2.6 有理数的混合运算 同步测试 2026-2027学年 浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数混合运算，以“基础巩固-能力提升-创新拓展”分层设计，通过实际情境与新定义问题，培养运算能力、推理意识与应用意识，实现从单一运算到综合创新的进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|有理数混合运算、进制转换|如选择8二进制转换、填空14十六进制运算，夯实运算基础| |能力提升|实际问题建模、规律探究|如选择2动点相遇、综合20购物优惠，培养数学思维与应用能力| |创新拓展|新定义运算、跨学科情境|如综合25“除方”运算、选择1九宫格问题，发展创新意识与抽象能力|

2.6 有理数的混合运算 培优测试 一、选择题 1．九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书.如图，将，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形ABCD的顶点D，B同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度为9厘米/秒，甲的速度为3厘米/秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了（　　） A．252 次 B．253次 C．254次 D．255次 3．济青高铁北线，共设有11个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　） A．110种 B．132种 C．55种 D．66种 4．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，十进制中 ，用十六进制表示为1A：用十六进制表示： ， ，则A × E，用十六进制可表示为（　　） A．8C B．140 C．32 D．EO 5． 减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，....，以此类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是（　　） A． B． C． D． 6．水池 都是长方体，深为 ，底部尺寸为 .1号阀门 可将无水A池注满；2号阀门用来从A池向B池放水， 可将A池中满池水放入B池；3号阀门用来从B池向C池放水， 可将B池中满池水放入C池.若开始 三池无水，同时打开1号、2号和3号阀门，那么当B池水深 时，A池有（　　） 的水. A．1.2 B．3.2 C．6 D．16 7．如果有4个不同的正整数 、 、 、 满足 ，那么 的值为（　　） A．0 B．9 C．8076 D．8090 8．我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：1×23+0×22+1×21+1×20=11．按此方式，则将十进制数7换算成二进制数应为（　　） A．101 B．110 C．111 D．1101 9．我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图所示，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数.由图可知，孩子自出生后的天数是（　　） A．84 B．336 C．510 D．1326 10．已知 ， ，则 的大小关系是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 11．已知整数a，b，c，且，满足，则的最小值为　 　. 12．设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为4、、b的形式，则（b-a）3的值为 　 　． 13．已知整数，，，满足，且，则的值为　 　. 14．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，十进制中16+10=26，用十六进制表示为10+A=1A；十进制中25-15=10，用十六进制表示为19−F=A．由上可知，在十六进制中B×D=　 　（运算结果用十六进制表示）． 15．中百超市推出如下优惠方案： ⑴一次性购物不超过 100 元，不享受优惠 ⑵一次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律 9 折； ⑶一次性购物超过 300 元一律 8 折．某人两次购物分别付款 80 元、252 元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款　 　． 16．小全同学在黑板上写有1，2，3，…，2019，2020这2020个自然数，而小康同学对它们进行了操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字.例如：擦掉7，13和1998后，添上8；若再擦掉8，6，38，添上2，等等.如果经过1009次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是2019，则另一个数是　 　. 三、计算题 17．不进行通分，计算： ． 18．请先阅读下列一段内容，然后解答问题： 因为： ， ， ，…… ， ， 所以： 计算： （1） ； （2） . 19．观察 + =（1－ ）+（ － ）=1－ = （1）计算： + + +……+ = （2）计算： 四、综合题 20．某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次性购物不超过100元，则不予优惠； （2）若一次性购物超过100元，但不超过300元，按标价给予九折优惠； （3）若一次性购物超过300元，其中300元以下部分（包括300元）给予九折优惠；超过300元部分给予八折优惠. 小李两次去该超市购物，分别付款99元和252元.现在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品，他需付款多少元? 21．今年以来，由于受国际天然气形势的影响，我国天然气市场总体呈现量紧价高的态势，为确保天然气保供稳价，提高居民生活用气的保障，某地决定从2025年月开始调整居民用气价格，调整前后价格如下表（每月用气量为立方米）： 用气类别 第一档（） 第二档（） 第三档（） 调整前 调整后 注：该地天然气收费按月实行阶梯收费 （1）某用户月（调整前）缴天然气费元，求该用户这月用气量； （2）若该用户月（调整后）用气量与月相同，则该用户月比月多缴费多少元？ （3）因天气转冷，该用户今年月因取暖用气量急剧增加，缴天然气费元，该用户今年月用气量是多少立方米？ 22．有个补充运算符号的游戏：在“1□2□□9”中的每个□内，填入+、-、×、÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：　 　（直接写出结果）； （2）若□，请推算□内的符号应是什么？ （3）请在□内填上×、÷中的一个，使计算更加简便，然后计算□ 23．找规律并计算： （1）计算：=　 　，=　 　； =　 　，=　 　； （2）猜想：观察上述式子可猜想出的结论是：=　 　； （3）试用你所猜想的结论计算： ……. 24．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ （3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ 25．规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如，． 类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的星3次方”；把记作，读作“的星4次方”． 一般地，把记作（其中，，，为整数），读作“的星次方”． （1）直接写出计算结果：　 　，　 　，　 　 ； （2）结合（1）中的运算，尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，可以归纳如下： 一个非零有理数的星，为整数）次方等于　 　 （从以下四个选项中选择最合适的一个，填写序号即可）． ①这个数的相反数的次方； ②这个数的绝对值的次方； ③这个数的倒数的次方； ④这个数的次方． （3）关于“除方”运算，下列说法错误的是____ ； A．任何非零有理数的星3次方都等于它的倒数； B．对于任何不小于3正整数，； C．； D．负数的星5次方的结果是负数，负数的星6次方的结果是正数． （4）结合上述探究结果，计算下式的值． ． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【解答】根据题意这九个数的平均数为：， ∴正中间的数为-1， ∴每行、每列、每条对角线上三个数的和都是， ∴第二行左边的数为：， ∴， 故答案为：A 【分析】先求出九个数的平均数，再根据题意列出算式求出a的值即可。 2．【答案】B 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【解答】解：根据题意可得：第一次相遇所需时间为：（秒） 从第2此相遇起，相遇路程变成了正方形的周长，也就是24×4=96（厘米） 因此，之后每次相遇所需时间为：（秒） 2022-4=2018（秒） 所以，在第一次相遇后还有252此相遇 因此，总共相遇了252+1=253（次） 故答案为：B. 【分析】根据相遇问题的公式求出第一次和第二次之后的相遇时间，再根据周期规律，求解出相遇次数。 3．【答案】A 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【解答】解：由题知，只有一站的票有10×2种， 有两站的票有9×2种， 有三站的票有8×2种， 有四站的票有7×2种， 有11站的票有1×2种， ∴需要印制不同的火车票为：2×（10+9+8+7+6+5+4+3+2+1）=110（种）． 故答案为：A 【分析】根据题意列出算式2×（10+9+8+7+6+5+4+3+2+1）计算即可。 4．【答案】A 【知识点】有理数混合运算的实际应用；进位制的认识与探究 【解析】【解答】解：∵A=10，E=14 ∴A×E=10×14=140 ∴140÷16=8⋯⋯12 ∵C=12 ∴A×E=8C 故答案为：A. 【分析】 在表格中找出A和B所对应的十进制数字，然后根据十进制表示出A×B，用其积除以16求出其商和余数，对照表格即可得出用十六进制表示． 5．【答案】B 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【解答】解：根据题意得 =1. 故答案为：B. 【分析】根据题意，把2021看作单位“1“，2021减去它的 后还剩下2019×（1− ），再减去余下的 后还剩下2019×（1−）×（1− ），…减去剩下的12019后还剩下2019×（1−）×（1− ）×…×（1−），利用约分进行计算即可得出答案． 6．【答案】B 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【解答】解：长方形的体积= ， 1号阀门的进水效率= 2号阀门的进水效率= 3号阀门的进水效率= 当同时打开1号、2号和3号阀门， B池水深 时， 用时为： （分钟） A池水深为： 故答案为：B. 【分析】先求出长方体的体积，再分别求出三个阀门的进水效率，然后求出同时打开1号、2号和3号阀门， B池水深 时所用的时间，最后根据时间求出A池水深即可. 7．【答案】C 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【解答】解：∵有4个不同的正整数a、b、c、d满足 ， ∴四个括号内的值分别是： ， ， 不妨设： ， ， ， ， 解得： ， ， ， ， ∴ . 故答案为：C. 【分析】该题的关键点是4个不同的数都是正整数，且，故得讨论整数相乘等于9的情况，据此分别讨论，根据a、b、c、d是四个不同的正整数可知四个括号内的值分别是：±1，±3，据此可得出结论. 8．【答案】C 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；进位制的认识与探究 【解析】【解答】解：∵7=4+2+1，∴1×22+1×21+1×20=7，∴十进制数7换算成二进制数应为111． 故答案为：C． 【分析】首先7=4+2+1，由此即可把7变为1×22+1×21+1×20=7，从而得出十进制数7换算成二进制数的结果. 9．【答案】C 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【解答】解：依题可得， 6+2×7+3×7×7+1×7×7×7=510（天）， ∴孩子出生后的天数为510天. 故答案为：C. 【分析】从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一， 所以从右到左的数分别为6，2×7，3×7×7，1×7×7×7，之后将它们相加即可得出答案. 10．【答案】D 【知识点】有理数大小比较；有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【解答】解： ∵666>584>-64256 ∴ 故答案为：D. 【分析】根据有理数的混合运算，分别求出 的大小即可. 11．【答案】-1924 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【解答】解：∵a，b，c为整数，，且满足，要求最小， ∴，， ∴ ， ∴的最小值为：. 故答案为：-1924. 【分析】结合有理数乘方运算法则及题意得：a的绝对值尽量大，10b2及-100c3尽量小的时候，可使a+b+c最小，于是可得b=0，c=-1，进而代入即可算出a的最小值，最后求和a、b、c的和即可. 12．【答案】0或-8 【知识点】有理数及其分类；有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为4、 、b的形式， ∴这两个数组的数分别对应相等． ∴a+b与a中有一个是4， 与b中有一个是1， 若 ＝1，a＝b，则a+b＝4， 则a＝b＝2， 则（b-a）3＝（2-2）3＝0； 若b＝1，a＝4或a+b＝4， 则a＝4时，a+b＝4+1＝5， ＝4（不合题意舍去）； a+b＝4时，a＝4-1＝3， ＝3（不合题意舍去）； 则（b-a）3＝（1-3）3＝-8． 故（b-a）3的值为0或-8． 故答案为：0或-8． 【分析】 三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为4、 、b的形式，这两个数组的数分别对应相等，a+b与a中有一个是4， 与b中有一个是1，再分情况讨论判断出a、b的值即可代入求解. 13．【答案】-1或1 【知识点】有理数的乘法法则；有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【解答】解：整数，，，满足，且， ，，，或，，，， 当，，，时， ； 当，，，时， ； 故答案为：-1或1. 【分析】由于整数，，，满足，且，可得，，，或，，，，然后分别代入原式计算即可. 14．【答案】8F 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【解答】解：B×D用十进制表示为：11×13， ∵11×13=143， ∵143÷16=8······15， 143用十六进制8F. 故答案为：8F. 【分析】先把B×D用十进制表示，求出这两个数的乘积，然后把结果转化为十六进制表示即可. 15．【答案】288元或316元 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【解答】解：一次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律 9 折则在这个范围内最低付款， 90 元，因而第一次付款 80 元，没有优惠； 第二次购物时：是第二种优惠，可得出原价是 252÷0.9=280（符合超过 100 不高于 300）． 则两次共付款：80+280=360 元，超过 300 元，则一次性购买应付款：360×0.8=288 元； 当第二次付款是超过 300 元时：可得出原价是 252÷0.8=315（符合超过 300 元），则两次共应付款：80+315=395 元，则一次性购买应付款：395×0.8=316 元． 则一次性购买应付款：288 元或 316 元． 故答案是：288 元或 316 元． 【分析】根据所给的方案计算求解即可。 16．【答案】1 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【解答】解：这2020个数之和为1+2+3+…+2020=（1+2020）×2020÷2=2014210， 2014210-2019=2039191，因为它的个位为1 故另一个数为1， 故答案为：1. 【分析】根据题意，算出这2020个数的和，再用这个和减去2019，找出所得差的个位数字即可. 17．【答案】解：设 ， ， 可得 ， 则原式 ． 【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【分析】 设 ， ，可得 ，将原式换元整理即可求出结论. 18．【答案】（1）解：原式 ； （2）解：原式= = = = = . 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【分析】（1）仿照阅读材料中提供的方法将各个加数进行拆项，再合并即可； （2）先把原式变形为 ，再仿照阅读材料中提供的方法解答. 19．【答案】（1）解： + + +……+ =（1－ ）+（ － ）+ （ － ）+……+（ － ） =1－ + － + － +……+ － =1－ = ； （2）解：∵ ， ∴ = （ ） = （ ） = × = 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则 【解析】【分析】（1）根据题中运算方法进行拆项后按有理数的加减法法则计算即可； （2）根据题中运算方法进行拆项后，逆用乘法分配律后，先计算括号内有理数的加减法，再计算乘法得出答案. 20．【答案】解：∵小李两次去该超市购物，分别付款99元和252元。所以有两种情况： ①第一次付款99元没有享受优惠，即没有打折，第二次享受优惠， ∴设第二次实际购物的款数为x，而300×0.9=270>252， ∴0.9x=252， ∴x=280， 所以小李两次去该超市购物实际购物的款数为99+280=379， ∴在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品， 他需付款300×0.9+79×0.8=333.2元； ②第一次付款99元享受了优惠，即打九折， 那么第一次实际购物的款数为99÷.9=110元， 第二次享受优惠， 设第二次实际购物的款数为x，而300×0.9=270>252， ∴0.9x=252， ∴x=280， ∴小李两次去该超市购物实际购物的款数为110+280=390， ∴在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品， 他需付款300×0.9+90×0.8=342元。 答：现在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品，他需付款342元或333.2元。 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【分析】由于小李两次去该超市购物，分别付款99元和252元．所以有两种情况： ①第一次付款99元没有享受优惠，即没有打折，第二次享受优惠，并且根据已知条件得到只享受九折优惠，然后根据已知实际即可确定实际购物的款数； ②第一次付款99元享受了优惠，即打九折，第二次享受优惠，根据已知实际数据可以得到享受九折优惠，然后利用已知数据也可以确定实际购物的款数． 21．【答案】（1）解：调整前第一档的最高收费为 （元） ∴该用户是第一档用气量， （m3） 该用户月的用气量为 m3. （2）解：由题知： 该用户月的用气量为 m3需要缴费的金额为： （元） 故该用户月比月多缴费元 （3）解：调整后第1档的最高收费为：（元） 调整后第2档的最高收费为：（元） （元） 故该用户月的用气量超过了 m3， （m3） ∴月用气量为（m3） 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【解答】（1） 解：调整前第一档的最高收费为 （元），156＞91， ∴该用户是第一档用气量， （立方米） 该用户10月的用气量为35立方米. （3） 解：调整后第1档的最高收费为：（元） 调整后第2档的最高收费为：（元） （元），242＜283 故该用户12月的用气量超过了80立方米， （立方米） ∴12月用气量为80+10=90（立方米） 【分析】（1）先计算每档单价的缴费上限，然后判断91元属于哪一档用气量，再计算用气量； （2）按调整后的单价计算出11月应缴费，再做差可求出多缴费的数量； （3）先计算每一档缴费上限，根据实际缴费金额确定，每档气量，最后相加可求出总用气量． 22．【答案】（1）0 （2）解：∵ ，且 □ ， ， ∴□内的符号应是＋ （3）解：填上÷， 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的加、减混合运算 【解析】【解答】【详解】（1）解： 故答案为：0 【分析】（1）利用有理数的加减法的计算方法求解即可； （2）利用有理数的加减法和乘除法的计算方法求解即可； （3）先将除法转换为乘法，再利用有理数的乘法运算律计算即可。 23．【答案】（1）3；3；21；21 （2）（x+y）（x-y） （3）解： . 【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则；有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【解答】解：（1）22-12=2×2-1×1=3，（2+1）（2-1）=3×1=3； 52-22=5×5-2×2=21；（5+2）（5-2）=7×3=21. 故答案为：3，3；21，21； （2）∵22-12=2×2-1×1=3，（2+1）（2-1）=3×1=3， ∴22-12=（2+1）（2-1）， ∴x2-y2=（x+y）（x-y）. 故答案为：（x+y）（x-y）. 【分析】（1）根据有理数的乘方运算和乘法运算法则，分别计算即可； （2）结合（1）中两种运算的结果可知，x2-y2=（x+y）（x-y），据此解答即可； （3）先利用x2-y2=（x+y）（x-y），将原式变形，再把所得结果求和即可. 24．【答案】（1）解：（千米）， 答：地在地的东边20千米； （2）解：这一天走的总路程为： （千米）， 应耗油（升）， 故还需补充的油量为：（升）， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油； （3）解：路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米； （千米）； （千米）； （千米）； （千米）； （千米）； （千米）； （千米）， 最远处离出发点25千米． 【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用 【解析】【分析】（1）将题干中的数据相加，再根据结果判断即可； （2）将题干中的数据的绝对值相加，再乘以0.5即可得到答案； （3）分别求出每一次离点A的距离，再比较大小即可。 25．【答案】（1）；；-64 （2）③ （3）C （4）解： ． 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【解答】（1） ； ； ， 故答案为：；；； （2）解：由题意得： ， 则一个非零有理数的星，为整数）次方等于这个数的倒数的次方， 故答案为：③； （3）．任何非零有理数的星3次方都等于它的倒数，故说法符合题意； B．对于任何不小于3正整数，，故B说法符合题意； C．，，故C说法不符合题意； D．负数的星5次方的结果是负数，负数的星6次方的结果是正数，故D说法符合题意． 故答案为：C； 【分析】（1）根据除方的运算进行求解即可； （2）结合（1）运算可知：一个非零有理数的星，为整数）次方等于这个数的倒数的次方； （3）根据除方的运算逐一分析即可； （4）先计算除方，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加法即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $