别与、、在数轴上所对应的点之间的距离之和， 当时，最小，在这个范围内，当时，最小，此时最小， ∴的最小值是8； 故答案为：8； （3）解：以市民广场O为原点，A、B、C分别为、1、3建立数轴，设实验室P对应的数字为x， ∴总运输和包装成本为， 由（2）知当时，总成本能取到最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴当时，最小，即当实验室建在A、B之间（包含A、B）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是20元/千份． 【变式5-1】（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 【变式5-2】（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 一、单选题 1．（2022·贵州黔东南·中考真题）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由可得：点、、分别表示数、2、，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，． 取得最小值时，的取值范围是； 故选C． 2．（2025·重庆·模拟预测）将多项式中的项（）的符号改为“-”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对操作”．例如：当时，对多项式进行“绝对操作”后得到代数式：，去掉绝对值则得到“绝对操作”的最终结果．下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法： ①所有最终结果的乘积非负； ②当时，若，则“绝对操作”的所有最终结果的和为0； ③若，则共有8种不同的最终结果． 正确的有几项（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：①根据绝对值的非负性可得，所有最终结果的乘积非负，说法正确； ②当时，若，绝对操作”的所有最终结果：， ∴“绝对操作”的所有最终结果的和为8，不为0； 故②错误； ③若，则共有10种不同的最终结果， 分别为：，， ，， ， ， ． 故③错误． 故选：B． 3．（2023·重庆·中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：，故说法①正确． 若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确． 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况； 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意． 故选：C． 二、填空题 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）当取得最小值时，x满足_____ 【答案】 【详解】解：令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 令得：， 根据绝对值的意义得：表示数x的点到表示数的六个点距离之和， ∴当x取这些点中间的值时，距离之和最小， 把这六个数按从小到大排序为：，位于中间的两个数为， ∴当 时，原式取得最小值． 故答案为 ． 三、解答题 5．（2025·河北·模拟预测）已知是最小的正整数，且，，满足． (1)请直接写出，，值：__________________． (2)图中，，所对应的点分别为，，，点为一动点，其对应的数为，当点在到之间运动，即时，请化简：． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）当时，； 当时，； 综上或． 1．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，x，y，z均不为0，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【详解】解：∵ 且 , 令 , , ，则 的值都为， ． ∵， ∴, ∵ ， ∴ 不能同号． 要使的值最大，应使中取的项在表达式中的系数尽可能小， ∵的系数1最小，故当时可能取得最大值， 经验证，此时有解，即， ∴ 最大值为 4． 故选B． 2．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则；②的最大值为2；③若，则是负数；④三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等，则；⑤若代数式的值与无关，则该代数式值为2024；⑥若，则的值为1． A．①②④⑤ B．①②④⑥ C．①②⑤⑥ D．①②③⑥ 【答案】C 【详解】解：①因为，因此，即．①正确． ②对于，因为， 所以，从而．②正确． ③若，则当时，，则，故③错误； ④、、三点对应数、、，有三种情况： 在、之间：，解得； 在、之间：，解得； 在、之间：，解得． 因此有三个可能值．④错误． ⑤化简代数式： 当时，，， 代入得：原式， 式子中含有，值与有关，不合题意； 当时，，， 代入得：原式，含的项系数为，式子值与无关．⑤正确； 当时，，， 代入得：原式 式子中含有，值与有关，不合题意． ⑥由得，，， 所以． 因为且，可知为两负一正．设，，，则： ，，，总和为．⑥正确． 综上，正确的说法是①②⑤⑥． 故选：C． 二、填空题 3．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）已知、、在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知：， ∴，， ∴ ． 故答案为：0． 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知有理数，下列说法： ①若，则； ②若，则； ③若．则； ④若，则． 其中一定正确的结论是___________． 【答案】④ 【详解】解：①若，则，故，故①错误； ②若，则与异号或其中一个为0，但当或时，，不满足，故②错误； ③取，，则，，此时但，故不成立，故③错误； ④若且，则和均为负或负正或，综上可知：，故④正确． 故答案为④． 6．（25-26七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 【答案】 【详解】解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离， ∴， 故答案为：． （2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和， 当时，则，， ∴ ∵， ∴； 当时，则，， ∴； 当时，则，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）下列四个结论中： ①若单项式与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ④若，且，则的运算结果只有一种． 其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：①∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴，故①正确； ② ∵运算结果中不含项， ∴， 解得，， 此时，常数项为，故②正确； ③∵， ∴，，， ∴ ；故③正确； ④∵，， ∴中至少有一个是负数， 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 综上，若，，则的结果只有一种． 故④正确， ∴正确的说法是①②③④． 8．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 9．（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 【详解】（1）解：令，解得， 因此的零点值是． （2）解：令和， 解得和． 这两个值将实数轴分为三个区间：． 当时，， 原式． 当时，， 原式． 当时，， 原式． （3）解：令，解得．因此分成四个区间：． 当时，， 原式． 当时，，但， 原式． 当时，， 原式． 当时，此时所有表达式非负， 原式． 10．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，规定，，例如：，． (1)若，求的值： (2)求的最值： (3)若有理数a，b，c满足，，求的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：， ∵表示点a到4和的距离之和， ∴， ∴有最小值5． （3）解：∵，且， 设，，则， 若，则，即，解得， ∵， ∴与矛盾，故该情况舍去， 因此有，即， ∴，整理得， ∴，， 由，即， ∵，即， ∴成立， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴原式． 11．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），A、B两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，所以的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离，若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请解决以下问题： 直接应用 （1）若点P到所表示的点之间的距离是3个单位长度，则a的值为______； （2）若点P在表示2和的两点之间运动，请写出代数式的几何意义，并求的值； 拓展应用 （3）代数式的最小值为______； 迁移应用 （4）若对于有理数x，m，n满足，则我们称x是关于m，n的“整十数”．如果有理数x是关于3，的“整十数”，请直接写出x的值． 【详解】解：（1）∵点P到所表示的点之间的距离是3个单位长度， ∴， 解得或， ∴a的值为1或； 故答案为：1或； （2）代数式的几何意义是点P到所表示的点之间的距离与到所表示的点之间的距离之和， ∵点P在表示2和的两点之间运动， ∴， ∴，， ∴； （3）代数式的几何意义是点P到、6、1这三个数所表示的点之间的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为9， 故答案为：9； （4）∵有理数x是关于3，的“整十数”， ∴， 当时，， 解得； 当时，，舍去； 当时，， 解得； ∴综上所述，x的值为或． 12．（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 【详解】解：（1）由可知：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为， ∴或， 解得：或， 故答案为或； （2）由可知：数轴上表示数x的点到表示数和3的点之间的距离之和为12， ∵， 当数轴上表示数x的点在表示数的左侧时，则有：， 解得：； 当数轴上表示数x的点在表示数3的右侧时，则有：， 解得：； 故答案为或6.5； （3）①由可知：数轴上表示数x的点到表示数和1的点之间的距离之和， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数和1的点之间取得最小值，此时x可以取的整数有，，0，1； 故答案为3；，，0，1； ②由可变形为， ∴同理①可知：当数轴上表示数x的点在表示数和4的点之间取得最小值， ∴最小值为； 由可知：数轴上表示数x的点到表示数和5的点之间的距离之差， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数5的右侧时，取得最大值，最大值为7； 答：有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $