二面角及其平面角08——2025-2026学年高一下学期数学必修二立体几何初步暑假专项作业（解析版+原卷版）

**基本信息** 聚焦二面角及平面角，通过基础巩固-方法应用-综合探究三层设计，实现从定义理解到多法求解的递进，适配暑期专项提升，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二面角定义、平面角概念、定义法/三垂线法基础应用|单选1-5、填空10-11，直接考查定义辨析与简单几何体（正方体、三棱锥）中平面角求解，强化空间直观| |中档层|射影面积法、补棱法应用，复杂几何体（正四棱锥、圆锥）二面角计算|单选6-9、填空12-14，结合教材改编题（如复习题8第11题），训练方法选择与变式迁移，发展推理意识| |综合层|二面角与垂直证明、球结合的综合问题|解答题15-19，需多法融合（如16题证面面垂直后求二面角），体现数学思维的逻辑性与问题解决能力|

高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业08 测试范围：二面角及二面角的平面角 知识梳理： 1、二面角定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面. （二面角 或者是二面角 ） 2、二面角的平面角的概念:平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角; 范围 . 3、二面角的求法 解法一: 定义法 在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角,如图在二面角的棱上任取一点,以 为垂足,分别在半平面和内作垂直于棱的射线和 , 则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同,那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）. 解法二: 三垂线法 在平面或平面内找一合适的点,作于,过作 于,则为斜线 在平面内的射影, 为二面角 的平面角. 如图 1,具体步骤: ①找点做面的垂线；即过点，作于 ； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作 于 ，连接 ； ③计算: 为二面角的平面角，在中解三角形. 解法三: 射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式 ,如图 2） 求出二面角的大小; 解法四:补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时, 要将两平面的图形补充完整, 使之有明确的交线（称为补棱）, 然后借助前述的定义法与三垂线法解题. 当二平面没有明确的交线时, 也可直接用法三的射影面积法解题. 解法五:垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直, 因此公垂面与两个面的交线所成的角, 就是二面角的平面角.例如: 过二面角内一点作于,作于,面交棱于点,则就是二面角的平面角. 回归教材： 【人教A版必修二习题8.6第7题】如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？ 【答案】平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°，平面与平面，平面成的角为90° 【解析】根据线面垂直判定面面垂直得二面角为90°，根据二面角定义找出二面角的平面角，并求出大小. 【详解】在正方体中，考虑平面与平面ABCD，平面， 平面，所以平面就是平面与平面ABCD所成角， 即平面与平面ABCD成角，同理平面与平面ABCD，平面， 平面，平面都成45°角，又因为平面，平面与平面垂直， 即所成的角为90°，同理可得平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°. 所以平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°. 【点睛】此题考查求平面与平面所成角的大小，常通过求二面角的平面角的大小进行度量，特殊情况可用垂直关系讨论. 【人教A版必修二习题8.6第18题】如图，在三棱锥V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值. 【答案】作图见解析；. 【分析】根据“一作二证三计算”，取AB的中点M，连接VM，CM，证明为二面角V-AB-C的平面角，在三角形中进行计算即可. 【详解】如答图所示，取AB的中点M，连接VM，CM. ，，为二面角V-AB-C的平面角， 根据已知条件可得. 在中，由余弦定理，∴二面角V-AB-C的余弦值等于. 【点睛】此题考查根据定义作出二面角并求二面角的大小，作出二面角的平面角，在三角形中解题，解题中需要遵循“一作二证三计算”原则. 【人教A版必修二复习参考题8第14题】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）证法一：由平面得，结合，由线线垂直即可证明平面；证法二：由平面可得平面平面，由面面垂直的性质定理即可证明平面； （2）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）证法一：在正方形中，，又侧面底面，侧面底面，底面，所以平面；因为平面，平面， 所以，因为是正三角形，是的中点，所以，又，，平面，所以平面；            证法二：由法（1）知平面，又平面，故平面平面， 因为是正三角形，是的中点，所以，   又平面平面， 平面，故平面； （2）取，的中点分别为，，连接，，，    则，，因为，所以，又在正中，， 因为，，平面，所以平面，正方形中，， 平面，又，平面， 所以，，                                               所以是侧面与底面所成二面角的平面角，  因为平面，， 所以平面，因为平面，所以，                                    . 设正方形的边长，则，，所以， 所以，  即侧面与底面所成二面角的余弦值为. 跟踪训练： 一、单选题 1.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为(　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 【答案】A 【解析】因为PA⊥平面ABC,BA⊂平面ABC,CA⊂平面ABC,所以BA⊥AP,CA⊥AP.因此,∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角,又∠BAC=90°,故选A. 2．在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则侧面与底面所成的二面角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵底面，平面，∴，又底面是正方形，∴， 而，∴平面，得，可知为侧面与底面所成的二面角的平面角.在中，由，可得.即侧面与底面所成的二面角的大小是. 3．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值为（ ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果. 【详解】设，连接， 平面，平面，，，四边形为正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角，由，得. 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C-BD-C1的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A 【解析】如图,过点C作CE⊥BD于点E,连接C1E,在长方体AC1中,CC1⊥底面ABCD, ∴CC1⊥BD.又CE⊥BD,CC1∩CE=C,∴BD⊥平面CEC1,∴BD⊥C1E. 则∠CEC1为二面角C-BD-C1的平面角.由等面积法,得CE=, ∴tan∠CEC1=,从而∠CEC1=30°. 5．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】如图所示，连接交于点，则为正方形的中心. 连接，则平面，所以.取的中点，连接，则，且. 因为平面，所以.由，得；所以为侧面与底面所成二面角的平面角.所以. 6．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到所求二面角的平面角，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，连接，设， 因为正方体，所以，， 所以就是平面与平面所成二面角，设正方体的边长为，则，，，所以，故C正确. 7．正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，，进而可得即为二面角的平面角，在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】取的中点，连接，因为四面体是正四面体，所以和都是等边三角形， 所以，，因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角，设，则在中，，， 由余弦定理可得所以二面角的余弦值是. 8．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图像，取AB中点为C，连接OC，即为二面角的平面角，为60°，根据几何关系求出OB和PB即可求圆锥的侧面积. 【详解】如图， 作，则C为中点，∵PB＝PA，∴，∴为二面角的平面角， ∴.在中，，，∴. 在直角中，，，∴. 在中，.∴圆锥的侧面积为. 9．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定正三棱锥底面中心的位置，结合图形确定侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正弦的定义计算所求正弦值. 【详解】如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、，由正三棱锥性质，，，可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形.由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为，可知中心到边的距离. 在中，，二面角的正弦值. 二、填空题 10.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角的平面角的大小是　　　　　.  【答案】60°或120° 【解析】若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°;若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°. 11.已知P是△ABC所在平面外一点,△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=,则二面角P-BC-A的大小为　　　　　.  【答案】90° 【解析】如图,取BC的中点O,连接OA,OP,则∠POA为二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=, PA=, 所以△POA为直角三角形,∠POA=90°. 12．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．若为正三角形，且，则二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】作出该二面角的平面角，假设正三角形边长为4，利用勾股定理求出相关线段长，再利用三角函数定义即可得到余弦值. 【详解】取线段中点，分别连接，因为为等边三角形，则，则，设的边长为4，则，因为平面BCD，且平面， 则，则，所以，所以即为二面角的平面角，因为M是AD的中点，则，，， 则. 13．ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且，则二面角的大小为______． 【答案】/ 【分析】作于点，连接，连接交于点，连接，由全等三角形可判断，即为二面角的平面角，利用等面积法可得，易得，则，求得即可求解. 【详解】如图，作于点，连接，连接交于点，连接， 由题，则≌，知，所以≌，则，， 所以为二面角的平面角，因为PA⊥平面ABCD，所以，又，所以平面，所以，设正方形的边长为，则，，则，所以，所以，所以， 14.如图,P是边长为2的正方形ABCD外一点,PA⊥AB,PA⊥BC,且PC=5,则直线BD与平面PAC的位置关系为　　　　　,二面角P-BD-A的余弦值为　　　　　.  【答案】垂直　 【解析】∵PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,∴PA⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD, ∴PA⊥BD.∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC.∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. 如图,设AC∩BD=O,连接PO,则BD⊥PO.∴∠POA为二面角P-BD-A的平面角. 又AB=2,∴AC=4,∴AO=2.∴PA==3. ∴PO=,∴cos∠POA= 三、解答题 15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，求二面角的正切值 【答案】2 【分析】设E为AC的中点，连接BE，DE，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面平面，结合已知条件有为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，过点E作交OC于点F，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值. 【详解】设E为AC的中点，连接BE，DE.因为为等边三角形， 所以，又，且，BE，平面，所以平面， 又平面，即，由题意易知，，，又， 所以.因为，所以，即， 又，AC，平面，所以平面，而平面，则平面平面， 又，则，故为等腰直角三角形. 综上，四面体的球心O为的中心，即在线段BE靠近E的三等分点处. 过点E作交OC于点F，连接DF，则即为二面角的平面角. 在中，，，可求得，又，所以. 16.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA= (1)证明:平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角A-BE-P的大小. 【解析】(1)证明：如图,连接BD,因为底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,所以△BCD是正三角形. 因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.因为AB∥CD,所以BE⊥AB. 因为PA⊥底面ABCD,BE⊂底面ABCD,所以PA⊥BE.因为PA∩AB=A,所以BE⊥平面PAB. 因为BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB. (2)因为BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以BE⊥PB.又因为BE⊥AB, 所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=, 所以∠PBA=60°.所以二面角A-BE-P的大小为60°. 17.如图,在三棱锥S-ABC中,SC⊥平面ABC,P,M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,∠ACB=90°,直线AM与直线PC所成的角为60°. (1)求证:平面MAP⊥平面SAC; (2)求二面角M-AC-B的平面角的正切值. 【解析】(1)证明：∵SC⊥平面ABC,∴SC⊥BC.又∠ACB=90°,∴AC⊥BC. ∵AC∩SC=C,∴BC⊥平面SAC,又P,M分别是SC,SB的中点, ∴PM∥BC,∴PM⊥平面SAC.又PM⊂平面MAP,∴平面MAP⊥平面SAC. (2)同(1),可证AC⊥平面SBC,∴AC⊥CM,AC⊥CB, 从而∠MCB为二面角M-AC-B的平面角.如图,过点M作MN⊥CB于点N,则MN∥SC, 所以MN⊥平面ABC.∵直线AM与直线PC所成的角为60°,MN∥PC,∴∠AMN=60°. 连接AN,在Rt△ACN中,CN=PM=1,AC=1,由勾股定理得AN= 在Rt△AMN中,MN=在Rt△CNM中,tan∠MCN=, 故二面角M-AC-B的平面角的正切值为 18．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点分别作于点，于点，连结，先由线面垂直的判定定理证明，得到二面角的平面角，再由几何关系求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）过点分别作于点，于点，连结. 由平面平面，平面平面，得平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故，所以二面角的平面角为.不妨设， 因为，，所以，，，. 在中，，在中，， 所以，所以. 19．已知在四棱锥中，，，，，，E为CD的中点. (1)证明：平面平面PAE； (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）连接，由已知可得，即有，再由线面垂直的判定证面，根据面面垂直的判定即可得结论； （2）首先根据条件作出直线与平面所成的角，点作，分别与，相交于，，连接，为直线与平面所成的角, 为直线与平面所成的角，根据这两个角相等，得到边的关系，最后得到二面角的平面角为. 【详解】（1）平面PCD与平面PAE能垂直，理由如下： 在△中，故，即，所以△为等腰三角形，又E为CD中点，故，因为，且 ，面，所以面， 由面，故面面. （2）平面，是二面角的平面角，过点作，分别与，相交于，，连接，由（1）知平面，为直线与平面所成的角，且， 由，则，由，则，又，且面，则面，而面，所以，结合，，且面， 所以面，则为直线与平面所成的角，有题意知，,因为知，，又，是平行四边形， ，，因为，，， 于是，所以，又，，， 所以，因为，面，面， 则，则，即，因为为中点，则， 又因为，且平面，平面，则二面角的正切值即为， 则，二面角的正弦值是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业08 测试范围：二面角及二面角的平面角 知识梳理： 1、二面角定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面. （二面角 或者是二面角 ） 2、二面角的平面角的概念:平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角; 范围 . 3、二面角的求法 解法一: 定义法 在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角,如图在二面角的棱上任取一点,以 为垂足,分别在半平面和内作垂直于棱的射线和 , 则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同,那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）. 解法二: 三垂线法 在平面或平面内找一合适的点,作于,过作 于,则为斜线 在平面内的射影, 为二面角 的平面角. 如图 1,具体步骤: ①找点做面的垂线；即过点，作于 ； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作 于 ，连接 ； ③计算: 为二面角的平面角，在中解三角形. 解法三: 射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式 ,如图 2） 求出二面角的大小; 解法四:补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时, 要将两平面的图形补充完整, 使之有明确的交线（称为补棱）, 然后借助前述的定义法与三垂线法解题. 当二平面没有明确的交线时, 也可直接用法三的射影面积法解题. 解法五:垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直, 因此公垂面与两个面的交线所成的角, 就是二面角的平面角.例如: 过二面角内一点作于,作于,面交棱于点,则就是二面角的平面角. 回归教材： 【人教A版必修二习题8.6第7题】如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？ 【人教A版必修二习题8.6第18题】如图，在三棱锥V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值. 【人教A版必修二复习参考题8第14题】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 跟踪训练： 一、单选题 1.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为(　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 2．在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则侧面与底面所成的二面角的大小是（    ） A． B． C． D． 3．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值为（ ） A． B． C．2 D．2 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C-BD-C1的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 5．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 6．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 9．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角的平面角的大小是　　　　　.  11.已知P是△ABC所在平面外一点,△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=,则二面角P-BC-A的大小为　　　　　.  12．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．若为正三角形，且，则二面角的余弦值为 ． 13．ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且，则二面角的大小为______． 14.如图,P是边长为2的正方形ABCD外一点,PA⊥AB,PA⊥BC,且PC=5,则直线BD与平面PAC的位置关系为　　　　　,二面角P-BD-A的余弦值为　　　　　.  三、解答题 15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，求二面角的正切值 16.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA= (1)证明:平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角A-BE-P的大小. 17.如图,在三棱锥S-ABC中,SC⊥平面ABC,P,M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,∠ACB=90°,直线AM与直线PC所成的角为60°. (1)求证:平面MAP⊥平面SAC; (2)求二面角M-AC-B的平面角的正切值. 18．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 19．已知在四棱锥中，，，，，，E为CD的中点. (1)证明：平面平面PAE； (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $