空间向量与立体几何复习训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间向量与立体几何复习 班级________姓名_________ 一．选择题 1．已知向量，，，，若，则实数的值为 A．3 B． C． D． 2．已知空间向量，2，，，5，，则 A．，7， B． C．，， D． 3．已知，，，若，，，四点共面，则　 A．3 B． C．7 D． 4．在四棱锥中，四边形是平行四边形，是棱的中点，且，则 A． B． C． D． 5．若，，，则在上的投影向量的模为 A． B． C． D． 6．已知平面的一个法向量为，，，，2，是平面外一点，，0，是平面内一点，则直线与平面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 二．多选题 7．下列结论正确的是 A．若，，为空间的一组基底，则，，也能构成空间的一组基底 B．若，，为空间的一组基底，则不存在，，使得 C．若为直线的一个方向向量，为平面的法向量，则 D．若，0，，，3，，则对任意实数，，不共线 8．已知空间四点，0，，，1，，，0，，，2，，则下列说法正确的是 A． B． C．点到直线的距离为 D．，，，四点共面 9．已知菱形的边长为2，，沿对角线将△折起，得到如图所示的三棱锥．设，是棱上靠近的三等分点，是的中点，且，则下列结论正确的有 A． B． C．棱的长为 D．异面直线与所成角的余弦值为 三．填空题 10．已知向量，若，则_______． 11．已知点，0，在平面内，的一个法向量为，则点，0，到平面的距离为_______． 12．已知棱长为的正四面体的外接球球心为，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角的正弦值为_______． 四．解答题 13．如图，在正三棱柱中，，为的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 14．如图，在四棱锥中，侧面平面，△是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． （1）求证：； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将△沿着翻折成△，使平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 空间向量与立体几何复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D C C A B 二．多选题（共3小题） 题号 7 8 9 答案 BCD ABC ABD 一．选择题（共6小题） 1．已知向量，，，，若，则实数的值为　　 A．3 B． C． D． 【解答】解：因为向量，，，，且， 所以， 解得． 故选：． 2．已知空间向量，2，，，5，，则　　 A．，7， B． C．，， D． 【解答】解：空间向量，2，，，5，， 则，7，，错误； ，错误； ，6，，5，，1，，错误； ，正确． 故选：． 3．已知，，，若，，，四点共面，则　　 A．3 B． C．7 D． 【解答】解：因为，，，四点共面，所以，，共面， 不妨设， 所以，解得． 故选：． 4．在四棱锥中，四边形是平行四边形，是棱的中点，且，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：画出图形，如图所示： 因为四边形是平行四边形，是棱的中点，且， 所以， 则． 故选：． 5．若，，，则在上的投影向量的模为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，， 又，所以， 又， 所以在上的投影向量的模为 ． 故选：． 6．已知平面的一个法向量为，，，，2，是平面外一点，，0，是平面内一点，则直线与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：易知，因为平面的一个法向量为，，， 所以所求角的正弦值为． 故选：． 二．多选题（共3小题） （多选）7．下列结论正确的是（　　） A．若，，为空间的一组基底，则，，也能构成空间的一组基底 B．若，，为空间的一组基底，则不存在，，使得 C．若为直线的一个方向向量，为平面的法向量，则 D．若，0，，，3，，则对任意实数，，不共线 【解答】解：由，可知，，共面，不能构成空间的一组基底，故错误； 若存在，，使得，则共面，不能构成空间中的基底，故正确； 若为直线的一个方向向量，为平面的法向量，则，故正确； 因为，所以对任意实数，不共线，故正确． 故选：． （多选）8．已知空间四点，0，，，1，，，0，，，2，，则下列说法正确的是　　 A． B． C．点到直线的距离为 D．，，，四点共面 【解答】解：由题意可知，，，， 所以，故正确； 又，，， 所以，故正确； 因为，所以，，所以点到直线的距离为，故正确； ， 假设若，，，四点共面，则共面， 设，因不共线， 则，此方程组无解，所以，，，四点不共面，故错误． 故选：． （多选）9．已知菱形的边长为2，，沿对角线将△折起，得到如图所示的三棱锥．设，是棱上靠近的三等分点，是的中点，且，则下列结论正确的有（　　） A． B． C．棱的长为 D．异面直线与所成角的余弦值为 【解答】解：因为是棱上靠近的三等分点，是的中点， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以，故正确； 因为菱形的边长为2，，所以，， 因为， 所以 ，解得，故正确； 因为，所以． 在三棱锥的侧面中，由余弦定理得，故错误； 因为， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故正确． 故选：． 三．填空题（共3小题） 10．已知向量，若，则 　　． 【解答】解：因为，，且， 所以，解得． 故答案为：． 11．已知点，0，在平面内，的一个法向量为，则点，0，到平面的距离为 ． 【解答】解：由，0，，，0，， 可得，又的一个法向量为， ，， 所以． 故答案为：． 12．已知棱长为的正四面体的外接球球心为，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角的正弦值为 ． 【解答】解：取的中点为，连接，则点在底面内的射影在上，且， 以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，，分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为正四面体的棱长为，所以，因此，，， 所以，0，，，，，，， 由可得， 易知正四面体的外接球球心在上， 设正四面体的外接球半径为，即， 在△中，，即解得， 因此，所以， 过点作球的截面，若截面面积为， 则截面圆半径满足，因此， 因此球心到截面距离为， 又，所以， 设直线与该截面所成的角为， 则直线与该截面所成的角的正弦值为． 故答案为：． 四．解答题（共3小题） 13．如图，在正三棱柱中，，为的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【解答】解：（1）取的中点，连接， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以△为正三角形，所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，直线、分别为轴、轴， 平面内过与平行的直线作为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，0，，，6，，，3，． 所以，， 所以，， ， 所以点到直线的距离． （2）根据，6，，，3，， 可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 14．如图，在四棱锥中，侧面平面，△是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． （1）求证：； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）证明：因为平面平面，平面平面， 又，平面， 平面， 平面， ． （2）取的中点，连接，，由△为等边三角形，可得， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 因为且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又， 所以，直线、、两两垂直， 以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，1，，，0，，，，，， 则，，， 令，，， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，， 所以， 所以平面的一个法向量为， 所以， 化简得，又，， 故解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 15．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将△沿着翻折成△，使平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解答】（1）证明：在梯形中，连接， 因为是的中点，，所以， 又，所以四边形是平行四边形， 同理可证四边形也是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，所以， 翻折后，有， 因为，，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形， 所以，所以平面． （2）解：因为平面，平面，所以， 由（1）知，，故，，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以△为等边三角形，同理△也为等边三角形， 所以， 所以，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 易知平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，，如图所示， 所以，即，，，四点共面， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/10 10:13:26；用户：彭志凯；邮箱：suigao42@xyh.com；学号：30762996 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $