湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷

**基本信息** 涵盖高一数学核心知识，通过统计应用（如频率分布直方图分析）、立体几何动态问题（如翻折与外接球）等设计，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（数据意识），基础与创新并重。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、充分条件、统计分位数、球表面积|第4题结合频率分布直方图求分位数，考查数据处理能力| |多选|3/18|空间向量、概率（互斥与独立）、平面向量模|第10题正四面体概率问题，辨析事件关系，体现逻辑推理| |填空|3/15|正四棱台体积、方差、球内接三角形面积|第14题球与等边三角形结合，综合空间想象与计算| |解答|5/77|向量表示与夹角、统计应用、立体几何翻折与夹角、斜三棱柱创新问题|第18题翻折问题三问递进，考查空间观念；第19题引入投影偏差率，体现创新应用|

湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，为的共轭复数，则的值为 A． B． C． D． 2．下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．某校举办咖啡文化知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，现随机抽取100名学生的成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的分位数为（    ） A．75 B．80 C．84 D．86 5．已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．已知圆锥的底面半径与球的半径相等，圆锥的侧面积与球的表面积相等，圆锥的体积为，则球的半径（     ） A． B． C． D． 8．在正三棱锥中，侧面与底面所成二面角的平面角为，侧棱与底面所成的线面角为，对棱所在异面直线所成的线线角为，已知，且，则侧棱的长为（     ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 10．一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A．事件与事件不互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 11．已知平面向量，，满足，，，则的可能值为（   ） A．1 B．2 C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为__________. 13．已知三个数值的方差是1，对任意的最小值是_____ . 14．已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在等边中，分别是和的中点，，设． (1)用向量表示，并求； (2)求向量与的夹角的余弦值． 16．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量单位：kg），并绘制频率分布直方图如图7所示. (1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表； (2)一次进货太多，水果会变得不新鲜;进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求即在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求请问每天应该进多少千克苹果? 17．如图，在平行四边形中，，.设，. (1)试用，为基底表示，； (2)若，，，求和的值. 18．如图，已知是边长为的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥. (1)设平面平面，证明：平面； (2)当时，求平面与平面的夹角的正弦值； (3)若点在平面上的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，求直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围. 19．如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． (1)当时，求证：； (2)定义：过点作垂直底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C A D B C AC ABC 题号 11 答案 ABC 1．D 【详解】试题分析：,故选D. 考点：1.复数的运算；2.复数相关概念. 2．D 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 3．C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4．C 【分析】首先根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，求出参数的值，然后计算各组频率，确定，分位数所在的区间，最后利用面积比例关系计算得出结果． 【详解】由频率分布直方图可知，组距为， 根据所有小矩形的面积之和为，得，解得， 分数在的频率为；分数在的频率为； 分数在的频率为；分数在的频率为； 分数在的频率为， 因为前四组的频率之和为， 前五组的频率之和为， 所以分位数位于区间内， 设分位数为，，解得， 所以估计这名学生成绩的分位数为． 5．A 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A    【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 6．D 【分析】根据线面的位置关系及判定方法求解. 【详解】若，，，则或异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，，可能有，故C错误； 若，，则，又，则，故D正确， 故选：D. 7．B 【分析】利用圆锥侧面积与球表面积相等的关系推导圆锥母线长和半径的关系，结合圆锥的勾股定理求出高，代入体积公式即可求解球半径. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意得，球的表面积为，圆锥侧面积为， 由可得：，化简得， 根据圆锥的几何性质，母线、底面半径、高满足勾股定理，代入、得：， 已知圆锥体积，将、代入得： ，解得，故B正确. 8．C 【分析】设侧棱长为，利用面面角、线面角及线线角定义，找到角，再利用诱导公式把消去，最后用两角和的余弦公式解出即可. 【详解】如图，设正三棱锥的底面中心为， 连接并延长交于点,连接. 因为正三棱锥底面是正三角形，所以是正的中心， ,又底面，根据三垂线定理可得, 则就是侧面与底面所成二面角的平面角， 即. 因为底面，所以就是侧棱与底面所成的线面角， 即. 因为正三棱锥的对棱互相垂直，所以与所成的线线角.                     已知，，所以=. 设侧棱，底面正的边长，则, 在正中，,所以. 在中，， ，, 在中，,， ,， 又因为，所以 化简得即 令，则解得或即或， 因为所以，即. 9．AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 10．ABC 【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断. 【详解】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”， 而发生的同时也有可能发生（第一次为3，第二次为1），故不是互斥事件，A正确； 对于B，因为， 而， 故，即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立， ，C正确； 对于D，事件发生的概率，D错误； 11．ABC 【分析】关键在于根据已知条件求出，再设出向量，的坐标，进而得到向量的坐标满足的方程，最后根据方程求出的取值范围，从而判断选项. 【详解】 已知，所以，即 因为，所以，代入，解得. 设则，不妨取， 所以. 设则，. 所以，整理得 配方得. ,其几何意义是圆上的点到原点的距离. 圆心坐标为，半径为.圆心到原点距离为 所以的最大值为最小值为 最后选项中在范围内的有1，2， 12． 【分析】根据台体的结构特征以及台体的体积公式运算求解. 【详解】如图，连接，交于点，连接，交于点，连接， 过作，垂足为，可知为四棱台的高， 则，， 所以，． 故该棱台的体积为． 13．3 【分析】利用方差的定义转化已知条件为，目标多项式利用二次函数的性质求最小值. 【详解】设三个数的平均值为， 则方差，则有， ， 由二次函数的性质可知，当，即时取最小值， 最小值为. 14． 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 15．(1)，. (2) 【分析】（1）利用平面向量基本定理即可将向量表示出来，然后根据求模公式和数量积的定义可求出. （2）利用向量数量积的定义求解即可. 【详解】（1）如图所示， . 所以. （2）如图，因为. 由（1）知，. 所以. 而， 所以. 16．(1)众数为，平均数为. (2)每天应该进千克苹果． 【详解】（1）由图可知，区间的频率最大，所以众数为； . 该水果店苹果日销售量的众数为85，平均数89.75. （2）日销售量在区间的频率为，日销售量在区间的频率为，故所求的量位于内. 由，得. 每天应该进千克苹果． 17．(1)； (2)； 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则即可得解； （2）利用向量的模长和数量积计算即可. 【详解】（1）由得. . 由得. . （2）. 代入，，. 得，故. . 18．(1)在中，由分别是的中点，得， 又平面，平面，则平面， 又平面平面平面，因此， 而平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定及性质推理得证. （2）取中点，利用线面垂直的判定结合已知求出，再利用定义法求解. （3）由（2）在平面内以点为原点建立平面直角坐标系，，求出球心及点坐标，利用数量积的几何意义求出范围. 【详解】（1）略 （2）在正中，取中点，连接交于点， 由分别是的中点，则为的中点， 连接，，又，则，即， 平面，因此平面，平面， 而平面，则，，又，，于是， 因，则，在中，，， 取中点，连接，则， 为二面角的平面角，由，得， 在正中，，而，因此， ，又平面即为平面， 所以平面与平面的夹角的正弦值为. （3）由（2）知，平面平面，又点在平面内的射影在四边形内部， 则点在平面内的射影在线段（除点外）上， 在等腰梯形中，，则， 点为等腰梯形外接圆圆心，球心在过点垂直于平面的直线上， 球心平面，设，则点到平面的距离为， ，则， 由，得，设，球的半径为，则， 在平面内以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，， 解得，又， 因此， 由，得，令， ，函数在上单调递增， 则，，解得， 所以直线被四棱锥外接球球截得的弦长的取值范围为. 19．(1)证明如下： 因为 ， 所以，即． (2)（ⅰ）， （ⅱ）证明如下： ， 已知存在两个不同的锐角，使得， 设， 则， 锐角，是两个不同的锐角，则符号相反， ，即， 化简整理得， ，，为锐角，则， ． 【分析】（1）利用基底法表示向量，结合已知条件求出向量的数量积，利用数量积为0证明结论； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点和向量坐标，根据投影偏差率定义求解，求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解；（ⅱ）根据投影偏差率定义结合（ⅰ）化简，利用“存在两个不同的锐角，使得”的条件构造方程，进而求出，证明结论． 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，为轴，为轴，过A垂直于面的直线为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则， （ⅰ）已知，，， 则，故， 已知与、所成角分别为、， 则， 则， ，则， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 平面的法向量可取， 设平面与平面夹角为，则 ； （ⅱ）略 学科网（北京）股份有限公司 $