天津市和平区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

第Ⅰ卷（选择题共27分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效． 3．本卷共9小题，每小题3分，共27分． 参考公式： ·球表面积公式（表示球的半径）． 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知一组样本数据8，3，5，7，10，4，3，则这组样本数据的第80百分位数为 A．5 B．6 C．8 D．10 2．已知平行四边形的对角线,相交于点，若，，则 A． B． C． D． 3．已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，，则下列说法中，错误的个数为 ①若，则 ②若，则 ③若，则 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．用斜二测画法画一个边长为4的等边三角形的直观图，则所得直观图的面积为 A． B． C． D． 5．现有一批产品共9件，其中4件正品和5件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是 A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与至少一件次品 D．至少一件正品与全部次品 6．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 A． B． C． D． 7．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为 A．等边三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．已知四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球（四棱锥各顶点都在球的表面上）的表面积为 A． B． C． D． 9．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，部分图形缺失的频率分布直方图中，下列说法正确的是 A．第三组的频数为16人 B．估计样本的众数为85分 C．估计样本的平均数为73.5分 D．估计样本的中位数75.5分 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共73分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分） 10．某单位共有A，B，C，D四个部门的职工，其职工人数之比依次为．为了调查职工的健康情况，现用比例分配的分层随机抽样方法，从该单位全体职工中抽出一个容量为300的样本进行调查，则应从A部门抽取职工_____人． 11．若向量为单位向量，且，，则向量的坐标是_____． 12．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则________，的外接圆半径________． 13．已知，，若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________________． 14．甲、乙、丙3人各自独立地破译同一份密码．若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为．乙独立破译该密码的概率为________；甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率为________． 15．已知边长为2的正方形，N为边上的中点，M为上一点．若以为底边作等腰三角形，则当点在边上运动时，的取值范围是_____________． 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （16）（本小题满分8分） 已知，，且向量与向量的夹角为． （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）求向量与向量的夹角的余弦值． 17．（本小题满分9分） 已知是虚数单位，复数满足． （Ⅰ）求的虚部与； （Ⅱ）为复数的共轭复数，若为纯虚数，求与； （Ⅲ）复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 18．（本小题满分10分） 已知的内角，，所对的边分别，，，． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，求的面积． 19．（本小题满分10分） 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，与的中点分别为点，，且，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面． 20．（本小题满分12分） 在三棱锥中，． （Ⅰ）若（如图1），求二面角的余弦值． （Ⅱ）若（如图2）． （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求直线与直线所成角的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题（3分分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C C B D D B A B C 二、填空题（4分分） 10．60 11．或 12．； 13． 14．； 15． 三、解答题（49分） 16．（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）因为，,且向量与向量的夹角为，所以． ． 3分 （Ⅱ），所以，，所以． 向量与向量的夹角的余弦值． 8分 17．（本小题满分9分） 解：（Ⅰ），所以的虚部为，． 3分 （Ⅱ），为纯虚数，所以． 5分 （Ⅲ）， 所以，故，且． 9分 18．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由正弦定理有，又，故． 4分 （Ⅱ）由余弦定理有， 所以，，所以． 10分 19．（本小题满分10分） 证明：（Ⅰ）连接，由与的中点分别为点，可得，在中，，平面，平面，故平面． 4分 （Ⅱ）连接，因为菱形，所以，又，，所以，．因为，为中点，所以． 又，所以，所以中，，故． 又因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面． 10分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）取棱的中点，连接，，为平面与平面所成二面角的平面角．中，，，， 所以二面角的余弦值为． 4分 （Ⅱ）（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值为．（详见附页） 8分 （ⅱ）直线与直线所成角的大小为．（详见附页） 12分 学科网（北京）股份有限公司 $