广东深圳市东北师范大学附属中学深圳学校2025-2026学年下学期高二期末考试数学试卷

东北师花大学附属中学采训学 ,2025-2026学年下学期 ( 数学)科试卷 高（二)年级期末考试 考试时间：120分钟满分：150分 注意：将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合4=L2.3,45678,B=号eN,则4nB=() A.{5,8 B.{2,5,8 C.{3,6,9} D.{1,5,9} 2.下列说法不正确的是() A.“a>0>b是>的充分不必要条件 B.命题“r20,e≥sinx”是真命题 C.由一组样本数据(：，)，(x,),,(x,yn)得到经验回归方程=bx+à，若相关系数r 越小，则两组变量的相关性越弱 D.甲、乙、丙三名大学生从勐焕大金塔、一寨两国、黄草坝、陇川欢乐水世界、南甸宜抚司署 五个景点中各选一个去游玩，则共有25种不同选法 3.已知x>0,y>0,且x+2y-2y=0,则x+2y的最小值是() A.4 B.5 C.6 D.7 44-) 的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式的常数项为() A.64 B.256 C.960 D.3840 5.已知函数=之， 则对任意实数x,有() A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+(x)=1 D.-=写 6.函数∫(x)=e(2x2-3x)的图象大致是（) 8 7.已知a=0.1,b=e1-1,c=sin0.1,则( A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b D.c>a>b 8已知函数∫x)=则方程∫((x)=的解的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分。 9.一袋中有质地、大小完全相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是() A。从中一次性任取3个球，拾有1个白球的概率是写 3,从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为马 C.从中不放回地取球，每次取1个球，取完白球就停止，记停止时取得的红球的数量为X, 则P(X=)=月 D.从中不放回地取球2次，每次取1个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次再取到白 球的概率为 10.若函数/()=x++(a-4)x的导函数∫(x)是偶函数，则下列说法正确的是（) A.a=0 B.∫(x)有3个不同的零点 C.)最小值为-号 D.对任意，都有生产}上飞生园 11.设函数∫(x)的定义域为R,∫(x-)为奇函数，∫(2x+)为偶函数，当x∈[-l,时， ∫(x)=1-x2,则() A.∫(x)在(4,6)上有最大值 B.∫(x)的图象关于点(3,0)对称 C. 罗0-0 D.方程∫(x)-gx=0在(0,9)内有4个实数解 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.若函数f(x)=-x3-3x-1的对称中心是 13.若曲线y=xe-c,，则曲线在x=1的切线方程为 14.如图是一块高尔顿板的示意图.黑点表示木钉.小球下落过程中，每 次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为？，向右下落 的概率为子，最后落入底部的格子中。格子从左到右分别编号为0,1， 2,,10,则小球落入 号格子的概率最大。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.己知函数f(x)=-xnr+2x+1. (1)求函数∫(x)的单调区间以及极值： (2)求函数∫(x)在[，e2]上的最值. 16.泊松分布是一种常见的离散概率分布，若随机变量X只取非负整数值，取k值的概率为 )e(keN2>0,则随机变量X的分布称为泊松分布，已知在一个时间 种放射源放射出的粒子中经过计数器的粒子数X服从泊松分布，且一个周期内没有粒子经过计 数器的概率为，每个周期内经过计数器的粒子数不受其他周期影响，且放射源状态稳定、持续放 射. (1)求一个周期内至少有2个α粒子经过计数器的概率（结果精确到01）： (2)设经过3个周期后，满足一个周期内至少有2个粒子经过计数器的周期共有Y个，求Y的分 布列及数学期望。 参考数据：ln3≈1.099 17.随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观 政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部 门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽 车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小张同学对某品牌新能 源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 6 7 9 10 12 广告费投入亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求广告费投入y(亿元)与年销售量x(十万辆)之间的线性回归方程（精确到0.01）： (2)若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车 的概率为0.6：如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能 源汽车的概率 参考数据：立父=460，立x%=379.5. 2x-0,- 附：回归直线中=bxr+a,6= -，a=-脉. 24-职 18.己知函数f(x)=log（x2-ax+). (1)若a=2,求∫(x)的定义域： (2)若(x)在[2，+∞)上单调递增，求a的取值范围： (3)设g(x)=4-21,若对任意x∈(0，)，存在x∈[-l,,使得不等式∫(x)2g(s)成立，求a 的取值范围. 19.(1)若已知函数∫(x)=lnx-ar(aeR)若函数∫(x)在[l,e2]上有且仅有2个零点，求a的取 值范围： 2x3 2)若函数∫因=+hr- 2 ①若f(x)为增函数，求实数a的取值范围： ②证明：函数∫(x)有且仅有一个零点. 东北师花大学附儒中学采训学热 2025-2026学年下学期 （数学)科 高（二)年级期末考试答案 考试时间：120分钟满分：150 分 一、选择题。 题 2 号 3 4 5 6 8 9 10 11 答 B 案 B B B AC ABD ABD ,之杂“N二x不弘刚8号游甲·0号网N晰猴粥耳取面俱 形得x=3+2,k∈N, 已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},将非负整数k依次代入计算： 当k=0时，x=3×0+2=2,属于集合A: 当k=1时，x=3×1+2=5,属于集合A: 当k=2时，x=3×2+2=8,属于集合A: 当k≥3时，x=3k+2≥11，超出集合A的元素范围，不满足要求， 因此A个B={2,5,8},故B正确 2【详解】对于选项A:若a>0>6,则日>0>行 即充分性成立： 若后>行例如a=b=2,满足启分，但a>0>b不成立，即必要性不成立： 综上所述：“a>0>b是>的充分不必要条件，故A正确： a b 对于选项B:构建∫(x)=e-sinx,x20,则(x)=e-cosx2e-1≥0， 可知函数∫(x)在[0，+∞)内单调递增，则f(x)≥f(0)=1>0,即e2sinx,x20, 所以命题“x≥0，e≥sinx”是真命题，故B正确： 对于选项C:根据相关系数可知：若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，故C不正确： 对于选项D:因为甲、乙、丙三名大学生从五个景点中各选一个去游玩， 所以共有5×5×5=125种不同选法，故D正确： 故选：C 3. 11=1, 【详解】由x+2y-2g=0,得+列 所以+-+2动-2++劳22+ 2y x =4, 省且仅当=时，即x=2y时等号成立，将其代入x+2y-29=0,解得x=2y=山 所以x+2y的最小值是4.故选：A. 4【详解】因为4- 的展开式中，二项式系数之和为64， 所以2”=64，解得n=6, 所以(4饭--(4- 展开式的通项为=C(4网（)-气4C-学，r=02,6 令6-=0，得r=2, 2 所以展开式的常数项为(，4：-C:-960故选C 12,1 5.【详解】人-+/=+2+中2品+中21，放人错误，C正确： 八小阅京器女品品不是常数，故0错误 故选：C. 6.【详解】令∫(x)=0,即c(2x2-3x)=0, 因为。>0恒成立，所以22-3x=0,解得x=0或x= 所以函数x)的图象与x轴有两个交点，分别为(0,0)和 观察选项：A选项图象与x轴只有一个交点，排除： C选项图象在x<0处与x轴有交点，排除： 对于D选项，当x→-时，e→0，e>0,2x2-3x→+， 由指数函数与幂函数的增长速度可知e(2x2-3x)→0，e(2x2-3x)>0,即图象在x轴负半轴应 无限趋近于x轴， 而D选项图象在x→”时y→+∞，排除D, 当x<0时，2x2-3x=x(2x-3)>0,且e>0,所以f(x)>0,图象在x轴上方，且在x 轴负半轴应无限趋近于x轴： 当0<x<号时，22-3x<0,所以)<0，图象在x轴下方， 当x>号时。2r-3x>0,所以>0，图象在x轴上方：B选项符合上述所有特征故 选：B. 7.【详解】比较b与a的大小： 构造函数f(x)=e-x-1,定义域为(0，∞)， 求导得'(x)=e-l,当x>0时，e>l, 故∫'(x)>0,f(x)在(0，+∞)上单调递增， 因此f(0.1)>f(0)=0,即e1-0.1-1>0,整理得b>a: 比较a与c的大小： 构造函数8(9=x-si血x,定义域为(0，习)，求导得g()=1-c0sx, 当x∈0，时，cosx<1,故g)>0,所以g()在(0，牙上单调递增， 因此g0.1)>g(0)=0,即0.1-sin0.1>0,整理得a>c, 所以b>a>c.故选：A. 8.【详解】函数(x)的图象如图所示： y=0.5 123 y=fx八 设/()-=1，则方程圳-即/0=分由图象可知，y=与y=)有三个交点， 横坐标分别为4,2,4(<43<1)，其中4<0,0<4<1,4>1， 方程∫((x)=)解的个数转化为方程∫(x)=4,∫(x)=,∫(x)=4解的个数之和， 由图象可知，y=4与y=∫(x)有一个交点，y=4与y=∫(x)有三个交点， y=4与y=∫(x)没有交点， 所以方程∫(/(x》=解的个数为1+3=4. 故选：B. 9.【详解】对于A,从中任取3个球，恰有1个白球的概率为P= c 对于B,从中有放回地取球3次，每次任取1个球，其中每次取到白球的概率为号，所以拾好有2 个白球的概率为P=C ,故B不正确： 对于C,X=1表示事件“取完白球时，取到1个红球”，共取球3次，前2次1红1白，第3次为 白球，概率为P(X=)=CCA 发=故C正确 对于D,设第1次取到白球为事件A,第2次再取到白球为事件B,所以第1次取到白球的条件 21 X 下，第2次取到白球的概率为P(网小=P个=2-故D错误 故选：AC 10.【详解】因为/)-写+ar+(a-4到x,则f()=+2c+(a-4), 又∫'(x)是偶函数，所以f"(-x)=∫'(x),即(-x)°-2ar+(a-4)=x2+2ax+(a-4), 所以4ax=0对任意的x恒成立，所以4a=0,解得a=0,故A正确 令∫(x)=0,即5x2-4x=0,解得x=0、5=2W5、5=-25, 所以∫(x)有3个不同的零点，故B正确： 因为f(x)=x2-4=(x-2)(x+2),所以当x>2或x<-2时'(x)>0,当-2<x<2时'(x)<0, 即∫(x)的单调递增区间为（∞，-2），(2，∞)，单调递减区间为(-2,2)， 所以∫(x)不存在最值，故C错误： 设任意，，则了(s)=-4,了()=巧-4，则)+"-+x-8 2 汉”)（警-4 所以-/当）-48-（学+4-（学20，当且假当=%时取 等号， 所以对任意名，，都有/（色生产）s上，放D正确故遮：ABD 11.【详解】因为∫(x-)为奇函数，则有(-x-)=-(x-1),即(x)关于点(-l,0)对称， 因为(2x+)为偶函数，则有(-2x+)=(2x+), 令1=2x+1,则x= 2 代入得(-1+2)=()，即f(-x+2)=(x),则f(x)关于直线x=1对称， 可得f(x)=f(2-x)=-f((2-x)-2=-f(x-4),f(x+8)=-f(x+4)=(f(x)=f(x), 因此(x)为周期函数，最小正周期T=8, 对于A,当x∈(4,5]时，即x-4∈(0,1]时，己知在[-1，上f(x)=1-x2,所以 f(x-4)=1-(x-4)2, 因此∫(x)=-∫(x-4)=(x-4)2-1,所以f(x)在区间(4,5]上单调递增， 又(4)=-1，f(5)=0,在此区间内(x)从-1递增至0， 当x∈[5,6时，即x-4∈[1,2)时， 由关于x=1的对称性可得，在l,2)上∫(x)=∫(2-x)=1-(x-2)2, 所以f(x-4)=1-(x-4-2)2=1-(x-6)2,因此∫(x)=-(x-4)=(x-6)2-1, 所以(x)在区间[5,6)上单调递减， 即f(5)=0,f6)=-1,在此区间内∫(x)从0递减至-1， 综上，在区间(4,6)上，(x)在x=5处取得最大值(5)=0，故A正确： 对于B,由上知(x)=-(x-4),进而有(6-x)=-f(2-x), 且(2-x)=f(x),代入得f(6-x)=-∫(x),即f(x)+6-x)=0, 故(x)关于点(3,0)对称，故B正确： 对于C,f0)=1-02=1,(0)=1-1P=0,(2)=f(2-0)=f0)=1, 3)=f(2-3)=f(-l)=0, f(4)=-f(4-4)=-f0)=-1,f(⑤=-∫(5-4)=-f(0)=0,f(6)=-f6-4)=-∫(2)=-1， f(7=-f(7-4)=-f3)=0, 一个周期的和为1+0+1+0-1+0-1+0=0， 从i=0到i=2024共有2025=8×253+1项，包含253个完整周期，其和为0， 剩下的项是f(2024)=f(0)=1,总和为0+1=1，故C错误： 对于D,方程∫(x)-gx=0在(0,9)的解，就是y=(x)与y=gr在(0,9)内图像的交点，由上可作 图象如下， (x) 910x 通过图像可得交点个数为4个，即∫(x)-lgx=0在(0,9内有4个实数解，故D正确.故选：ABD. 二、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.(0,-1) 13.【详解】解：由题可得y'=c+xe-e=xc, 当x=1时，ylxa1=lxe-e=0,ya=lxe=e, 所以切点坐标为(1,0)，斜率为©， 因此切线方程为y=e(x-l),即er-y-e=0, 14.【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左下落的概率为二， 向右下落的概率为， 小球掉入0号格子需要向左10次，其概率为 小球掉入1号格子需要向左9次，向右1次，其概率为C。 閉 小球掉入2号格子需婴向左8次，向右2次，其概率为c(日（月： 小球掉入3号格子需要向左7次，向右3次，其概率为C。 : 依此类推，小球掉入k(k=0,1,2,,10)号格子需要向左10-k次，向右k次，其概率为 cH B. 设小球掉入k号格子的概率最大，显然k≠0，k≠0， c((c( 则 c(a(≥( c$≥c 即/ 、3ck 云C。218 {3x10x9x…x02-k)x01-≥10x9xx02-k1 k×(k-)川 (k-1)川 所以 10x9x…x2-k)x11-1≥3×10x9xx1-kx10-1' k! (k+1)xk! 解得受5s望 又因为k为整数， 所以k=8. 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)单调递增区间为(0，c),单调递减区间为(e,+o):极大值为e+l,无极小值 (2)f(x)=e+1,f(x)i=1 【详解】(1)函数∫(x)=-xnx+2x+1的定义域是(0，o). 又(x)=l-lnr,令'(x)>0,得0<x<e,令'(x)<0,得x>e, 故函数∫(x)的单调递增区间为(0，e),单调递减区间为(e,+∞)， 所以函数f(x)的极大值为f(e)=e+l,无极小值， (2)由(1)可知，∫(x)在l,e上单调递增，在(e,e]上单调递减， 所以f(x)mx=f(e)=-elne+2e+l=e+l 所以f(x)在l,e]上的最小值为min{f(),f(e)》 又因为f()=3,f(e)=l,所以f(e)<f) 所以函数∫(x)在l,e2]上的最小值为1，即f(x)n=1. 16.【详解】(1)因为X服从泊松分布， 所以X的分布列为P(X=)=c,keN,2>0, k 因为一个周期内没有粒子经过计数器的概率为， 所以P心K=0-品e=e2-方解得=n3. 故一个周期内至少有2个α粒子经过计数器的概率 P=1-P(x=0-Px=)=1-2e4=2h3≈2-1,099≈03. 31！ 333 (2)由题意得Y的所有可能取值为0,12,3，且YB(3,0.3), 则P(Y=0)=(1-p=0.7=0.343, P(Y=1)=Cp(1-p)=3×0.3×0.72=0.441, P(Y=2)=C3p2(1-p)=3×0.32×0.7=0.189, P(Y=3)=p3=0.33=0.027. 所以Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 故E(Y)=3×0.3=0.9. 17.(1)y=0.64x+1.52 (2)）0.7 【详解】 -=，=6， -8 由参考数据6=可 379.5-8×7x6_435≈0.64 -8 460-8×7268 所以a=y-6x=6-435×7≈1,52 68 故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为y=0.64x+1.52 (2)设A=“在甲汽车店购买汽车”，B,=“在乙汽车店购买汽车”， A,=“购买的是新能源汽车”， P(4)=P(B)=0.5,P(4|A)=0.6,P(4IB)=0.8, 由全概率公式得，P(4)=P(4)P(414)+P(B)P(4|B)=0.5×0.6+0.S×0.8=0.7. 18.【详解】(1)若a=2,则f(x)=log（x2-2x+),令x2-2x+1>0,得x≠1， 故f(x)的定义域为(-∞，)(1，∞). (2)令1=x2-ar+1,则y=logl. 因为函数y=log:4是(0，+∞)上的增函数，∫(x)在[2，+∞)上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数1=x2-x+1在[2，+∞)上单调递增，且1>0在[2，+∞)上恒成立， 2 所以2 解得a< 5 22-2a+1>0 故a的取值范围为 (3)因为对任意x∈(0，)，存在x2[-1,,使得不等式∫(x)≥g(x)成立， 所以∫(x)≥g(x)a 令u=2,xl,川，因为g(x)=4“-21=(2)-2×2， 所以y=-2,ue[}] 又二次函数y=2-2u的图象开口向上，对称轴为直线u=1, 所以当u=1时，函数y=2-2u有最小值-l,故当xl时，g(x)=-l. 所以/()2-1对于任意x∈(0，)恒成立，即-心+12对于任意xe(0,1)恒成立， 故a≤x+对于任意xe(0,)恒成立. 2x 又由基本不等式可得：x+云2反，当且仅当x=5时等号成立， 故a≤2，即a的取值范围为(-0，V]. 19.【详解】(1)当xe[e]时，由fx)=0可得a=hx 令8()=r,其中xe[L,e],则直线y=a与函数g(x)在[.e]上的图象有两个交点 g(x)=一血，当1<x<e时，g()>0,此时函数g内)单调递增 当e<x<e2时，g(x)<0,此时函数g(x)单调递减. 所以函数8()的极大值为g(@)=。, 且80=0,8(e)=子，8()在[L,e]的图象如图所示. :2 e e2r 由图可知，当。≤a<。时， e 直线y=a与函数g(x)在[1，e]上的图象有两个交点， 因此，实数a的取值范围是 (2)①(-∞，3] ②证明见解析 【详解】①由题设∫)=2x+-ax=2-a+x>0), 若f(x)为增函数，则x∈(0，o),'(x)20, 即2x-2+1≥0对任意x>0恒成立，即a≤2x+恒成立. ◆g-2如+草g-2子22 令g(x)=0,得x=1, 当x∈(0，)时，g(x)<0,g(x)在(0，)上单调递减： 当x∈(L+∞)时，g(x)>0,g(x)在(L,+∞)上单调递增， 所以8(x)m=g()=3,即a的取值范围是（∞，3]： ②◆-0，可得a=考+2，令-含+-。 所以-号+r-2r号0-2m)(答+1-2m月 设m(=2号+1-2r且x>0,则m因=2x-名.2-， 当0<x<1时m(x)<0,当x>1时m(x)>0, 所以m(x)在区间(0,1)单调递减，在区间(L,+∞)单调递增， 所以m(≥m0=手， 所以(x)>0,h(x)在(0，+∞)上单调递增， 取n>l,且a>翠，则6)=号+2h-a> n-a> 4、3 a-a=0, n 3 34 取m1,且m<.则-含+-a+2m-aa+2侣-引=0 m2 所以h(x)在区间(m,”)存在唯一零点， 所以∫(x)有且仅有一个零点。