1.1 集合的概念 暑假自学练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版（2019）高一上学期“1.1集合的概念”暑假同步练，通过基础巩固-能力应用-综合拓展三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的知识进阶，适配暑假自学场景下的分层学习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|集合概念、表示方法（列举法/描述法）、元素性质|单选题1-5直接考查概念辨析，填空题10-12强化列举法应用，培养抽象能力| |能力应用|元素与集合关系、含参集合运算|单选题6结合不等式求参数范围，多选题7-9涉及多情况分类讨论，提升推理能力| |综合拓展|集合性质综合应用、逻辑证明|解答题15-19通过集合元素循环关系、含参集合元素个数探究，发展模型意识与创新意识|

1.1 集合的概念 暑假自学练 2026-2027学年 高中数学人教A版（2019）高一上学期 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．方程的解集为 C．集合可以用列举法表示 D．集合与是两个相同的集合 2．已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 6．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 8．已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 三、填空题 10．用列举法表示集合可以是______． 11．已知集合，，用列举法表示集合_____________． 12．已知集合，，若，，则______. 13．已知集合中的最大元素为，则实数________. 14．集合，若，则__________ 四、解答题 15．已知集合S满足:若，则.请解答下列问题: (1)若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素. (2)证明:若，则. (3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由. 16．用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)； (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合； (4)不等式的解集． 17．已知集合中含有两个元素和． (1)若是集合中的元素，试求实数的值； (2)能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由． 18．用适当的方法表示下列集合： （1）方程组的解集； （2）方程的实数根组成的集合； （3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合； （5）二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合. 19．已知集合. （1）若中只有一个元素，求及； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D D C B C D BC CD AC 1．D 根据集合的概念和表示对选项逐一判断即可. 对于A：因为0表示元素，不是集合，所以A错误； 对于B：因为集合的元素具有互异性，所以方程的解集是，所以B错误； 对于C：因为满足不等式的元素有无限个，无法一一列举，所以C错误； 对于D：因为集合的元素具有无序性，所以集合是两个相同的集合，所以D正确. 故选：D. 2．D 根据元素与集合的关系求得的取值范围. 因为， 又且，则. 故选：D 3．C 由集合中至少有3个元素，即可得到的取值范围. 解：且集合A中至少有3个元素， . 故选：C. 4．B 根据确定出的可取值，然后根据判断出中的元素即可求解出. 因为，所以， 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，不符合； 所以， 故选：B. 5．C 根据，采用列举法表示集合B 即可求解. 根据题意， 所以集合B中共有6个元素， 故选：C. 6．D 集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 7．BC 解出方程，根据集合的描述法、列举法得出答案. 由可得， 所以根据描述法、列举法可得方程的解集为或， 故选：BC 8．CD 对非零实数的符号分情况进行讨论即可求得所有可能的取值为，即可得出结论. 依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为. 故选：CD 9．AC 根据题意依次讨论当为时，集合中的元素个数. 当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故A正确； 当时，满足的有，即集合中有4个元素，不符合题意，故B错误； 当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故C正确； 当时，满足的有，即集合中有6个元素，不符合题意，故D错误. 故选：AC. 10． 根据限制条件写出集合的元素即可. . 故答案为：. 11． 根据元素特征即可得到结果. 由题意得，2，3，4，6，12 解得，5，4，，1， 所以集合，，1，3，4，5，． 故答案为： 12． 首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到或，即可得到答案. 解：因为，所以或或， 解得或或， 因为，所以或或， 解得或或， 又因为，所以或，即. 故答案为： 13．1 依题意可得，解得，再检验即可. 因为，所以， 所以，解得或， 显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意． 故答案为： 14． 分和，并结合集合元素的互异性求解即可. 解：因为， 所以，若，则可得或2， 当时，，不满足互异性，舍去， 当时，，满足题意; 若，则，此时，不满足互异性，舍去； 综上 故答案为： 15．(1)和. (2)证明见解析 (3)不能，理由见解析 （1）由得到，进而求出，得到答案； （2），进而得到，化简得到答案； （3）令，方程无解，得到结论. （1）因为，所以， 所以，所以，循环. 所以集合S中另外的两个元素为和. （2）由题意，可知且， 由，得， 即， 所以若，则. （3）集合S中的元素不可能只有一个. 理由如下:令， 即. 因为，所以此方程无实数解，所以. 因此集合S中不可能只有一个元素. 16．(1) (2) (3) (4) 根据描述法及列举法的定义结合题意即可得出答案. （1）由得，，解得，， 所以集合为； （2）由，得x为，，0，1，2， 当或时，； 当或时，； 当时，． 所以集合为； （3）； （4）解不等式得， 所以不等式的解集可表示为． 17．(1)1或 (2)不能，理由见解析 （1）依题意可得或，分别求出的值，再代入检验即可； （2）依题意可得或，求出的值，再判断是否符合集合元素的互异性，即可得解. （1）因为是集合中的元素， 所以或． 若，则， 此时集合含有两个元素，，符合要求； 若，则， 此时集合中含有两个元素，，符合要求． 综上所述，满足题意的实数的值为或． （2）不能．理由如下： 若为集合中的元素，则或． 当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性； 当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性． 综上，不能为集合中的元素． 18．（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）. 描述法或列举法表示（1）、(2)，描述法表示(3)、(4)、(5). （1）解方程组得 故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为. （2）方程有两个相等的实数根1，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为. （3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且. （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足，则可用描述法表示为. （5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素y是实数，故可用描述法表示为. 19．（1）时，；时，；（2）； （1）分和两种情况讨论，当中只有一个元素时，求的取值； （2）讨论集合或有一个元素时，的取值范围. （1）当时，，解得： ， 所以中只有一个元素，即， 当时，，解得：， ，解得：，此时 综上可知时，时. （2）当集合时，，解得： 由（1）可知集合有1个元素时，或， 综上可知：或， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $