精品解析：广东深圳市罗湖区2025-2026学年第二学期期末质量检测高二数学试题

2025-2026学年第二学期期末质量检测高二数学 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知平面向量共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 5. 下列函数为奇函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列与分别满足，则集合的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 7. 将一个边长为1的正方形各边中点依次连接，得到一个新正方形，再将各边中点依次连接得到正方形，如此重复．记正方形的周长为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为调查某校高二年级学生的每日睡眠时间（单位：小时），现随机抽取100名学生，记录其睡眠时间并绘制频率分布直方图（如图）．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 样本中睡眠时间在内的人数约为30 B. 样本中睡眠时间的众数约为7.75 C. 样本中睡眠时间的中位数落在区间内 D. 若将样本中睡眠时间在内的数据去掉，则剩余数据的方差将变小 10. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 平面内存在与异面的直线 D. 平面内存在与垂直的直线 11. 已知函数．则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若的最小正周期为，则 C. 若的一个对称中心为，则 D. 若在区间内有2个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，常数项为___________． 13. 已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 14. 在中，为边的中点，，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）讨论函数的极值点的个数； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为． （1）求的标准方程； （2）设是上关于轴对称的两点，是上异于的一点．直线的斜率均存在且不为0，且分别与轴交于两点． （i）若在轴上，求的取值范围； （ii）设为坐标原点，证明：为定值． 19. 一箱子中共有5件大小形状质地完全相同的产品，其中3件次品，2件正品．从箱子中一次随机取出两件产品进行检测，如果检测出的产品是正品，则将它放回箱子中：如果检测出的产品是次品，则不放回箱子中，另补相同数量的正品放入箱子中．重复进行上述操作次后，箱子中正品的件数记为． （1）求恰好2次操作后，箱子中产品全为正品的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末质量检测高二数学 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设， 则. 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以. 3. 已知平面向量共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，可得. 4. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 5. 下列函数为奇函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A：由的定义域为R且，所以不是奇函数，排除A， B：由是奇函数，但在上是周期振荡的，不具有单调性，排除B， C：由的定义域为且，所以是奇函数。 对其求导得恒成立，故在上单调递增，即在上也是单调递增，C正确， D：由的定义域为且，所以是奇函数， 但在上，内层函数是单调递减，所以复合函数在该区间单调递减，排除D. 6. 已知数列与分别满足，则集合的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】通过解方程，结合代入验证与归纳法证明确定解的个数. 【详解】由题意，集合中的元素需满足， 代入数列通项得 化简为，分情况讨论： 当时，左边，右边=1，等式成立； 当时，左边，右边=2，等式成立； 当且时，用数学归纳法证明： ① 当时，左边，不等式成立； ② 假设时不等式成立，即， 则当时，，不等式也成立． 由①②得，对所有的正整数，均有，无满足等式的解，综上，满足条件的仅有1、2，共2个元素． 7. 将一个边长为1的正方形各边中点依次连接，得到一个新正方形，再将各边中点依次连接得到正方形，如此重复．记正方形的周长为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及等比数列的定义有数列是首项为，公比为的等比数列，写出通项公式并求对应项即可. 【详解】由题意可知，原正方形的边长为，其周长为， 将正方形各边中点依次连接得到的新正方形，其边长是原正方形边长的倍， 因此，新正方形的周长也是原正方形周长的倍， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 其通项公式为，故. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义，设，结合已知得，再由及向量数量积的定义和运算律、余弦定理得到，最后列方程得，即可得. 【详解】由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，即， 由题意知，设，则，， 代入得，所以，，， 由于原点是两焦点的中点，所以是边上的中线， 所以，则， 由且， 所以，则， 综上，即， 所以，则，即， 椭圆的离心率满足，且，解得， 故椭圆的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为调查某校高二年级学生的每日睡眠时间（单位：小时），现随机抽取100名学生，记录其睡眠时间并绘制频率分布直方图（如图）．根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 样本中睡眠时间在内的人数约为30 B. 样本中睡眠时间的众数约为7.75 C. 样本中睡眠时间的中位数落在区间内 D. 若将样本中睡眠时间在内的数据去掉，则剩余数据的方差将变小 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，组距为0.5，睡眠时间在内的频率为，样本容量为100，则睡眠时间在内的人数为，故A正确； 对于B，图中最高的矩形对应区间，其中点为，所以睡眠时间的众数约为7.75，故B正确； 对于C，前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以中位数位于第四组内，故C正确； 对于D，平均数为， 中位数为；区间是数据最集中的区域，且靠近平均数，若去掉这部分数据，剩余数据相对于平均数的离散程度会增大，则方差将变大，故D错误. 10. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 平面内存在与异面的直线 D. 平面内存在与垂直的直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面、线面的位置关系，结合平面的基本性质及线面平行、垂直的判定定理和异面直线的定义判断各项的正误. 【详解】A：若，因为，，且与是两条不同的直线， 所以直线不在平面内，根据线面平行的判定定理得，正确， B：若，只能说明垂直于平面内的一条直线，不足以判定，错误， C：对于平面内的直线： 若与相交于点，则在内取一条不经过的直线， 该直线与无交点且不平行，二者互为异面直线， 若，则在内取一条与不平行的直线，二者互为异面直线， 故平面内一定存在与异面的直线，正确， D：根据空间直线垂直的判定，无论直线与平面是平行、相交还是垂直， 在平面内总能找到一条直线（如垂直于在内射影的直线）与垂直，正确. 11. 已知函数．则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若的最小正周期为，则 C. 若的一个对称中心为，则 D. 若在区间内有2个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质求最大值，判断选项A；利用最小正周期公式计算判断选项B；利用对称中心的性质计算判断选项C；通过零点个数分析判断选项D． 【详解】， 正弦函数，故，故A正确； 正弦型函数周期公式，若，则，故B正确； 正弦函数的对称中心满足函数值为0，则， 整理得，，则可取，非唯一值，故C错误； 令，即，解得，则， 当时，零点对应， 若区间内恰好有2个零点，则需满足第2个零点在区间内：，解得， 第3个零点不在区间内：，解得， 故，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，常数项为___________． 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式定理写出展开式通项，进而求常数项. 【详解】二项式的展开式的通项公式为 且， 要使该项为常数项，即，解得， 常数项为， 所以，展开式中的常数项为. 13. 已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. 14. 在中，为边的中点，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过，，平方得到，再结合余弦定理和基本不等式即可求解. 【详解】设 ，，，为中点， 则，， 两式平方相加得： 代入，， 得：， 再由余弦定理： ​ 代入 ，， 得： 由基本不等式 ，得 ，当且仅当 ​ 时等号成立， 因为 ​，所以当时，取得最小值， 即的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） () （2） () 【解析】 【分析】（1）利用公式求的通项公式； （2）裂项相消法求数列的前项和. 【小问1详解】 由 ，当时，得； 当 时，整理得 ， 故 为首项是 、公比是的等比数列，通项 () . 【小问2详解】 ， 则() . 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为平面，且平面， 所以， 因为， 所以， 因为，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质及已知有，，再应用线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求对应平面的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得，，，， 于是向量，，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 且，，， 所以，平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）讨论函数的极值点的个数； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，极值点个数为， 当时，极值点个数为. （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的区间符号，进而确定区间单调性，即可得极值点个数； （2）令，将问题化为对任意，都有恒成立，应用分类讨论并构造合适的函数研究不等式恒成立求参数范围. 【小问1详解】 已知函数且定义域为 R，求导得， 当时，，所以恒成立， 函数在R上单调递增，无极值点，即极值点个数为， 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以在处取得极小值，极值点个数为， 综上所述： 当时，极值点个数为， 当时，极值点个数为； 【小问2详解】 由，得， 化简得，即， 令，，且函数求导得， 所以在上单调递增，其值域为，即， 注意到， 等价于：对任意，都有恒成立， 当时，即，此时为任意实数均成立， 当时，，不等式等价于， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值（也是最小值），即 ， 要使恒成立，需满足， 当时，，不等式等价于， 设，则， 所以在上单调递减， 当时，；当时，， 因此的值域为， 要使恒成立，需满足， 综上，实数的取值范围是. 18. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为． （1）求的标准方程； （2）设是上关于轴对称的两点，是上异于的一点．直线的斜率均存在且不为0，且分别与轴交于两点． （i）若在轴上，求的取值范围； （ii）设为坐标原点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）设，则，， 直线的斜率，则直线的方程为， 令，可得，即, 直线的斜率，则直线的方程为， 令，可得，即, ||||， 因为，在双曲线上，所以，，即，， 将，代入上式可得 ， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）利用实轴长，虚轴长，焦距和求解； （2）（i）设，用表示，再求取值范围；（ii）设，则，用的坐标表示再求解化简. 【小问1详解】 实轴长，虚轴长，焦距得 实轴长是虚轴长 2 倍得，即 因为，所以 所以的标准方程是 【小问2详解】 （i）双曲线与x轴交点：令，得，故 设在双曲线上：， 斜率，直线方程 令，得纵坐标： 斜率，直线方程 令，得纵坐标：， 由，得， 由，得 ，，所以， 故取值范围是； （ii）略 19. 一箱子中共有5件大小形状质地完全相同的产品，其中3件次品，2件正品．从箱子中一次随机取出两件产品进行检测，如果检测出的产品是正品，则将它放回箱子中：如果检测出的产品是次品，则不放回箱子中，另补相同数量的正品放入箱子中．重复进行上述操作次后，箱子中正品的件数记为． （1）求恰好2次操作后，箱子中产品全为正品的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）求． 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 （3）且 【解析】 【分析】（1）设第一次操作后正品数增加件，第二次增加件，由题设知，讨论、两种情况并求出对应概率，应用互斥事件的加法求概率； （2）由题设的可能取值为，分析对应值的操作情况，应用分类讨论及独立事件乘法、互斥事件的加法求对应概率，即可得分布列； （3）设第次操作后箱子中正品数为​，从而有当前正品数为时，下一次操作增加正品数的期望为，从而得到且，应用等比数列的定义写出通项公式，即可得. 【小问1详解】 设第一次操作后正品数增加件，第二次增加件， 初始正品数为，要使恰好次操作后全为正品（即正品数为），则需满足， 因为每次最多增加件正品，所以有两种情况： 情况一：， 第一次取出正品次品，概率，此时箱中有正品次品， 第二次取出件次品，概率， 此路径概率为， 情况二：， 第一次取出件次品，概率，此时箱中有正品次品， 第二次取出正品次品，概率， 此路径概率为， 所以，恰好次操作后全为正品的概率为； 【小问2详解】 由题设的可能取值为， 当时，两次都取正品，则， 当时，分两种路径， 先取正品（概率），再取正品次品（概率​）：， 先取正品次品（概率，此时正次），再取正品（概率）：， 所以， 当时，分三种路径， 先取正品（概率），再取次品（概率）：， 先取正品次品（概率​，此时正品次品），再取正品次品（概率​）：， 先取次品（概率，此时正品次品），再取正品（概率​）：， 所以， 当时，由（1）， 故的分布列为： 2 3 4 5 【小问3详解】 设第次操作后箱子中正品数为​， 当前正品数为时：下一次操作增加正品数的期望为​​ ，且，， 因此， 所以，且， 设，则，变形得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以且， 故且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $