精品解析：广东深圳市罗湖区2025-2026学年第二学期期末质量检测高一数学试题

2025―2026学年第二学期期末质量检测 高一数学 2026.7 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，且，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下表为“某地区年的生产总值（）”相关数据（其中该地区生产总值是逐年递增的）． 年份 年 年 年 年 年 年 生产总值（）/万亿元 由于不小心，该地区的年生产总值（）数据被污染了，但知道表中数据的第百分位数与第百分位数之和为，则该地区的年生产总值（）为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，则下列等式一定成立的为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人各进行一次射击，已知两人各自中靶的概率分别为和，若两人是否中靶相互独立，则恰有一人中靶的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆台的母线与下底面所成的角为，若其上、下底面的半径分别为1，2，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的面积为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 底面边长为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去了一个底面边长为，高为的正三棱锥后，若所得三棱台的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， D. 若，则 10. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则，或 11. 抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，记，分别为抛出的第一枚和第二枚骰子正面朝上的点数，设事件“，中至少有一个为偶数”为，事件“，中至少有一个为奇数”为，事件“”为，事件“”为，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与相互独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为的共轭复数，则_________． 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_________． 14. 记的外接圆圆心为，若圆的半径为，且，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）已知点为的中点，若，且的面积为，求． 16. 如图，已知五面体的底面是正方形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 17. 如图，在平行四边形中，与交于点，． （1）若，求的值； （2）设，，，． ①用，表示； ②求的值． 18. 在直三棱柱中，，且，动点，分别在线段，上，且． （1）证明：平面； （2）若，且，求多面体的体积． 19. 给定两组数据和，现定义为这组数据的“总体偏差”．现有数据，将中数据按任意顺序排列，得到数据，例如，当时，可以得到数据和，此时总体偏差的所有可能取值为和2． （1）当时，求的所有可能取值； （2）当时，求“”的概率； （3）记“”为事件，证明：事件为不可能事件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025―2026学年第二学期期末质量检测 高一数学 2026.7 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，且，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】考查复数的几何意义，要确定复数所在象限，需根据已知条件判断的正负性. 【详解】已知，，所以，， 对于复数在复平面对应点的坐标为横坐标为正，纵坐标为负， 所以在第四象限. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用向量的加法得出坐标，再应用模长公式求解. 【详解】因为向量，， 所以 则. 3. 下表为“某地区年的生产总值（）”相关数据（其中该地区生产总值是逐年递增的）． 年份 年 年 年 年 年 年 生产总值（）/万亿元 由于不小心，该地区的年生产总值（）数据被污染了，但知道表中数据的第百分位数与第百分位数之和为，则该地区的年生产总值（）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设该地区的年生产总值为，数据升序排列为： ， ，向上取整为4，则第百分位数为第4个数据，即为， ，向上取整为5，则第百分位数为第5个数据，即为， ，解得． 4. 已知向量，，且，则下列等式一定成立的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 两个非零向量垂直的充要条件为其数量积等于，且，∴ . ∵ ，， ∴ ，整理得 . 5. 甲、乙两人各进行一次射击，已知两人各自中靶的概率分别为和，若两人是否中靶相互独立，则恰有一人中靶的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设“甲中靶”为事件，“乙中靶”为事件，由题意得 ，，且与为相互独立事件. ∴ ，. ∵ 恰有一人中靶对应两种互斥情况：甲中靶且乙未中靶、乙中靶且甲未中靶， ∴ 所求概率 . ，. ∴ . 6. 已知某圆台的母线与下底面所成的角为，若其上、下底面的半径分别为1，2，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆台上底面半径 ，下底面半径 ， 设 为母线长，母线与下底面夹角 ， 由图可得cos ， 即，所以，得， 所以. 7. 已知的面积为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用面积公式计算得出边长，再应用余弦定理得出，最后应用正弦定理及同角三角函数关系计算求解. 【详解】因为的面积为，且，， 则，所以， 由余弦定理得，所以， 由正弦定理得，所以，且为锐角，所以， 则. 8. 底面边长为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去了一个底面边长为，高为的正三棱锥后，若所得三棱台的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为原正三棱锥被平行于其底面的平面所截， 截去的小正三棱锥底面边长为，高， 原正三棱锥底面边长为， 所以原正三棱锥高， 三棱台的高为， 下底面（边长为的正三角形）外接圆半径为， 上底面（边长为的正三角形）外接圆半径为， 设球心到下底面的距离为，球半径为，则球心到上底面的距离为， 由球心到各顶点距离相等， 得到和， 解得， 即， 即， 即，即， 将代入， 得到， 则球的表面积为. 故选项D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】选项 A：若，则，而，所以，A正确. 选项 B：若，则，即且， 此时，不只是，B 错误. 选项 C：若，则， ，所以，C 正确. 选项 D：若，则， 此时，不只是，D 错误. 10. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则，或 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，利用线面平行的判定即可判断；对于B选项，根据线面垂直的定义即可判断；对于C选项，根据垂直于同一平面的两条直线平行即可判断；对于选项D，垂直于两平面交线的直线未必垂直于其中一个平面. 【详解】对于A：若，，则或，故A错误； 对于B：若，，根据线面垂直的定义，直线垂直于平面，则垂直于平面内任意一条直线，故B正确； 对于C：由面面平行的性质可知，若，，则，又，根据垂直于同一平面的两条直线平行可知，故C正确； 对于D：若，，则也可能是平面与平面的一条斜线，与平面均不垂直，故D错误. 11. 抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，记，分别为抛出的第一枚和第二枚骰子正面朝上的点数，设事件“，中至少有一个为偶数”为，事件“，中至少有一个为奇数”为，事件“”为，事件“”为，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义，结合并事件、交事件的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为表示事件为：，中有一个为偶数，一个为奇数，显然， 所以与是互斥事件，因此本选项说法正确； B：抛出的第一枚和第二枚骰子正面朝上的点数，用表示，结果为： ，共个基本事件， 事件包含以下事件： ，共个， 事件包含以下事件： ，共个， 事件包含以下事件： ，共个， 因为， 所以有，因此与不相互独立，所以本选项说法不正确； C：表示两次出现的点数都是偶数，表示两次出现的点数都是奇数， 所以，因此本选项说法正确； D：事件包含的基本事件为 ， 所以事件包含的基本事件为： ，共个， 所以，因此本选项说法正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为的共轭复数，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先使用复数的四则运算计算出复数,再利用共轭复数的定义及复数的运算即可求解. 【详解】，那么, 所以. 13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】明确向量投影向量的计算公式，投影向量投影长度单位向量，向量在向量上的投影长度为，与向量同方向的单位向量为，所以向量在向量上的投影向量为，分别求解即可 【详解】，， ，所以向量在向量上的投影向量为： 14. 记的外接圆圆心为，若圆的半径为，且，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先将转化为，再分别计算，得到，最后利用余弦定理和基本不等式求最大值. 【详解】， 设圆的半径为，已知， 取的中点，则，所以， 因为，且，所以， 同理，取的中点，可得， 因此， 在中，根据余弦定理，已知，则， 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得， 所以, 根据基本不等式（当且仅当时取等号）， 则， 即。 又因为， 所以， 则， 综上，的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）已知点为的中点，若，且的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式即可求出角. （2）先利用向量的中线公式和三角形面积公式得到和的值，再利用余弦定理即可求出边. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得, 又因为，所以，所以， 由二倍角公式得, 又，即， 所以，即. 【小问2详解】 已知点为的中点，由向量中线公式得, 两边平方得, 即，化简得， 又的面积,又， 代入化简得， 将②式代入①式得， 由余弦定理得， 又，所以. 16. 如图，已知五面体的底面是正方形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：由正方形的性质知，， ，平面，平面， 平面, 平面，平面，平面平面， 平面平面，平面， 平面平面,且， 平面， 又， 平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点，连接，则在等边三角形中，由三线合一知， 平面平面，，平面，平面平面， 平面， 连接，易知是与平面所成的角， 又，，又， ， 直线与平面所成角的正切值为． 17. 如图，在平行四边形中，与交于点，． （1）若，求的值； （2）设，，，． ①用，表示； ②求的值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，将换成，在求数量积时可以出现，从而得解. （2）利用向量加法法则转换成要求的基底向量即可；再次利用已知，所以 ，代入建立方程求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， ，， ． 【小问2详解】 ①由题意可得，． ②由题意可得，， ，，三点共线，，① ，，， ， ，， 即， 化简可得，，② 由①，②可解得，， ． 18. 在直三棱柱中，，且，动点，分别在线段，上，且． （1）证明：平面； （2）若，且，求多面体的体积． 【答案】（1）证明：如图，在线段，上分别取点，， 使得，连接，，， ，，， ，，， 又， ， ，，，四点共面， ，平面， 平面， ，平面， 平面， 又， 平面平面， 又平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由比例相似造平行线推出面面平行，再利用面面平行的判定与性质证明线面平行； （2）利用比例求边长，判定截面直角梯形，分割几何体，分别计算锥体体积再求和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，且平面， 平面， 同理，平面， 平面，平面，平面， 四边形为直角梯形， 由，，及， ， ， ， ，且， ， ，， 直角梯形的面积为， 不难知道多面体的体积可视为四棱锥， 四棱锥，及三棱锥的体积之和， 四棱锥的体积为， 四棱锥的体积为， 的面积为， 三棱锥的体积为， 多面体的体积为． 19. 给定两组数据和，现定义为这组数据的“总体偏差”．现有数据，将中数据按任意顺序排列，得到数据，例如，当时，可以得到数据和，此时总体偏差的所有可能取值为和2． （1）当时，求的所有可能取值； （2）当时，求“”的概率； （3）记“”为事件，证明：事件为不可能事件． 【答案】（1）的所有可能取值为0，2，4 （2） （3）， ①若只调整个数，其他不变得到数据， 即将数据调整为，其余数据在原来位置不变， 此时， ②当时，若调整个数，其他不变得到数据， 即将数据调整为和，其余数据在原来位置不变， 此时， 或者， ③当时，若调整个数，其他不变得到数据，显然， 综上所述，事件为不可能事件． 【解析】 【分析】（1）根据题意列举出数据的所有情况，根据公式计算结果； （2）设“”为事件，由古典概型求得事件的对立事件，即可求得； （3）讨论调整位置个数，由定义求得的表达式，从而证明. 【小问1详解】 当时，则，，，，，， 可知0，2，2，4，4，4， 则的所有可能取值为0，2，4． 【小问2详解】 记“”为事件，样本空间为，则“”为事件， 当时，由列举可知，数据有个，样本空间有个样本点， ①若不调整数据，此时，事件有1个样本点； ②若只调整个数，其他不变，欲使，只能调整相邻的两个数据， 即将数据，，调整为，，， 此时，事件有3个样本点； ③若调整个数，由（1）可知，此时， 由以上可知，事件有个样本点， 则． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $