1.2 集合间的基本关系 教学评一体化设计（全套教案+学案+测评案，全程渗透学法指导）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教2019数学A版必修第一册《1.2集合间的基本关系》教学评一体化设计（全套教案+学案+测评案，全程渗透学法指导） 第一部分教案 一、基本信息 1.课题：人教2019数学A版必修第一册1.2集合间的基本关系 　　2.课时安排：1课时（45分钟） 　　3.授课年级：高一 　　4.学科：数学 　　5.学情分析 　　学生在上一节已经掌握集合、元素定义，集合三大特性，两种集合表示方法与常用数集符号，能简单判断元素与集合的从属关系，具备基础集合读写能力。但学生思维仍停留在单一集合层面，缺少“集合与集合对比、包含”的层级逻辑认知。 　　学生现存短板：无法区分元素属于关系与集合包含关系符号；混淆子集、真子集、相等集合三个概念；空集概念理解浅薄，容易忽略空集是任意集合的子集；书写子集、真子集符号易颠倒方向；求解有限集合子集个数时漏算空集或集合本身；处理含参数集合包含问题时遗漏分类讨论，忘记检验集合元素互异性；不会用数轴直观表示数集间包含关系。 　　本节课依托上节课集合实例、数集、不等式解集为载体，从两个集合元素的构成对比抽象出子集、真子集、集合相等、空集定义，落实集合间四类基本关系、符号书写、子集计数、含参数包含问题四大核心知识点，分层突破概念区分、符号辨析、分类讨论三大难点，延续初高中衔接逻辑，构建教、学、评一体化课堂闭环。 　　6.学科核心素养目标 　　（1）数学抽象 　　①通过对比两组集合元素构成，抽象出子集、真子集、集合相等的数学定义，理解集合之间的层级包含关系。 　　②区分∈与⊆、⫋两类不同层级符号语言，完成文字语言、数轴图形语言、集合符号语言之间的转化。 　　（2）逻辑推理 　　①依据子集定义判断两个集合的包含关系，推理证明集合相等；结合空集性质完成逻辑判断。 　　②已知集合包含关系求解参数取值范围，掌握分类讨论、检验互异性的严谨推理步骤。 　　（3）数学运算 　　能够准确计算有限集合子集、真子集个数，结合不等式运算求解参数范围，规范书写完整推理步骤。 　　（4）直观想象 　　借助数轴表示实数数集包含关系，借助Venn图直观刻画集合间子集、真子集、相等关系，将抽象集合关系图形化。 　　（5）数学建模 　　能将不等式解集、数集范围、有限数组的包含问题建模为集合包含模型，使用子集、真子集语言刻画集合范围大小关系。 　　7.教学重难点 　　（1）教学重点 　　①子集、真子集、集合相等、空集的定义与核心性质。 　　②子集⊆、真子集⫋、集合相等=、空集∅符号规范书写与辨析。 　　③有限集合子集、真子集个数计算；Venn图、数轴表示集合间关系。 　　④空集是任意集合的子集、任意非空集合的真子集两条核心结论。 　　（2）教学难点 　　①区分元素属于符号∈与集合包含符号⊆，分清“元素与集合”“集合与集合”两层不同关系。 　　②已知集合包含关系求解参数，完整分类讨论，不漏空集情况，同时检验集合元素互异性。 　　③数轴表示连续数集包含关系，端点虚实取值判断。 　　8.教学准备：多媒体PPT、集合对比实例素材、分层概念辨析任务单、符号书写练习纸、课堂积分评价表、当堂错题卡、分层随堂练习题、Venn图手绘模板 　　9.教学方法：复习衔接导入法、概念分层拆解法、任务驱动法、小组合作辨析法、讲练纠错结合法、分层教学法、数形结合法 　　10.学法指导预设 　　全程渗透“实例对比—定义标注—符号区分—图形辅助—错题辨析—归纳总结”概念学习流程；指导学生用对比表格区分∈与⊆、子集与真子集；建立“判断包含先看元素、求参数先讨论空集、求值检验互异性”固定解题步骤，形成标准化集合关系学习方法。 二、教学过程 （一）复习衔接导入激趣启思（5分钟） 1.旧知回顾：默写常用数集符号、∈/∉符号；快速判断“2∈N”“∅∈{1,2}”正误，回顾集合互异性、列举法、描述法书写规范。 　　2.对比情境设问：给出三组集合 　　第一组A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5} 　　第二组A={x|x>2}，B={x|x>1} 　　第三组A={2,4,6}，B={4,2,6} 　　提问学生：两组集合元素存在怎样的整体对应关系？ 　　3.点明课题：本节课学习1.2集合间的基本关系，研究两个集合之间包含、相等、真包含三类层级关系，规范对应符号与图形表达。 　　4.学法渗透：学习集合关系先对比两组集合全部元素，借助Venn图、数轴直观辅助理解，分层区分易混淆符号。 （二）概念精讲扫清认知障碍（10分钟・重点落实） 　1.概念分层领学 　　（1）子集定义：如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A；读作A包含于B或B包含A。 　　（2）集合相等定义：若A⊆B且B⊆A，则集合A与集合B相等，记作A=B。 　　（3）真子集定义：若A⊆B，且存在元素属于B但不属于A，称A是B的真子集，记作A⫋B。 　　（4）空集定义：不含任何元素的集合记作∅；两条核心性质：空集是任意集合的子集，空集是任意非空集合的真子集。 　　2.易混符号深度辨析，搭配正反实例 　　①∈用于元素与集合之间（一层关系）；⊆/⫋用于集合与集合之间（二层关系） 　　反例：1⊆{1,2}书写错误；∅∈{∅}正确，∅⊆{1,2}正确。 　　3.Venn图专项教学：用封闭圆形代表集合，画图展示子集、真子集、相等集合三种图形结构。 　　4.课堂互动游戏：概念辨析抢答，教师出示两组集合，学生快速判断子集、真子集、相等关系，小组积分比拼。 　　5.即时训练：符号书写填空、集合关系判断题，当堂统一纠错。 　　6.学法小结：采用对比表格记忆四类集合关系定义、符号、图形，分层区分两层不同关系符号，杜绝混用。 （三）关系应用精讲分层例题训练（18分钟・重难点突破） 1.两类题型分类梳理 　　题型一：有限集合子集、真子集计数 　　结论：若集合有n个元素，则子集个数2ⁿ，真子集个数2ⁿ−1，非空子集2ⁿ−1，非空真子集2ⁿ−2；易错点：计数必须包含空集与集合本身。 　　题型二：含参数集合包含关系求解参数 　　核心步骤：先讨论子集为空集的情况，再讨论子集非空，结合数轴列不等式，最后检验集合元素互异性。 　　2.分层例题精讲 　　基础例题：写出集合{1,2}全部子集、真子集；计算三元素集合子集总数。 　　提升例题：已知A={x|1<x<3}，B={x|x<a}，若A⊆B，求a取值范围（数轴数形结合）。 　　难点例题：集合A={x|m−1≤x≤m+1}，B={x|0≤x≤3}，A⊆B，求m取值；补充变式A=∅的限制条件。 　　3.小组辨析任务：四人一组，整理∈与⊆混用典型错题，总结书写禁忌。 　　4.符号规范小游戏：符号接龙，随机给出两组集合，学生快速书写⊆、⫋、=符号。 　　5.当堂习题：集合关系判断题、子集计数填空题、简单参数取值题，标注共性易错点当堂过关。 　　6.学法小结：有限集合计数牢记2ⁿ相关结论；含参数包含问题解题固定流程：先讨论空集→数轴列不等式→求解范围→检验互异性。 （四）变式操练综合输出（7分钟・难点巩固） 1.基础仿写：给定有限集合，完整写出所有子集，标注空集与集合本身。 　　2.双人互查：两人一组，互相出题设置集合包含关系，对方借助数轴求解参数范围，互相批改步骤漏洞。 　　3.小组展示：选取2-3组学生数轴解题成果上台展示，全班共同纠正端点取值、空集遗漏错误。 　　4.错题整理：学生记录本节课典型易错题型，标注符号混用、漏算空集、计数遗漏等错误原因。 （五）课堂小结（3分钟） 1.知识小结：回顾子集、真子集、相等集合、空集定义与核心性质；⊆、⫋、=、∅符号；Venn图、数轴两种表示方法；子集计数公式。 　　2.方法小结：总结“对比元素判断包含关系—图形辅助直观表达—有限集合直接计数—含参集合先讨论空集”完整解题流程。 　　3.素养小结：体会集合符号语言层级严谨性，建立数形结合、分类讨论的逻辑推理思维。 （六）当堂检测（1分钟） 1.子集、真子集符号快速书写，∈与⊆区分填空； 　　2.二元集合子集快速列举，简单数集包含关系判断。 （七）分层作业布置（1分钟） 基础层（基础薄弱生） 　　1.熟记子集、真子集、空集定义与符号，抄写2遍；默写空集两条核心性质； 　　2.完成教材基础习题，熟练写出二元、三元有限集合全部子集； 　　3.绘制三组Venn图，分别表示子集、真子集、相等集合。 　　提升层（中等生） 　　1.默写核心概念、符号、子集计数公式，整理课堂错题，标注错误点； 　　2.完成6道有限集合子集计数题，完整写出全部子集； 　　3.基础数轴包含参数题3道，规范画出数轴标注端点。 　　拓展层（优等生） 　　1.归纳∈与⊆全部混用易错点，整理对比表格；总结子集计数四类结论适用条件； 　　2.完成含参数集合包含综合题3道，完整书写空集分类讨论过程； 　　3.自主设计8道概念辨析题，区分元素从属、集合包含两类关系。 三、板书设计 1.2集合间的基本关系 　　1.核心概念与符号 　　子集：A⊆BB⊇A 　　真子集：A⫋BB⫌A 　　集合相等：A=B 　　空集：∅ 　　2.两层关系区分 　　元素与集合：∈∉ 　　集合与集合：⊆⫋ 　　3.空集性质 　　∅⊆任意集合 　　∅⫋任意非空集合 　　4.有限集合计数 　　n个元素：子集2ⁿ真子集2ⁿ−1 　　5.解题要点：含参包含问题优先讨论空集，数轴辅助，检验互异性 四、教后反思 本节课依托上一节集合知识复习衔接导入，利用Venn图、数轴数形结合降低抽象概念理解难度，分层例题、小组辨析活动梯度清晰，多数学生能够区分子集、真子集概念，规范书写基础集合关系符号，掌握简单有限集合子集计数，基本达成教学目标。 　　存在不足：部分学生无法区分∈与⊆，频繁混用两层关系符号；处理参数包含问题时直接忽略子集为空集的分类讨论；数轴表示数集包含时端点虚实取值判断失误；有限集合计数时常漏写空集或集合本身；少数学生对空集是任意集合子集这条性质记忆模糊。 　　后续改进：增加大量∈与⊆对比辨析专项训练；增设含参数空集分类讨论专题练习；设计数轴端点取值错题专项过关训练；课堂增加符号书写限时规范练习，细化小组互评标准，持续完善教学评一体化闭环。 第二部分 学案 1.2集合间的基本关系导学案 班级： 姓名： 学号： 得分： 分 一、学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集定义，掌握空集两条核心性质，能借助Venn图、数轴判断集合间包含关系。 　　2.熟练区分∈、⊆、⫋符号，规范书写集合间关系表达式。 　　3.掌握n元集合子集、真子集计数公式，完整列举有限集合全部子集。 　　4.能结合分类讨论、数形结合解决含参数集合包含问题，形成严谨解题习惯。 二、预习导学 （一）概念填空预习 1.若集合A任意元素都属于B，则A是B的________，记作________。 　　2.若A⊆B且B⊆A，则________；若A⊆B且B存在元素不属于A，则A是B的________，记作________。 　　3.不含任何元素的集合叫________，符号________；空集是任意集合的________，是任意非空集合的________。 　　4.若集合含有n个元素，子集总数________，真子集总数________。 （二）基础判断预习（对√，错×） 1.1⊆{1,2}书写正确（） 　　2.∅没有子集（） 　　3.{1,2}与{2,1}是相等集合（） 　　4.集合{1}的真子集只有∅（） （三）预习疑点 阅读教材例题，圈画含参数集合、数轴表示集合关系相关疑问，课堂重点探究。 三、课中合作探究 （一）集合关系辨析探究 　给出集合A={1,3,5}，B={1,2,3,4,5}，C={3,1,5} 　　填空：A________B；A________C；C________B 　　依据________定义判断。 （二）子集计数探究 　集合M={2,4}，写出全部子集：________；真子集个数________。 （三）参数空集探究 　已知集合A={x|a<x<a+2}，B={x|1≤x≤4}，若A⊆B，首先需要考虑的特殊情况是________。 四、课堂达标自测 （一）概念填空（20分） 1.空集符号________；空集是{1,2}的________（填子集/真子集）。 　　2.四元素集合子集总数________，非空真子集个数________。 　　3.2________{1,2}；{2}________{1,2}（填∈/⊆/⫋）。 （二）集合关系书写（30分） 1.写出集合{0,1}全部子集 　　2.用符号连接：A={x|x>5}，B={x|x>3}，则A__B 　　3.判断正误并改正：∅⫋∅ （三）简答计算（50分） 已知集合A={x,1,3}，B={1,2,3}，若A⊆B，求x可取的全部数值，写出完整理由。 导学案参考答案 二、预习导学 （一）1.子集；A⊆B2.A=B；真子集；A⫋B3.空集；∅；子集；真子集4.2ⁿ；2ⁿ−1 　　（二）1.×2.×3.√4.√ 三、课中合作探究 （一）⫋；=；⫋；子集、真子集、集合相等 　　（二）∅，{2}，{4}，{2,4}；3 　　（三）A=∅（即a≥a+2，无解，此情况不存在） 四、课堂达标自测 （一）1.∅；真子集2.16；143.∈；⫋ 　　（二）1.∅，{0}，{1}，{0,1}2.⫋3.错误，空集没有真子集，无正确写法 　　（三）解：由A⊆B可知A中元素只能取自{1,2,3}，结合集合互异性x≠1且x≠3，故x=2。 第三部分 测评案 1.2集合间的基本关系同步测评 满分：100分时间：40分钟 一、概念填空与符号运用（20分） 1.空集是任意非空集合的________；符号________表示真包含。 　　2.三元素集合子集个数________，真子集个数________。 　　3.∅________{0}（填⊆/⫋/∈）；0________{0}（填∈/⊆）。 　　4.若A⊆B且B⊆A，则________。 二、基础判断题（每题4分，共20分，对打√，错打×） 1.{∅}是空集（） 　　2.若A⫋B，则一定有A⊆B（） 　　3.2ⁿ代表n元集合真子集总数（） 　　4.数轴上A集合全部点都在B内部，则A⊆B（） 　　5.∅⊆∅成立（） 三、集合关系书写与计数（30分） 1.写出集合{−1,0}全部子集（10分） 　　 2.用正确符号连接集合M={x|−2<x<2}，N={x|−3<x<3}（10分） 　　 3.判断并改正错误写法：1⊆{1,3,5}（10分） 四、解答题（15分） 已知集合A={x|t≤x≤t+3}，B={x|0≤x≤5}，若A⊆B，求实数t的取值范围。 五、综合辨析简答（15分） 区分符号∈与⊆的使用对象，分别举一组正确实例、一组错误实例说明两层关系不能混用。 测评案参考答案 一、概念填空与符号运用 1.真子集；⫋2.8；73.⫋；∈4.A=B 二、基础判断题 1.×2.√3.×4.√5.√ 三、集合关系书写与计数 1.∅，{−1}，{0}，{−1,0} 　　2.M⫋N 　　3.错误，1是元素不能用包含符号，正确写法：1∈{1,3,5} 四、解答题 解：由A⊆B可得不等式组 　　{t≥0 　　{t+3≤5 　　解得0≤t≤2，即t取值范围为[0,2]。 五、综合辨析简答 ∈用于元素与集合之间（一层关系）；⊆用于集合与集合之间（二层关系）。 　　正确实例：2∈{1,2}；{2}⊆{1,2} 　　错误实例：2⊆{1,2}（元素不能包含于集合）；∅∈{1,2}（集合不能作为元素属于数集）。 学科网（北京）股份有限公司 $