江苏省姜堰中学2025-2026学年第二学期期末调研考试高一数学试题

报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2025~2026学年度第二学期学业水平质量监测 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 回桃回 (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 正确填涂 缺考标记 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合要求的. 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12 13 14. 囚囚■ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤. 15.(13分) 囚囚■ ■ 16.(15分) ■ 17.(15分) 1 1 囚■囚 囚■囚 (LI)8I ▣ 19.(17分) ■ 普通高中2026年春学期高一期终调研考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在中，D是线段BC上的一点，且，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在正三棱柱中，M，N分别为棱DF，BC的中点，，则异面直线MC，EN所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则（ ） A．7 B． C． D． 4．如图所示，三棱柱中，若E、F分别为AB，AC靠近点A的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A． B． C． D． 5．在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．如图所示，为测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，，则塔高AB为（ ） A． B． C． D． 7．新华中学高三年级有学生1100人，高二年级有学生900人，高一年级有学生1000人，现以年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级中抽取一个容量为150的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取的学生人数为（ ） A．45 B．50 C．55 D．60 8．已知空间中，，直线OP与平面AOB所成的角为，则为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 10．如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．的取值范围为 11．如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A．过A，，E三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点F，使得平面平面 C．当F在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面单位向量，满足设，，向量，的夹角为，则的最小值是___________． 13．如图所示，在直三棱柱中，，，，则异面直线与AC所成角的余弦值是___________． 14．如图，在直三棱柱中，点D为棱上的点．且平面，则___________，已知，，以D为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在四棱锥，，底面ABCD为直角梯形，，，，，，≌ （1）若点M在棱PC上，，若平面DMB，求的值； （2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：平面ABCD； （3）当平面PAD与平面PBC所成的二面角为时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值． 16．已知矩形ABCD中，，，E为线段CD的中点，沿线段AE将翻折到，Q为线段PB的中点． （1）证明：平面 （2）若平面平面ABCE，求直线CQ与平面ABCE所成角的正切值； （3）当在翻折过程中，是否存在点P使直线PA与直线CE所成角为若存在，求出二面角平面角的余弦值；若不存在，请说明理由． 17．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为的面积，满足 （1）求角B的大小； （2）求取值范围； （3）如图所示，当取得最大值时，在所在平面内取一点D，使得线段，，求面积的最大值． 18．已知向量， （1）若，求 （2）若，函数，求的值域． 19．定义函数的“伴随向量”为，向量的“伴随函数”为 （1）若向量的“伴随函数”满足，求的值； （2）已知，设，且的“伴随函数”为，其最大值为t，求的最小值，并判断此时向量，的关系． 普通高中2026年春学期高一期终调研考试数学 参考答案2026.6 1．C 2．D 3．A 4．D 8．A 9．BD 10．ABD 12． 13． 14.1； 15．解：（1）如图，连接交于点，连接， 平面平面，平面平面 ，在梯形中， ， （2）证明：平面平面 平面， 又平面，平面平面 ， 又平面平面 平面； （3）取靠近点的三等分点为，连接， 为的三等分点，且， 且， 四边形为平行四边形， ， ， 又，可得， ， ，平面，平面， 平面， 平面 ， 过点作，由，则 平面平面，即平面平面 ， 为平面与平面所成的锐二面角， ， 由，，可得， 又由 ， ，平面，平面， 平面， 为与平面所成的角， ， 因此与平面所成角的正弦值为． 16．解：（1）证明：取的中点，连结， 为的中点， ， ， ， 四边形为平行四边形， 平面平面， 平面． （2）取中点为，连结交于点， ， ， 平面平面，平面平面平面， 平面 与平面的所成角为， 在Rt中，， ， 直线与平面所成角的正切值为． （3）取的中点为，连接，，则，， 为二面角的平面角， ，直线与直线所成角为， 或， 当时，在中， ， 在中 ， 当时，在中 ， 在中 （舍去）． 综上，存在点使直线与直线所成角为， 二面角平面角的余弦值为． 17．解：（1）中，面积为， 又， 所以， 所以， 又为三角形内角， 所以； （2）由（1）得，，又是锐角三角形，得， 所以 ， 由，所以， 所以， 所以的取值范围是； （3）当取得最大值时，，解得； 令， 则 ； 又， ， 当时等号成立； 面积的最大值为． 18．解：（1）由，得， 即， 所以． （2）因为当时，， 所以 ， 令，则． 由，得， 所以， 因为，所以， 所以的值域为． 19．解：（1）由题意知， 向量的“伴随函数”为， 所以 令， 上式化为，所以， 即， 即； （2）设， 因为， 所以 令， 若满足， 则时，，其中， 此时， 即， 故， 从而 等号当且仅当时成立， 所以的最小值为，此时． 普通高中2026年春学期高一期终调研考试数学解析2026.6 1．【分析】 本题考查向量的加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，利用基本不等式求最值，属于中档题． 先求，则三点共线，则，再用表示，利用基本不等式求的最小值． 【解答】 解：由条件可得， ， ， 因为三点共线， ， ， ， ， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值是， 故选：C． 2．【分析】 本题考查正棱柱的性质及异面直线所成角的计算，属于中档题． 作辅助线，找到为异面直线与所成的角（或其补角），再结合余弦定理，即可求解． 【解答】 解：如图，设棱的中点为，连接． 三棱柱是正三棱柱， 平面，四边形EFCB为矩形，为正三角形， ． 是的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 为异面直线与所成的角（或其补角）， 在Rt和Rt中，． ，分别是，的中点， ． 在中，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 3．【分析】 本题考查两角和差的正切公式，属于基础题． 利用两角和差的正切公式计算得出结论． 【解答】 解：因为， 所以 ，所以． 4．【分析】 本题考查棱台的体积，考查棱柱的体积，属于基础题． 利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比． 【解答】 解：设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，则， 因为分别为靠近点的三等分点，所以， 则，所以， 所以． 故选：D． 5．【分析】 本题考查异面直线所成角，属于基础题． 根据异面直线所成角的定义结合余弦定理运算求解． 【解答】 解：连接，设正四面体的棱长为2， 因为分别为的中点，则， 所以异面直线所成角为（或其补角）， 在中，则， 由余弦定理可得， 所以异面直线所成角的余弦值为． 故选：A． 6．【分析】 本题考查了正弦定理及解三角形的实际应用，考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式，属于中档题． 根据同角三角函数的基本关系求出，利用两角和的正弦公式求出，根据正弦定理求出，在中求解即可． 【解答】 解：因为， 所以． 所以 ． 在中，由正弦定理可得， 即，解得． 在Rt中，． 故选C． 7．【分析】 本题主要考查分层随机抽样的定义和方法，属于基础题． 用样本容量乘以高三年级学生所占的比例，即得所求． 【解答】 解：高三年级学生所占比例为， 则高三年级应该抽取的学生人数为：． 故选：C． 8．【分析】 本题考查直线与平面所成角的求法，考查的核心素养为直观想象和数学运算，属于中档题．取上一点，作平面于，连接为直线与平面所成的角，分别作，交于点，交于点，由已知得为等腰直角三角形，由此能求出直线与平面所成的角的余弦值． 【解答】 解：如图： 取上一点，过点作平面于，连接， 则为直线与平面所成的角， 分别作，交于点，交于点， 连接，得， 因为， 所以，所以， 所以，则为的角平分线， 由，可得，则， 所以为等腰直角三角形， 令，则， 所以， 即． 故选A． 9．【分析】 本题考查平均数、中位数、标准差以及极差的概念，属于中档题． 根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断． 【解答】 解：对于选项A：设的平均数为的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：1，2，3，4，5，6，可得； 例如1，1，1，1，1，7，可得； 例如1，2，2，2，2，2，可得，故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：因为是最小值，是最大值， 则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差， 例如：2，4，6，8，10，12，则平均数， 标准差， 4，6，8，10，则平均数， 标准差， 显然，即，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故正确． 故选：BD． 10．解：对于，因为，故A正确． 对于B，因为，故B正确． 对于C，因为，故C错误． 对于D，设与的夹角为，则在上的投影为， 由图可知，即的取值范围为，故D正确． 故选：ABD． 11．解：对于A正方体的对面互相平行， 过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行， 又为线段的中点， 截面交于其中点， 连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形， 且， 梯形的高， 面积为，故A正确； 过与平面平行的直线都在过与平面平行的平面内， 易知过与平面平行的平面截正方体的截面为如图所示1的六边形EGHIJK，其各顶点都是正方体的相应棱的中点， 由于不在平面内， 平面与直线平行， 平面与线段没有公共点，故错误； 平面平面， 平面， 又 到平面的距离为定值，又的面积为定值， 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故正确； 将矩形展开到与等腰直角三角形在同一平面内，如图2所示， 当共线时取等号，故D正确． 故选：ACD． 12．【分析】 本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题，属于中档题． 设的夹角为，由题意求出，再根据求得的最小值即可． 【解答】 解：设的夹角为， 由为单位向量，满足， 可得， 解得； 又，且的夹角为， 所以， 则 所以时，取得最小值为． 故答案为． 13．【分析】 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值． 【解答】 解：， 异面直线与所成角为， ， 又平面， 平面， 又平面， 所以， 易求， ． 故答案为． 14．【分析】 本题考查了空间知识的综合应用，涉及了线面平行的性质定理、球面与平面的交线问题，综合性强，对知识的广度和深度都有较高的要求． 连接与相交于点，连接，由线面平行的性质定理得，进而可得为的中点，进一步计算可得的值；由题意得出，过作垂足为，则到平面的距离为，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线为以为圆心的弧，求出半径，求出，进而得弧长． 【解答】 解：连接与相交于点，连接， 显然为中点，为中点， 又平面， 平面、平面， 平面， ， 在中， 为中点， 故为中点， ， 因为，所以， 又为的中点，过作垂足为， 则到平面的距离为， 以为球心，以为半径的球面与侧面的交线为以为圆心的弧，半径 因为 ， 所以， 则的弧长为． 故答案为：． 16．本题考查线面平行的判定，直线与平面所成的角，二面角，异面直线所成角，属较难题； （1）取的中点，连结，证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）取中点为，连结交于点，可得与平面的所成角为，进而得； （3）取的中点为为二面角的平面角，若使直线与直线所成角为，则或，分上述两种情况可得． 17．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用问题，也考查了计算和转化能力，属于较难题． （1）由余弦定理和三角形的面积公式化简已知等式，结合角的取值范围可求的值； （2）由的度数，利用三角形的内角和表示的度数，用表示出代入所求的式子中，求出的取值范围； （3）令，由正弦定理可得，由余弦定理可求，根据三角形的面积公式，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质可求面积的最大值． 18．本题考查三角恒等变换，平面向量平行的坐标表示，属于综合题． 19．本题考查平面向量的新定义问题，三角恒等变换的综合应用，正余弦齐次式的计算，诱导公式，向量的坐标表示，二次函数的最值，属于较难题． （1）由“伴随函数”的定义和三角函数的诱导公式，计算可得所求值； （2）设向量坐标，由向量的坐标运算和二次函数最值，可得结论． 学科网（北京）股份有限公司 $