02讲 中心对称 暑期预习 2026-2027学年版人教版九年级上册

第二十三章旋转 02讲中心对称 题型归纳 【知识点1中心对称… 1】 【知识点2中心对称的作图 2】 【知识点3中心对称的性质 2】 【知识点4中心对称图形 2】 【知识点5关于原点对称的点的坐标 3】 【题型1.成中心对称 3】 【题型2.画中心对称图形 6】 【题型3.根据中心对称的性质求解： 10】 【题型4.中心对称图形的识别 14】 【题型5.判断中心对称图形的对称中心… 18】 【题型6.方格纸中的中心对称图形， 20】 【题型7.求关于原点对称的点的坐标 25】 【题型8.己知两点关于原点对称求参数 27】 【题型9.中心对称图形的规律探究类问题 29】 【巩固练习 32】 知识清单 知识点1中心对称 1.定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 称或中心对称 B 2.元素：这个点叫作对称中心（简称中心），如图，点0为对称点；这两个图形在旋转后 能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点，如图，点A和点C是关于点O的对称点， 1/43 3.中心对称与轴对称的区别： 中心对称 对称中心只有一个点 图形绕对称中心旋转180 旋转180°后和另一个图形重合 轴对称 对称轴至少有一条直线 图形沿对称轴折叠 折叠后与另一个图形重合 知识点2中心对称的作图 1.画图步骤：(1)确定己知图形和旋转中心； (2)选定关键点 (3)分别画出关键点的对称点； (4)依次连接各关键点的对称点，得出已知图形的中心对称图形 例：如图23.2-5，选择点O为对称中心，画出△ABC关于点O对称的△AB'C' 解：如图23.2-7，作出A,B,C三点关于点0的对称点A',B°，C,依次连接AB',BC, CA',就可以得到与△ABC关于点O对称的△AB'C 图23.2-5 图23.2-7 知识点3中心对称的性质 1性质：(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所 平分： (2)中心对称的两个图形是全等图形 知识点4中心对称图形 1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它们的对称中心 【提示】 2/43 ①中心对称图形式是一个具有特殊特征的图形： ②中心对称图形的对称中心一定在图形内： ③经过对称中心的任意一条直线将中心对称图形分成两个图形，这两个图形关于对称 中心成中心对称： ④把中心对称的两个图形视为一个整体，则成为中心对称图形 2.中心对称图形的性质：(1)对称点的连线被对称中心平分： (2)经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将图形分成全等的两部分 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区 ①指两个全等图形之间的相互位置关系， ①指一个图形本身成中心对称， 别 ②对称中心不定， ②对称中心是图形自身或内部的点. 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个 如果把中心对称图形对称的部分看成 联 图形)，那么这个图形就是中心对称图形 是两个图形，那么它们又是关于中心对 系 称。 知识点5关于原点对称的点的坐标 1.在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y) 关于原点的对称点为P’(-x,-y). 2.关于原点对称的点的坐标特征： 如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数：反过来，如果两 个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称 题型专练 题型1.成中心对称 【例1】下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是() 3/43 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义， 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这个点对称或中心对称，由此即可判断. 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意： D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A 【变式1】下列图形中，△ABC与△ABC成中心对称的是() C 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果 它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称：这个点叫做对 称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点.据此逐项判断即可. 【详解】解：选项A中△ABC与△ABC不成中心对称，不符合题意： 选项B中△ABC与△ABC成中心对称，符合题意； 选项C中△ABC与△ABC不成中心对称，不符合题意： 选项D中△ABC与△ABC不成中心对称，不符合题意， 4/43 故选：B 【变式2】在平面直角坐标系中有点A(2,3)、B(-2,-3),则A,B两点关于()对称. A.原点 B.x轴 C.y轴 D.直线x=1 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，根据两点关于原点对称，横坐标互为 相反数，纵坐标互为相反数即可得出结果，关键是掌握点的坐标的变化规律 【详解】解：根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ~点A(2,3)与点B(-2,-3)的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， A,B两点关于原点对称 故选：A. 【变式3】如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是 () B A.AD//EF,AB//GF B.BO=GO C.CD=HE,BC=GH D.DO=HO 【答案】D 【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称， 【详解】A.,AD与EF关于点O成中心对称， ∴.AD//EF,同理可得AB//GF,正确； B.点B与点G关于点O成中心对称， ∴.B0=G0,正确； C.,CD与HE关于点O成中心对称， ∴.CD=HE,同理可得BC=GH,正确； D.:点D与点E关于点O成中心对称， .D0=E0, ∴.D0=H0错误， 故选：D. 5/43 【点睛】本题考查中心对称图形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 题型2.画中心对称图形 【例1】在6×6的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）.在图中画 出△ABC关于点O成中心对称的△DEF,使点A,B分别与点D,E对应. 【答案】见解析 【分析】本题考查了画已知图形关于某点对称的图形，连接AO并延长AO至点D,使D0=AO, 得到点A关于点O的对称点D,同法作出点B、点C关于点O的对称点E、F,连接DE、EF、DF, 从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键， 【详解】解：(1)连接A0并延长A0至点D,使D0=AO,得到点A关于点0的对称点D,同 法作出点B、点C关于点O的对称点E、F; (2)连接DE、EF、DF; ∴.△DEF即为所求 【例2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4) 5-4-3-2-1012345x -5 (1)在图中画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1; 6/43 (2)在图中画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2· 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形 (1)先根据旋转额性质确定点A1,B1,C1的位置，然后连线即可： (2)先根据中心对称的性质确定点A2,B2,C2的位置，然后连线即可。 【详解】(1)如图，△A1B1C1即为所求； (2)如图，△A2B2C2即为所求. A(Ai) 3-2-10 2345 【变式1】在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均 在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： 0 (1)将△ABC沿x轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1，并写出B1的坐标 (2)作△ABC关于坐标原点成中心对称的△A2B2C2,并分别写出A2、B2、C2的坐标 【答案】(1)见解析；B1(2,-2) (2)见解析；A2(1,0)、B2(2,2)、C2(4,1) 【分析】本题考查作图，旋转变换，平移变换，解题关键在于熟练掌握基本知识。 (1)根据平移的性质分别画出点A、B、C沿x轴向右平移4个单位的对应点A1、B1、C1, 7/43 再依次连接，即可求解； (2)根据中心对称的性质分别画出点A、B、C关于坐标原点成中心对称的对应点A2B2 C2,再依次连接，即可求解 【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求， 由图可知，B1(2,-2) (2)解：如图，△A2B2C2即为所求， C A2(1,0)、B2(2,2)、C2(4,1) 【变式2】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. 54-3-2-1@12345x (1)将△ABC先向下平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A1B1C1,画出 △A1B1C1; (2)将△ABC以点B为旋转中心，按逆时针旋转180°，得到△A2BC2,画出△A2BC2: (3)若△A1B1C1与△A2BC2关于点M成中心对称，请你在图中标出点M,并写出点M的坐标 【答案】(1)见详解 8/43 (2)见详解 (3)见详解，(-2，-1) 【分析】本题考查了旋转作图，画两个图形的对称中心，平移作图，点的坐标，正确掌握相 关性质内容是解题的关键 (1)先根据平移的性质，找出A1,B1,C1,再依次连接，得△A1B1C1,即可作答. (2)先根据旋转的性质，找出A2,C2,再依次连接，得△A2BC2,即可作答 (3)因为△A1B1C1与△A2BC2关于点M成中心对称，所以连接C1C2,A1A2,它们相交于 点，即为对称中心M,即可作答 【详解】(1)解：△A1B1C1如图所示： 5432,012345 M (2)解：△A2BC2如图所示： (3)解：点M如图所示； ∴.M的坐标为(-2，-1)： 【变式3】△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示. C0.29 -1,1B (1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1; (2)将△A1B1C1向右平移3个单位，作出平移后的△A2B2C2: 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作中心对称图形、作平移图形，熟练掌握中心对称和平移的性质是解答的 9/43 关键， (1)根据中心对称性质得到对应点的位置，再顺次连接对应点即可画图； (2)根据平移的性质得到对应点的位置，再顺次连接对应点即可画图， 【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求作： -1,1B0,2) (2)解：如图，△A2B2C2即为所求作： 1.1B0.2 题型3.根据中心对称的性质求解 【例1】如图，△ABC与△ABC关于O成中心对称，下列不成立的是() A B B A.OC=OC B.∠ABC=∠ABC C.CC=BB D.BCIBC' 【答案】C 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质：①中心对称的两个图形 是全等图形：②中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心 所平分；③中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等.据此逐项 判断即可 【详解】解：，△ABC与△ABC关于O成中心对称， 10/43 ∴.OC=OC,∠ABC=LABC,BCIB'C, ∴.选项A,B,D正确，不符合题意。 CC和BB不是对应边， ∴.CC和BB不一定相等，故选项C错误，符合题意. 故选：C 【例2】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称.若 AB=5,AC=3,则线段AD的取值范围是 【答案】1<AD<4 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的三边关系，根据成中心对称图形的性质， 结合三角形的三边关系，进行求解即可 【详解】，△ABD与△ACD关于点D成中心对称， AC=AB=3,AD=AD, 在△ABA中，5-3<AA'<5+3,即2<AA<8, ∴.1<AD<4 故答案为：1<AD<4. 【例3】如图，△ABC与△ABC关于原点O成中心对称，已知∠BAC=∠BCA,AB=2,求BC1 的值。 【答案】2 【分析】根据等角对等边得到BC=AB=2,再根据中心对称图形的性质可得BC'=BC=2. 【详解】解：∠BAC=∠BCA, 11/43 .BC=AB=2, △ABC与△ABC关于原点O成中心对称， :B'C'=BC=2. 【变式1】如图，△ABC与△ABC关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是() B A.点C与点C是对称点 B.OA=0A' C.∠ACB=∠CAB D.BC II B'C' 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质逐项分析判断，即可求解。 【详解】解：：△ABC与△AB'C关于点O成中心对称， .点C与点C是对称点，OA=OA,∠ACB=∠ACB,∠OBC=∠OBC, ∴.BC II B'C ∴.结论LACB=∠CAB错误. 故选：C 【变式2】如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=2,AB=3,∠BAC=90°，则 AE的长是 D 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，由中心对称图形的性质可得A、 C、D三点共线，DC=AC=2,DE=AB=3,∠D=∠BAC=90°，据此求出AD的长，再 利用勾股定理可得AE的长. 【详解】解：：△ABC和△DEC关于点C成中心对称， A、C、D三点共线，DC=AC=2,DE=AB=3,∠D=∠BAC=90°， ∴，AD=AC+CD=4, 12/43 ∴.AE=VAD2+DE2=V32+42=5, 故答案为：5 【变式3】如图所示，直线a⊥b,垂足为O,曲线C关于点0成中心对称，点A对称点是A,AB⊥a 于点B,AD⊥b于点D,若OB=6,OD=4,则阴影部分面积之和为 b 【答案】24 【分析】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个 图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对 称图形.根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答. 【详解】解：如图， b :直线a⊥b,垂足为O,曲线C关于点O成中心对称，点A对称点是A,AB⊥a于点B,AD⊥b 于点D,若0B=6,0D=4, .AB=4, ∴.图形①与图形②面积相等， ∴.阴影部分的面积之和=长方形AB0E的面积=6×4=24. 故答案为：24. 【变式4】如图，△ADC和△EDB成中心对称，若△ADC的面积为4，求△ABE的面积 13/43 【答案】8 【分析】根据中心对称的性质和中线的定义可知AD平分三角形ABC,进而求出△ABE的面 积 【详解】解：：△ADC和△EDB成中心对称，△ADC的面积为4， .S△EDB=S△ADc=4,DB=DC, .S△4BD=S△ADc=4, ∴.S△4BE=S△EDB+S△ABD=4+4=8. 【变式5】如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，点E,F分别在GA、GC上，且AF=CE.求 证：EDUBF B 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中心对称，解决本题的关键 是掌握成中心对称的两个图形必定能重合，先根据中心对称的性质得到BG=DG,AG=CG, 再证明EG=FG即可利用SAS证明△DGE兰△BGF,得∠DEG=∠BFG,由此即可证明结论. 【详解】证明：，△AGB与△CGD关于点G中心对称， ..BG=DG,AG=CG, .'AF CE, ∴.AF-AG=CE-CG, ∴.EG=FG, 又，'∠DGE=∠BGF, '.△DGE兰△BGF(SAS), ∴∠DEG=∠BFG, ,∴，EDIBF 题型4.中心对称图形的识别 【例1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（) 14/43 米国 A 【答案】B 【分析】先根据轴对称图形的定义，依此逐个判断四个选项是否满足轴对称图形的条件，筛 选出符合的选项.再根据中心对称图形的定义，对第一步筛选出的选项，逐个判断是否满足 中心对称图形的条件.最终选出同时满足两个条件的图形 【详解】轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合： 中心对称图形：绕图形中心旋转180°后，能和原图形完全重合. 逐个分析选项： 选项A:是轴对称图形， 但旋转180°后无法和原图形重合，不是中心对称图形， 不符合要求： 选项B:存在多条对称轴，是轴对称图形： 绕中心旋转180°后和原图形完全重合， 也是中心对称图形， 符合要求； 选项C:找不到能让图形折叠后重合的直线，不是轴对称图形， 不符合要求： 选项D:既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， 不符合要求 【例2】下列图标中，是中心对称图形的是（) A 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋 转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可. 【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.是中心对称图形，故本选项符合题意； 15/43 C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意。 【例3】在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对 称图形的有 个 【答案】3 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对题干给出的图形逐一判断即可得到结果 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形： 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形： 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形： 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形： 综上，符合条件的图形共有3个。 【变式1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 可 G 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫 做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形 重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可。 【详解】解：A、选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， 【变式2】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 0 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可. 16/43 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意： D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意， 【变式3】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( MA.T H 【答案】D 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不符合题意： C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项符合题意。 【变式4】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 【答案】B 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴 对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图 形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可， 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意： B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意： D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， 【变式5】下列图形：①线段；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤正五边形： ⑥正六边形.其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ·(填序号) 【答案】①④⑥ 【分析】本题考查了根据轴对称图形和中心对称图形的定义.在平面内，一个图形经过中心 17/43 对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直 线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，判断每个图形是否同时具有两种对称性质， 【详解】解：①线段是轴对称图形（有两条对称轴），也是中心对称图形（中点为对称中心）； ②等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形； ③平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形： ④矩形是轴对称图形（有两条对称轴），也是中心对称图形（对角线交点为对称中心）： ⑤正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形； ⑥正六边形是轴对称图形（有六条对称轴），也是中心对称图形（中心点为对称中心）. 故答案为：①④⑥ 题型5，判断中心对称图形的对称中心 【例1】如图，口ABCD中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是() A D G● E。F。 A.E B.F C.G D. 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，连接对角线即可得到答案。 【详解】解：如图，连接AC,BD, A D G E B ∴.其中是平行四边形中心的是点F: 故选：B 【例2】如图，点A,B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 18/43 【答案】线段AB的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这 两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心， 据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键， 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段AB中点即为对称中心， 故答案为：线段AB中点。 【变式1】如图，在正方形网格中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J是网格线交点，△ABC 与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是() A.点G B.点H C.点1 D.点J 【答案】C 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键.连 接BE,CF,根据交点的位置可得答案， 【详解】解：如图，连接BE,CF, 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C 【变式2】如图，矩形ABCD与矩形CDEF关于某点对称，则该点为() A B A.点C B.点D 19/43 C.线段EF的中点 D.线段CD的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，熟练掌握中 心对称的性质是解题的关键. 【详解】矩形ABCD与矩形CDEF关于某点对称， ∴点A的对称点为点F,点B的对称点为点E,点C的对称点为点D,点D的对称点为点 C, .对称中心为线段CD的中点. 故选D. 【变式3】如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于某一点成中心对称，则这个点是 D 【答案】01 【分析】本题考查了中心对称图形的知识点，解题的关键是了解呈中心对称的两个图形的对 应点的连线经过对称中心 连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心，即可解答. 【详解】解：如图所示： 可知：连线的交点为01，故对称中心为0 故答案为：01 题型6.方格纸中的中心对称图形 【例1】如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是() 20/43 ① ②③ ④ A.① B.② C.⑧ D.④ 【答案】D 【分析】据中心对称图形的定义，依次分析，排除错误选项，选出正确选项. 【详解】解：选①、②、③中的图形无论以哪一点为中心旋转180°后都不能与自身重合， 不是中心对称图形， 选④中的图形以3×3方格的对角线的交点为中心旋转180°能与自身重合，是中心对称图 形， 故选：D 【点睛】本题考查中心对称图形的意义.本题关键是运用中心对称图形的意义一一检验每个 选项中的图形，要假定每个点为对称中心进行检验 【例2】如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方 形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为 【答案】3 【分析】此题主要考查了利用中心对称设计图案，正确把握中心对称图形的定义是解题关 键.直接利用中心称图形的定义画出图形即可 【详解】解：如图所示：可供选择的白色小正方形的个数为3个 故答案为：3. 【变式1】如图，这是4×4的正方形网格，选择一个空白小正方形，使其与阴影部分组成 的图形是中心对称图形的情况有() 21/43 ④ ① ③ ⑨ A. ①② B.①③ c.①④ D.①②③ 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够 与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此即可得出答案。 【详解】解：由图形可得当选择①③时，它与阴影部分组成的图形是中心对称图形， 故选：B. 【变式2】如图，在4×4的正方形网格中，从标号为①②③④的白色小正方形中选取一 个并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，则应选取() ① ② ③④ A.① B.② c.③ D.④ 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义“绕着中心点旋转能与 原图形重合即为中心对称图形”进行解答即可. 【详解】解：图中中间的相邻的2对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个 小正方形的中心对称图形，它原来在右上方，那么旋转后将在左下方，即③的位置。 故选：C 【变式3】如图，在3×3的正方形方格中，己将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中 1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有 种. 【答案】1 【分析】本题考查的是中心对称图形的含义，在平面内，把一个图形绕某点旋转180°后能 22/43 够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据定义可得答案 【详解】解：如图， .再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，只有1种涂 法， 故答案为：1 【变式4】如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下 列问题： 图① 图② 图③ (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是 图形（填轴对称"或“中心 对称”) (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同 特征。 【答案】(1)中心对称 (2)(答案不唯一) ..J 图① 图② 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称的性质，轴对称图形，解决问题的关键是掌握中 心对称的性质， (1)按照轴对称或中心对称的性质判断即可. (2)按照中心对称的性质画图即可. 【详解】(1)解：从图中看出，都是中心对称图形 故答案为：中心对称。 23/43 (2)解：如图所示（答案不唯一）： 图① 图② 【变式5】在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形. 图1 图2 图3 图4 图5 (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形： (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形 【答案】(1)见解析： (2)见解析。 【分析】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，学生做这些 题时找对称轴及对称点是关键. (1)根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图： (2)先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图. 【详解】(1)如图所示（答案不唯一） 图2 图3 (2)如图2所示 24/43 图4 图5 题型7.求关于原点对称的点的坐标 【例1】在平面直角坐标系中，点M(-5,2)关于原点对称的点的坐标是() A.(5,-2) B.(-5,-2) C.(-5,2) D.(-2,5) 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互 为相反数是解题的关键.根据关于原点对称的点的特征即可求解， 【详解】解：点M(-5,2)关于原点对称的点的坐标是(5，-2)， 故选：A. 【变式1】己知点A的坐标为(2,2)，点A关于x轴的对称点是B,点B关于原点的对称点是 C,那么点C的坐标是() A.(2,2) B.(-2,2) c.(-1,-1) D.（-2,-2) 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于x轴、原点对称点的坐标特点，根据关于x轴对称点的坐标特 点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称 时，它们的坐标符号相反即可得到答案。 【详解】解：，点A的坐标为(2,2)， ∴.点A关于x轴的对称点B(2,-2), .点B(2,-2)关于原点的对称点C(-2,2), 故选：B. 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的对角线相交于点0，若点A的坐标是(-2,1)， 则点C的坐标是() VA A. (2,1) B.(2,-1) C.(1,-2) D.(-2,-1) 25/43 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标特征.在平面直角坐 标系中，若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都互为相反数.根据平行四边形对角线 互相平分的性质可知，点A与点C关于原点O对称（因为O是AC中点）.然后利用关于原点对 称的点的坐标特征来求出点C的坐标.关键在于理解平行四边形对角线的性质，从而得出点 A与点C的对称关系，再准确运用关于原点对称的点的坐标变化规律得出答案即可. 【详解】：平行四边形ABCD的对角线相交于点O, ∴.点A与点C关于原点O对称， 已知点A的坐标是(-2,1)， '.点A关于原点对称的点C的横坐标为-2的相反数2，纵坐标为1的相反数-1. ∴.点C的坐标是(2，-1) 故选：B. 【变式3】如图，己知点A的坐标为(-V3,1),点B的坐标为(-1，-V3,正方形ABCD的对 角线交于原点O,则点C的坐标为 ,点D的坐标为 【答案】 (3,-1) (1,3) 【分析】本题考查了正方形的性质及关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用正方形 的性质及关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键.根据正方形的性质可知：点A 与点C关于原点对称，点B与点D关于原点对称，据此即可解答 【详解】解：四边形ABCD是正方形， :OA=OC,OB=OD,即点A与点C关于原点对称，点B与点D关于原点对称， 又：点A的坐标为(-V3,1),点B的坐标为(-1，-V3 点C的坐标是(V3,-1),点D的坐标是(1，V3, 故答案为：（V3,-1),(1,V3 26/43 题型8.已知两点关于原点对称求参数 【例1】若点(-3，a)与点(b,3)关于原点对称，则() A.a=-3,b=3B.a=3,b=3C.a=-3,b=-3D.a=3,b=-3 【答案】A 【分析】利用关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数即可求解。 【详解】解：：点(-3，)与点(b,3)关于原点对称， .b=-(-3),a=-3, ∴.a=-3,b=3. 【例2】已知M(a,-3)和N(4,b)关于原点对称，则(a+b)2026 【答案】1 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求出α和b的值，再代入代数式计算即可. 【详解】解：因为M(a,-3)和N(4,b)关于原点对称， 所以a=-4,b=3, 所以a+b=-4+3=-1, 所以(a+b)2026=(-1)2026=1. 【变式1】已知点P(m,2)与点Q(-3,n)关于原点成中心对称，则m+n的值为() A.5 B.-5 c.1 D.-1 【答案】C 【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标性质，求出m和n的值，再计算m+n得到结果 【详解】解：点P(m,2)与点Q(-3,n)关于原点成中心对称， .m=-(-3)=3,n=-2, .m+n=3+(-2)=1. 【变式2】已知P1(a,-2)和P2(3,b)关于原点对称，则(a+b)2026的值为() A.1 B.-1 C.-52026 D.52026 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称点的特点，有理数的乘方运算，根据点关于原点对称，则 横坐标、纵坐标均为相反数，根据关于原点对称的点坐标关系，求出a和b的值，再计算（ā+ b)2026即可. 【详解】解：，点P1(a,-2)和P2(3,b)关于原点对称， ∴.a=-3,b=2(横纵坐标均互为相反数)， 27/43 .(a+b)2026=(-3+2)2026=(-1)2026=1. 故选：A. 【变式3】若点A(4,a+2),B(b,a)关于原点对称，则ab= 【答案】4 【分析】本题主要考查关于原点对称点的性质，熟练掌握两个点关于原点对称时，它们的横 坐标和纵坐标分别互为相反数是解题的关键 根据关于原点对称点的性质得4+b=0,a+2+a=0,计算即可解得答案。 【详解】.点A(4,a+2)与点B(b,a)关于原点对称， ∴.4+b=0,a+2+a=0, 解得b=-4,a=-1, ∴.ab=(-1)×(-4)=4. 故答案为：4. 【变式4】已知点P(a-2b,-2)与点Q(-6,2a+b)关于原点对称，求3a-b的值. 【答案】8 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，掌握关于原点 对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键。 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，列出关于α和b的方程组，求解 后计算3a-b的值 【详解】解：~点P(a-2b,-2)与点Q(-6,2a+b)关于原点对称， 「a-2b-6=0① -2+2a+b=0② 将②×2+①得：-4+4a+2b+a-2b-6=0 解得a=2 代入①得：b=-2 故原方程组的解为：（二之 则3a-b=3×2-(-2)=8, 【变式5】已知点A的坐标是(4，m-1),点B的坐标是(n+2,-2),若点A与点B关于原 点对称，则m+n的值是多少？ 【答案】-3 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横纵坐标 28/43 都互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案. 【详解】解：：点A的坐标是(4，m-1),点B的坐标是(n+2,-2),且点A与点B关于原 点对称， .m-1=-(-2),n+2=-4, ∴.m=3,n=-6, ∴.m+n=3+(-6)=-3. 题型9.中心对称图形的规律探究类问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为(2,0)，(0,2)，(-2,0).一个 电动玩具从原点0出发，第一次跳跃到点P1,使得点P,与点O关于点A成中心对称；第二次 跳跃到点P2,使得点P2与点P关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2 关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A成中心对称；·电动 玩具照此规律跳下去，则点P2023的坐标是（). A.(-4,0) B.(4,0) C.(4,4) D.(0,-4) 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，根据题意，先求出前几次跳跃后P1 P2、P3、P4、P5、P6、P,的坐标，可得出规律，继而可求点P2o23的坐标 【详解】解：由题意得：点P1(4,0)、P2(-4,4)、P3(0,-4)、P4(4,4)、P5(-4,0)、P6(0,0)、 P2(4,0), ∴.点P的坐标的变化规律是6次一个循环， .2023÷6=337..1, ∴.点P2023的坐标是(4,0) 故选：B 【变式1】在平面直角坐标系中，点P1(0,-1),P2(2,3)的对称中心是点A,另取两点B(-1,2), C(-1,0).有一电子青蛙从点P1处开始依次作关于点A,B,C的循环对称跳动，即第一次 跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3 29/43 关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，，则点P2019的坐标 为(). C A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(2,0) D.(-4,1) 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化-对称，利用中心对称找出 坐标规律是解题的关键， 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标， P1(0,1)→P2(2,3)→P3(-4,1)→P4(2,-1)→P5(0,3)→P6(-2,1)→P7(0,1)→Pg(2,3).由此得到 P,的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个 规律即可求出点P2o19的坐标. 【详解】解：，点P2(2,3)关于点B(-1,2)的对称点P3, =-1,经=2 .xp3=-4,yp3=1, .P3(-4,1), 同理可得点P4(2,-1),P5(0,3)P6(-2,1),P(0,1),P8(2,3),… ∴.点p每6次一循环， 2019÷6=336..3 .点P2019与点P3坐标相同，即P2019(-4,1), 故选：D. 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，A(0,0),B(1,0),△AP1B是等腰直角三角形，∠P1=90°， 作△AP1B关于点B成中心对称的图形△CP2B,再作△BP2C关于点C成中心对称的图形 △DP3C,·以此类推，点P2025的坐标为. 30/43 (A)O D… P 【答案】() 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题 意列出部分P点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键. 根据中心对称的性质找出部分Pm的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时， P():当n为偶数时，P(,-》 依此规律即可得出结论 【详解】解：~A(0,0),B(1,0),△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1=90°， G) △AP1B与△CP2B关于点B成中心对称 P-) 同理可得，P()P4(-)P(3)… 设n为自然数. 当n为奇数时，Pn(,,》:当n为偶数时，P.(2，-》 故点P2o2s的坐标为(09) 故答案为： () 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是边长为2的正方形，A,C分别在y 轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为(-1,1)，将P点关于A对称得到P1,将P1关于O点 对称得到P2,将P2关于C点对称得到P3,将P3关于B点对称得到P4,将P4关于A点对称得 到P5,,按照顺序以此类推，则P2o23的坐标为 P 【答案】(5,3) 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称.根据题意，探究规律，得出四次一个循 31/43 环，利用规律求解即可. 【详解】解：如图，由题意P(-1,1),P1(1,3),P2(-1,-3),P3(5,3),P4(-1,1), ∴P4与P重合，四次一个循环， .2023÷4=505.3, .P2023与P3重合， .P2023(5,3) 故答案为：(5,3) >巩固练习 1.(2026山东德州.中考真题)下列标志中，是中心对称图形的是() A 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形 能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可. 【详解】解：A、该图形绕中心旋转180°后，内部箭头方向发生改变，不能与原图形重合 故不是中心对称图形： B、该图形是轴对称图形，绕中心旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形： C、该图形绕中心旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形： D、该图形是轴对称图形，绕中心旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形. 2.(2026山东烟台中考真题)一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的 情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图.下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图 32/43 形的是() 【答案】D 【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形就叫做中心对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意： D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意， 3.(2026山东.中考真题)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线 两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形 绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中 心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可. 【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形 C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形： D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形。 4.(25-26九年级上辽宁盘锦期中)点M(2,-7)关于原点对称的点的坐标是（) A.(2,7) B.(-2,7) C.(-2,-7) D.（-7,2) 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数即可得到答案， 33/43 【详解】解：：关于原点对称的点的坐标特征为：横坐标与纵坐标都互为相反数， 点M(2,-7), ∴.点M关于原点对称的点的横坐标为-2，纵坐标为7，即对称点坐标为(-2,7) 5.(2026河南周口.三模)如图，在平面直角坐标系中，☐MNEF的两条对角线ME,NF交 于原点0，MF平行于x轴，点M的坐标是(m,1),点F的坐标是(2，n),则点N的坐标是() A.(-2,-1) B.(-1,-2) C.(-2,-3) D.(-2,-4) 【答案】A 【分析】由题意可得点M、点N的纵坐标相同，即=1，从而可得F(2,1),再由平行四边形 的性质并结合题意可得点N、点F关于点O成中心对称，由此求解即可。 【详解】解：，MF平行于x轴，点M的坐标是(m,1),点F的坐标是(2，n), ∴.点M、点N的纵坐标相同，即n=1, ∴.F(2,1), :在平面直角坐标系中，口MNEF的两条对角线ME,NF交于原点O, ∴.点N、点F关于点O成中心对称， ∴.点N的坐标是(-2，-1) 6.(2026湖北孝感.二模)如图，在平面直角坐标系中，A(-1,0),B(-1,-1),C(1,0),请 确定一点D,使得以点A,B,C,D为顶点的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，则 点D的坐标可能是() o B A.(0,1) B.(-1,1) c.(1,1) D.(1,-1) 【答案】C 34/43 【分析】首先需要明确平行四边形是中心对称图形，只有特殊平行四边形（矩形、菱形、正 方形)才是轴对称图形，普通平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形，据此逐项验 证即可， 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，只有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）才 是轴对称图形，普通平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形， A(-1,0),B(-1,-1),C(1,0) 选项A:当点D的坐标为(O,1)时，连接点A、B、C、D,则该四边形无法构成平行四边形， 因此不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B、当点D的坐标为(-1,1)时，点A、B、D的横坐标均为-1，则这三点在同一条直线 x=一1上，无法构成四边形，故B不符合题意； 选项C、当点D的坐标为(1,1)时， 线段AB在直线x=-1上，且AB=|0-(-1)川=1，线段CD在直线x=1上，且CD=|1- 0川=1， AB II CD且AB=CD, 四边形ABCD是平行四边形， :BC=J(-1-1)2+(-1-0)2=V5≠1，AC=1-1-1=2, ·AB2+BC2≠AC2, ÷AB≠BC、∠ABC+90°， :平行四边形ABCD不是菱形，也不是矩形、正方形， :该四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C符合题意； 选项D、当点D的坐标为(1，-1)时， 同理可得：四边形ABCD是平行四边形， “AC=2、BD=|-1-1|=2, :AC BD, :平行四边形ABCD是矩形， “该四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意 7.(2026·四川凉山中考真题)点P(-3,2)关于原点的对称点P坐标是 【答案】(3，-2) 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，即可得到答案， 35/43 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特点，可知两个点关于原点对称时，横纵坐标符 号相反， 因此点P(-3,2)关于原点的对称点P的坐标为(3，-2) 8.(25-26八年级下.陕西咸阳·期中)在平面直角坐标系中，已知点A(a,2)与点B(-1,-2) 关于原点对称，则a的值为 【答案】1 【详解】解：~点A(a,2)与点B(-1,-2)关于原点对称， ÷a=-(-1), 解得a=1, 故答案为1. 9.(2026湖南长沙.二模)已知点A(a,-1),点B(2,b)关于原点对称，则a+b的值为 【答案】-1 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出a与b的值，再代入a+b计算即可得到结 果。 【详解】解：点A(a,-1),点B(2,b)关于原点对称， a=-2,b=1, ÷a+b=-2+1=-1. 10.(2026江苏无锡.二模)请写出一个既是中心对称又是轴对称的几何图形： 【答案】圆（答案不唯一） 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，找出同时满足两个定义的几何图形即可。 【详解】解：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形； 平面内将一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合的图形是中心对称图 形 圆沿任意过圆心的直线折叠，直线两旁的部分都可完全重合，且圆绕圆心旋转180°后能与 自身重合，符合要求 故答案为：圆（答案不唯一） 11.(2026山西临汾.三模)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点B在x轴负半轴上， △AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB以原点为中心作中心对称，得到△A'OB,则点A 的坐标是 36/43 B 【答案】(1，-V3) 【分析】先过点A作x轴的垂线，利用等边三角形的性质和勾股定理求出点A的坐标，再根据 关于原点对称的点的坐标特征求出点A的坐标. 【详解】解：过点A作AC⊥x轴于点C B 因为△AOB是边长为2的等边三角形， 所以OA=OB=2. 因为AC⊥OB, 所以0C=号0B=1. 在Rt△A0C中，由勾股定理得AC=V0A2-0C2=V22-12=V3. 因为点A在第二象限，所以点A的坐标为(-1，V3 因为△AOB是△AOB以原点为中心作中心对称得到的，所以点A与点A关于原点对称. 所以点A的坐标为(1，-V3) 12.(25-26八年级下广东茂名·期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形ABC0的两边与 坐标轴重合，0A=2,0C=1.将长方形ABC0饶点0逆时针旋转，每次旋转90°，则第2026 次旋转结束时，点B的坐标是 C B O A 【答案】(-2，-1) 【分析】根据长方形的性质求出点B初始位置的坐标，再根据题意可得每4次旋转为一个 37/43 循环，点B都会回到初始位置，求出2026除以4的余数为2，则第2026次旋转结束时点B 的位置即为点(2,1)绕原点逆时针旋转180°后的位置，据此可得答案. 【详解】解：旋转前，：四边形ABCO是长方形， ∴.AB=0C=1,AB10A, 又，0A=2, .B(2,1), :将长方形ABC0绕点0逆时针旋转，每次旋转90，且=4， ∴.每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置， 2026÷4=506…2, ∴.第2026次旋转结束时点B的位置与第2次旋转结束时点B的位置相同， ∴.第2026次旋转结束时点B的位置即为点(2,1)绕原点逆时针旋转180°后的位置， ∴此时点B的坐标为(-2，-1) 13.（2026·安微宿州模拟预测)在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面 直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题： 6-5 4-3-2 1234.56 (1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1: (2)作出△ABC关于原点0对称的△A2B2C2: 【答案】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求： 1.2.34563 38/43 (2)解：如图，△A2B2C2即为所求： 6 B 6-5-4-32012.3456 【详解】(1)略 (2)略 14.(25-26八年级下.甘肃白银期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在 格点上，点A的坐标为(2,4)，请你解答下列问题. VA 65432-L01.23.4.36 (1)在坐标系中，画出△ABC关于原点O中心对称的△A1B1C1; (2)在坐标系中，画出△ABC绕原点0顺时针旋转90°得到的△A2B2C2· 【答案】(1见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点A1、B1、C1 的位置，再顺次连接即可： (2)先找到A、B、C对应点A2、B2、C2的位置，再顺次连接即可. 【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求； 39/43 65432123.4.6x (2)如图，△A2B2C2即为所求 6 5 65432-1.23.4.6 B B20 -3--C 在3引 6 2 15.(25-26八年级下.广东佛山期中)平面直角坐标系中，A(2,4),B(1,1),C(4,3). 54 3 B -5-4-3-2-10 12345x 5 (1)△ABC平移得△A1B1C1,C对应C1(1,2),画出△A1B1C1: (2)画出△ABC关于原点O中心对称的△A2B2C2,写出B2坐标. 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，(-1，-1) 【分析】(1)根据平移的性质分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1,然后连线即可； (2)利用中心对称变换的性质分别作出A,B,C的对应点A2,B2,C2,然后连线即可， 并由图得出B2坐标. 【详解】(1)解：△ABC平移得△A1B1C1,C对应C1(1,2)时，先向左移3个单位长度， 40/43 再向下移1个单位长度，此时A1(-1,3),B1(-2,0),C1(1,2),画图如图， VA B -4-3-2-10 12345 2 ÷4 5 △A1B1C1即为所求。 (2)解：作出A,B,C关于原点的对应点A2,B2,C2,连线得△A2B2C2即为所求，画图 如下 5 4 3 2 B -5-4-3-2B1O 1 2345x 2 5 由图可知，B2坐标是(-1，-1) 16.(2026甘肃武威中考真题)在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、 三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案.如图1是小彤设计的一件艺 术作品的平面图，它由6个全等三角形构成，外轮廓为正六边形， 图1 图2 (1)请判断图1是 图形；（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图2是从图1选取的部分图案，其中△ABC看作由△ABC绕旋转中心O顺时针方向旋转 一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心O.(保留作图痕迹， 不写作法) 41/43 【答案】(1)中心对称： (2)解：如图，点O为所求旋转中心. 【分析】(1)根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可； (2)连接AA,BB,分别作AA,BB的垂直平分线，两线相交于点O,则点O即为所求的 旋转中心。 【详解】(1)解：将该图形绕点正六边形的中心旋转180°，能与原图形重合，故图1是中 心对称图形 (2)略 17.（25-26八年级下.江西九江，期中)如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构 成的图案，按要求回答下列问题： 图① 图② 图③ (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是 图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中分别选择两个小正方形涂上阴影，使阴影部分构成的图案都 是中心对称图形（要求不能重复） 【答案】(1)轴对称 (2)解：如图所示， 图② 图③ 【分析】(1)根据轴对称图形的定义进行解答即可： 42/43 (2)根据中心对称的定义进行解答即可. 【详解】(1)解：图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是轴对称图形； (2)略 43/43 第二十三章 旋转 02讲 中心对称 题型归纳 【知识点1 中心对称 1】 【知识点2 中心对称的作图 2】 【知识点3 中心对称的性质 2】 【知识点4 中心对称图形 2】 【知识点5 关于原点对称的点的坐标 3】 【题型1. 成中心对称 3】 【题型2. 画中心对称图形 6】 【题型3. 根据中心对称的性质求解 10】 【题型4. 中心对称图形的识别 14】 【题型5. 判断中心对称图形的对称中心 18】 【题型6. 方格纸中的中心对称图形 20】 【题型7. 求关于原点对称的点的坐标 25】 【题型8. 已知两点关于原点对称求参数 27】 【题型9. 中心对称图形的规律探究类问题 29】 【巩固练习 32】 知识清单 知识点1 中心对称 1. 定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 称或中心对称. 2. 元素：这个点叫作对称中心（简称中心），如图，点O为对称点；这两个图形在旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点，如图，点A和点C是关于点O的对称点. 3.中心对称与轴对称的区别： 中心对称 对称中心只有一个点 图形绕对称中心旋转180° 旋转180°后和另一个图形重合 轴对称 对称轴至少有一条直线 图形沿对称轴折叠 折叠后与另一个图形重合 知识点2 中心对称的作图 1. 画图步骤：（1）确定已知图形和旋转中心； （2）选定关键点； （3）分别画出关键点的对称点； （4）依次连接各关键点的对称点，得出已知图形的中心对称图形. 例：如图23.2-5，选择点O为对称中心，画出△ABC关于点O对称的△A’B’C’ . 解：如图23.2-7，作出A，B，C三点关于点O的对称点A’，B’，C’，依次连接A’B’，B’C’，C’A’，就可以得到与△ABC关于点O对称的△A’B’C’ . 知识点3 中心对称的性质 1.性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 知识点4 中心对称图形 1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它们的对称中心. 【提示】 ① 中心对称图形式是一个具有特殊特征的图形； ② 中心对称图形的对称中心一定在图形内； ③ 经过对称中心的任意一条直线将中心对称图形分成两个图形，这两个图形关于对称中心成中心对称； ④ 把中心对称的两个图形视为一个整体，则成为中心对称图形. 2.中心对称图形的性质：（1）对称点的连线被对称中心平分； （2）经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将图形分成全等的两部分. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系. ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称． 知识点5 关于原点对称的点的坐标 1.在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（）关于原点的对称点为P’（）. 2.关于原点对称的点的坐标特征： 如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数：反过来，如果两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称 题型专练 题型1. 成中心对称 【例1】下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 【变式2】在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可得出结果，关键是掌握点的坐标的变化规律． 【详解】解：根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， 点与点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ，两点关于原点对称． 故选：A． 【变式3】如图，四边形与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 【详解】A．∵与关于点O成中心对称， ∴，同理可得，正确； B．∵点B与点G关于点O成中心对称， ∴，正确； C．∵与关于点O成中心对称， ∴，同理可得，正确； D．∵点D与点E关于点O成中心对称， ∴， ∴错误， 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型2. 画中心对称图形 【例1】在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．在图中画出关于点成中心对称的，使点，分别与点，对应． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了画已知图形关于某点对称的图形，连接并延长至点，使，得到点关于点的对称点，同法作出点、点关于点的对称点，连接，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）连接并延长至点，使，得到点关于点的对称点，同法作出点、点关于点的对称点； （）连接； ∴即为所求． 【例2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出将绕点A逆时针旋转后得到的； (2)在图中画出与关于原点O对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形． （1）先根据旋转额性质确定点的位置，然后连线即可； （2）先根据中心对称的性质确定点的位置，然后连线即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 【变式1】在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将沿x轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的 ，并写出的坐标． (2)作关于坐标原点成中心对称的，并分别写出的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查作图，旋转变换，平移变换，解题关键在于熟练掌握基本知识． （1）根据平移的性质分别画出点A、B、C沿x轴向右平移4个单位的对应点、、，再依次连接，即可求解； （2）根据中心对称的性质分别画出点A、B、C关于坐标原点成中心对称的对应点、、，再依次连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由图可知，． （2）解：如图 ，即为所求， ． 【变式2】在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)将先向下平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到，画出； (2)将以点B为旋转中心，按逆时针旋转，得到，画出； (3)若与关于点M成中心对称，请你在图中标出点M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解， 【分析】本题考查了旋转作图，画两个图形的对称中心，平移作图，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移的性质，找出，再依次连接，得，即可作答． （2）先根据旋转的性质，找出，再依次连接，得，即可作答． （3）因为与关于点M成中心对称，所以连接，它们相交于一点，即为对称中心，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示； （3）解：点M如图所示； ∴M的坐标为． 【变式3】 在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示． (1)作关于点C成中心对称的； (2)将向右平移3个单位，作出平移后的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作中心对称图形、作平移图形，熟练掌握中心对称和平移的性质是解答的关键． （1）根据中心对称性质得到对应点的位置，再顺次连接对应点即可画图； （2）根据平移的性质得到对应点的位置，再顺次连接对应点即可画图． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： 题型3. 根据中心对称的性质求解 【例1】如图，与关于成中心对称，下列不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质：①中心对称的两个图形是全等图形；②中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；③中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等．据此逐项判断即可． 【详解】解：∵与关于成中心对称， ∴，，， ∴选项A，B，D正确，不符合题意． ∵和不是对应边， ∴和不一定相等，故选项C错误，符合题意． 故选：C． 【例2】如图，在中，是边上的中线，与关于点成中心对称．若，则线段的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的三边关系，根据成中心对称图形的性质，结合三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】∵与关于点成中心对称， ，， 在中，，即， ． 故答案为：． 【例3】如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 【答案】2 【分析】根据等角对等边得到，再根据中心对称图形的性质可得． 【详解】解：， ， 与关于原点成中心对称， ． 【变式1】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A．点C与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点与点是对称点，，，， ∴ ∴结论错误． 故选：C． 【变式2】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，由中心对称图形的性质可得A、C、D三点共线，，据此求出的长，再利用勾股定理可得的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴A、C、D三点共线，， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式3】如图所示，直线，垂足为，曲线关于点成中心对称，点对称点是，于点，于点，若，，则阴影部分面积之和为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图， ∵直线，垂足为，曲线关于点成中心对称，点对称点是，于点，于点，若，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：24． 【变式4】如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 【答案】8 【分析】根据中心对称的性质和中线的定义可知平分三角形，进而求出的面积． 【详解】解：∵和成中心对称，的面积为4， ∴，， ∴， ∴． 【变式5】如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中心对称，解决本题的关键是掌握成中心对称的两个图形必定能重合．先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型4. 中心对称图形的识别 【例1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据轴对称图形的定义，依此逐个判断四个选项是否满足轴对称图形的条件，筛选出符合的选项．再根据中心对称图形的定义，对第一步筛选出的选项，逐个判断是否满足中心对称图形的条件．最终选出同时满足两个条件的图形． 【详解】轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合； 中心对称图形：绕图形中心旋转后，能和原图形完全重合． 逐个分析选项： 选项A：是轴对称图形， 但旋转后无法和原图形重合，不是中心对称图形， 不符合要求； 选项B：存在多条对称轴，是轴对称图形； 绕中心旋转后和原图形完全重合， 也是中心对称图形， 符合要求； 选项C：找不到能让图形折叠后重合的直线，不是轴对称图形， 不符合要求； 选项D：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， 不符合要求． 【例2】下列图标中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】 解：A. 不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 是中心对称图形，故本选项符合题意； C. 不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【例3】在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______个． 【答案】3 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对题干给出的图形逐一判断即可得到结果． 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 综上，符合条件的图形共有个． 【变式1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 【变式2】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意． 【变式3】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项符合题意. 【变式4】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 【变式5】下列图形：①线段；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤正五边形；⑥正六边形．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是__________．（填序号） 【答案】①④⑥ 【分析】本题考查了根据轴对称图形和中心对称图形的定义．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，判断每个图形是否同时具有两种对称性质． 【详解】解：①线段是轴对称图形（有两条对称轴），也是中心对称图形（中点为对称中心）； ②等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形； ③平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； ④矩形是轴对称图形（有两条对称轴），也是中心对称图形（对角线交点为对称中心）； ⑤正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形； ⑥正六边形是轴对称图形（有六条对称轴），也是中心对称图形（中心点为对称中心）． 故答案为：①④⑥． 题型5. 判断中心对称图形的对称中心 【例1】如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，连接对角线即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∴其中是平行四边形中心的是点； 故选：B 【例2】如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【答案】线段的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 【变式1】如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 【变式2】如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 【变式3】如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识点，解题的关键是了解呈中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心． 连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心，即可解答. 【详解】解：如图所示： 可知：连线的交点为，故对称中心为 故答案为：． 题型6. 方格纸中的中心对称图形 【例1】如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是（   ） A．① B．② C．⑧ D．④ 【答案】D 【分析】据中心对称图形的定义，依次分析，排除错误选项，选出正确选项． 【详解】解：选①、②、③中的图形无论以哪一点为中心旋转后都不能与自身重合，不是中心对称图形， 选④中的图形以方格的对角线的交点为中心旋转能与自身重合，是中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的意义．本题关键是运用中心对称图形的意义一一检验每个选项中的图形，要假定每个点为对称中心进行检验． 【例2】如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用中心对称设计图案，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．直接利用中心称图形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 可供选择的白色小正方形的个数为3个． 故答案为：3． 【变式1】如图，这是的正方形网格，选择一个空白小正方形，使其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此即可得出答案． 【详解】解：由图形可得当选择①③时，它与阴影部分组成的图形是中心对称图形， 故选：B． 【变式2】如图，在的正方形网格中，从标号为①②③④的白色小正方形中选取一个并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，则应选取（   ）    A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义“绕着中心点旋转能与原图形重合即为中心对称图形”进行解答即可． 【详解】解：图中中间的相邻的对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个小正方形的中心对称图形，它原来在右上方，那么旋转后将在左下方，即③的位置． 故选：C． 【变式3】如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有___________种． 【答案】1 【分析】本题考查的是中心对称图形的含义，在平面内，把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据定义可得答案． 【详解】解：如图， ∴再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，只有1种涂法， 故答案为： 【变式4】如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是___________图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征． 【答案】(1)中心对称 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称的性质，轴对称图形，解决问题的关键是掌握中心对称的性质． （1）按照轴对称或中心对称的性质判断即可． （2）按照中心对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：从图中看出，都是中心对称图形． 故答案为：中心对称． （2）解：如图所示（答案不唯一）： 【变式5】在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，学生做这些题时找对称轴及对称点是关键． （1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图； （2）先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图． 【详解】（1）如图所示（答案不唯一） （2）如图2所示 题型7. 求关于原点对称的点的坐标 【例1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 【变式1】已知点A的坐标为，点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴、原点对称点的坐标特点，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，， ∴点关于轴的对称点， ∴点关于原点的对称点， 故选：B． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中， 的对角线相交于点，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标特征．在平面直角坐标系中，若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都互为相反数．根据平行四边形对角线互相平分的性质可知，点与点关于原点对称（因为是中点）．然后利用关于原点对称的点的坐标特征来求出点的坐标．关键在于理解平行四边形对角线的性质，从而得出点与点的对称关系，再准确运用关于原点对称的点的坐标变化规律得出答案即可． 【详解】∵平行四边形的对角线相交于点， ∴点与点关于原点对称． ∵已知点的坐标是， ∴点关于原点对称的点的横坐标为的相反数，纵坐标为的相反数． ∴点的坐标是． 故选：B． 【变式3】如图，已知点的坐标为，点的坐标为，正方形的对角线交于原点，则点的坐标为________，点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质及关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用正方形的性质及关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键．根据正方形的性质可知：点A与点C关于原点对称，点B与点D关于原点对称，据此即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，即点A与点C关于原点对称，点B与点D关于原点对称， 又点的坐标为，点的坐标为， 点C的坐标是，点D的坐标是， 故答案为：，． 题型8. 已知两点关于原点对称求参数 【例1】若点与点关于原点对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数即可求解． 【详解】解：∵ 点 与点 关于原点对称， ∴，， ∴，． 【例2】已知和关于原点对称，则___________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求出和的值，再代入代数式计算即可. 【详解】解：因为和关于原点对称， 所以，， 所以， 所以. 【变式1】已知点与点关于原点成中心对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标性质，求出和的值，再计算得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴． 【变式2】已知和关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称点的特点，有理数的乘方运算，根据点关于原点对称，则横坐标、纵坐标均为相反数，根据关于原点对称的点坐标关系，求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴（横纵坐标均互为相反数）， ∴． 故选：A． 【变式3】若点，关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查关于原点对称点的性质，熟练掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称点的性质得，，计算即可解得答案． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：4． 【变式4】已知点与点关于原点对称，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，掌握关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，列出关于和的方程组，求解后计算的值． 【详解】解：点与点关于原点对称， 将得： 解得 代入①得： 故原方程组的解为： 则． 【变式5】已知点A的坐标是，点B的坐标是，若点A与点B关于原点对称，则的值是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标是，点B的坐标是，且点A与点B关于原点对称， ∴， ∴， ∴． 题型9. 中心对称图形的规律探究类问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 【变式1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【详解】解： ，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 巩固练习 1．（2026·山东德州·中考真题）下列标志中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解： A、该图形绕中心旋转后，内部箭头方向发生改变，不能与原图形重合，故不是中心对称图形； B、该图形是轴对称图形，绕中心旋转后不能与原图形重合，故不是中心对称图形； C、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，故是中心对称图形； D、该图形是轴对称图形，绕中心旋转后不能与原图形重合，故不是中心对称图形． 2．（2026·山东烟台·中考真题）一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图．下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意． 3．（2026·山东·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 4．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数即可得到答案． 【详解】解：∵关于原点对称的点的坐标特征为：横坐标与纵坐标都互为相反数， ∵点， ∴点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，即对称点坐标为． 5．（2026·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行于x轴，点M的坐标是，点的坐标是，则点N的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得点、点的纵坐标相同，即，从而可得，再由平行四边形的性质并结合题意可得点、点关于点成中心对称，由此求解即可． 【详解】解：∵平行于x轴，点M的坐标是，点F的坐标是， ∴点、点的纵坐标相同，即， ∴， ∵在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点， ∴点、点关于点成中心对称， ∴点N的坐标是． 6．（2026·湖北孝感·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，请确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先需要明确平行四边形是中心对称图形，只有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）才是轴对称图形，普通平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形，据此逐项验证即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，只有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）才是轴对称图形，普通平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形， ∵，， 选项A：当点D的坐标为时，连接点A、B、C、D，则该四边形无法构成平行四边形，因此不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B、当点D的坐标为时，点A、B、D的横坐标均为，则这三点在同一条直线上，无法构成四边形，故B不符合题意； 选项C、当点D的坐标为时， 线段在直线上，且，线段在直线上，且， 且， 四边形是平行四边形， ，， ， 、， 平行四边形不是菱形，也不是矩形、正方形， 该四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C符合题意； 选项D、当点D的坐标为时， 同理可得：四边形是平行四边形， 、， ， 平行四边形是矩形， 该四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意． 7．（2026·四川凉山·中考真题）点关于原点的对称点坐标是_______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特点，可知两个点关于原点对称时，横纵坐标符号相反， 因此点关于原点的对称点的坐标为． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a的值为______． 【答案】1 【详解】解：点与点关于原点对称， ， 解得， 故答案为1． 9．（2026·湖南长沙·二模）已知点，点关于原点对称，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出与的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：点，点关于原点对称， ，， ． 10．（2026·江苏无锡·二模）请写出一个既是中心对称又是轴对称的几何图形：_________． 【答案】圆（答案不唯一） 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，找出同时满足两个定义的几何图形即可． 【详解】解：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；平面内将一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合的图形是中心对称图形． 圆沿任意过圆心的直线折叠，直线两旁的部分都可完全重合，且圆绕圆心旋转后能与自身重合，符合要求． 故答案为：圆（答案不唯一）． 11．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 【答案】 【分析】先过点作轴的垂线，利用等边三角形的性质和勾股定理求出点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点． 因为是边长为2的等边三角形， 所以． 因为， 所以． 在中，由勾股定理得． 因为点在第二象限，所以点的坐标为． 因为是以原点为中心作中心对称得到的，所以点与点关于原点对称． 所以点的坐标为． 12．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据长方形的性质求出点B初始位置的坐标，再根据题意可得每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置，求出2026除以4的余数为2，则第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置，据此可得答案． 【详解】解：旋转前，∵四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴， ∵将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且， ∴每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置， ∵， ∴第2026次旋转结束时点B的位置与第2次旋转结束时点B的位置相同， ∴第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置， ∴此时点B的坐标为． 13．（2026·安徽宿州·模拟预测）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移4个单位长度后得到的； (2)作出关于原点对称的． 【答案】(1)解：如图，即为所求： (2)解：如图，即为所求： 【详解】（1）略 （2）略 14．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题． (1)在坐标系中，画出关于原点中心对称的； (2)在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可； （2）先找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 15．（25-26八年级下·广东佛山·期中）平面直角坐标系中，，，． (1) 平移得，C 对应，画出； (2)画出关于原点 O 中心对称的，写出坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】（1）根据平移的性质分别作出A，B，C的对应点，，，然后连线即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，然后连线即可，并由图得出坐标． 【详解】（1）解： 平移得，C 对应时， 先向左移3个单位长度，再向下移1个单位长度，此时，，，画图如图， 即为所求． （2）解：作出A，B，C关于原点的对应点，，，连线得即为所求，画图如下 由图可知，坐标是． 16．（2026·甘肃武威·中考真题）在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形． (1)请判断图1是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)中心对称； (2)解：如图，点O为所求旋转中心． 【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可； （2）连接，，分别作，的垂直平分线，两线相交于点O，则点O即为所求的旋转中心． 【详解】（1）解：将该图形绕点正六边形的中心旋转，能与原图形重合，故图1是中心对称图形． （2）略 17．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是_____图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中分别选择两个小正方形涂上阴影，使阴影部分构成的图案都是中心对称图形（要求不能重复） 【答案】(1)轴对称 (2)解：如图所示， 【分析】（1）根据轴对称图形的定义进行解答即可； （2）根据中心对称的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是轴对称图形； （2）略 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $第二十三章旋转 02讲中心对称 题型归纳 【知识点1中心对称… 1】 【知识点2中心对称的作图 2】 【知识点3中心对称的性质 2】 【知识点4中心对称图形 2】 【知识点5关于原点对称的点的坐标 3】 【题型1.成中心对称 3】 【题型2.画中心对称图形 4】 【题型3.根据中心对称的性质求解： 6】 【题型4.中心对称图形的识别 8】 【题型5.判断中心对称图形的对称中心… 9】 【题型6.方格纸中的中心对称图形， 10】 【题型7.求关于原点对称的点的坐标 12】 【题型8.己知两点关于原点对称求参数 12】 【题型9.中心对称图形的规律探究类问题 13】 【巩固练习 14】 知识清单 知识点1中心对称 1.定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 称或中心对称 B 2.元素：这个点叫作对称中心（简称中心），如图，点0为对称点；这两个图形在旋转后 能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点，如图，点A和点C是关于点O的对称点， 1/18 3.中心对称与轴对称的区别： 中心对称 对称中心只有一个点 图形绕对称中心旋转180 旋转180°后和另一个图形重合 轴对称 对称轴至少有一条直线 图形沿对称轴折叠 折叠后与另一个图形重合 知识点2中心对称的作图 1.画图步骤：(1)确定己知图形和旋转中心； (2)选定关键点 (3)分别画出关键点的对称点； (4)依次连接各关键点的对称点，得出已知图形的中心对称图形 例：如图23.2-5，选择点O为对称中心，画出△ABC关于点O对称的△AB'C' 解：如图23.2-7，作出A,B,C三点关于点0的对称点A',B°，C,依次连接AB',BC, CA',就可以得到与△ABC关于点O对称的△AB'C 图23.2-5 图23.2-7 知识点3中心对称的性质 1性质：(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所 平分： (2)中心对称的两个图形是全等图形 知识点4中心对称图形 1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它们的对称中心 【提示】 2/18 ①中心对称图形式是一个具有特殊特征的图形： ②中心对称图形的对称中心一定在图形内： ③经过对称中心的任意一条直线将中心对称图形分成两个图形，这两个图形关于对称 中心成中心对称： ④把中心对称的两个图形视为一个整体，则成为中心对称图形 2.中心对称图形的性质：(1)对称点的连线被对称中心平分： (2)经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将图形分成全等的两部分 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区 ①指两个全等图形之间的相互位置关系， ①指一个图形本身成中心对称， 别 ②对称中心不定， ②对称中心是图形自身或内部的点. 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个 如果把中心对称图形对称的部分看成 联 图形)，那么这个图形就是中心对称图形 是两个图形，那么它们又是关于中心对 系 称。 知识点5关于原点对称的点的坐标 1.在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y) 关于原点的对称点为P’(-x,-y). 2.关于原点对称的点的坐标特征： 如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数：反过来，如果两 个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称 题型专练 题型1.成中心对称 【例1】下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是() 3/18 【变式1】下列图形中，△ABC'与△ABC成中心对称的是() B C 【变式2】在平面直角坐标系中有点A(2,3)、B(-2,-3),则A,B两点关于()对称. A.原点 B.x轴 C.y轴 D.直线x=1 【变式3】如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是 () A.AD//EF,AB//GF B.BO=GO C.CD=HE,BC=GH D.DO=HO 题型2.画中心对称图形 【例1】在6×6的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）.在图中画 出△ABC关于点O成中心对称的△DEF,使点A,B分别与点D,E对应， 4/18 【例2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4). A 3 2 5-4-3-2-1012345x -2 -3 -5 (1)在图中画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1; (2)在图中画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2: 【变式1】在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均 在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将△ABC沿x轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1,并写出B1的坐标. (2)作△ABC关于坐标原点成中心对称的△A2B2C2,并分别写出A2、B2、C2的坐标， 【变式2】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. 5-43-2-1g12345 4 (1)将△ABC先向下平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A1B1C1,画出 5/18 △A1B1C1: (2)将△ABC以点B为旋转中心，按逆时针旋转180°，得到△A2BC2,画出△A2BC2: (3)若△A1B1C1与△A2BC2关于点M成中心对称，请你在图中标出点M,并写出点M的坐标 【变式3】 △ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示. A(-2,3) C0,2) -1,18 (1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1; (2)将△A1B1C1向右平移3个单位，作出平移后的△A2B2C2: 题型3.根据中心对称的性质求解 【例1】如图，△ABC与△ABC关于O成中心对称，下列不成立的是() A1 B A.0C=0C1 B.∠ABC=∠ABC' C.CC'=BB D.BCIB'C' 【例2】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称.若 AB=5,AC=3,则线段AD的取值范围是 【例3】如图，△ABC与△ABC关于原点O成中心对称，己知∠BAC=∠BCA,AB=2,求BC 的值. 6/18 【变式1】如图，△ABC与△ABC关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是() A.点C与点C是对称点 B.0A=0A' C.∠ACB=∠CAB D.BC Il B'C 【变式2】如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=2,AB=3,∠BAC=90°，则 AE的长是 D B 【变式3如图所示，直线a⊥b,垂足为O,曲线C关于点0成中心对称，点A对称点是A,AB⊥a 于点B,AD⊥b于点D,若0B=6,OD=4,则阴影部分面积之和为 b 【变式4】如图，△ADC和△EDB成中心对称，若△ADC的面积为4，求△ABE的面积 B 7/18 【变式5】如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，点E,F分别在GA、GC上，且AF=CE.求 证：EDIBF. G B 题型4.中心对称图形的识别 【例1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 【例2】下列图标中，是中心对称图形的是( 【例3】在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对 称图形的有 个 【变式1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A D 【变式2】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 【变式3】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是() 8/18 M.AT H 【变式4】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() B. D 【变式5】下列图形：①线段；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤正五边形： ⑥正六边形.其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (填序号) 题型5.判断中心对称图形的对称中心 【例1】如图，口ABCD中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是() G· F● E· A.E B.F C.G D. 【例2】如图，点A,B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是· B 【变式1】如图，在正方形网格中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J是网格线交点，△ABC 与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是() G H D A.点G B.点H C.点l D.点J 【变式2】如图，矩形ABCD与矩形CDEF关于某点对称，则该点为() 9/18 F A.点C B.点D C.线段EF的中点 D.线段CD的中点 【变式3】如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于某一点成中心对称，则这个点是 H G B 题型6.方格纸中的中心对称图形 【例1】如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是() ① ③ ③ ④ A.① B.② c.⑧ D.④ 【例2】如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方 形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为 【变式1】如图，这是4×4的正方形网格，选择一个空白小正方形，使其与阴影部分组成 的图形是中心对称图形的情况有() ④ ① ③ ② A.①② B.①③ c.①④ D.①②③ 【变式2】如图，在4×4的正方形网格中，从标号为①②③④的白色小正方形中选取一 10/18 个并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，则应选取() ① ② ③④ A.① B.② c.③ D.④ 【变式3】如图，在3×3的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中 1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有 种 【变式4】如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下 列问题： 图① 图② 图③ (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是 图形（填“轴对称”或“中心 对称”) (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同 特征。 【变式5】在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形. 图1 图2 图3 图4 图5 11/18 (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形： (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形. 题型7.求关于原点对称的点的坐标 【例1】在平面直角坐标系中，点M(-5,2)关于原点对称的点的坐标是() A.(5,-2) B.(-5,-2) C.(-5,2) D.(-2,5) 【变式1】己知点A的坐标为(2,2)，点A关于x轴的对称点是B,点B关于原点的对称点是 C,那么点C的坐标是() A.(2,2) B.（-2,2) C.(-1,-1) D.（-2,-2) 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的对角线相交于点O,若点A的坐标是(-2,1)， 则点C的坐标是() A.(2,1) B.(2,-1) C.(1,-2) D.(-2,-1) 【变式3】如图，己知点A的坐标为(-V3,1),点B的坐标为(-1，-V3,正方形ABCD的对 角线交于原点O,则点C的坐标为 ,点D的坐标为 题型8.己知两点关于原点对称求参数 【例1】若点(-3，a)与点(b,3)关于原点对称，则（) A.a=-3,b=3B.a=3,b=3C.a=-3,b=-3D.a=3,b=-3 【例2】已知M(a,-3)和N(4,b)关于原点对称，则(a+b)2026= 【变式1】己知点P(m,2)与点Q(-3,n)关于原点成中心对称，则m+n的值为() A.5 B.-5 C.1 D.-1 12/18 【变式2】已知P1(a,-2)和P2(3,b)关于原点对称，则(a+b)2026的值为() A.1 B.-1 C.-52026 D.52026 【变式3】若点A(4,a+2),B(b,a)关于原点对称，则ab=· 【变式4】已知点P(a-2b,-2)与点Q(-6,2a+b)关于原点对称，求3a-b的值 【变式5】己知点A的坐标是(4，m-1),点B的坐标是(n+2,-2),若点A与点B关于原 点对称，则m+n的值是多少？ 题型9.中心对称图形的规律探究类问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为(2,0)，(0,2)，(-2,0).一个 电动玩具从原点O出发，第一次跳跃到点P1,使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次 跳跃到点P2,使得点P2与点P关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2 关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A成中心对称；·电动 玩具照此规律跳下去，则点P2023的坐标是（)· A.(-4,0) B.(4,0) C.(4,4) D.(0,-4) 【变式1】在平面直角坐标系中，点P1(0,-1),P2(2,3)的对称中心是点A,另取两点B(-1,2), C(-1,0).有一电子青蛙从点P1处开始依次作关于点A,B,C的循环对称跳动，即第一次 跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3 关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，，则点P2o19的坐标 为(. 13/18 B C A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(2,0) D.(-4,1) 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，A(0,0),B(1,0),△AP1B是等腰直角三角形，∠P1=90, 作△AP1B关于点B成中心对称的图形△CP2B,再作△BP2C关于点C成中心对称的图形 △DP3C,. 以此类推，点P2025的坐标为 (A)0 B D... P 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是边长为2的正方形，A,C分别在y 轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为(-1,1)，将P点关于A对称得到P1,将P1关于O点 对称得到P2,将P2关于C点对称得到P3,将P3关于B点对称得到P4,将P4关于A点对称得 到P5,,按照顺序以此类推，则P2023的坐标为 P。 少巩固练习 1. （2026山东德州中考真题)下列标志中，是中心对称图形的是() 角 B D 14/18 2.(2026山东烟台中考真题)一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的 情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图.下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图 形的是() 3.(2026山东.中考真题)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()》 的 4.（25-26九年级上·辽宁盘锦期中)点M(2,-7)关于原点对称的点的坐标是（) A.(2,7) B.(-2,7) C.(-2,-7) D.(-7,2) 5.(2026河南周口.三模)如图，在平面直角坐标系中，口MNEF的两条对角线ME,NF交 于原点O,MF平行于x轴，点M的坐标是(m,1),点F的坐标是(2，n),则点N的坐标是() A.(-2,-1) B.(-1,-2) C.(-2,-3) D.(-2,-4) 6.(2026湖北孝感.二模)如图，在平面直角坐标系中，A(-1,0),B(-1,-1),C(1,0),请 确定一点D,使得以点A,B,C,D为顶点的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，则 点D的坐标可能是() B A.(0,1) B.(-1,1) c.(1,1) D.(1,-1) 15/18 7.(2026·四川凉山.中考真题)点P(-3,2)关于原点的对称点P坐标是 8.(25-26八年级下.陕西咸阳期中)在平面直角坐标系中，己知点A(a,2)与点B(-1,-2) 关于原点对称，则a的值为 9.(2026湖南长沙.二模)己知点A(a,-1),点B(2,b)关于原点对称，则a+b的值为 10.(2026江苏无锡.二模)请写出一个既是中心对称又是轴对称的几何图形： 11.(2026山西临汾三模)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点B在x轴负半轴上， △AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB以原点为中心作中心对称，得到△AOB,则点A 的坐标是 12.(25-26八年级下.广东茂名期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形ABC0的两边与 坐标轴重合，0A=2,0C=1.将长方形ABC0绕点0逆时针旋转，每次旋转90°，则第2026 次旋转结束时，点B的坐标是· C 0 13.(2026·安徽宿州模拟预测)在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面 直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题： 6543292.3456太 3 (1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1: (2)作出△ABC关于原点0对称的△A2B2C2, 16/18 14.(25-26八年级下.甘肃白银期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在 格点上，点A的坐标为(2,4)，请你解答下列问题. 6 65432-l, 0j2346x 2 (1)在坐标系中，画出△ABC关于原点0中心对称的△A1B1C1; (2)在坐标系中，画出△ABC绕原点0顺时针旋转90°得到的△A2B2C2. 15.(25-26八年级下.广东佛山·期中)平面直角坐标系中，A(2,4),B(1,1),C(4,3). 5 3 3 X B -5-4-3-2-10 2345x 5 (1)△ABC平移得△A1B1C1,C对应C1(1,2),画出△A1B1C1: (2)画出△ABC关于原点O中心对称的△A2B2C2,写出B2坐标. 16.(2026甘肃武威中考真题)在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、 三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案.如图1是小彤设计的一件艺 术作品的平面图，它由6个全等三角形构成，外轮廓为正六边形， 图1 图2 17/18 (1)请判断图1是 图形；（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图2是从图1选取的部分图案，其中△ABC看作由△ABC绕旋转中心O顺时针方向旋转 ~定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心0.（保留作图痕迹， 不写作法) 17.(25-26八年级下·江西九江·期中)如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构 成的图案，按要求回答下列问题： 图① 图② 图③ (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中分别选择两个小正方形涂上阴影，使阴影部分构成的图案都 是中心对称图形（要求不能重复） 18/18 第二十三章 旋转 02讲 中心对称 题型归纳 【知识点1 中心对称 1】 【知识点2 中心对称的作图 2】 【知识点3 中心对称的性质 2】 【知识点4 中心对称图形 2】 【知识点5 关于原点对称的点的坐标 3】 【题型1. 成中心对称 3】 【题型2. 画中心对称图形 4】 【题型3. 根据中心对称的性质求解 6】 【题型4. 中心对称图形的识别 8】 【题型5. 判断中心对称图形的对称中心 9】 【题型6. 方格纸中的中心对称图形 10】 【题型7. 求关于原点对称的点的坐标 12】 【题型8. 已知两点关于原点对称求参数 12】 【题型9. 中心对称图形的规律探究类问题 13】 【巩固练习 14】 知识清单 知识点1 中心对称 1. 定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 称或中心对称. 2. 元素：这个点叫作对称中心（简称中心），如图，点O为对称点；这两个图形在旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点，如图，点A和点C是关于点O的对称点. 3.中心对称与轴对称的区别： 中心对称 对称中心只有一个点 图形绕对称中心旋转180° 旋转180°后和另一个图形重合 轴对称 对称轴至少有一条直线 图形沿对称轴折叠 折叠后与另一个图形重合 知识点2 中心对称的作图 1. 画图步骤：（1）确定已知图形和旋转中心； （2）选定关键点； （3）分别画出关键点的对称点； （4）依次连接各关键点的对称点，得出已知图形的中心对称图形. 例：如图23.2-5，选择点O为对称中心，画出△ABC关于点O对称的△A’B’C’ . 解：如图23.2-7，作出A，B，C三点关于点O的对称点A’，B’，C’，依次连接A’B’，B’C’，C’A’，就可以得到与△ABC关于点O对称的△A’B’C’ . 知识点3 中心对称的性质 1.性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 知识点4 中心对称图形 1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它们的对称中心. 【提示】 ① 中心对称图形式是一个具有特殊特征的图形； ② 中心对称图形的对称中心一定在图形内； ③ 经过对称中心的任意一条直线将中心对称图形分成两个图形，这两个图形关于对称中心成中心对称； ④ 把中心对称的两个图形视为一个整体，则成为中心对称图形. 2.中心对称图形的性质：（1）对称点的连线被对称中心平分； （2）经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将图形分成全等的两部分. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系. ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称． 知识点5 关于原点对称的点的坐标 1.在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（）关于原点的对称点为P’（）. 2.关于原点对称的点的坐标特征： 如果两个点关于原点对称，那么它们的横坐标纵坐标分别互为相反数：反过来，如果两个点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，那么这两个点关于原点对称 题型专练 题型1. 成中心对称 【例1】下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 【变式3】如图，四边形与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型2. 画中心对称图形 【例1】在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．在图中画出关于点成中心对称的，使点，分别与点，对应． 【例2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出将绕点A逆时针旋转后得到的； (2)在图中画出与关于原点O对称的． 【变式1】在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将沿x轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的 ，并写出的坐标． (2)作关于坐标原点成中心对称的，并分别写出的坐标． 【变式2】在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)将先向下平移6个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到，画出； (2)将以点B为旋转中心，按逆时针旋转，得到，画出； (3)若与关于点M成中心对称，请你在图中标出点M，并写出点M的坐标． 【变式3】 在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示． (1)作关于点C成中心对称的； (2)将向右平移3个单位，作出平移后的； 题型3. 根据中心对称的性质求解 【例1】如图，与关于成中心对称，下列不成立的是（ ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，是边上的中线，与关于点成中心对称．若，则线段的取值范围是______． 【例3】如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 【变式1】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A．点C与点是对称点 B． C． D． 【变式2】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 【变式3】如图所示，直线，垂足为，曲线关于点成中心对称，点对称点是，于点，于点，若，，则阴影部分面积之和为______． 【变式4】如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 【变式5】如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 题型4. 中心对称图形的识别 【例1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【例2】下列图标中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【例3】在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______个． 【变式1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式4】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式5】下列图形：①线段；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤正五边形；⑥正六边形．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是__________．（填序号） 题型5. 判断中心对称图形的对称中心 【例1】如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【例2】如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【变式1】如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【变式3】如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是______． 题型6. 方格纸中的中心对称图形 【例1】如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是（   ） A．① B．② C．⑧ D．④ 【例2】如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为______． 【变式1】如图，这是的正方形网格，选择一个空白小正方形，使其与阴影部分组成的图形是中心对称图形的情况有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③ 【变式2】如图，在的正方形网格中，从标号为①②③④的白色小正方形中选取一个并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，则应选取（   ）    A．① B．② C．③ D．④ 【变式3】如图，在的正方形方格中，已将图中的2个正方形涂上阴影，若再将其中1个空白小正方形涂上阴影，使整个阴影部分是一个中心对称图形，那么不同的涂法有___________种． 【变式4】如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是___________图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中涂上阴影，使阴影部分构成的图案与图①中的图案有相同特征． 【变式5】在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 题型7. 求关于原点对称的点的坐标 【例1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知点A的坐标为，点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中， 的对角线相交于点，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知点的坐标为，点的坐标为，正方形的对角线交于原点，则点的坐标为________，点的坐标为________． 题型8. 已知两点关于原点对称求参数 【例1】若点与点关于原点对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】已知和关于原点对称，则___________． 【变式1】已知点与点关于原点成中心对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知和关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】若点，关于原点对称，则______． 【变式4】已知点与点关于原点对称，求的值． 【变式5】已知点A的坐标是，点B的坐标是，若点A与点B关于原点对称，则的值是多少？ 题型9. 中心对称图形的规律探究类问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 巩固练习 1．（2026·山东德州·中考真题）下列标志中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东烟台·中考真题）一笔画图形是指用一根连续不间断的线条，在不重复路径的情况下完成整个图形绘制的特殊贯通图．下列一笔画图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行于x轴，点M的坐标是，点的坐标是，则点N的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北孝感·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，请确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·四川凉山·中考真题）点关于原点的对称点坐标是_______． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则a的值为______． 9．（2026·湖南长沙·二模）已知点，点关于原点对称，则的值为_________． 10．（2026·江苏无锡·二模）请写出一个既是中心对称又是轴对称的几何图形：_________． 11．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 12．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____． 13．（2026·安徽宿州·模拟预测）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出向左平移4个单位长度后得到的； (2)作出关于原点对称的． 14．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题． (1)在坐标系中，画出关于原点中心对称的； (2)在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的． 15．（25-26八年级下·广东佛山·期中）平面直角坐标系中，，，． (1) 平移得，C 对应，画出； (2)画出关于原点 O 中心对称的，写出坐标． 16．（2026·甘肃武威·中考真题）在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形． (1)请判断图1是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法） 17．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： (1)图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是_____图形（填“轴对称”或“中心对称”） (2)请你在图②、图③的网格中分别选择两个小正方形涂上阴影，使阴影部分构成的图案都是中心对称图形（要求不能重复） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $