1.2 第2课时 菱形的判定（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“菱形的判定”核心知识点，通过选择条件使平行四边形变菱形、证明四边形是菱形等问题，衔接平行四边形性质与判定知识，构建从定义到判定方法的学习支架。 资料分层设计基础达标、能力提升、思维拓展模块，结合中考题与动手操作题，培养学生推理意识和几何直观，含视频讲解辅助理解，解析详细，助力自主学习与创新意识发展。

第2课时 菱形的判定 01基础达标 知识点一 利用菱形的定义进行判定 1. 如图，要使平行四边形变为菱形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，平分交于点C，平分交于点D，连接．求证：四边形是菱形． 知识点二 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3. 如图，在两根细木条的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字，再将四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，则这个四边形是__________；若将木条转成互相垂直的位置，则这时这个四边形是__________． 4. 如图，在中，点是的中点，点，分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③．从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是_____(只填写序号)． 5. 如图，的两条对角线、相交于点，，，，求证：四边形是菱形. 知识点三 四条边相等的四边形是菱形 6. 如图，，分别以为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点和，依次连接，连接交于点. （1）判断四边形的形状并说明理由 （2）求的长. 02能力提升 （2025·长沙） 7. 如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接，作的垂直平分线分别交，，于，，，连接，，则四边形是菱形． 乙：分别作，的平分线，，分别交，于，，连接，则四边形是菱形． 根据两人的作法可判断（ ） A. 甲正确，乙错误 B. 乙正确，甲错误 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误 9. 如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件________，使四边形AEDF是菱形． （2026・中山市三模） 10. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 03思维拓展 11. 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． （1）求证：AM=AN； （2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由． 第2课时 菱形的判定 01基础达标 知识点一 利用菱形的定义进行判定 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法解答即可． 【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【2题答案】 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先证明，，结合，证明四边形是平行四边形，再结合菱形的判定可得结论． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，熟记菱形的判定方法是解本题的关键． 知识点二 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【3题答案】 【答案】 ①. 平行四边形 ②. 菱形 【解析】 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；在平行四边形的基础上，结合对角线互相垂直，判断为菱形． 【详解】解：① 根据题意，两根细木条的中点处固定，即四边形的两条对角线互相平分； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴这个四边形是平行四边形． ② 若将木条转成互相垂直的位置，则四边形的两条对角线互相垂直； ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴这时这个四边形是菱形． 故答案为：平行四边形，菱形． 【4题答案】 【答案】③ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据菱形及平行四边形的判定即可判断添加③，不可添加①②． 【详解】解：需添加条件③，理由： ∵点是的中点， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵，是的中点， ∴． ∴平行四边形为菱形． 添加①②无法判定四边形为菱形， 故答案为：③． 视频 【5题答案】 【答案】见详解 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，根据勾股定理，可得即可证明； 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形． 【点睛】本题主要考查菱形的证明、平行四边形的性质、勾股定理，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 知识点三 四条边相等的四边形是菱形 【6题答案】 【答案】（1）见解析（2）6 【解析】 【分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD为菱形； （2）根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，然后利用勾股定理计算出OB，从而得到BD的长 【详解】（1）由图可知，垂直平分，且 所以，四边形为菱形. （2）因为且平分. 在中， 的长为6. 【点睛】此题考查菱形的判定，垂直平分线的应用，解题关键在于得到四边相等 02能力提升 （2025·长沙） 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：∵四边形的两条对角线相交于点，且互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 当时， 由得：， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 故选C． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定． 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】分别验证甲、乙两人的作法，利用平行四边形和菱形的判定定理，判断两种方法构造的四边形是否为菱形． 【详解】解：甲和乙的作法都正确： 理由是： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ． ∵是的垂直平分线， ∴． 在和中， ∴ ， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 如图， ∵， ∴ ． ∵平分，平分， ∴ ． ∴ ． ∴． ∵，且， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 故甲、乙均正确． 【9题答案】 【答案】DF∥AB 【解析】 【分析】添加DF∥AB，根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立． 【详解】解：DF∥AB，理由如下： ∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠ADF＝∠FAD， ∴FA＝FD， ∴平行四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 【点睛】本题主要考查了添加条件，菱形的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，角平分线定义，菱形的判定，添加DF∥AB． （2026・中山市三模） 【10题答案】 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质及解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示菱形即为所求： 【小问2详解】 解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 即菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． 03思维拓展 【11题答案】 【答案】（1）见解析 （2）四边形ABPF为菱形 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，进而得出△ABM≌△AFN得出答案即可. （2）利用旋转的性质得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四边形ABPF是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案. 【详解】（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）， ∴AB=AF，∠BAM=∠FAN. ∵在△ABM和△AFN中，， ∴△ABM≌△AFN（ASA）. ∴AM=AN. （2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形.理由如下： 连接AP， ∵∠α=30°，∴∠FAN=30°.∴∠FAB=120°. ∵∠B=60°，∴AF∥BP.∴∠F=∠FPC=60°. ∴∠FPC=∠B=60°.∴AB∥FP. ∴四边形ABPF是平行四边形. ∵AB=AF， ∴平行四边形ABPF是菱形. 【点睛】本题考查旋转的性质和菱形的判定.熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $