精品解析：广东深圳大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第二学期期末考试 高一年级数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､试室号和座位号填写在答题卡上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5.考生必须保证答题卡的整洁. 第I卷（选择题） 一､单选题：（每小题只有一个选项符合题意.本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 数据、、、、、、、、的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】样本数据共个，由，可知下四分位数为第个，即. 2. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. 3. 已知空间中，，，四点共面，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量共面的基本定理即可求解. 【详解】设原点，，即， 则，，因为四点共面，所以，所以，． 故选：A. 4. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线，线面的位置关系，定义以及判定定理，性质定理，即可求解. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或，或与相交，故B错误； 对于C，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误； 对于D，不失一般性作下图，在空间中取一点，过点作，，则， 过相交直线 作平面 ， 设 ，， 因为 ，，所以 ，又 ， 且  都在平面 γ内，所以 ， 因为 ， 根据平行线的线面垂直性质，得 ， 又 ， 根据面面垂直的判定定理可得，因此D正确. 5. 设数、为连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数，则两数之和小于等于的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以为一个样本点， 记事件设数、为连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数，两数之和小于等于， 样本空间的点数为个，，共个， 由古典概型的概率公式可得. 6. 在正方体中，分别是棱的中点，若平面，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行得到线线平行，故，所以∽，设正方体的棱长为2，求出，从而，得到. 【详解】因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 又，故∽， 因为分别是棱的中点，设正方体的棱长为2， 则， 故，故，则， 所以，故. 故选：C 7. 已知的内角的对边分别为，满足，且则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角变换公式可得，结合题设条件可得，从而可构建关于的方程，故可求的值. 【详解】因为，由正弦定理可得，而， 故即， 所以， 由题设条件可知均不为直角，故，故， 而所以， 故， 而，解得，若，则均为负， 则都为钝角，这与为三角形内角矛盾，故， 而为三角形内角，故. 8. 已知，，则（）的最小值为（ ） A. B. C. D. 无最小值 【答案】A 【解析】 【详解】由，，不妨设， 设，，可得， 则，则， 如图所示，作，则为的最小值， 可知，所以的最小值为. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知复数，先化简： . A：的虚部为，不是，A错误. B：的共轭复数，B正确. C：对应复平面内点，在第一象限，C正确. D：，，，所以，D正确. 10. 在中，三个内角所对的边分别为，满足，，则（ ） A. B. C. D. 的范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，根据正弦定理，结合两角和公式化简即可判断选项A；选项B，假设，推出三角形内角，即可判断选项B；选项C，根据向量三角形法则及数量关系化简即可判断选项C；选项D，利用余弦定理建立边的等量关系及三角形三边的数量关系，建立不等式求解的范围即可判断选项D. 【详解】根据，由正弦定理可知， 整理得，利用两角和公式可知； 根据三角形内角和可知， 故上式可化简为，根据正弦定理可知，故A正确； 假设，则，因为， 故，则，则，不符合三角形内角范围，故B错误； 由可得， 故，故C正确； 因为， 由余弦定理可得，故，因为， 故， 由三角形三边关系可知，解得， 故，故的范围为，故D错误. 11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 直线与所成角比直线与所成角大 D. 正方体的棱长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据点到面的距离证明；B选项，结合面面垂直的判定定理和面面相交的性质进行判断；C选项，通过线面角的正弦值比较大小；D选项，利用射影，构造直角三角形求解. 【详解】设，显然是、的中点， 因为平面，到平面的距离为，所以到平面的距离为， 又到平面的距离为，且点在的同侧，则，即，即A正确； 设平面，则，因为是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面，则平面， 而，所以平面平面，即B正确； 设到平面的距离为， 因为平面，是正方形，点，B到的距离分别为， 所以有，得， 设正方体的棱长为， 设直线与平面所成角为，所以， 设直线与平面所成角为，所以， 因为，则得，因,则得，故C错误； 因为平面平面，平面平面， 所以在平面的射影与共线， 显然，如图所示： 由， ， 由（负值舍去）， 故D正确， 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，则与的夹角大小为_____． 【答案】## 【解析】 【详解】由可知，即， 设与的夹角为， 得，即，解得，即. 13. 某企业到大学招聘，小张，小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张，小李签约的概率都是，小王签约的概率是人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件及相互独立事件的概率乘法公式，求出概率即可. 【详解】由事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”， 由题意可知小张，小李未签约的概率是，小王未签约的概率是， 因为相互独立，所以三人均未签约的概率是， 所以3人中至少有1人签约该企业的概率是. 14. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设，当_________时才能使制造路灯灯柱所用材料的长度最小. 【答案】 【解析】 【分析】由角的关系及正弦定理求得和，然后由和差角公式整理得到，根据的范围求得的范围，从而求得最小值. 【详解】因为与地面垂直，，所以， 在中，因，则， 由正弦定理，得，得， 在中，，由正弦定理，得，得， ， ， 因为，所以，则当，即时，取得最小值. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生的成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计这100名学生这次文学常识知识竞赛成绩的众数和平均数； （3）现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率. 【答案】（1） （2）85；78 （3） 【解析】 【分析】（1）由小矩形的面积之和为1可以求出a的值； （2）根据频率分布直方图，频率最高的组在之间；样本平均数表示为数据与它的频率的乘积之和. （3）先利用频率之比求出，的两组中应抽的人数，列出所有情况，找出其中符合要求的，算出概率即可. 【小问1详解】 由题意可知，解得. 【小问2详解】 频率最高的组是，所以众数为； 平均数. 【小问3详解】 ，频率之比为，所以从内的学生中抽2人，从内的学生中抽3人. 设抽中A,B两人，抽中C,D,E三人， 则所有组合有，共10种， 2人恰好在同一组的有，共4种， ∴2人恰好在同一组的概率为 16. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接，，因为为弧的中点， 则，为正三角形，于是， 因为平面，，则有平面， 又平面，于是， 而，平面， 因此平面，又平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）由为正三角形，证明，再利用线面垂直的性质得，进而利用线面垂直的判定推理平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】关键点睛：第一问的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理，并灵活应用； 第二问的关键是建立空间直角坐标系，确保每个点的坐标准确无误的找到，再借助空间向量求解即可. 17. 设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 在仿射坐标系中，、的夹角为， 则， 又，则， 所以， 所以． 【小问2详解】 在仿射坐标系中，、的夹角为，则， 又，，则，， 所以， ， 则． 所以， 又与的夹角为， 所以，解得． 18. 设的内角所对的边分别为，满足：. （1）证明：； （2）若的面积为，求； （3）已知，证明：是锐角三角形. 【答案】（1）由正弦定理可得. 又，代入整理得 因为，所以或 若得，不符合三角形内角和，舍去； 故，即 （2） （3）由，得. 由正弦定理 已知，故，又，得，即 因为， 因此三个内角均为锐角，是锐角三角形. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简求得的关系，然后结合三角形内角即可求证； （2）由已知条件及二倍角和三角函数的关系求得，由和差角公式求得，由三角形面积公式求得，结合正弦定理求得； （3）由三角形中三个角的关系求得， 得到范围，即可求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则. 可得， 所以. 又因为，则. 由正弦定理得，则. 所以 【小问3详解】 略 19. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）已知点为线段上另一动点，过点且与垂直的平面将三棱锥分成左右两部分，设，当为何值时，右侧部分的几何体的体积为？ 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3）1 【解析】 【分析】（1）用余弦定理求角，再用几何关系证明线面垂直即可证明面面垂直； （2）通过画图得到二面角的平面角，利用已知条件即可求解或者建立空间直角坐标系，用向量方法进行坐标运算即可求解； （3）根据题意得出，然后底面积之比以及高之比得出右侧几何体的体积的表达式，从而得到答案. 【小问1详解】 在中，， 所以， 过点作于点，连接，则， 因为，，为公共边，所以. 所以，且，又，所以，所以， 又因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解法一：取中点，由（1）知，，∴. 过作交于，过作交于，则，所以， 所以，为二面角的平面角， 设，由，得， 同理；， 由，得， 在中，，解得， 所以线段上存在一点E，使得二面角的正切值为.， 解法二：设存在满足题意的点，由（1）可知两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，，， ，，， 设，，则， 显然平面的法向量. 设平面的法向量，则， 取，则，，所以， 若二面角的正切值为，则其余弦值为， 则， 整理得，所以，又因为，所以， 所以，即当时，二面角的正切值为. 【小问3详解】 当时，平面截三棱锥所得截面为三角形，右部分的体积最大值为， 当时，平面截三棱锥所得截面为四边形， 设截面与棱的交点分别为，求得 ， 右侧部分的体积， 化简得， 当时，检验符合上方程， 又时，有且只有一个值符合，故， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试 高一年级数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､试室号和座位号填写在答题卡上. 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5.考生必须保证答题卡的整洁. 第I卷（选择题） 一､单选题：（每小题只有一个选项符合题意.本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 数据、、、、、、、、的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 2. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间中，，，四点共面，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 设数、为连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数，则两数之和小于等于的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，分别是棱的中点，若平面，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角的对边分别为，满足，且则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（）的最小值为（ ） A. B. C. D. 无最小值 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 在复平面内对应的点在第一象限 D. 10. 在中，三个内角所对的边分别为，满足，，则（ ） A. B. C. D. 的范围为 11. 如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 直线与所成角比直线与所成角大 D. 正方体的棱长为 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，则与的夹角大小为_____． 13. 某企业到大学招聘，小张，小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张，小李签约的概率都是，小王签约的概率是人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是_________. 14. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知，路宽米.设，当_________时才能使制造路灯灯柱所用材料的长度最小. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生的成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计这100名学生这次文学常识知识竞赛成绩的众数和平均数； （3）现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率. 16. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求． 18. 设的内角所对的边分别为，满足：. （1）证明：； （2）若的面积为，求； （3）已知，证明：是锐角三角形. 19. 如图，在三棱锥中，，，. （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）已知点为线段上另一动点，过点且与垂直的平面将三棱锥分成左右两部分，设，当为何值时，右侧部分的几何体的体积为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $