精品解析：山西省部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

2025-2026学年高一第二学期7月期末质量检测 数学 2026.7 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第二册. 一､选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由复数除法运算法则得： ， 故. 2. 已知向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，， 所以. 因为，所以. 3. 下列叙述正确的是 A. 频率是稳定的，概率是随机的 B. 互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 C. 5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小 D. 若事件A发生的概率为P(A)，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的意义判断，根据互斥事件和对立事件的定义判断． 【详解】频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A错； 互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B错； 5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是，C错； 由概率的定义，随机事件的概率在上，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查概率的意义，考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题． 4. 设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，当，，时，与可能平行、相交，位置关系不唯一，故A错误； 对于B，由，，得；又，是两个不重合的平面，则根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得，故B正确； 对于C，当，时，或；又，则与可能平行、相交，故C错误； 对于D，由，得平面内存在直线满足，结合可得；由，得，又，可得，故D错误. 5. 正四棱台的上､下底面的边长分别为，，侧棱长为，则其体积为（ ） （棱台的体积公式：，其中分别为棱台的上､下底面面积，为棱台的高.） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据棱台的性质及体积公式计算可得. 【详解】如图，正四棱台中，连接该正四棱台上下底面的中心，. 因为上下底面为正方形，所以， 根据棱台的性质，四边形直角梯形， 所以棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 6. 如图是山西省运城市某高校两名篮球队员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，下列结论中错误的是（ ） A. 第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分 B. 第2天至第7天篮球队员的得分逐日提高 C. 第2天至第3天篮球队员的得分增量大于运动员的得分增量 D. A篮球队员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】对于A，由图象可得，第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分，故A正确； 对于B，由图象可得，第2天至第7天B篮球队员的得分逐日提高，故B正确； 对于C，第2天至第3天篮球队员的得分增量为篮球队员的得分增量小于2，故C正确； 对于D，由图象可得，在第1天至第3天的得分中，篮球队员的最小得分为78，最高得分为80， 在第2天至第4天的得分中，最小得分为78，最高得分高于80， 所以第2天至第4天的得分比第1天至第3天的得分更分散， 所以篮球队员第1天至第3天的得分方差小于第2天至第4天的得分的方差，故D错误. 7. 如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为，速度为.某一时刻飞机看山顶的俯角为，经过后看山顶的俯角为，则山顶的海拔高度大约为（ ） （参考数据：） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意转化为设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，结合正弦定理和三角形的边角关系计算得到结果； 【详解】如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点， 则，所以， 在中，，由正弦定理得， 则. 因为，所以， 所以山顶的海拔高度大约为（）. 8. 在矩形中，与相交于点，过点作，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据题意先求点坐标，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，所以， 且 ，解得， . 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得部分分，部分选对的得2分. 9. 若复数，则（ ） A. B. 复数在复平面内对应的点的坐标为 C. 的共轭复数 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】借助复数模长公式、几何意义、共轭复数定义及运算法则逐项计算并判断即可得. 【详解】对于选项A：依题意，故A正确； 对于选项B：复数在复平面内对应的点的坐标为，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误. 10. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴.，，那么（ ） A. 的长度小于的长度 B. 的面积为2 C. 的面积为4 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用斜二测画法的长度变换规则还原原图边长与垂直关系，分别计算线段长度、原图与直观图面积，逐一判断每个选项对错得到正确选项. 【详解】依题意是的中点，且轴，轴，，， 对于A：中，，A正确； 对于B：，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：由于，所以不是等腰直角三角形，D错误. 11. 菱形的边长为为的中点（如图1），将沿直线翻折至处（如图2），连接，，下列说法中正确的有（ ） A. 在翻折的过程中（不包括初始位置），平面平面 B. 若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），点到平面的距离恒为 C. 若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 D. 若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），与平面所成的角逐渐减小 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A直接由线面垂直判断面面垂直可得，对B可直接作点到面的距离并计算可得，对C由二面角为可得，进而可将三棱锥看成由一个长方体截成的，从而只需求长方体的外接球的表面积可得，对D可直接得到线面角，并可以表示线面角的正切值随翻折过程中不断在增大，进而可得角不断在增大可得. 【详解】如图： 对于A，在菱形中，，为的中点，则， 即，因，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，如图，取的中点，连接，因为中点，则. 由A选项知平面，所以平面，所以为点到平面的距离， 又因，则，故B正确； 对于C，因为，所以即二面角的平面角， ，即两两垂直，故三棱锥的外接球可以看成以为三条棱组成的长方体的外接球， 所以外接球的直径， 故外接球的表面积为，故C正确； 对于D，如图取中点，连接. 由B选项知平面，则与平面所成的角为，且. 所以，由图易知，在翻折的过程中的值在减小， 所以的值在增大，所以在增大，即与平面所成的角逐渐增大，故D错误. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知10个数据：，则这组数据第40百分位数是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用百分位数定义计算即可得. 【详解】因为从小到大排列为，共10个数据，， 所以这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数，即. 13. 在中，，，，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出角，再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】在中，，，，由余弦定理得， 而，则，所以的面积为. 故答案为： 14. 如图，已知直角梯形中，，以直角梯形的底边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则所得几何体的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断旋转得到同底圆柱与圆锥的组合几何体，求出底面半径与圆锥母线长，分别算出圆柱侧面积、圆锥侧面积和外露底圆面积，相加得到组合体表面积. 【详解】旋转后所得几何体，如图所示：所得几何体为一个圆锥与一个同底的圆柱的组合体， 由题意得， 所以底面圆的周长为，底面圆的面积为， 所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为， 所以所得几何体的表面积为. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 从山西省运城市河东一中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该校学生身高的平均数.（每组数据以区间中点值为代表） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可. （2）利用频率分布直方图平均数的计算公式即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得. 【小问2详解】 该校学生身高的平均数如下， 为 16. 已知向量，. （1）若向量，求实数的值； （2）若向量满足，求的值. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示列方程，由此求得的值. （2）利用向量相等列方程组，解方程组求得，由此求得的值. 【详解】（1）∵，， ∴，. ∵，∴， 解得或. （2）∵， ∴， 即，解得. ∴. 17. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择． 方案一:从装有4个红球和2个白球的不透明箱中随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖; 方案二:掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．[注:散子(或球)的大小､形状､质地均相同] （1）有顾客认为，在方案一中，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗?请说明理由． （2）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案?请说明理由． 【答案】（1）错误，理由见解析；（2）选择方案一，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）将4个红球分别记为，2个白球分别记为，利用列举法求得基本事件的总数和2个都是红球所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. （2）根据古典摡型的概率计算公式，求得方案二中奖的概率，即可得到相应的结论. 【详解】（1）将4个红球分别记为，2个白球分别记为， 则从箱中随机摸出2个球有以下结果：，， 总共15种， 其中2个都是红球的有，，共6种， 所以方案一中奖的概率，所以该顾客的想法是错误的． （2）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，其中出现的点数至少有一个4的基本事件有，，共11种， 所以方案二中奖的概率，可得所以应该选择方案一． 18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面，且为中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明：如图所示，取中点，连接. ∵为中点，∴. 又，∴， 四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵四边形为平行四边形，∴四点共面. ∵为正三角形，为中点，∴. 又因为平面，，∴平面. ∵平面，∴. 又，平面，平面，∴平面. 又平面，∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件构造平行四边形，再利用线面平行的判定定理可证明. （2）先利用线面垂直的判定定理证明平面，从而可证明平面平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，． （1）求证：； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） 因为， 由正弦定理可得， 又因为， 代入整理得， 且，则， 可得，整理得， 由可知，则，解得， 可知，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，利用三角恒等变换分析可得，即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理可得，，利用正弦定理边化角，结合正弦函数可得，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，即， 由余弦定理可得，即， 所以， 由正弦定理可得， 则，， 则， 可得 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可知， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一第二学期7月期末质量检测 数学 2026.7 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第二册. 一､选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 下列叙述正确的是 A. 频率是稳定的，概率是随机的 B. 互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 C. 5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小 D. 若事件A发生的概率为P(A)，则 4. 设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 正四棱台的上､下底面的边长分别为，，侧棱长为，则其体积为（ ） （棱台的体积公式：，其中分别为棱台的上､下底面面积，为棱台的高.） A. B. C. D. 6. 如图是山西省运城市某高校两名篮球队员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，下列结论中错误的是（ ） A. 第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分 B. 第2天至第7天篮球队员的得分逐日提高 C. 第2天至第3天篮球队员的得分增量大于运动员的得分增量 D. A篮球队员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差 7. 如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为，速度为.某一时刻飞机看山顶的俯角为，经过后看山顶的俯角为，则山顶的海拔高度大约为（ ） （参考数据：） A. B. C. D. 8. 在矩形中，与相交于点，过点作，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得部分分，部分选对的得2分. 9. 若复数，则（ ） A. B. 复数在复平面内对应的点的坐标为 C. 的共轭复数 D. 10. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴.，，那么（ ） A. 的长度小于的长度 B. 的面积为2 C. 的面积为4 D. 11. 菱形的边长为为的中点（如图1），将沿直线翻折至处（如图2），连接，，下列说法中正确的有（ ） A. 在翻折的过程中（不包括初始位置），平面平面 B. 若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），点到平面的距离恒为 C. 若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 D. 若为中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），与平面所成的角逐渐减小 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知10个数据：，则这组数据第40百分位数是_________. 13. 在中，，，，则的面积为________. 14. 如图，已知直角梯形中，，以直角梯形的底边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则所得几何体的表面积为_________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 从山西省运城市河东一中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该校学生身高的平均数.（每组数据以区间中点值为代表） 16. 已知向量，. （1）若向量，求实数的值； （2）若向量满足，求的值. 17. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择． 方案一:从装有4个红球和2个白球的不透明箱中随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖; 方案二:掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．[注:散子(或球)的大小､形状､质地均相同] （1）有顾客认为，在方案一中，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗?请说明理由． （2）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案?请说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面，且为中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 19. 已知，，分别为三个内角A，，的对边，． （1）求证：； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $