25.2 降次——解一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册25.2解一元二次方程同步练，通过基础巩固、方法应用、综合提升三层设计，实现从单一知识点到综合推理的进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|配方法/因式分解法/判别式|选择1-3考查方法识别，填空11-12强化配方与因式分解运算| |方法应用层|解法选择/根与系数关系|解答15指定方法训练运算，16自主选择解法提升灵活性| |综合提升层|判别式证明/参数问题|解答17证明根的情况培养推理意识，18结合参数与根的关系发展应用能力|

人教版 九年级数学 上册 25.2 降次——解一元二次方程 同步练习 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。） 1．用配方法解方程，配方后所得的方程正确的是（　 ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（　 ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．下列一元二次方程中，最适合用因式分解法求解的是（　 ） A． B． C． D． 4．若是方程的两个实数根，则的值为（　 ） A．4 B．4 C．5 D．5 5．用配方法解一元二次方程，将二次项系数化为 1 后，方程两边应同时加上的数是（　 ） A．1 B．2 C．4 D． 6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 7．方程的解为（　 ） A． B． C． D．无解 8．已知是方程的两个实数根，则的值为（　 ） A． B． C． D． 9．下列关于一元二次方程解法的说法中，错误的是（　 ） A．配方法适用于所有的一元二次方程 B．公式法是配方法的一般化，适用于所有一元二次方程 C．因式分解法仅适用于等号左边能因式分解、右边为 0 的方程 D．所有一元二次方程都可以用因式分解法求解 10．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　 ） A． B． C．且 D．且 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 11．用配方法解方程，配方后可得。 12．方程的解为 。 13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 。 14．设是方程的两个实数根，则的值为 。 三、解答题（本大题共 4 小题，共 54 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 15．（本题满分 12 分） 用指定的方法解下列一元二次方程： （1）配方法：； （2）公式法：； （3）因式分解法：。 16．（本题满分 14 分） 选择适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）。 17．（本题满分 14 分） 已知关于的一元二次方程。 （1）求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为 1，求的值及方程的另一个根。 18．（本题满分 14 分） 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根。 （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且方程的两个实数根为，求的值。 参考答案及解析 一、选择题 1．答案：B 解析：移项得，方程两边同时加上一次项系数一半的平方 9，得。 2．答案：A 解析：根的判别式，因此方程有两个不相等的实数根。 3．答案：C 解析：C 选项可直接提取公因式分解为，最适合用因式分解法求解；其余选项无法直接分解，更适合配方法或公式法。 4．答案：B 解析：根据根与系数的关系，对于方程，两根之和，代入得。 5．答案：A 解析：将二次项系数化为 1，得，即，方程两边需加上一次项系数一半的平方 1。 6．答案：A 解析：方程有两个不相等的实数根，则，即，解得。 7．答案：C 解析：移项得，提取公因式得，解得。注意不可直接两边除以，避免丢根。 8．答案：B 解析：由根与系数的关系得，。 。 9．答案：D 解析：因式分解法仅适用于方程左边能分解为两个一次整式乘积的情况，并非所有一元二次方程都能因式分解，D 选项说法错误。 10．答案：C 解析：方程为一元二次方程，故二次项系数，即； 有两个实数根，则，解得。 综上，的取值范围是且。 二、填空题 11．答案：4；25 解析：移项得，两边加 16 得。 12．答案： 解析：移项得，因式分解得，解得。 13．答案：4 解析：方程有两个相等的实数根，则，解得。 14．答案：2 解析：由根与系数的关系得，。 展开得。 三、解答题 15．解答： （1）移项得：（1 分） 配方得：，即（2 分） 开方得：（1 分） 解得：（1 分） （2）这里（1 分） （1 分） 代入求根公式：（2 分） 即（1 分） （3）移项得：（1 分） 因式分解得：（2 分） 解得：（1 分） 16．解答： （1）因式分解得：（2 分） 解得：（1.5 分） （2）因式分解得：（2 分） 解得：（1.5 分） （3）移项得：（1 分） 开方得：（1.5 分） 解得：（1 分） （4）原方程变形为：（1 分） 移项因式分解得：，即（2 分） 解得：（1 分） 17．解答： （1）证明： （2 分） （3 分） ∵ ，即（1 分） ∴ 无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根。（1 分） （2）将代入方程，得： （2 分） 整理得：，解得（2 分） 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得（1 分） 当时，；当时，（2 分） 综上，的值为 0 或 1，对应方程的另一个根分别为 0 或 2。 18．解答： （1）∵ 方程有两个不相等的实数根 ∴ （3 分） 展开得： 整理得：（2 分） 解得：（2 分） （2）∵ 为正整数且，∴ （2 分） 此时方程为（1 分） 由根与系数的关系得：，（2 分） （2 分） 学科网（北京）股份有限公司 $