2.2 基本不等式（知识点+5题型+过关检测）讲义-2025-2026学年新高一暑假数学自学课

2.2 基本不等式 模块一 筑·知能要点 一、基本不等式的证明与理解 思考1　请写出我们上节课学习的重要不等式. 提示　∀a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 思考2　如果a>0，b>0，我们用分别替换重要不等式中的a，b，能得到什么样的结论？ 提示　用分别替换重要不等式中的a，b可得到a+b≥2当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成当且仅当a=b时，等号成立. 思考3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) ≥0，即当且仅当a=b时，等号成立. 方法二　(性质法) 要证 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识梳理 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. 2.叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意点： (1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0. (2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏. 二、利用基本不等式求简单式子的最值 1.已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2； (2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 简记为：积定和最小，和定积最大. 2.利用基本不等式求最值的注意点 ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. 3.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 三、利用基本不等式求复杂式子的最值问题 1.常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 2.对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 3.当式子的一部分(比如分母)比较复杂时，可以通过换元简化表达式. 二、利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式的策略 1.利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2+b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤(a>0，b>0)可变形为ab≤等.同时要从整体上把握基本不等式，如a4+b4≥2a2b2，a2b2+b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2+b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用. 2.在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意多次运用基本不等式时等号成立的条件. 3.当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式. 三、基本不等式在实际问题中的应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 1.理解题意.设变量，并理解变量的实际意义； 2.构造定值.利用基本不等式求最值； 3.检验.检验等号成立的条件是否满足题意； 4.结论. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 基本不等式的理解 1．数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得，且，即可得答案. 【详解】由题设，且， 其中，或， 且， 由图知，即. 故选：A 2．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 3．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据圆中弦长关系，可得不等式，成立.. 【详解】，可得半径 在中，由射影定理可知：，   ， ， （），故B正确， 同理，在中，由射影定理可知：， 即， ，即， ，C正确， 对于A、D选项，图中的线段无法判断. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用几何关系得出不等式，需有一定的识图能力与分析能力. 4．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）两个不等式与成立的条件是相同的.( ) （2）当时，.( ) （3）当时，.( ) （4）函数的最小值是2.( ) 【答案】 错误 正确 正确 错误 【分析】根据基本不等式的概念和定义一一判定即可. 【详解】对于（1），不等式成立的条件是；不等式成立的条件是，错误； 对于（2），是基本不等式的变形公式，正确； 对于（3），是基本不等式的变形公式，正确； 对于（4），当时，是负数，错误； 故答案为：（1）错误  （2）正确  （3）正确  （4）错误. 二、题型二 基本不等式比较大小 5．设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 7．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质、结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 8．已知，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用和的变形判断. 【详解】因为， 由得，，故B，C正确； 由由得，，故A正确，D错误． 故选：ABC. 三、题型三 基本不等式求最值 9．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由基本不等式的变形形式直接求解即可. 【详解】由题意得，，即， 当且仅当，即或时等号成立， 所以ab的最大值为， 故选：B 10．若一个长方形的周长为6，则该长方形面积的最大值为____________. 【答案】 【分析】利用均值不等式即可求最大值. 【详解】设长方形的长、宽分别为，则， 根据均值不等式有：矩形面积，当且仅当时取等号. 故答案为： 11．已知，，且，则的最大值为______. 【答案】8 【分析】应用基本不等式求积的最大值即可. 【详解】因为，，且，所以，故， 当且仅当等号成立，所以的最大值为8. 故答案为：8 12．已知都是正实数，若，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】由基本不等式即可求解； 【详解】， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 四、题型四 1的妙用 13．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】利用将原式化为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：D. 14．若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把原等式化为，再利用代换法，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】由，可得， 则 当且仅当时，上式取等号， 所以的最小值是. 故选：D 15．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 16．已知，则的最小值为____. 【答案】4 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 17．已知正实数，满足，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用代换法，结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，上式取等号， 则的最小值是, 故答案为： 五、题型五 对勾型求最值 18．当时，的最小值为2．( ) 【答案】错误 【分析】根据对勾函数的单调性即可判断. 【详解】设， 由函数在为单调递增函数， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，故错误． 故答案为:错误. 19．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 20．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 21．下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．最小值等于4 C．当 D．函数最小值为 【答案】CD 【分析】利用基本不等式的性质和对勾函数单调性依次判断选项即可. 【详解】对选项A，，令，则，，， 根据对勾函数的单调性知：在上单调递增，，故A错误； 对选项B，当时，根据对勾函数的单调性知：为减函数，所以，故B错误； 对选项C，因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 22．已知x∈（0，+∞）. (1)求的值域； (2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值. 【答案】(1)[2，+∞） (2)最小值2+2， 【分析】（1）由题意利用基本不等式即可求解． （2）由已知可得y2+（x），利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为x∈（0，+∞）， 所以， 取等号条件：x，x2＝1． 因为x∈（0，+∞）， 所以x＝1， 所以函数的值域为[2，+∞）． （2）y2+（x）， 因为x∈（0，+∞）， 所以x2， 所以y＝2+（x）≥2+2，取等号条件：x，x2＝3， 因为x∈（0，+∞）， 所以，当时，该函数取最小值2+2． 六、题型六 基本不等式的应用 23．已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 24．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式“1”的妙用以及基本不等式的应用逐项判断可求出结果. 【详解】对于A，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 对于B，因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，且， 所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：D. 25．若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围________． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式求在时的最小值即可确定实数的取值范围. 【详解】对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 故答案为：. 26．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 27．如图，有一块边长为1（单位：百米）的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为（其中点分别在边上），设，． (1)用表示出的长度，并探求的周长是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为多少? 【答案】(1)，为定值2 (2)平方百米 【分析】（1）根据，，求出，进而得到，根据勾股定理即可求出，计算即可求出定值； （2）根据，结合基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由，得，可得， ， ，， ， 的周长为定值． （2） ， 当且仅当，即时等号成立． 所以探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为平方百米． 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可判断选项. 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 3．已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 4．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 5．某农户用篱笆围一个面积为的矩形菜地，则所用篱笆长度的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算即可． 【详解】设矩形菜地的长为，宽为，则， 故，当且仅当时，等号成立． 故选：C 6．设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若取，但，不满足，故A错误； 对于B，若取，，则，不满足，故B错误； 对于C，因，当且仅当时取等， 即当时，取得最小值，而,故C错误； 对于D，令，则可看作关于的一元二次方程有正数解， 所以，整理得，此时可看作关于的一元二次不等式有正数解， 则，可得，因，则得，当时取等，故D正确. 7．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 8．“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】设商品原价为， 对于甲：最终价格为； 对于乙：最终价格为； 所以甲、乙方案结果相同， 对于丙：最终价格为； 由均值不等式，，所以方案丙的最终价格高于甲、乙， 对于丁：最终价格为：，该式存在负项，所以明显小于其他方案的结果， 综上，提价最多的是方案丙. 二、多选题 9．如果，那么下面不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】举反例可排除AB，根据二次函数的性质可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】不妨令，，，可排除A与B； 对于C，因为函数在上单调递减，且，所以，C正确； 对于D，，由基本不等式“”，得,D正确. 10．下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确； 当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】利用（为正实数）和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 三、填空题 12．设，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】将等式化为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值， 故答案为： 13．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为______. 【答案】6 【详解】要使不等式恒成立，只需要.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为6，即，故的最大值为6. 14．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值． 【答案】（1）4；（2）. 【分析】（1）利用配凑法及基本不等式求出最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. （2）由，且，得， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 16．已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）利用基本不等式求出最小值. （2）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得范围. 【详解】（1）由，得，当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得，所以的最小值为16. （2）由，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 17．某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2)3万元 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 模块一 筑·知能要点 一、基本不等式的证明与理解 思考1　请写出我们上节课学习的重要不等式. 提示　∀a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 思考2　如果a>0，b>0，我们用分别替换重要不等式中的a，b，能得到什么样的结论？ 提示　用分别替换重要不等式中的a，b可得到a+b≥2当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成当且仅当a=b时，等号成立. 思考3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) ≥0，即当且仅当a=b时，等号成立. 方法二　(性质法) 要证 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识梳理 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. 2.叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意点： (1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0. (2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏. 二、利用基本不等式求简单式子的最值 1.已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2； (2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 简记为：积定和最小，和定积最大. 2.利用基本不等式求最值的注意点 ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. 3.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 三、利用基本不等式求复杂式子的最值问题 1.常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 2.对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 3.当式子的一部分(比如分母)比较复杂时，可以通过换元简化表达式. 二、利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式的策略 1.利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2+b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤(a>0，b>0)可变形为ab≤等.同时要从整体上把握基本不等式，如a4+b4≥2a2b2，a2b2+b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2+b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用. 2.在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意多次运用基本不等式时等号成立的条件. 3.当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式. 三、基本不等式在实际问题中的应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 1.理解题意.设变量，并理解变量的实际意义； 2.构造定值.利用基本不等式求最值； 3.检验.检验等号成立的条件是否满足题意； 4.结论. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 基本不等式的理解 1．数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（    ） A． B． C． D． 2．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 3．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 4．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）两个不等式与成立的条件是相同的.( ) （2）当时，.( ) （3）当时，.( ) （4）函数的最小值是2.( ) 二、题型二 基本不等式比较大小 5．设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 三、题型三 基本不等式求最值 9．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 10．若一个长方形的周长为6，则该长方形面积的最大值为____________. 11．已知，，且，则的最大值为______. 12．已知都是正实数，若，则的最大值为__________. 四、题型四 1的妙用 13．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 14．若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 15．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 16．已知，则的最小值为____. 17．已知正实数，满足，则的最小值是_____. 五、题型五 对勾型求最值 18．当时，的最小值为2．( ) 19．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．0 C．1 D． 20．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 21．下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．最小值等于4 C．当 D．函数最小值为 22．已知x∈（0，+∞）. (1)求的值域； (2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值. 六、题型六 基本不等式的应用 23．已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 25．若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围________． 26．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 27．如图，有一块边长为1（单位：百米）的正方形区域，在点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为（其中点分别在边上），设，． (1)用表示出的长度，并探求的周长是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为多少? 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 5．某农户用篱笆围一个面积为的矩形菜地，则所用篱笆长度的最小值是（    ）． A． B． C． D． 6．设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 7．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 8．“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、多选题 9．如果，那么下面不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 三、填空题 12．设，若，则的最小值为___________． 13．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为______. 14．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值． 16．已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 17．某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $