4.1+整式（课时2）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦多项式、项、次数及整式概念，通过复习单项式的定义、系数与次数，以“铁丝围长方形求宽”的问题引出多项式，搭建从单项式到多项式再到整式的知识脉络，形成连贯的学习支架。 其亮点在于融入“猜心术”“麦粒故事”等趣味拓展，激发学生好奇心与创新意识，结合共享单车投放回收等实例培养模型意识与应用意识，通过表格对比、步骤总结帮助学生构建知识体系，提升推理能力。学生能增强学习兴趣与应用能力，教师可提高教学效率与课堂互动性。

4.1 整式（课时2） 人教版（2024） 七年级上册 学习目标 1.理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念，掌握整式的基本构成要素。 2.会用多项式表示简单的数量关系，能根据多项式中字母的具体取值，准确求出多项式的值。 3.会用整式解决简单的实际问题，在应用中体会用整式表示数量关系所具有的简洁性和一般性特点。 1.7.2013 在开始今天的探险之前，我们先明确一下今天的目标。通过本节课的学习，我们要理解什么是多项式，以及它的项和次数。更重要的是，我们要学会用它来解决生活中的实际问题，感受数学的魅力。希望大家都能积极思考，踊跃发言，达成我们的学习目标！ ‹#› 新课导入 　　问题 1　上节课我们学习了单项式的概念及其相关知 识，你能说出单项式的概念，并举出一个单项式的例子吗？ 　　这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作 单项式． 　　例：a2，πh，－2x2y，3． 3 单项式 a2 πh －2x2y 3 系数 1 π －2 3 次数 2 1 3 0 　　追问　你能说出单项式的系数、次数的概念分别是什 么吗？ 　　指出单项式 a2，πh，－2x2y，3 的系数与次数． 　　单项式的系数：单项式中的数字因数． 　　单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和． 新知探究 问题：一根20cm长的铁丝围成长方形，若长为x cm，宽是多少？ 根据周长公式：周长 = (长 + 宽) × 2 ，得长 + 宽 = 10。 因此，宽的表达式为：10 - x 思考：“10 - x” 是我们学过的单项式吗？它由几部分组成？ 结论：10 - x 是单项式 10 和 -x 的和 多 项 式 概念 单项式 10 单项式 -x + 拆解： 1.7.2013 现在，我们来解决一个生活中的小问题。看，老师手里有一根神奇的铁丝，它的总长度是20厘米。我想用它围成一个漂亮的长方形。如果长是 x 厘米，那宽应该是多少呢？通过周长公式我们可以算出，宽是 10 - x。同学们请看，我们得到的这个结果 10 - x，它还是我们熟悉的‘独行侠’单项式吗？显然不是，它是由两个单项式组成的。 ‹#› 多项式核心概念： x² + 2x - 18 项 组成多项式的每个单项式叫项（带符号）；不含字母的项是常数项。 示例中项为x²、+2x、-18；常数项是-18。 多项式的次数 多项式中次数最高项的次数，就是该多项式的次数。 示例里x²次数为2，是最高次，故多项式次数为2。 新知探究 1.7.2013 像 10 - x 这样，由几个单项式的和组成的代数式，我们就给它一个新名字，叫做多项式。大家可以把它想象成一个由好几个‘独行侠’组成的‘团队’！这个团队里的每个成员，我们称之为“项”，特别要注意，每一项都要带着它前面的符号。不含字母的项叫常数项。而整个多项式的次数，就由次数最高的那一项来决定。 ‹#› 给多项式起“全名”：几次几项式 “几次”指多项式的次数，即多项式中次数最高的项的次数；“几项”指多项式所含单项式的个数。掌握这个规则，就能准确说出任意多项式的完整名称。 典型示例解析： 10 - x是一次二项式；x² + 2x - 18是二次三项式；a³ - 3a²b + 3ab² - b³是三次四项式。 知识大融合：我们所学的单项式与多项式，它们有一个共同的统称——整式，整式是代数运算中最基础的有理式形式。 新知探究 1.7.2013 我们知道了多项式的次数和项数，就可以给它起一个完整的名字了，规则很简单：几次几项式。先说次数，再说项数。比如 10 - x，就是一次二项式。而我们之前学的单项式和今天学的多项式，它们有一个共同的名字，叫做“整式”。 ‹#› 新知探究 　　问题 2　在上一章中，我们还遇到一些代数式： 　　 2n－10，x2＋2x＋8，2a＋3b，　ab－πr2， 　　这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的 特点？ 　　发现：2n＋(－10)，x2＋2x＋8，2a＋3b，　ab＋(－πr2)． 8 　　　　　 2n－10，x2＋2x＋8，2a＋3b，　ab－πr2， 　　像这样，几个单项式的和叫作多项式． 　　其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫 作常数项． 　　例如：多项式 2n－10 的项是 2n 和－10，其中－10 是 常数项． 新知探索 观察下列式子，与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？ 这些式子都可以看作几个单项式的和. 概念归纳 多项式 几个单项式的和叫作多项式． 注意：每一个单项式都包括其前面的符号． 趣味拓展：棋盘上的麦粒 【数学故事会】国际象棋发明者向国王求赏，要求在棋盘64格中依次放麦粒，看似简单的请求暗藏玄机。 麦粒倍增规律：第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒…每一格都是前一格数量的2倍，呈指数级增长。 数学表达式：总和为 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶³，这是一个巨大的等比数列求和问题。 惊人的总数：最终麦粒约为1844亿亿粒！这个数量足以铺满地球表面，够全世界的人吃几千年，让国王惊叹不已。 1.7.2013 数学是不是很神奇？给大家讲一个故事。国际象棋的发明者向国王要赏赐，他只要在棋盘的64个格子里，依次放上1、2、4、8...粒麦子。国王觉得很简单，就答应了。可他后来才发现，这是一个巨大无比的数字！这个数字就是一个多项式，它的威力超乎想象！ ‹#› 趣味拓展 数学小魔术：神奇的猜心术 魔术步骤：心里想一个数(x) → 乘以2 → 加上6 → 除以2 → 减去原数(x)。 01. 神秘指令：按步骤计算，结果竟然是固定数？ 03. 原理揭秘：多项式化简的魅力 计算过程：(2x + 6)÷2 - x = x + 3 - x = 3。无论x取何值，结果恒为3，这就是代数运算的神奇之处！ 02. 见证奇迹：最终结果永远是3！ 互动尝试：任意选数代入，结果是否一致？ 核心逻辑：加减抵消，只剩常数项。 思考：如果把“加6”改成“加8”，结果会变成几呢？ 1.7.2013 接下来，老师要给大家表演一个数学魔术。请一位同学配合我，心里想一个数，然后按我的指令计算：乘以2，加上6，除以2，最后减去你想的数。告诉我你的结果是多少？是不是3？想知道为什么吗？其实魔术背后都是数学原理，我们用多项式一化简，就真相大白了！ ‹#› 　　追问　你能指出多项式 x2＋2x＋8，2a＋3b， ab－πr2 的项吗？ 多项式 项 x2＋2x＋8 x2，2x 和 8 2a＋3b 2a 和 3b ab－πr2 ab 和－πr2 　　概念：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多 项式的次数． 　　例如：2n－10 的项是 2n 与－10，次数为 1． 新知探索 多项式的项 多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项． 2n−10 x2+2x+8 新知探索 多项式的次数 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数． 次数是 2 次数是 1 次数是 0 次数最高 多项式的次数是 2 含有三项 二次三项式 新知探索 多项式的次数是 1 针对训练：火眼金睛 1.判断下列各式哪些是多项式？ (1) a， (2) -x²y， (3) 2x-1， (4) x²+xy+y². 解：多项式有(3) 2x-1和(4) x²+xy+y²。 分析：(1) a 和 (2) -x²y 都是由数或字母的积组成的代数式，属于单项式。 核心提示：单项式和多项式统称整式 1.7.2013 好了，学了这么多，我们来练练手。第一题，判断一下哪些是多项式。大家仔细看，a 和 -x²y 都是单项式，而 2x-1 和 x²+xy+y² 是由多个单项式组成的，所以它们是多项式。记住，单项式和多项式合在一起，我们都叫它们整式。 ‹#› 2.多项式x2+y－z是单项式，，的和， 它是 次 项式. 3.多项式3m3﹣2m﹣5+m2的常数项是 ，二次 项是 ，一次项的系数是 . x2 y ﹣z 二 三 ﹣5 m2 ﹣2 4.一个多项式的次数是3，则这个多项式的各项次数（ ） A．都等于3 B.都小于3 C.都不小于3 D.都不大于3 D 针对训练：小试牛刀 1.7.2013 ‹#› 　　问题 3　指出多项式 x2＋2x＋8，2a＋3b， ab－πr2 的次数． 多项式 项 次数 x2＋2x＋8 x2，2x 和 8 2a＋3b 2a 和 3b ab－πr2 ab 和－πr2 2 1 2 　　追问　确定一个多项式次数的步骤是什么？ 　　第一步：确定多项式的项； 　　第二步：确定每个项的次数； 　　第三步：比较每个项的次数大小，最高的次数即为多 项式的次数． 　　单项式：a2，πh，－2x2y，3； 　　多项式：2n－10，x2＋2x＋8，2a＋3b，　ab－πr2； 　　单项式与多项式统称整式． 新知探索 练一练：找出下列多项式的项和次数 4 1 2 2 3 概念归纳 整式 单项式与多项式统称整式． 整式 单项式：字母或数字乘积形式 多项式：多个单项式的和 总结归纳 1.多项式的各项应包括它前面的符号。 2.多项式没有整体的系数概念，但其每一项均有系数，且每一项的系数也包含其前面的符号。 3.要确定一个多项式的次数，需先确定此多项式中各项（单项式）的次数，再从中找出次数最高的项的次数作为该多项式的次数。 4.一个多项式的最高次项可以不唯一，多个项的次数并列最高时，它们都是最高次项。 1.7.2013 我们来总结一下刚才练习中的关键点。第一，永远记住，项要带符号。第二，多项式没有整体的系数，但每一项都有。第三，找多项式的次数，就是找“最高项”的次数。第四，最高次项可能不止一个，比如 x²y + xy²，两项都是三次，所以它是三次二项式。 ‹#› 典例分析 例1：用多项式填空，并指出它们的项和次数. （1）一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为 2a＋2b （2）m为一个有理数，m的立方与2的差为 解：（1）2a+2b，它的项分别为2a，2b，次数是1。 （2）m3－2，它的项分别为m³，-2，次数是3。 m3－2 1.7.2013 接下来我们看几个典型的例子。例1的第一问，长方形周长，我们都知道公式是(长+宽)×2，也就是2(a+b)，展开后是2a+2b。这是一个一次二项式。第二问，m的立方就是m³，与2的差就是m³-2。这是一个三次二项式。 ‹#› 例1：用多项式填空，并指出它们的项和次数。 （3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，从第三年起不再投放，且每个月回收6辆。第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为多少？请列出多项式并分析其项与次数。 解：根据题意，前两年投放总量为2a辆，第三年回收总量为12×6=72辆，因此年底剩余车辆数为多项式2a - 72。该多项式的项分别为2a和-72，其中最高次项的次数为1，故该多项式的次数是1。 答案：2a - 72 典例分析 1.7.2013 我们继续看例1的第三问。这是一个生活应用题。前两年每年投放a辆，总共就是2a辆。第三年每个月回收6辆，一年12个月，总共回收12×6=72辆。所以年底剩下的车辆数就是 2a - 72。这是一个一次二项式。 ‹#› 课堂练习 　　例　用多项式填空，并指出它们的项和次数． 　　(1)一个长方形相邻两条边的长分别为 a，b，则这个 长方形的周长为_________． 　　(2)m 为一个有理数，m 的立方与 2 的差为 ________． 2a＋2b 项分别为 2a，2b，次数是 1． m3－2 项分别为 m3，－2，次数是 3． 29 　　例　用多项式填空，并指出它们的项和次数． 　　(3)某公司向某地投放共享单车，　 　　　　　　　， 为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且 ．第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车 的辆数为 _________． 　　分析：共享单车辆数＝总投放辆－总回收辆． 　　总投放辆＝2a，总回收辆＝12b． 前两年每年投放 a 辆 每个月 2a－12b 项分别为 2a 和－12b，次数是 1． 回收 b 辆 新知探索 注意： （1）单项式中不含加、减运算，多项式必含加、减运算； （2）分母中含有字母的式子不是整式； （3）如果一个式子既不是单项式也不是多项式，那么它一定不是整式. 1.多项式的定义、项、常数项与次数 课堂总结 2.整式的概念 3.用多项式表示实际问题中的数量关系 课堂小结 整式 单项式 多项式 系数 次数 项 次数 单项式中的数字因数，作为单项式的系数，需注意符号与数字部分。 单项式中所有字母的指数的和，就是这个单项式的次数，单独数字次数为0。 多项式中的每个单项式（连同前面的符号）叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项。 多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数，据此可命名几次几项式。 1.7.2013 好了，一节课很快就过去了。我们来回顾一下今天学了什么。我们认识了整式这个大家族，它包括单项式和多项式。我们重点学习了多项式的项、次数等概念。希望通过这张思维导图，大家能清晰地记住今天的知识脉络。 ‹#› $