湖南长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 以测量河宽、模具加工等真实情境为载体，融合赵爽弦图文化元素，通过分层设问考查集合、复数、立体几何等核心知识，凸显数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算（1）、复数虚部（2）、线面关系（3）|基础层考查抽象能力，如第3题线面关系逻辑推理| |填空题|3题15分|赵爽弦图（13）、向量运算（12）|文化传承与数学抽象结合，如第13题古算情境转化| |解答题|5题77分|统计分析（16）、立体几何证明（18）、动态探究（19）|综合层体现空间观念与创新意识，如第19题二面角动态求解|

湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A B A D B CD AC 题号 11 答案 AC 1．B 【详解】由，解得或，则集合， 因为集合，所以． 2．C 【详解】因为，， 所以，故虚部为． 3．B 【分析】由线、面之间的位置关系的判定定理和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，如果，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，因为，所以存在直线，使得， 又，所以或， 当时，因为，，所以由线面平行性质定理可知， 所以由平行传递性可得； 当时，因为，，所以直线与直线重合，故. 综上，若，，则，故C正确； 对于D，若，，所以或， 当时，存在直线，使得， 又因为，所以，则； 当时，因为，所以. 综上，若，则，故D正确. 4．A 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】因点E是的中点，点D是的中点， 所以 . 5．B 【分析】利用等体积法，由求解即可. 【详解】由直三棱柱的体积为6，可得， 设到平面的距离为，由， ，，解得， 即到平面的距离为. 故选：B. 6．A 【分析】根据正弦定理，结合分类讨论的方法，可得结果. 【详解】 由 化简得： 当时， 可知△ABC为直角三角形 当时，所以 则 化简得： 即 所以 可知△ABC为等腰三角形 综上所述： △ABC为等腰三角形或直角三角形 故选：A 【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，属基础题. 7．D 【分析】由题目中条件分别在和中利用正弦定理解方程组可得. 【详解】根据题意可知， 在中，利用正弦定理可得，所以； 又易知， 在中，利用正弦定理可得，所以； 又，因此可得， 因此. 故选：D 8．B 【分析】首先根据圆台的结构特征和边角关系求出圆台上下底面的半径，然后求出圆台的高，然后将等腰梯形补成等边三角形求出内切圆半径，即可求出球的表面积的最大值. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，，则， 易知圆台的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为，则等腰梯形的底角为． 由于，即，解得，， 则圆台的高为，将梯形补成边长为10的等边三角形， 所以该等边三角形的内切圆的半径为， 又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为， 所以球的表面积最大值为． 故选：B． 9．CD 【分析】先对复数化简，再根据复数的性质一一验证. 【详解】， 在复平面内，对应的点为，位于第三象限， 选项A错误； ，选项B错误； ，选项C正确； ， ，选项D正确. 10．AC 【分析】应用二倍角正弦公式结合同角三角函数关系计算判断A，应用余弦定理结合二倍角余弦公式计算判断B，应用平面数量积公式计算判断C，应用正弦定理判断D. 【详解】对于A，在中，，则， 则，故A正确； 对于B，因为，，， 由余弦定理，得，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，设外接圆半径为，由正弦定理，得，则外接圆半径为，故D错误； 11．AC 【分析】对于选项A，过作的垂直，再根据条件即可求出，从而判断出选项A的正误； 对于选项BCD，通过建立平面直角从标系，求出各点坐标，逐一对BCD分析判断即可得出结果. 【详解】选项A，过作的垂直，交于，所以，又，，，，， 所以，故选项A正确； 建立如图所示平面直角坐标系，则，，，， 选项B，因为为线段的中点，则，，， 所以，由，得到，所以，故选项B错误； 设，则，， 选项C，由，得到，解得，故选项C正确； 选项D，，，所以， 令，对称轴为，又，当时，所以的最小值为，故选项D错误；    故选：AC. 12． 【分析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答. 【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则， 而，于是得， 又点M，O，N共线， 因此，，即，又，解得， 所以. 故答案为： 13．5 【分析】由几何关系得出，由同角三角函数的平方关系得出，进而得出，即可得出，再根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】在中，，， 所以， 因为，，所以（*）， 两边平方得，即， 因为是锐角，所以，， 所以（**）， 将（*）式与（**）式联立解得，， 所以，，因为点是的中点， 所以，因为， 所以 ． 14． 【分析】由为等腰三角形，结合布洛卡角的等角条件，推导三个小三角形的内角关系，结合正弦定理和已知的线段比例，得到的关系，进而利用三角形内角和找到与内角的关系，利用三角恒等变换公式计算. 【详解】设，由，得，. 已知，即中，，且. 在中由正弦定理可得： . 在中，， 由正弦定理得：. 同理在中，，得：. 由，可得，整理得. 又，故， 代入得：，，故，即， 所以，. 由，可得：， 即， 代入： ， 由，为锐角， 可得：. 15．(1) (2)实部为 ，虚部为 (3) 【分析】（1）先根据虚数单位的幂次规律化简 ，再根据共轭复数的定义求出 ； （2）先求出 ，再根据复数实部和虚部的定义确定其实部和虚部； （3）先求出 的表达式，再根据复数在复平面内的坐标表示以及第四象限内点的坐标特征列出不等式组，求解 的取值范围. 【详解】（1）因为 ， 所以 . 所以 . （2）由（1）知 ，则 ， 所以 的实部为 ，虚部为 . （3）已知 ，则， 复数 在复平面内对应的点的坐标为 ， 因为该点位于第四象限，则， 所以不等式组的解集为 ，即 的取值范围是 . 16．(1)，样本平均数75，样本方差129； (2)建议选择乙工厂生产的产品. 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1，可计算出，再利用平均数和方差公式计算即可； （2）利用公式计算出乙工厂生产的产品质量指标平均数和方差，与甲工厂生产的产品质量指标数据比较大小，即可得出结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以甲工厂生产的产品质量指标平均数为 ， 方差为. （2）乙工厂生产的产品质量指标平均数为， 方差为， 所以， 以样本估计总体，甲、乙两家工厂产品的质量指标平均数相当，但乙工厂生产的产品质量指标值方差比较小，产品质量比较稳定， 故建议选择乙工厂生产的产品． 17．(1)， (2) 【分析】（1）根据最值求出，根据周期求出，然后利用求出，即可求出的解析式，最后令即可求出对称中心； （2）根据图象变换得出，最后结合正弦函数图象即可求出. 【详解】（1）由图象可得，得， 由图象可知，所以，即， 即； 又因为，即， 所以，则， 结合，可得， 所以； 令得， 所以曲线的对称中心为． （2）把曲线向右平移个单位后的曲线为； 把曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线； 把曲线向上平移个单位，得到曲线； 令，得， 结合正弦函数图象可得不等式的解集为. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连结，连结，先利用平行四边形证得，再利用线面平行的判定定理得到平面； （2）利用线面垂直的判定定理，由，证得平面，再由证得平面. 【详解】（1）如图，连结，连结， 因为在正方体中，面是正方形，所以，是的中点， 又因为是的中点，所以且， 因为是的中点，所以，又，所以， 所以四边形是平行四边形，故， 又面，面，所以平面； （2）由（1）知，易得平面，又面，故, 又因为，面，所以平面， 又，所以平面. 19．(1) (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，则为的中点，由线面平行的性质定理得，从而可得为的中点，进而得实数的值； （2）过点作于点，可证得平面平面，延长交于点，过点作交于点，过点作于点，则是平面与平面所成锐二面角的平面角，然后在中求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 因为平面平面，平面，平面， 所以， 所以为的中点，即实数的值为； （2）在直三棱柱中，平面平面， 所以， 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于点，因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 延长交于点，过点作交于点，过点作于点， 因为，所以， 因为，所以, 因为，所以∽， 所以，所以，得， 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是平面与平面所成锐二面角的平面角， 因为，且，，所以， 取的中点，连接，则， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以， 因为，所以， 解得， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行，考查面面垂直，考查求二面角，解题的关键是根据题意作出二面角的平面角，也是难点，然后在三角形中求解，考查空间想象能力和计算能力，属于难题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市岳麓区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A．如果，那么 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．2 D． 6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 7．如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 8．某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知复数（为虚数单位），则（    ） A．在复平面内对应的点位于第二象限 B．的共轭复数为 C． D．若复数，则 10．在中，，，，则（    ） A． B． C． D．外接圆半径是 11．如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（    ）    A． B．若为线段的中点，则 C． D．的最小值为6 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为_________． 13．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示.记较小的锐角为，大正方形的边长为，小正方形EFGH的边长为，点是GC的中点，若，，则______． 14．若内一点P，满足，称点P为的布洛卡点，β为的布洛卡角．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，β为的布洛卡角，P为的布洛卡点，若，，则______． 4、 解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知复数. (1)求z的共轭复数； (2)求的实部和虚部； (3)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 16．某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商，现从两家工厂生产的产品中各抽取100件，并测量其质量指标值（指标值越大，代表质量越高），测量结果统计如下： 质量指标值分组 频数 40 60 平均数 63 83 方差 6 16 乙工厂 (1)求的值，并估计甲工厂产品质量指标值的样本平均数和样本方差（频率分布直方图中，同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)结合统计学知识为该企业推荐一家供货商． 17．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 18．如图，在边长是2的正方体中，E、F分别为AB、的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 19．如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设. (1)当平面时，求实数的值； (2)当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $