第十三章三角形单元测试卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 第十三章三角形单元测试卷，全面覆盖三角形核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，培养几何直观、推理能力与空间观念，适配初中数学单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|共边三角形、直角三角形判定、稳定性、等腰三角形分类|结合图形辨析，考查几何直观与空间观念| |填空题|6题|内角和、稳定性规律（n边形）、三边关系、方位角计算|通过规律探究（如n边形稳定性木条数量）培养创新意识| |解答题|8题|等腰三角形证明、周长计算、中线性质、平移应用、动点问题|综合考查推理能力（如角平分线证明）与数学思维（如动点分类讨论）|

第十三章三角形单元测试卷 一、单选题 1．如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】B 【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对． 故选：B． 2．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 3．在中，，则边的长度可以是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三边关系求出的取值范围，再结合选项即可解答． 【详解】解：设的长度为． ∵ ， ∴ ，代入得 ，即． 观察选项，只有B选项的满足． 4．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．直角三角形 B．长方形 C．五边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据三角形的稳定性即可得到答案． 【详解】解：A、直角三角形具有稳定性，故此选项正确； B、长方形不具有稳定性，故此选项不正确； C、五边形不具有稳定性，故此选项不正确； D、正六边形不具有稳定性，故此选项不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的性质，解题的关键是掌握三角形具有稳定性． 5．在中，和都是锐角，且，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，由，和都是锐角，可得，，故，可得是钝角三角形，解题的关键是掌握的三角函数值． 【详解】解：∵，和都是锐角， ∴，， ∴ ∴是钝角三角形， 故选：． 6．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 7．若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 【详解】解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为， 故选C． 8．如图，在中，过点作直线，和的平分线分别交于点、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点，易得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵， ∴． 和的平分线分别交于点、， ，． ， ∴． ． 9．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 10．如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据三角形内角和定理表示出，根据平角的定义表示出，进而根据角平分线的性质以及三角形的外角的性质表示出，结合选项，即可求解． 【详解】解：∵，， 设 ∴ 又∵ ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴ ∴ 即． 二、填空题 11．一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形． 【答案】 直角 等腰 【分析】本题主要考查了比的应用，三角形内角和定理，三角形的分类，理解题意，正确进行计算是解题的关键． 根据三角形的内角度数和是，三角形的最大的角的度数占内角和度数和的，再根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可． 【详解】解：， 最大的角为：， 其余两个角都是， 这是一个直角三角形， 按边分，这是一个等腰三角形， 故答案为：；直角；等腰 12．（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【答案】 【分析】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【详解】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 13．一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由三角形的三边关系得到：， ∴， ∴． 14．如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向．那么从岛看，两岛的视角的度数为______． 【答案】 【分析】设交于点，根据已知可得，根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， 依题意， ∴ ∴ 15．如图，在 中，，，的平分线交于点E，点D为上一点，且，与交于点M （1）__________． （2）若于点，，则的长为__________． 【答案】 45 4 【分析】本题考查了直角三角形的性质（含角）、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识．解题的关键是利用角度关系推导角的度数，结合角直角三角形的特殊性质及勾股定理计算线段长度． （1）通过直角三角形角度关系、角平分线性质及等腰三角形性质，推导角度间的数量关系，得出的度数． （2）通过角平分线和直角三角形性质推导出，结合 判定 为等腰直角三角形，得 ；再利用 角所对直角边等于斜边一半，在 中得 ，在 中得 ，进而得 ． 【详解】（1）在中，，，则． ∵ 是的平分线， ∴． 由于为等腰三角形，，故． ，则． 在中，． 又因为与互补，所以． 故答案为：． （2）∵平分，， ∴，又， ∴，又得， ∴，又由（1）知 ∴， 结合知，是等腰直角三角形， ∴． 在中，，则， 在中，，则， 因，则． 故答案为： 16．若实数满足，则以的值为边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得到和的值，然后再利用等腰三角形性质和三角形三边关系进行解题 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， ①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、， ∵， ∴能组成三角形，周长为； ②5是底边时，三角形的三边分别为5、、， ∵ ∴能组成三角形， 周长． 综上所述，等腰三角形的周长是或． 故答案为或． 三、解答题 17．已知：如图，在中，，平分外角．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据平行线的性质和角平分线的定义，得出，即可证明结论． 【详解】证明：， ，， 平分外角， ， ， ， 是等腰三角形． 18．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 19．如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 20．如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)2cm (2)． 【分析】（1）结合是的中线，得到，根据三角形的周长公式求解即可； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 【答案】18 【分析】连接，得，结合是的三等分点，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 又∵是的三等分点， ∴． 22．如图，在中，，将沿所在直线向右平移得． (1)求四边形的周长； (2)已知，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的性质可得答案； （2）过作于，再求解上的高，进一步利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由平移可得，，， ∵， ∴四边形的周长为： ． （2）解：如图，过作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积为：． 23．小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【答案】（1）3，6；（2），，图见详解；（3） 【分析】本题主要考查了图形规律探索，利用数形结合正确找出三角形的个数与n边形内点的个数关系是解题的关键． （1）根据三角形内有1个点时，三角形个数为3；四边形内有2个点时，三角形个数为6； （2）根据四边形内有2个点时，三角形个数为6；四边形内有1个点时，三角形个数为4；得出三角形个数为5时，多边形是三角形，三角形内的点数大于1，验证即可； （3）由（1）（2）中的规律可得n边形的规律． 【详解】解：（1）如图①，三角形内有1个点时，三角形个数为3， 即当，时，； 如图②，四边形内有2个点时，三角形个数为6， 即当，时，； 故答案为：3；6； （2）当，时，；当，时，； 故当时，， 当，时，如图，； 综上，，； （3）根据（1）（2）可知当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 当，时，； 当，时，； 综上，． 24．如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第十三章三角形单元测试卷 一、单选题 1.如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边 的“共边三角形”有() A.2对 B.3对 C.4对 D.6对 2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，DF⊥AB于F,DF交AC于 E,图中有()个直角三角形. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.在△ABC中，AB=2,AC=4,则边BC的长度可以是(). A.2 B.4 C.6 D.8 4.下列图形中，具有稳定性的是（) A.直角三角形B.长方形 C.五边形 D.正六边形 5,在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，月cosA=3 2,anCs③ 3,则△ABC是() A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.不确定 6.已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为() A.75° B.90° C.105°或75 D.120°或20° 7.若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x-5≤0的正整数解.则等腰三 角形的周长为() 试卷第1页，共3页 A.3 B.4 c.5 D.4或5 8.如图，在Rt△ABC中，过点A作直线DE,∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点E、 D,则∠D+∠E=() A.30° B.45° C.60° D.65 9.如图，∠ABM是锐角，点C从点B出发沿BM方向运动，连结AC,关于△ABC的形状 变化情况，下列说法正确的是() M A.钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B.钝角三角形一直角三角形一钝角三角形 C.钝角三角形一直角三角形→锐角三角形一钝角三角形 D.以上说法都不对 1O,如图，C为线段AB上一点，分别以AC,BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE, 且∠D=∠E=2LDAC=2LEBC.若LDAC的平分线与∠ECB的平分线交于点F,则 ∠DCE与∠F的数量关系为() A.∠DCE=∠F B.∠DCE+3∠F=90° C.∠DCE+4∠F=180° D.∠DCE+6∠F=360° 二、填空题 11.一个三角形的三个内角的度数比是1：1：2，其中最大的一个角是( )度，按角分， 这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形 12.(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上 根木条： 试卷第2页，共3页 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上 根木条： (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上 根木条： (4)n(n≥4) 边形不具有稳定性，要使”边形木架不变形，至少要再钉上 根木 条 13.一个三角形的三边长分别为2,3a+1,11,则a的取值范围是 14.如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东58°方向，C岛在B岛的北偏东 24°方向.那么从C岛看A,B两岛的视角∠ACB的度数为一· 北 北 EA DA B 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BE交AC于点 E,点D为AB上一点，且AD=AC,CD与BE交于点M (1)∠DMB= (2)若CH⊥BE于点H,AB=16,则MH的长为 16若实数y满足x-22+V5-=0 则以y的值为边长的等腰三角形的周长为 三、解答题 17.己知：如图，在△ABC中，AD∥BC,AD平分外角∠EAC.求证：△ABC是等腰三 角形 试卷第3页，共3页 18.己知△ABC的三边长分别为a,b,c. (I)若a=9,b=5,且c为整数，求△ABC周长的最大值. (2)化简： b+c-a-c-a-b-a-b+c 19.如图，在△ABC中，BC=8,，AB=1. D (1)求周长C的取值范围： (2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为I0,求△BCD的周长. 20.如图，在△ABC中，AD,AE,AF分别是△ABC的高、角平分线、中线. FED (1)若AB=12cm,AC=10cm,求△ABF与△ACF的周长之差： (2)当∠B=30°，∠C=50°时，求∠DAE的度数. 21.如图，E是BC的三等分点，AC=CF=FD,如果三角形CFE的面积等于6，那么三 角形ABC的面积是多少？ B 试卷第4页，共3页 22.如图，在△ABC中，AB=5cm,AC=3cm,BC=4cm,将△ABC沿AB所在直线向右平 移lCm得△DEF」 C F B E (I)求四边形AEFC的周长； (2)已知∠ACB=90°，求四边形AEFC的面积. 23.小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割 三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取l个点，连同边 形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到边形内所有 区域都变成三角形.设分得三角形的个数为y(不计被分割的三角形)· 图① 图② 【问题解决】 (1)如图①，当n=3,m=1时，y=；如图②，当n=4,m=2时，y=一： 【问题探究】 (2)当y=5时，直接写出n,m的值，并画出图形： 【拓展延伸】 (3)直接写出y,m,n之间的关系：y= 24.如图1，在△ABC中，a、b、C分别是∠A、∠B、∠C的对边，点P从点A出发，沿 折线AC-CB-BA以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点从点C出发，沿CB以每 秒1个单位的速度向终点B运动.设点Q的运动时间为秒. 试卷第5页，共3页 D 图1 图2 (1)若∠ACB=90°，(a-6)+3a-2b-2=0 ①a=,b=_: ②当2<1<3时，若5am=2 ,求的值： (2)如图2，当点P运动到线段AB上，AQ与CP交于点D,若AQ为BC边上的中线， AP=4BPS△AP阳=18 ,请直接写出 POD 的面积 试卷第6页，共3页