江苏省江浦高级中学2027届高三上学期数学暑假作业（二） （函数与基本初等函数）

**基本信息** 以函数性质为核心，通过数形结合、分类讨论等方法整合函数概念、图像与实际应用，构建从基础到综合的逻辑训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数性质综合|单选3,4,9,10,11；填空13,14；解答15,18,19|涉及奇偶性、单调性、周期性判定与应用|从定义推导性质，结合复合函数、分段函数深化理解，培养逻辑推理能力| |图像与方程|单选1,5,7,8；填空12|通过图像分析根的个数、不等式解集|以函数图像为直观工具，建立数与形的联系，发展几何直观与空间观念| |实际应用建模|单选6；解答17|结合天文学、舆情分析选择函数模型|从现实问题抽象数学模型，体现数学眼光与应用意识，强化数据观念|

江苏省江浦高级中学2027届高三数学暑假作业（二） （函数与基本初等函数） 一、单选题 1．已知函数 则方程 的实数根的个数为（ ） A.2 B.3 C. 4 .D.5 2．设，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ） A．0 B．1 C． D．2 4．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．函数的大致图象为（ ） A． B． C． D． 6．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数则不等式的解集（ ） A. B. C. D 8．已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线，且恰有10个交点，则实数（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 2、 多选题 9．已知函数，则（ ） A．是奇函数且在上单调递减 B．的定义域为R. C．是偶函数且在上单调递减 D．是奇函数且在上单调递增 10．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 11．已知定义域为的函数满足，都有， 且时，，则（ ） A． B．是偶函数 C．的解集为 D． 三、填空题 12．函数的定义域为 . 13．已知函数的最小值为，则____________．． 14．设，函数的最小值为－1，则 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数, .(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围; (2)若函数的定义域为,值域为[1,+∞),求实数的值. 16．已知函数（），，. (1)求a，c的值；(2)若函数，求的值. 17．舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； (2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求的最小值. 18．已知函数（) (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围．． 19．如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为““型函数. ①对任意的，有 ②对于任意的，若，则. (1)是否存在一次函数是型函数？若存在，请求出该指数函数的解析式；若不存在，请说明理由； (2)判断型函数在上的单调性并说明理由； (3)求证：对于型函数，恒有（为正整数）. 江苏省江浦高级中学2027届高三数学暑假作业（二）参考答案 （函数与基本初等函数） 一、单选题： 1．已知函数 则方程 的实数根的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 .D.5 选C解：画出函数函数的图象（如右图）， 设 ，⸪ ⸫ （1） 当时，，得 ‘（2）当时 ，得 当 有根 和，当时只有1个根（（舍去） 当时，只有1个根（由图可知）共有4个根 故选C 2．设，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 选D解：，，，，故，所以， ，所以.故选：D 3．已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ） A．0 B．1 C． D．2 选A解：函数的定义域为，因为是奇函数， 所以恒成立， 所以，故选：A． 4．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 选C解：令，，则可视为由和构成的复合函数， 由对数函数性质得在区间上单调递增，因为在区间上单调递减， 所以由复合函数性质得在区间上单调递减， 由二次函数性质得的对称轴为直线， 显然开口向上，故，解得，故选：B 5．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 选D 解：由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C；又由当时，排除A，B; 故选：D． 6．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 选C 解：由题意，， 两式相减可得：，又， 所以，所以，故选：C 7．已知函数则不等式的解集（ ） A. B. C. D 选B 解：作出函数和图象 从而得出函数和图象交点，和 由图可知不等式的解集是 故选B 8．已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线，且恰有10个交点，则实数（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 选C 解:因为，所以， 从而可得，所以函数是以2为周期的周期函数， 当时，，可得； 当时，，由，可得， 所以，从而可得，所以，在上有：， 又，且的定义域为，当时，作出两函数的图象，如图， 由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当时，作出两函数的图象，如图， 结合函数的周期性可知，两函数的图象在上没有交点；在，，，上均有2个交点；在上有1个交点，要使的图象与曲线，且恰有10个交点，由图可知，只需，解得. 故选：C. 3、 多选题 9.已知函数，则（ ） A．是奇函数且在上单调递减 B．的定义域为R. C．是偶函数且在上单调递减 D．是奇函数且在上单调递增 选AB，解：是函数复合而成的， 的定义域为R 故选项B正确， 为奇函数选项C错误 显然在上单调递减。故选A正确，故选D错误 故选AB 10．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 选BC，解:选项A，，即函数的周期为4，所以选项A错误； 选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，所以选项B正确； 选项C，因为，则，所以函数的图象关于对称，所以选项C正确； 选项D，因为，则，所以函数为偶函数，所以选项D错误. 故选：BC. 11．已知定义域为的函数满足，都有，且时，，则（ ） A． B．是偶函数 C．的解集为 D． 选ACD，解：对A，令，，故A正确； 对B，令，，故函数关于对称，不是偶函数，故B错误；对C，，所以， 即，，， ，时，，故， 所以，即在上单调递增， ，所以，解得，故C正确； 对D，，，故D正确；故选：ACD. 三、填空题 12．函数的定义域为 . 填：，解;由题意，即，解得且， 所以函数的定义域为. 13．已知函数的最小值为，则____________． 填，解：①若，则时，，且单调递增， 时，，则最小值为， 若存在最小值，则有且，得； ②若，则 时，，且单调递减，，， 若最小值为，则，且，无解； 若最小值为，则，且，得， 综上所述，或故答案为： 14．设，函数的最小值为－1，则 . 【答案】e 【分析】结合函数新定义，分，，三种情况讨论即可求解. 【详解】①当时，，当x趋于正无穷时，与均趋于负无穷，无最小值，不符合题意； ②当时，， 而，当时，， 所以的最小值为0，不符合题意； ③当时，，的大致图象如图，设的最小值为. 令，可得，消去得 ，解得（舍去）或.故答案为：e. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数, .(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围; (2)若函数的定义域为,值域为[1,+∞),求实数的值. 解：(1)⸪在[2,+∞)上单调递增, 即为复合函数,单调递增,所以,只需在上单调递增,对称轴 ⸫ 即： ⸫ ⸫实数的取值范围 (2) ⸪函数的定义域为,又值域为，则恒成立且的最小值为1, 故 ⸫ ⸫实数的值.为. 16．（13分） 已知函数（且），，. (1)求a，c的值；(2)若函数，求的值. 解：（1）由题意得，，，所以 （2）由（1）知，，则 所以，则 所以， 故. 17．舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； (2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求的最小值. 【答案】(1)③(2)(3) 【分析】（1）根据表格中数据以及指数爆炸模型可得结论； （2）利用待定系数法求得函数解析式，即可做出预测； （3）将问题转化为不等式恒成立再利用二次函数性质可求得结果. 【详解】（1）③； 根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③； （2）将表格数据代入，得，， 解得，故函数为，则第4天时的舆论场指数为. （3）若本次舆情不是严重的，则恒成立， 原式等于，故两边同时除以，得到， 不妨设，故原式等于，整理得， 由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可， 代入得，解得， 故的最小值为. 18．已知函数（) (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 解：（1）函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即， 此时，定义域为R，，所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； （2）函数中，由，得，而， 所以，则， 由（1）知是R上的偶函数； 设，则 从面有 ⸫是(0,+∞)上的增函数，⸪是R上的偶函数 ⸫是(-∞,0)上的减函数 ⸪ ⸫ 从而有 即 解得 t的取值范围为 19．如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为““型函数. ①对任意的，有 ②对于任意的，若，则. (1)是否存在一次函数是型函数？若存在，请求出该指数函数的解析式；若不存在，请说明理由； (2)判断型函数在上的单调性并说明理由； (3)求证：对于型函数，恒有（为正整数）. 解析：(1)判断是否存在符合条件的一次函数 我们先假设一次函数f(x)=ax+b是"V型函 数",代入两个条件验证： 由条件①: f(1)=a+b=5,且对任意 x∈[0,1],f(x)≥2。 代入条件②:对任意x,y∈[0,1]且x+y≤1 , 有f(x+y)=a(x+y)+b f(x)+f(y)-2=ax+b+ay+b-2代入不等式f( x+y)≥f(x)+f(y)-2 化得 a(x+y)+b>a(x+y)+2b-2, b≤2 结合条件①中f(x)≥2在[0,1]恒成立，一次函数在闭区间的最小值出现在端点： f(0)=b,因此b≥2; 结合b≤2可得b=2,再由 a+b=5 得 a=3 验证f(x)=3x+2,对任意x∈[0,1],f(x)∈[2,5],满足f(x)≥2 且f(1)=5f(x+y)-[f(x)+f(y)-2]=3(x+y)+2-(3x+2+3y+2-2)=0≥0 满足条件②。因此存在符合条件的一次函数f(x)=3x+2:。 (2) 设 0≤x1<x2≤1,则 x2-x1∈[0,1] 即： ““型函数.在上的单调递增函数。 （3）设 （） 又 即： 即： 为递推公式 即： 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $