5.3 诱导公式 练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本练习以“诱导公式”为核心，通过五层次递进设计，实现从单一公式应用到综合问题解决的知识巩固，培养数学运算与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识点一至三|诱导公式一至六的基础应用|以选择、填空题为主，含概念辨析（如条件判断）和直接运算题，夯实公式记忆| |知识点四|三角函数化简与求值|解答题形式，结合终边定义与公式综合运算，提升知识迁移能力| |知识点五|恒等式证明|证明题设计，需多公式联用与逻辑推理，培养数学表达与论证能力|

5.3 诱导公式 知识点一 诱导公式一 1．“”是“”的什么条件？（   ） A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 2．“”是“存在，使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（    ） A． B． C． D． 4．（    ） A．1 B． C． D． 5．__________ 6．________ 知识点二 诱导公式二、三、四 7．已知为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 8．的值为（    ） A． B． C． D． 9．设，则（     ） A． B． C． D． 10．已知角的终边经过点，且，则m的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 11．已知角为第一象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 12．已知为锐角，且，则_____． 13．若，且，则______． 知识点三 诱导公式五、六 14．若角的终边经过，则__________. 15．已知为第三象限角，，则___． 16．已知，则 _________. 17．若，则________． 18．化简：______． 19．已知角的终边在直线上，则________． 20．已知，则（    ） A． B． C． D． 21．若，则（    ） A． B． C． D． 知识点四 三角函数的化简、求值——诱导公式 22．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 23．已知 (1)化简； (2)若，，求的值． 24．（1）求值：； （2）已知，求的值． 25．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点. (1)求，； (2)求的值. 26．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 27．已知，是关于的方程的两个根． (1)求的值； (2)求的值． 知识点五 三角函数恒等式的证明——诱导公式 28．已知，求证：. 29．证明：． 30．（1）求证：； （2）设，求证. 31．求证：． 32．求证：. 33．已知A、B、C是的三个内角，求证； （1）；     （2）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 7 8 9 10 11 20 答案 A B D B B D A A A B 题号 21 答案 D 1．A 【详解】若，可得， 也可以是，无法推出，因此充分性不成立， 若，代入可得，一定能推出，因此必要性成立， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 2．B 【分析】根据三角函数的性质，分别判断充分性和必要性是否成立. 【详解】若，则， 由余弦函数的周期性可得： ，即成立，可推出成立，因此是的必要条件， 若，根据余弦方程性质， 可得：， 当时，两边同时除以2可得：， 当时，两边同时除以2可得：， 这说明由不一定能推出存在使得成立， 综上，是“存在，使得”的必要不充分条件。 3．D 【详解】,, 所以 4．B 【分析】利用诱导公式计算得解. 【详解】. 故选：B 5．/ 【分析】利用三角函数的诱导公式，将负角转化为到之间的角，再计算该角的正弦值，即可. 【详解】根据题意，. 故答案为： 6．/0.5 【分析】由诱导公式一计算可得. 【详解】. 故答案为：. 7．B 【分析】根据同角三角函数基本关系求出，再根据诱导公式求解. 【详解】且为第一象限角， ， . 8．D 【详解】. 9．A 【详解】， ． 10．A 【分析】根据诱导公式及三角函数的定义列方程求解即可． 【详解】由角的终边经过点， 则，， 整理得，， 解得或（舍去）， 所以m的值为． 11．A 【分析】根据同角三角函数基本关系求出，再根据诱导公式求解. 【详解】且为第一象限角， ， . 12． 【详解】因为，且为锐角， 所以， 所以． 13．/ 【分析】根据三角函数的诱导公式，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由，可得，因为，所以. 14．/ 【详解】根据三角函数的定义得，又因为，所以. 15．/ 【详解】因为为第三象限角，， 所以， 则. 16． 【详解】由， 所以，解得. 17． 【分析】利用三角函数诱导公式化简即可求解. 【详解】. 18．1 【详解】 19． 【详解】因为角的终边在直线上， 所以可取角终边上的点，所以. 所以． 20．B 【详解】因为，且， 所以. 21．D 【详解】依题意，. 22．(1) (2) 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 23．(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式逐项化简再约分即可； （2）由计算得的值，结合 知 ，故结果取负数. 【详解】（1） . （2）因为 ，所以， 因此. 又，，即， 因此. 24．（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂、分数指数幂、对数运算性质及换底公式即可求解； （2）先利用诱导公式进行化简，结合的范围确定与的符号，再利用与的关系进行计算即可 【详解】（1）原式 . （2）， 因为，所以，又因为，故， 因此. ， 故. 25．(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）利用诱导公式化简，再求解； 【详解】（1）； （2）. 26．(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用正余弦齐次式法求解. （3）利用诱导公式及利用正余弦齐次式法求解. 【详解】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 27．(1)； (2)． 【分析】(1)根据二次方程根的个数得到参数范围，再由韦达定理可以得出，和与积的关系，解出具体的函数值，由诱导公式化简代值计算； (2)根据三角函数商数关系，代入，的值，根据诱导公式化简计算即可． 【详解】（1）因为有两个根，则，或； 又因为，是关于的方程的两个根， 故，， 因为，， 或， 因为或，所以， 由诱导公式：； （2）． 28．证明见解析. 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 29．证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 30．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【详解】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 31．证明见解析. 【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明. 【详解】左边==–tanα=右边， ∴等式成立． 32．证明见解析 【分析】利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系式化简左式，从而可证该恒等式. 【详解】左式 ， 故左式与右式相等，即原等式成立. 33．（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【分析】(1)根据，结合诱导公式即可证明； (2)根据，结合诱导公式即可证明. 【详解】(1) .   (2) . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $