第三章《图形的相似》知识点总结与分层练习-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以“概念-判定-性质-应用”为逻辑主线，分层整合相似图形核心知识，通过基础巩固、模型综合及实际应用训练，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识点|4个核心点|相似三角形判定（AA/SAS/SSS）、性质（周长比=相似比，面积比=相似比平方）|从相似图形定义到相似比，递进至相似多边形、三角形的判定与性质| |基础练习|18题|网格相似判定、比例关系直接应用|强化概念辨析与性质简单套用| |综合运用|6题|A字型/8字型模型构建、动点分类讨论|结合图形变换深化判定与性质综合应用| |拓展|2题|实际测量（标杆法）、阴影面积计算|通过真实情境发展应用意识与空间观念|

《图形的相似》知识点总结与分层练习 核心知识点总结 1.图形的相似与相似比 定义：形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似图形。 相似比：相似图形对应边的比叫做相似比（通常用k表示）。 图① 图② 2.相似多边形的性质与判定 判定：对应角相等，对应边成比例的多边形相似。 性质： 对应角相等，对应边成比例。 周长之比等于相似比。 面积之比等于相似比的平方。 3.相似三角形的判定定理 定理1：两角分别相等的两个三角形相似(AA)。 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(SAS)。 定理3：三边成比例的两个三角形相似(SSS)。 平行线判定：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 4.相以三角形的性质定理 第1页 对应角相等，对应边成比例。 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。 周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 第2页 知识点重点复习（填空版） 1.形状相同，但大小不一定相同的图形叫做 图形。 2.相似三角形的对应角， 对应边 。 3.相似三角形的周张之比等于， 面积之比等于。 4.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于。 5.两个三角形相似的判定方法中，最常用的是两确分别。 基础性知识分层练习 一、填空题（共5题：核心概念） 考察重点：相似比、对应边关系、网格中的相似判定。 1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC和△EDF的顶点都在 网格的格点上，△ABC一△EDF,则△ABC与△EDF的相似比为 ,∠BAC的度数为 2.如图，△ABC一△ABC,∠B=90°. B 4\C B 6 (1)AB的对应边为 BC的对应边为 ∠ABC= (2)△ABC与△ABC的相似比k= 3.若把一个三角形的边同时放大为原来的3倍，则它的周长放大为原来的 倍，面积放大 为原来的 倍、 4.已知△ABC一△ABC,对应边的比为1：3，则相似比为 对应高的比为一 ，对应中线的比为 对应角平分线的比为 第3页 5.高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m,此时测得附近一个建筑物的影子长24m,则该建筑物的高度为 m 第4页 二、选择题（共5题） 考察重点：相似比、面积比、周长比的简单套用。 6.若△ABC一△DEF,且面积之比为9：25，则△ABC与△DEF的周长之比为 A.9:25 B.3:25 C.3:5 D.2:5 7.若两个相似三角形的周长之比为1：2，则它们的面积之比为 A.1:4 B.1:2 C.2:1 D.4:1 8.如图，在正方形网络中，点A,B,C,D均在格点上，AC与BD相交于 点O,则△ABO的面积与△CDO的面积的比为() B A.1:2 B.2:3 C.1:4 D.3:4 9.两个相似三角形的相似比是2：3，则这两三角形面积的比是 A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9 10.如图，△AB0一△CD0,若B0=8,D0=4,CD=3,则AB的张是() A.2 B.3 C.4 D.6 三、解答题（共8题：中等难度） 考察重点：侧重相似三角形判定与性质的常规证明。 11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC. (I)求证：△ABD一△CAD (2)若BD=4,CD=9,求AD和AB的张 D 第5页 12.如图，在△ABC和△ACD中，AD⊥CD于点D,AC⊥BC于点C,ABCD. (1)求证：△ABC一△CAD: (2)若CD=2,AB=6,求AC的长. D 13.如图，点F是Rt△ABC的边BC的中点，∠C=90°，AC=6,AB=10,DE⊥BC于点F,交AB于 点D,EB⊥AB于点B,求BE的长 14.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,DC上，△ABE一△DEF,AB=6,AE=8, DE=2,求EF的长. A E B C 15.如图，在正方形ABCD中，点E,F,G分别在边AB,BC,CD上，且∠EFG=90°. (1)求证：△EBF一△FCG: D (2)若BC=10,CG=3,BE=8,求FC的长 G B 第6页 16.如图，已知AB·AF=AE·AC,且∠1=∠2，求证：△ABC一△AEF. 17. 如图，△ABC一△ABC,且相似比为k,求△ABC与△ABC的 周长比和面积比. ☆定理：相似三角形的周长比等于_ 面积比等于 18,如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的延长线上一点，DE=CD,连接BE,与AC,AD分别 交于点O,F (1)若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积： (2)求证：OB=OE·OF. E F A D B 第7页 综合运用（共6题） 考察重点：侧重相似三角形模型(A字型、8字型)综合运用。 19.如图，在△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，连接AD,DE,且∠B=∠1=∠C. (1)证明：△BDA一△CED: (2)若∠B=45°，BC=2,当点D在BC上运动时（点D不与B,C重合），且△ADE是等腰三角形，求 比时BD的长. 备用图 AC_AP_CP 20.如图，在△PAB中，C,D是AB上的两点，已知PD-PB-DB (I)求证：PC=PD: (2)求证：△PDB一△APB: (3)若∠APB=120°，求证：△PCD为等边三角形. B 第8页 21.在△ABC中，P为边AB上一点， B B C 图1 图2 (1)如图1，若∠ACP=∠B,求证：AC2=AP·AB; (2)如图2，若M为CP的中点，AC=2,∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长. 22.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B重合），连接AE,过点B作BF⊥AE于点F, 交CD于点G (I)求证：△ABF一△BGC: (2)若AB=2,点G是CD的中点，则BG= AF= A D G B E 第9页 23.如图，在口ABCD中，F为AD上一点，AF=2DF,连接BF,交AC于点E,BF的延长线交CD的延 长线于点G,则配的值为多少？ E 24.如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD>AB,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠，使点B落 在AD上的点F处，若四边形EFDC与原矩形相似，求AD的长. A F D B E C 第10页 拓展 考察重点：几何动点分析与实际测量情境的综合应用。 25.如图，小明要测量操场上旗杆的高度AH.立两根高1m的标杆BC和DE, 两杆相距BD=15m,D,B,H三点共线.已知BF=2m,A,C,F三点共 线；DG=3m,A,E,G三点也共线，求旗杆的高度AH及HB的距离 9J 、E H BF DG 26.边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分 的面积为 第11页 参考答案与解析 0 135 2. 1)AB,BC,90 号 3.3,9 4.1:3,1:3,1:3,1:3 相似三角形的相似比等于对应边的比，因此相似比为1：3。相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分 线的比都等于相似比，因此对应高的比为1：3，对应中线的比为1：3，对应角平分线的比为1：3。 5.16 根据相似三角形的性质，旗杆的高度与其影子的长度之比等于建筑物的高度与其影子的长度之比。设建筑 物的高度为血，则有比例关系：24m解这个比例式：4×24=6×h96=6h-5=16因此，建筑物 4mh 6 的高度为16m。 6.C 已知△ABC~△DEF,且面积之比为9：25。相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此相似比为 V9:只V25=3:5。相似三角形的周长比等于相似比，所以周长之比他是3：5。 7.A 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。题目中周长比为1：2，所以相似比也是1：2， 因此面积比为12：22，即1：4。 8.C 9.D 相似三角形的面积比等于相似比的平方。已知相似比为2：3，则面积比为(2)2：(3)2=4：9。因此，正确答 案是D。 10.D .△ABO~△CDO BO AB ·DO DC .B0=8,D0=4,CD=3, 第12页 .8_AB 43 解得：AB=6. 故选D. 11. (1).∠BAC=90° .∴.∠BAD+∠CAD=90° .AD⊥BC ∴.∠ADB=∠CDA=90° .∴.∠C+∠CAD=90°. .∴.∠BAD=∠C .∴.△ABD一△CAD」 (2)由(1)，得△ABD一△CAD, .BD=AD 4AD ·ADCD,即AD97 解得AD=6(负值舍去) . .AB=A D2+BD2=213. 12. (1)证明：：AC⊥BC,AD⊥CD, ∴.∠BCA=∠ADC=90°. .AB‖CD,∴.∠BAC=∠ACD .∴.△ABC一△CAD (2)由(1)，得△ABC一△CAD. 0品 .CD=2,AB=6, .6=AC ·CA2' 解得AC=23(负值舍去)· 第13页 经检验，AC=2V3是原方程的解，且符合题意. ∴.AC的张为23 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,AB=10, ∴.BC=AB-AC2=8 ,点F是BC的中点， BF-BC=4. .DE⊥BC, ∴.∠BFE=90°=∠C ∴.∠E+∠EBF=90°. ,EB⊥AB .∠ABE=90°=∠ABC+∠EBF. ∴.∠E=∠ABC. .∴.△ABC一△BEF」 .AB_AC 10_6 ·BEBF, 即 BE 4' ·BE=20 14..四边形ABCD是矩形， .∠BAE=90° ..AB=6,AE=8 :.BE=VAB2+AE2=V62+82=10, ,'△ABE一△DEF AB BE 610 DE EF 即)E示，解得EF= 3 15. (1)证明：，四边形ABCD为正方形， .∴.∠B=∠C=90° 第14页 .∠EFG=90°， .∴.∠BFE+∠CFG=90° .∠BFE+∠BEF=90° .∠BEF=∠CFG」 ∴.△EBF一△FCG (2).△EBF一△FCG .FC=CG “腕品 FC3 即8=10-CF 解得CF=4或6 16.证明：.AB·AF=AE·AC, ..AB=AC AE AF .∠1=∠2 ∴.∠2+∠BAF=∠1+∠BAF,即∠BAC=∠EAF, .△ABC一△AEF 17.相似比，相似比的平方 AB_BC=AC=k 解：由题意，得B BC AC AB+BC+AC=AB=k AB+BC+A C AB 如图，分别作△ABC和△ABC的高CD,CD. D A .△ABC一△ABC, .CD=AB=k」 CD AB 第15页 1AB·CD ·SAABC AB.CD=K2 号AB-GD AB CD 定理：相似比相似比的平方 18. (1)解：四边形ABCD是平行四边形， ∴.ADBC,ABCD,AD=BC .∴△DEF△CEB,△DEF一△ABF, DCD. DE_ DE -1 ·EC-DE+CD3' SADEE= SACEB .S△DEF=2, .S△cEB=18 AD‖BC, DFDE_1 ·BC-EC3 Dr=3Bc吉AD 31 AF=2AD=2DF, △DEF~△ABF, SADEE=( DF 2 S△ABF 4 .S△ABF=8, SADEE-1 DEDE 1 SAm4,且△DEF与△ABF的高之比为ABC品2 设△DEF中DF边上的高为h1,则△ABF中AF边上的高为h2=2h1, 平行四边形ABCD中AD边上的高为h=h1+h2=3h1, 第16页 DFh,=2, SADEF-2 .DF.h=4 .SABCD=AD·h=3DF.3h1=9DF·h1=9×4=36 (2)证明：·，四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC .△AOF一△COB OF_OA ·OBOC AB‖CD,即AB‖CE .△AOB一△COE OB_OA ·0E0C OFOB ·OBOE1 .OB2=OE·OF. 19. (I)证明：，'∠ADC是△ABD的外角， ∴.∠ADC=∠B+∠BAD 即∠1+∠CDE=∠B+∠BAD」 .∠B=∠1， .∠BAD=∠CDE. ∠B=∠C, ∴.△BDA一△CED (2)解：.∠B=45°，∠B=∠1=∠C, .∴.∠C=45°，∠1=45° '.∠BAC=90°，即△ABC是等腰直角三角形. .BC=2, 第17页 .AB=AC=2」 分以下三种情况讨论： ①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°， ∴.∠DAE=90°，此时点D与点B重合，不合题意，舍去. ②当AD=DE时，由△BDA一△CED BD_AD=1, ·CEDE .BD=CE 设BD=X,则CD=2-X,CE=x, .AE=AC-CE=2-x. ,'△BDA一△CED AB_BD V2 CD CE 即2一× =1, 解得x=2-2,即BD=2-2, ®当AE=DE时，∠ADE=∠1=45， '.∠DAE=∠ADE=45°， ∴.∠AED=90°，即DE⊥AC. .∠C=45°， ∴.CD=2DE,CE=DE .△BDA一△CED,且AE=DE BD AB BD 2 1 ·CECD' 即DE-V2DEDE' .BD=1. 综上所述，BD的长为2-V2或1. 20. ω部站品 ∴.△APC~△PBD 第18页 ∴.∠ACP=∠PDB. ∴.∠PCD=∠PDC. ∴.PC=PD (2)由(1)，得△APC一△PBD, .∠A=∠BPD .∴.∠PDB=∠A+∠APD=∠BPD+∠APD=∠APB ∠B=∠B ∴.△PDB一△APB 3).∠APB=∠PDB=120 ∴.∠PDC=60° PC=PD ∴.△PCD是等边三角形. 21. (1)证明：，'∠ACP=∠B,∠BAC=∠CAP ∴.△ACP-△ABC. ..AC-AP ·ABAC ∴.AC2=AP·AB (2)如图，作CQ‖BM交AB延长线于点Q.设BP=X,则PQ=2x. .'∠PBM=∠ACP=∠Q,∠PAC=∠CAQ, .∴.△APC~△ACQ. .AC_AP ·AQAC,即AC2=AP·AQ」 .2=(3-x)(3+x). .x1=V5,X2=-5(舍去)，即BP=5. 22. (1) 第19页 在正方形ABCD中，∠ABE=∠BCG=90°. .∠BAE+∠ABF=90°，∠CBG+∠ABF=90°， .∴.∠BAE=∠CBG」 .∠BFA=∠BCG=90°， .∴.△ABF一△BGC」 2②)545 5 28月 :四边形ABCD是平行四边形， .ABI‖ICD,AD‖BC,且AD=BC。 设DF=k,则AF=2k,AD=3k,∴.BC=3k。 .ABII CG ,∴.△ABF△DGF AB AF 2k ..DG DF=k=2 .DG=54B 又，∵AB=CD .CG=CD+DG=2AB。 ,ADI‖BC,∴.△AEF~△CEB AE AF 2k 2 EC-BC=3k= 3 .AB IICG,得△ABE~△CGE AB BE AB EGCG 3AB EG 3 ·BE 2° 24.依题意，得四边形ABEF是正方形， 第20页 设AD=x,则FD=x-1,FE=1. .'四边形EFDC与矩形ABCD相似， ·EF_AD ·FDAB 1x x-11 解得K,=35+1 ,=1-5 2 2 (不符合题意，舍去)· 经检验，X= V5+1 2是分式方程的解，且符合题意。 AD=5+1 2 25.设BH=x,AH=y. 根据题意，得BC‖AH,DE‖AH ∴.∠CBF=∠EDG=∠H,∠FCB=∠FAH,∠GED=∠GAH. .∴.△FCB~△AH,△EDG~△AHG」 BC_BF DE_DG AH FH'AH HG' 即，213 y2+x'y3+15+x1 ·2 3 ·2+X3+15+x1 解得x=30,y=16. 经检验，x=30,y=16是原方程的解，且符合题意. 答：旗杆的高度AH为16m,HB的距离为30m. 26.15 如图，由BF‖DE,易得△ABF~△ADE, AB_BF AD DE .AB=4,AD=4+6+10=20,DE=10 :4-BF ·2010 第21页 .BF=2, .∴.GF=6-2=4. 由CK‖DE,易得△ACK-△ADE, ACCK ·ADDE .AC=4+6=10,AD=20,DE=10, ·10-CK ·2010' .∴.CK=5, ∴.HK=6-5=1 “阴影部分的面积为（HK+GF)GH-号×(1+4)×6=15. 10 H6 第22页