精品解析：河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年下学期4月月考高二数学试题（理）

新蔡一高2025-2026学年下学期4月月考 高二数学试题（理） 一、单选题 1. 已知数列满足，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据递推公式求解即可. 【详解】由，且， 得，所以. 故选：A. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】 ，即 . 3. 已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（ ） A. 3 B. －3 C. 2 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边数列的性质即可求解方程得，即可求解. 【详解】解：由是单调递增的等比数列且， 所以是的两个实数根，且， 得，故． 故选：C． 4. 已知函数，则（ ） A. －1 B. 0 C. －8 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求导，解得，得到求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 则， 解得， 则， 所以， 故选：C 5. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据，确定数列的正负项，可得当取得最小值时. 【详解】令，则，解得， 所以，，，当时，， 所以当取得最小值时. 6. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式设，再利用关系即可求解. 【详解】∵，又因为等差数列的前项和分别为， 则设 ∴. 7. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 8. 若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可 【详解】，， 设公切线与的图像切于点， 与曲线切于点， 所以， 故，所以， 所以， 因为，故， 设， 则，令 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以实数a的最大值为e， 故选：A. 9. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，取得极大值 C. 当时，取得极小值 D. 是在上的最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确； 对于B，C，由题图易知在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值，故BC，正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误. 10. 已知等差数列的前项和存在最小值，且，则下列说法正确的是（ ） A. 首项 B. C. 当时，取得最小值 D. 时，最小为19 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据等差数列前项和存在最小值确定公差，首项，再分别对各选项利用等差数列通项公式，前项和公式及性质进行分析判断. 【详解】已知等差数列的前项和存在最小值， 所以数列公差，首项， 在A选项中， 首项，A错误， 在B选项中， 利用等差数列通项公式可得：  ， 又因为，故， 即，B正确， 在C选项中， 已知，且， 因此，， 所以前10项均为负数，从第11项开始为正数， 前项和在时取得最小值，C正确， 在D选项中， 利用等差数列前项和性质可得：  （），  （）， 因此时，最小为，D错误. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 若方程有6个不等实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先进行求导，借助单调性即可判断出AB； 选项C，为数形结合思想，转化为，画图判断交点问题； 选项D，为复合函数问题，为偶函数，图像关于轴对称，所以要使在时有3个解即可. 【详解】解：对于A选项，的定义域为，所以A选项错误； 对于B选项，，令可得， 即函数在上单调递增，， 即，所以B选项正确； 对于C选项，令，即， 有3个不同的零点等价于函数和函数有3个不同的交点， 由图像可知，，解得，所以C选项正确； 对于D选项，方程有6个不等实数根等价于函数和函数有6个不同的交点， 由图像可知，，所以D选项正确． 三、填空题 12. 若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知在区间内恒成立，整理可得，结合对勾函数单调性运算求解. 【详解】由题意可知：在区间内恒成立， 可得在区间内恒成立， 因为在区间内单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围为. 13. 已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 【答案】32 【解析】 【分析】根据，求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前8项的和即可. 【详解】已知，. 当时，. 满足上式，所以，. 则当时，；当时，； 所以 14. 关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则有，应用导数研究函数的单调性，将问题化为恒成立，再应用导数求右侧最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设， 令，则，且， 令，则， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 则，即在R上单调递增， 所以且，故恒成立， 令，则， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 则，即. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． （1）求a； （2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，结合导数值和斜率的关系可求答案； （2）设出切点坐标，求导得出切线方程，代入点的坐标可求切点，进而可得方程. 【小问1详解】 ，因为曲线在点处的切线的斜率为1， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 设切点坐标为，则，切线的方程为， 又点在曲线上，所以，代入得， 即， 整理可得，故l的方程为，即. 16. 已知函数的图象过点，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间，极值和值域. 【答案】（1） （2）函数的单调增区间：和，单调减区间： ；极大值为，极小值为，值域为. 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意得出，求出、的值，可得出函数的解析式； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用函数的极值、最值与导数的关系可求出函数在区间上的极值、最大值和最小值可得答案. 【小问1详解】 因为，则， 由已知条件得，解得， 所以， 【小问2详解】 由（1）知，，， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以值域为. 17. 已知数列满足，，且对任意均成立，数列满足. （1）求数列，的通项公式. （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件构造等比数列，利用等比数列的通项公式求的通项公式，然后再用累加法求解数列的通项公式即可. （2）先求出目标数列，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以即， 则 ， 【小问2详解】 由题意得，则 得到， ， 则， 得到 18. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【小问1详解】 因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，进而利用导数的几何意义可求得切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论可求得的单调性； （3）结合（2）可得时，有极小值，进而结合题意可得，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由， 得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以. 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2025-2026学年下学期4月月考 高二数学试题（理） 一、单选题 1. 已知数列满足，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 2. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 3. 已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（ ） A. 3 B. －3 C. 2 D. －2 4. 已知函数，则（ ） A. －1 B. 0 C. －8 D. 1 5. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 7 6. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，取得极大值 C. 当时，取得极小值 D. 是在上的最大值 10. 已知等差数列的前项和存在最小值，且，则下列说法正确的是（ ） A. 首项 B. C. 当时，取得最小值 D. 时，最小为19 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 若方程有6个不等实数根，则 三、填空题 12. 若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 13. 已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 14. 关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． （1）求a； （2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 16. 已知函数的图象过点，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间，极值和值域. 17. 已知数列满足，，且对任意均成立，数列满足. （1）求数列，的通项公式. （2）设，求数列的前n项和. 18. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $