广东深圳实验学校高中部2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 深圳实验学校高中部2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学 数学试题答案及评分参考 2026.7 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B A D A A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BCD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．5；13．；14．． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）由题意，， 3分 由正弦定理得． 6分 （2）因为，所以， 9分 由余弦定理得，所以． 13分 16．解：（1）证明：取的中点，连接，， ，分别为，的中点，所以，， 2分 因为，，所以，， 所以，四边形为平行四边形，， 4分 又平面，平面，平面． 6分 （2）解：假设在棱上存在点满足题意，如图，连接、、， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 8分 设（），则，， 所以，，所以， 9分 以点为原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则、、、， 故，，， 10分 设（）， ， 11分 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，所以，． 13分 易知平面的一个法向量为， 14分 ， 16分 解得，所以当时，平面与平面的夹角的余弦值为． 17分 17．解：（1）由题意，成绩在80分以下的学生所占的比例为， 成绩在90分以下的学生所占的比例为， 所以成绩的第75分位数一定在内， 2分 即， 所以估计参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为82.5． 4分 （2）因为，，， 所以在，，组内分别抽取3人，2人，1人， 6分 其中有3人为航天达人，设为，，，有3人不是航天达人，设为，，， 则从6人中选择2人作为学生代表， 有，，，，，，，，， ，，，，，共15种， 其中2人均为航天达人为，，共3种， 8分 所以这2人均为航天达人的概率为． 10分 （3）组的频率为，组的频率为， 组的平均数为85，组的平均数为95， 12分 内的平均数为， 13分 又组的方差为12，组的方差为8， 所以估计所有航天达人成绩的方差为 ． 15分 18．详解：（1），，为等边三角形， 为的中点，， 1分 取中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，， 2分 又，，，平面，平面． 平面，． 3分 又，，平面，平面． 5分 （2）过作，垂足为， 由（1）知，平面，平面，． 又，，平面，平面， 为与平面所成角， 7分 由（1）知，平面，平面，． 在中，，，， 为的中点，， 在中，，， 在中，， 在中，由余弦定理得， 10分 ， 与平面所成角的正弦值为． 11分 （3）取的中点，连接， 由（1）知，平面，平面， 过点作，垂足为，连接， 为二面角的平面角， 13分 为的中点，，， 14分 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为的中点，． 由（1）知，平面． 又平面，所以． 在中，， 由（2）知，，即，解得． 16分 平面，平面，． 在中，， ，所以二面角的平面角的余弦值为． 17分 19．解：（1）因为，所以， 由余弦定理得 ， 3分 当且仅当时取等号，所以的最小值为； 4分 （2）因为， 所以， 所以， 所以，所以，所以， 因为，所以， 6分 由余弦定理得， 所认， 9分 当且仅当时，取得最大值为； 10分 （3）存在，，使恒为定值，理由如下： 因为，所以由正弦定理可得， 11分 于是， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 13分 所以， 即， 所以， 所以， 即时，代数式恒为定值． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中部2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则在复平面内，的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则该组数据的第60百分位数为 A．3 B．4 C．5 D．6 3．设，为两条直线，，为两个平面，则下列说法错误的为 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．如图，水平放置的平面四边形的斜二测直观图为矩形，若，则四边形的周长为 A． B． C． D． 5．某工厂认定工人通过试用期的方法为：近5天中，每天生产的合格零件数均不低于22．若甲、乙、丙三人近5天每天生产的合格零件数统计如下：甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的为 A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 6．已知向量，，，则三棱锥的体积为 A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知为的外心，，，，若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点，交的延长线于点，若平面将四棱锥分成两部分，体积分别为，（），则 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设三个事件为，，，则 A．若，，两两独立，则 B．若，，两两互斥，则 C．若与相互独立，则与相互独立 D．若，，则，相互独立与，互斥不同时成立 10．如图，平行六面体的棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则 A．，，，四点共面 B．在上的投影向量为 C．直线与所成角的余弦值为 D． 11．如图，在正三棱台中，，，点在内运动（包含边界），则 A．直线与所成角的正切值为 B．当平面时，的轨迹长度为 C．直线与平面所成角余弦值的最大值为 D．当时，的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，，且，，共面，则__________． 13．已知四面体的各顶点均在球的球面上，若，二面角为，则球的表面积为__________． 14．如图，，为某水域的两直线型岸边，，平分，．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（，分别在，上），围成养殖区．若，，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）若，求； （2）若的面积为3，求，． 16．（15分）如图，四棱锥的体积为，底面为矩形，为正三角形，平面平面，，为的中点． （1）若为的中点，证明：平面； （2）棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由． 17．（15分）某校开展天文知识竞赛，并将成绩不低于80分的参赛学生评为航天达人．现从1000名参赛学生中随机抽取80名，统计他们的成绩，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计所有参赛学生成绩的第75百分位数； （2）若在抽取的80名学生中，用比例分配的分层随机抽样方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人均为航天达人的概率； （3）已知组的方差为12，组的方差为8，试估计所有航天达人成绩的方差（结果保留整数）． 18．（17分）在平面四边形中，，，，将沿翻折，使平面平面，此时，，分别为，的中点． （1）用几何法证明：平面； （2）用几何法求与平面所成角的正弦值； （3）用几何法求二面角的余弦值． 注：本题建系不给分． 19．（17分）记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的最小值； （2）若，且，求的最大值； （3）写出函数与的解析式，使对于一切满足条件的，都有，且恒为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $