暑假专项作业：因数、倍数、分数的意义与性质（专项练习）-2025-2026学年数学五年级下册人教版

**基本信息** 聚焦因数、倍数、分数核心概念，通过概念辨析-特征应用-实际问题的递进设计，系统提炼公倍数/公因数应用、奇偶性分析等解题方法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |因数倍数|选择1-7、填空9-12、解答19-24|质数合数辨析、2/3/5倍数特征、最小公倍数/最大公因数转化|从概念（质数/合数）到特征（倍数），再到应用（周期/分配问题）| |分数性质|填空13-16、计算18|分数小数互化、通分比较、分数意义应用|从分数意义到性质（通分），再到实际分配问题|

暑假专项作业：因数、倍数、分数的意义与性质-2025-2026学年数学五年级下册人教版 一、选择题 1．若a和b是两个不同的质数，那么a×b的积一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 2．下面四个五位数中，如果Q表示数字0，P表示1~9中的任意一个数字，（    ）可以确定是2、3、5的倍数。 A．PPQPP B．PPQPQ C．PQPQP D．PQPQQ 3．已知一个三角形的三条边长均为整数，其中两条边长分别为3厘米和8厘米，若该三角形的周长为偶数，则满足条件的三角形个数为（    ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．a是质数，b是合数（a、b均大于15），下面说法正确的是（    ）。 A．a＋b一定是偶数 B．ab一定是奇数 C．2（a＋b）可能是奇数 D．a＋2b不可能是偶数 5．学校乒乓球社团为学员准备了几十个新乒乓球，现将这些乒乓球分装到袋中，每袋装3个。则多1个；每袋装4个，则少3个；每袋装5个，则少4个。盒子里有（    ）个乒乓球。 A．61 B．60 C．57 D．56 6．参加“淮安市52周全民阅读挑战活动”后，芳芳和明明经常去图书馆，芳芳每4天去一次，明明每5天去一次。7月2日两人在图书馆相遇，（    ）他们再次相遇。 A．7月18日 B．7月22日 C．7月20日 D．7月24日 7．把长36cm、宽24cm的长方形剪成大小相同的正方形且无剩余，正方形边长最大是（    ）cm。 A．6 B．8 C．12 D．18 8．小强根据A与B的数量关系画出了下面的线段图。下列说法错误的是（    ）。 A．A是B的 B．B是A的 C．B比A多 D．A比B少 二、填空题 9．7☐1☐同时是2，3，5的倍数，右边的☐可以填( )，左边的☐可以填( )。 10．一个长方形的周长是24厘米，它的长和宽的厘米数一个是合数、一个是质数，这个长方形的面积最大是( )平方厘米。 11．三个连续奇数的和是159，这三个数的平均数是( )，最大的奇数是( )。 12．小静家智能锁的密码是一个四位数39ab。爸爸提示：a既是偶数又是质数；b既是2的倍数，又是3的倍数。这个密码是( )。 13．0.75（    ）。 14．有3箱橘子，每箱5千克，把这些橘子平均分给幼儿园6个班，每个班分得这些橘子的，每个班分得（    ）千克。 15．已知A＝3×3×7，B＝2×3×7，则A、B两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 16．偏关豆腐是地方特产之一，也是偏关人餐桌必备的美食，小林妈妈将1千克豆腐的做了麻婆豆腐，另外的做了凉拌豆腐，还剩( )克豆腐。 三、计算题 17．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和10                7和16                45和60                24和30 18．先通分，再比较大小。 （1）和             （2）、和 四、解答题 19．取件码的出现，提高了快递服务的安全性和便利性。刘阿姨的取件码是一个六位数，从左向右数第一位数是最小的质数，第二位数是两个不同质数的乘积，第三位数是10以内最大的偶数，第四位数是最小合数，第五位数的最大因数是7，第六位数是10以内最大的奇数，刘阿姨的取件码是多少？ 20．用1、4、7这三张数字卡片可以摆出一些不同的三位数（每次每张卡片都要用），关于这些三位数，甲乙丙丁四位同学发表了自己的观点。 甲：这些三位数中肯定有奇数。        乙：这些三位数中肯定有偶数。 丙：这些三位数中肯定有质数。        丁：这些三位数中肯定有合数。 你赞同（或不赞同）哪些同学的观点？说明理由。 21．小雅收到好朋友寄来的一张长方形的风景卡片，其周长是40厘米，长和宽中的长度有一个是质数、有一个是合数，这个长方形卡片的面积最大是多少平方厘米？ 22．学校组建社会实践活动小组，已经报名了20人。如果实践活动小组的总人数既可以正好分成3人一组，也可以正好分成5人一组，那么至少还需要报名多少人？ 23．如下图，向阳镇从A点经过B点到C点新建了一条公路。工人师傅要在这条公路的一侧安装路灯，他们已经在A、B、C三个地点各安装了一盏，要使任意相邻的两盏路灯的距离都相等，工人师傅至少还要安装多少盏路灯？ 24．赛龙舟是端午节最为重要的节日民俗活动之一。怀化地区河网交错、溪流纵横，为赛龙舟活动提供了天然的理想场地，某次赛龙舟现场设置了特色美食区，售卖怀化芷江鸭和通道侗家腌鱼。芷江鸭每8分钟出锅一批，侗家腌鱼每10分钟装盘一批。上午9：40两种美食同时准备好，下一次同时准备好是几时几分？ 25．数学中有很多有趣的数，哈沙德数就是其中之一。一个非0自然数，如果各个数位上的数字之和是它的因数，这个数就是哈沙德数。比如27，因为2＋7＝9，9是27的因数，所以27是哈沙德数。而26不是哈沙德数，因为2＋6＝8，8不是26的因数。 (1)今年是2026年，2026( )哈沙德数。（括号里填“是”或“不是”） (2)小苍发现：10、20、30、40都是哈沙德数，她猜测：个位上是0的数都是哈沙德数。但在继续举例验证的过程中，她发现自己的猜测是错误的。请你在50~200中找到能验证小苍的猜测是错误的数，并写出理由。（写出一个即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专项作业：因数、倍数、分数的意义与性质-2025-2026学年数学五年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D A B C D 1．D 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】A．如：质数2和3，2×3＝6，6是偶数，不是奇数，原说法错误； B．如：质数3和5，3×5＝15，15是奇数，不是偶数，原说法错误； C．如：质数2和5，2×5＝10，10是合数，不是质数，原说法错误； D．如：质数2和7，2×7＝14，14是合数，原说法正确。 2．B 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】A．PPQPP即PP0PP，个位数字是P，因为P不一定是 ，所以不一定是2和5的倍数，此选项错误； B．PPQPQ即PP0P0，个位数字是，满足2和5的倍数特征。各位上数字的和为 P＋P＋0＋P＋0＝3P，因为P是整数，所以3P一定是3的倍数，满足3的倍数特征，此选项正确； C．PQPQP即P0P0P，个位数字是P，因为P不一定是0，所以不一定是2和5的倍数，此选项错误； D．PQPQQ即P0P00，个位数字是0，满足2和5的倍数特征。各位上数字的和为 P＋0＋P＋0＋0＝2P。因为P是1~9中的任意一个数字，当P＝1时，2P＝2，不是3的倍数，所以不一定是的倍数，此选项错误。 PPQPQ可以确定是2、3、5的倍数。 3．A 【分析】根据三角形三边关系、奇数偶数性质，先利用两边之差小于第三边、两边之和大于第三边确定第三边取值范围，再结合周长为偶数筛选符合条件的整数边长，统计数量。 【详解】设三角形的第三条边长为厘米。 因为三角形的三条边长均为整数，所以可以取的整数值为：6、7、8、9、10 三角形的周长为： 已知周长为偶数，因为11是奇数，所以必须为奇数。 在6、7、8、9、10中，奇数有7和9。 所以满足条件的第三条边长可以是7厘米或9厘米，共2个。 4．D 【分析】首先根据a是大于15的质数，确定a是奇数；根据b是大于15的合数，确定b可能是奇数也可能是偶数。然后利用奇数和偶数的运算性质：奇数＋偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，2的倍数是偶数等，逐项分析判断。 【详解】A．a是奇数，若b是偶数，则a＋b是奇数，所以a＋b不一定是偶数，此选项错误； B．a是奇数，若b是偶数，则ab是偶数，所以ab不一定是奇数，此选项错误； C．a和b都是整数，a＋b的和也是整数，2乘任何整数都得偶数，所以2（a＋b）一定是偶数，不可能是奇数，此选项错误； D．a是奇数，2b是2的倍数一定是偶数，奇数加偶数等于奇数，所以a＋2b一定是奇数，不可能是偶数，此选项正确。 5．A 【分析】乒乓球总数去掉1个，剩余的乒乓球数是3、4、5的公倍数。先求出3、4、5的最小公倍数（两两互质的数的最小公倍数是它们的乘积），再结合“几十个”的范围确定具体数量，最后加上1即可。 【详解】3、4、5两两互质，它们的最小公倍数是：3×4×5＝60 60＋1＝61（个） 所以盒子里有61个乒乓球。 6．B 【分析】先求出4和5的最小公倍数，得到再次相遇间隔的天数，再用相遇日期加上间隔天数算出下一次相遇时间。 【详解】4和5互质，最小公倍数：4×5＝20 2＋20＝22 7月22日他们再次相遇。 7．C 【分析】要把长方形剪成大小相同的正方形且无剩余，说明正方形的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。题目要求正方形边长最大，即求长和宽的最大公因数。 【详解】因为把长36cm、宽24cm的长方形剪成大小相同的正方形且无剩余， 所以正方形的边长必须是和的公因数， 要使正方形的边长最大，即求和的最大公因数， 的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36， 的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24， 和的公因数有：1，2，3，4，6，12， 其中最大公因数是， 所以正方形边长最大是。 8．D 【分析】用A的份数除以B的份数，求出A是B的几分之几；用B的份数除以A的份数，求出B是A的几分之几；用B的份数减去A的份数求出A与B相差的份数，再用A与B相差的份数除以A的份数，求出B比A多几分之几；用A与B相差的份数除以B的份数，求出A比B少几分之几。 【详解】由图可得，A的份数为4份，B的份数为6份 A.4÷6＝＝，所以，A是B的； B．6÷4＝＝，所以，B是A的； C．6－4＝2（份），2÷4＝＝，所以，B比A多； D．2÷6＝＝，所以，A比B少，而不是。 9． 0 1、4、7 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0、5的数是5的倍数；一个自然数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；则同时是2、3、5的倍数的数个位上必须是0，且各个数位上的数的和是3的倍数。右边的☐也就是这个数的个位，可以填0。左边的☐也就是这个数的百位，因为，8再加一个数必须是3的倍数，则这个数最小是1，另外还有4和7（确定好最小的数后，3个3个增加，就可以找到另外几个符合条件的数）。 【详解】7☐1☐同时是2，3，5的倍数，右边的☐可以填0。 ，9是3的倍数，所以左边的☐可以填1。 ，12是3的倍数，所以左边的☐可以填4。 ，15是3的倍数，所以左边的☐可以填7。 所以，左边的☐可以填1、4、7。 10．27 【分析】先用长方形的周长除以2求出长与宽的和，即厘米。再将12厘米分解为两个数的和，即，，，，，。大于1的自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；除了1和它本身外，还有别的因数，这样的数叫做合数。逐一分析这六组算式中两个数是否一个是质数，一个是合数。根据长方形的面积等于长乘宽，将符合条件的长与宽相乘，求出长方形的面积，最后比较面积的大小确定面积最大的情况。 【详解】（厘米） ，1既不是质数，也不是合数；11是质数。不符合。 ，2是质数，10是合数。符合。 ，3是质数，9是合数。符合。 ，4是合数，8是合数。不符合。 ，5是质数，7是质数。不符合。 ，6是合数。不符合。 综上，符合要求的长与宽有两组：一组是2和10，另一组是3和9。 求面积： （平方厘米） （平方厘米） 这个长方形的面积最大是27平方厘米。 11． 53 55 【分析】平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数；三个连续奇数中，相邻两个奇数之间相差2，且它们的平均数是三个连续奇数中间的奇数；用它们的和除以3，求出中间的奇数，然后再将中间的奇数加减2，分别求出另外两个奇数。 【详解】这三个数的平均数：159÷3＝53 中间的奇数：53 前面的奇数：53－2＝51 后面的奇数：53＋2＝55 所以，最大的奇数是55。 12．3926 【分析】偶数是能被2整除的整数，质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数，2的倍数个位为0、2、4、6、8，3的倍数各位数字和是3的倍数。先根据“既是偶数又是质数”确定a，再根据“既是2又是3的倍数的一位数”确定b，最后组合得到密码。 【详解】既是偶数又是质数的数只有2，所以a＝2； 既是2的倍数又是3的倍数的一位数只有6，所以b＝6； 所以这个四位数密码是3926。 13．16；8；30 【分析】把0.75化成最简分数是 （1）根据分数的基本性质可知，分子扩大到原来的4倍变为12，分母也要扩大到原来的4倍，据此填空即可 （2）根据分数与除法的关系可知，分数的分子相当于除法的被除数，分母相当于除法的除数，被除数扩大到原来的2倍变为6，除数也要扩大到原来的2倍，据此填空即可 （3）根据分数的基本性质可知，分母扩大到原来的10倍变为40，分子也要扩大到原来的10倍，据此填空即可 【详解】0.75＝＝ 4×4＝16 4×2＝8 3×10＝30 即0.758。 14．； 【分析】将橘子总质量看作单位“1”，1÷班数＝每个班分得这些橘子的几分之几；每箱质量×箱数＝总质量，总质量÷班数＝每个班分得质量。 【详解】1÷6＝ 5×3÷6 ＝15÷6 ＝ ＝（千克） 15． 21 126 【分析】两个数的最大公因数是这两个数全部公有的质因数的乘积；两个数的最小公倍数是这两个数全部公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。 【详解】由A＝3×3×7，B＝2×3×7可知，两个数公有的质因数为3和7。A独有的质因数是3，B独有的质因数是2。 A、B的最大公因数是：3×7＝21 A、B的最小公倍数是：3×7×3×2＝126 16．500 【分析】先把1千克豆腐看成整体单位“1”，用减法求出剩余豆腐占整体的几分之几；再把1千克换算成1000克，平均分4份，先算出1份重量，再算出剩下对应的份数重量。 【详解】1千克＝1000克 （克） （克） 所以，还剩500克豆腐。 17．最大公因数：2；最小公倍数：180； 最大公因数：1；最小公倍数：112； 最大公因数：15；最小公倍数：180； 最大公因数：6；最小公倍数：120 【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。 【详解】 故最大公因数：2，最小公倍数：； 7是质数 故最大公因数：1，最小公倍数：； 故最大公因数：，最小公倍数： 故最大公因数：，最小公倍数： 18．；；；（2）；；； 【分析】把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作为公分母，然后运用分数的基本性质，将各分数分别化成以这个公分母为分母的分数。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值就越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小；分子、分母都不相同时，利用分数的基本性质化成同分母或同分子的分数进行比较。 【详解】（1） ，所以。 （2） ，所以。 19．268479 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 【详解】刘阿姨的取件码是一个六位数，从左向右数第一位数是最小的质数，即2； 第二位数是两个不同质数的乘积，因为乘积是一位数，10以内的质数有2、3、5、7；其中2×3＝6，6是一位数，其它两个质数的乘积均为两位数，所以第二位数是6； 第三位数是10以内最大的偶数，即8； 第四位数是最小合数，即4； 第五位数的最大因数是7，即7； 第六位数是10以内最大的奇数，即9； 所以取件码为268479。 答：刘阿姨的取件码为268479。 20． 赞同甲、乙、丁的观点，不赞同丙的观点； 赞同理由：这些三位数中肯定有奇数、偶数、合数符合甲、乙、丁的观点。 不赞同理由：无论这三个数字怎样排列，三个数字的和：。根据3的倍数的特征，组成的三位数都是3的倍数，即这些数都是合数，没有质数。 【分析】1.  根据奇数和偶数的定义，通过观察个位数字来判断组成的三位数中是否包含奇数和偶数。 2. 根据3的倍数的特征（各位数字之和是3的倍数），判断组成的三位数是否都是3的倍数。 3.  结合质数和合数的定义，判断这些三位数中是否存在质数或合数。 4.  综合以上分析，对四位同学的观点逐一验证。 【详解】1. 判断奇数和偶数：用1、4、7这三张数字卡片摆出的三位数，当个位数字是1或7时，组成的三位数是奇数（如471、147），所以甲的观点正确； 当个位数字是4时，组成的三位数是偶数（如174），所以乙的观点正确。 2. 判断质数和合数：计算这三个数字的和：。因为12是3的倍数，根据3的倍数的特征，无论这三个数字怎样排列，组成的三位数都是3的倍数，这些三位数都大于3，且除了1和它本身外，至少还有因数3。根据合数的定义，一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 所以这些三位数都是合数，不存在质数，因此，丙的观点错误，丁的观点正确。 综上所述，赞同甲、乙、丁的观点，不赞同丙的观点。 21． 99平方厘米 【分析】先根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”求出一组长与宽的和；然后根据质数和合数的定义（大于1的自然数），列举出和为长与宽的和的所有自然数组合；再筛选出满足“一个质数、一个合数”条件的组合；最后根据“长方形的面积＝长×宽”分别计算符合条件的长方形面积，通过比较得出最大面积。（质数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。） 【详解】40÷2＝20（厘米） 根据题意，长方形的长和宽均为大于1的自然数，所以符合题意的有： 当长为18厘米，宽为2厘米时，面积为：18×2＝36（平方厘米） 当长为15厘米，宽为5厘米时，面积为：15×5＝75（平方厘米） 当长为11厘米，宽为9厘米时，面积为：11×9＝99（平方厘米） 因为99＞75＞36，即最大面积是99平方厘米。 答：这个长方形卡片的面积最大是99平方厘米。 22． 10人 【分析】由题意知，实践活动小组的总人数既是3的倍数，又是5的倍数，即总人数是3和5的公倍数。要求至少还需要报名多少人，应先求出3和5的最小公倍数，再找出大于20的最小公倍数作为总人数，最后减去已报名人数。 【详解】因为3和5只有公因数1，所以3和5的最小公倍数是3×5＝15 3和5的公倍数有15，30，45，…… 因为已经报名了20人，总人数必须大于20，所以总人数至少是30人。 30－20＝10（人） 答：至少还需要报名10人。 23．7盏 【分析】要使任意相邻的两盏路灯的距离都相等，求出200和160的最大公因数，因为已经在A、B、C三个地点各安装了一盏，两端已安装路灯的情形，需在AB和BC路段内部安装新路灯，分别用200和160除以它们的最大公因数，再分别减去1就分别是A点到B点和B点到C点安装的路灯数，再相加即可解答。 【详解】200＝2×2×2×5×5 160＝2×2×2×2×2×5 所以200和160的最大公因数是： 2×2×2×5 ＝4×2×5 ＝8×5 ＝40 200÷40－1 ＝5－1 ＝4（盏） 160÷40－1 ＝4－1 ＝3（盏） 4＋3＝7（盏） 答：工人师傅至少还要安装7盏路灯。 24．10时20分 【分析】两种美食同时准备好的时间间隔，应该是8和10的公倍数，要求下一次同时准备好，即求经过的时间是8和10的最小公倍数。求出经过的时间后，再加上起始时刻，即是下一次同时准备好的时刻。。 【详解】＝2×2×2 10＝2×5 和的最小公倍数是2×2×2×5＝40 即两种美食同时准备好的时间间隔是40分。 分＝10：20 答：下一次同时准备好是10时20分。 25．(1)不是 (2)130；，4不是130的因数，所以130不是哈沙德数。 【分析】①根据哈沙德数的定义，需要计算2026各个数位上的数字之和，然后判断该和是否为2026的因数。 ②小苍的猜测是“个位上是0的数都是哈沙德数”。要验证猜测错误，需在50~200范围内寻找一个个位是0但各个数位上的数字之和不是其因数的数。可以通过列举个位是0的数，计算数位和，再验证整除性来找到反例。 【详解】（1） 2026的个位数字是6，不是0，所以2026不能被10整除。即10不是2026的因数。所以，2026不是哈沙德数。 （2）在50~200范围内，个位上是0的数有50、60、...、130、...、200等。 选取数130进行验证。130各个数位上的数字之和： ，因为有余数，所以130不能被4整除。即4不是130的因数。所以130不是哈沙德数。这说明“个位上是 0 的数都是哈沙德数”的猜测是错误的。（注：选取160或170等符合条件的数亦可，理由同上）。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $