广东六校2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期高二期末考试 数学科试题 (满分150分。考试时间120分钟.) 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在 答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={xlx2-2x-3<0,集合B={-2,-1,V3,1,2,则AnB=（ A.{1,23 B.{3,1,2} C.{-2,-1} D.{-2,-1,1,2} 2.若函数f(x)=lnx+ax在点x=1处的切线与直线y=2x+1平行，则该切线方程为( A.y=2x+1 B.y=2x C.y=2x-3 D.y=2x-1 3.已知一饭店近五年“十一”黄金周期间的利润如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号x 1 2 3 4 5 利润y万元 33 9a 80 90 107 根据表中数据可知x,y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为9=20x+11,则下列结论 正确的是( ) A.2026年“十一”黄金周期间该饭店的利润一定为131万元； B.a=6; C.当x=2时，残差为-6； D.点(4,20a)一定在经验回归直线上 4.若圆C:x2+y2=1与圆E:x2+y2-6x-6y+7=0交于M,N两点，则直线MW的倾斜角为 A牙 B￥ c.- D.-买 5.已知离散型随机变量X的分布列如右表所示.则随机变量X的数学期望 X 0 是（) 0.51 1-2q 92 A.0.58 B.3.38 C.3.38或0.58 D.0.64 (第5愿表) 数学试卷第1页/共4页 6.己知知识问答竞赛满分150分，甲乙两班各有50名学生参加考试，其中甲班成绩X~W(90,900), 乙班成绩Y~N(95,400),则下列说法正确的是（) A.甲班成绩在80分及以下的人数少于乙班， B.乙班成绩在110分及以上的人数少于甲班， C.甲、乙两班成绩在90~95分的人数占比相同. D.甲班成绩在80~100分与乙班成绩在85~105分的人数占比相同. 7.已知函数f(x)=axex-x3,若对任意的x1,x2∈(0，+o)(x1≠2)都有)-f2>0,则 x1-x2 实数a的取值范围是( ） A.（-∞，) B.(-o,e] c.E,+∞) D.(e,+∞ 8.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在 杨辉三角 “杨辉三角”中，下列叙述正确的是() 第0行 第1行 11 A.第12行中第6个数最大。 第2行 121 B.第2026行中从左往右第1013个数与第1014个 第3行 1331 数相等 第4行 14641 第5行 C.C3+C?+C+…+C-2=C%+1 15101051 第6行 1615201561 D.第19行中第8个数与第9个数之比为2：3. 第7行172135352171 第8行18285670562881 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题 目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分。 9.若(1-6x)2026=a+a1x+a2x2+…+a2026x2026,则( A.laol+lal+la21+...+la20261 =72026 B.ao=0; C.名+g+号+…+=-1： 6 D.a1+2a2+3a3+…+2026a2026=-12156×52025 10.3名女生和4名男生随机站成一排，下列计算正确的是（) A.3名女生站在一起，4名男生也站在一起的站法有144种： B.3名女生互不相邻，4名男生也互不相邻的站法有144种： C.男生甲不站排头，女生乙不站排尾的站法有3/20种： D.每名女生旁边都有男生的概率为号 1山.设函数g(x)=n(1+e-乏，xER,则下列说法正确的是（ A.g(x)是偶函数； B.g(x)在x=0处取得极小值： C.方程1n(1+e)=2x有且仅有一个实根： D.对任意x∈R,都有g(x)≥n2+ 8 数学试卷第2页/共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点0，都满足AD=20万+(2-3m)0E+m0C.若 A,B,C,D四点共面，则m= 13.己知圆M:(x+2)2+y2=36,点A(2,0),若点P是圆M上一动点，线段AP的中垂线L与直线MP 相交于点Q.则点Q的轨迹方程为 14.已知函数f(x)=e*2x-卫，若函数g(x)=f(x)]+(a+1)f(x)+a有三个不同的零点，则实数a X-1 的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC/AD. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD: (2)设PA=AB=BC=2,求平面PAC与平面PAB夹角的余弦值. 16.(15分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=2a2+1,S4=4S2,等比数列{bn}的前n项和为Tn,且 bm+1=2Tn+2(n∈N*). (1)求数列{an},{bn]的通项公式 (2)若cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Rn 17.(15分) 已知双曲线c:苔-若=1(a>0,6>0的实轴长为4，离心率e=号 (1)求双曲线C的方程.： (2)过点M(4,1)的直线与双曲线C相交于A,B两点，是否存在直线使得点M是弦AB的中点？ 若存在，求△OAB的面积.若不存在，请说明理由. 数学试卷第3页/共4页 18.(17分) 2026年美加墨世界杯激战正酣，球队甲在备战世界杯期间，球队数据分析师搜集了其他队伍球员 的惯用脚以及射门方向偏好的相关数据，抽取惯用脚为左脚和右脚的球员各100人进行数据分析，得 到如下2×2列联表： 惯用脚 射门方向偏好 合计 球门左侧 球门右侧 左脚 右脚 70 合计 其中射门方向偏好球门左侧的人数占样本总数的45%，惯用脚为右脚的球员中射门方向偏好球门 左侧的有70人. （1)请根据已知条件将上述2×2列联表补充完整，根据小概率值=0.001的独立性检验，分析 球员射门方向偏好是否与球员的惯用脚有关联. (2)学校为了提升学生对足球的兴趣，计划举行足球“班超”联赛，高二1班为了备战“班超”， 利用课余时间在A,B两个点位进行射门练习.第一次随机选择一个位置射门，如果在该位置进球，则 换到下一个位置继续练习，如果没有进球，则继续在该位置练习，如此循环往复，已知小明在A位置 练习进球的概率为0.6，在B位置练习进球的概率为0.3，每次练习是相互独立的 (i)求小明第i次在点位A进行射门练习的概率P: (i)由于时间限制，队长规定每个同学在每个点位射门进球1个，则练习结束，每个同学至多 进行5次射门练习.设X表示小明结束训练时射门的次数.求X的分布列. 参考公式与相关数据：X2=a+b)a+9o+四c+画 n(ad-bc)2 临界值表 0.01 0.005 0.001 Xa 6.635 7.879 10.828 19.(17分) 已知函数f(x)=ex+ax2-1. (1)若H(x)=f'(x),讨论函数H(x)的单调性， (2)若a=0,证明不等式f(x)≤-2+2在[0,1]上恒成立： (3)若g(x)=f(x)·f'(x),且g(x)在(0,2e)上只有一个零点，求a的取值范围. 数学试卷第4页/共4页 2025-2026学年第二学期高二期末考试 数学科答案及评分标准 一、 选择题（每小题5分，共40分） 题号 2 4 5 7 8 答案 B D B A B C D 二、选择题（每小题6分，共18分) 题号 9 10 11 答案 AC BCD ABC 三、填空题（每小题5分，共15分) 题号 12 13 14 x2 答案 y2 3 2 =1 95 0,-4e2U(-1,0) 四、解答题 15.（1)证明：在四棱锥P-ABCD中 因为PA⊥底面ABCD,ABC底面ABCD,所以PA⊥AB …2分 因为AB⊥PA,AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD 所以AB⊥平面PAD …5分 又因为ABC平面PAB 所以平面PABL平面PAD …6分 (2)【法一】因为PA⊥底面ABCD,AB,ACC底面ABCD 则PA⊥AB,PA1AC,…7分 又因为平面PAB∩平面PAC=PA,ABC平面PAB,ACC平面PAC 所以∠BAC是平面PAC与平面PAB夹角的平面角…9分 在四边形ABCD中，AB⊥AD,BC/AD,所以BA⊥BC 在Rt△ABC中，PA=AB=BC=2,所以∠BAC=45°…10分 数学参考答案第1页/共7页 所以COSLBAC= 2 …12分 即平面PAC与平面PAB夹角的余弦值为 …13分 【法二】由(1)知，AB⊥AD,AB⊥AP,AD⊥AP 以A为坐标原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示 空间直角坐标系…7分 因为PA=AB=BC=2 所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2) 因为AB⊥AD,AD⊥PA,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB 所以AD⊥平面PAB…8分 所以AD=(0,3,0)是平面PAB的一个法向量…9分 设平面PAC的法向量为7=(x,y,Z) B 因为AP=(0,0,2),AC=(2,2,0) 则元1A 则{元：P=2z=0 x=1 令x=1, =-1 元⊥AC (n·AC=2x+2y=0 Z=0 所以7沉=(1，-1,0)…11分 设平面PAC与平面PAB夹角为8 则cas0=los(D,--最-兰 …12分 2 所以平面PAC与平面PAB夹角的余弦值为汽 …13分 16.解：(1)设等差数列{an3的公差为d. a1=1 Id=2 …2分 所以an=1+2(n-1),即an=2n-1(m∈N*) …3分 在等比数列bn}中，bn+1=2Tn+2 ① 当n≥2时，bn=2Tn-1+2 ② 由①-②得：bn+1-bn=2(Tn-Tn-1)=2bn 所以b+1=3bn,即等比数列{bn}的公比q=3 …5分 在①中令n=1得：b2=2b1+2,即3b1=2b1+2 所以b1=2…6分 所以bn=2X3n-1(n∈N*)…7分 (2)cn=am·bn=(2n-1)×2×3n-1=(4n-2)·3m-1…8分 则Rn=C1十c2+C3+…+Cn 所以Rm=2×30+6×31+10×32+…+(4n-2)3-1③9分 3Rn= 2×31+6×32+…+(4n-6)·3n-1+(4n-2)·3n④…10分 数学参考答案第2页/共7页 ④-③得：2Rn=-2-4·(3+32+…+3n-1+(4n-2)·3n…11分 =-2-4333+(4n-2）-3n…13分 1-3 =-2+2·3n-6+(4n-2)·3n =(4n-4)·3n+4…14分 所以Rn=(2n-2)·3n十2…15分 17.解：（1)依题意：2a=4,则a=2…2分 又因为e=后=至=复所以c=V5g分 所以b2=C2-a2=1…4分 所以双曲线c的方程为号-y2=1 …5分 (2)设A(X1,y1),B(X2,y2)…6分 因为A,B为直线与双曲线C的交点 所以 -y=1① 4 由①-②得：好-经-0y?-y)=0…7分 4 4 -y2=1② 即(x1+x2)(x1-x2)-40y1+y2)0y1-y2)=0 因为点M(4,1)是弦AB的中点，所以x1+x2=8,y1+y2=2 所以k4B=光=1……8分 此时直线的方程为y-1=x-4,即x-y-3=0…9分 x-y-3=0 联立三y=1,消去y得：3x2-24x+40=0 则△=(-24)2-3×4×40=96>0…10分 所以存在直线l:x-y-3=0,使得点M(4,1)是弦AB的中点 则由韦达定理：x1十x2=8,X1x2=想…11分 3 所以AB1=Vx-x2+01-%=V1+I卫图-号V5…12分 点0(0,0)到直线的距离d=31=V2 …13分 12+(-1)2 2 所以Soan=引ABld-×号3×万=2v6 …15分 18.解：(1) 惯用脚 射门方向偏好 球门左侧 球门右侧 合计 左脚 20 80 100 右脚 70 30 100 合计 90 110 200 …1分 数学参考答案第3页/共7页 零假设Ho:球员射门方向偏好与球员的惯用脚无关…2分 则x2=200x20x3070x802≈50.505>10.828…3分 100×100×90×110 根据小概率值=0.001的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为球员射门方 向偏好与球员的惯用脚有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. …4分 (2) (1)设A;=“小明第i次在点位A进行射门练习” B:=“小明第次在点位B进行射门练习” 当i≥2时，A;=A:-1A:UB-1A1… …5分 所以p:=P(A)=P(A-1A)+P(B:-1A) …6分 P(AilAi-1)P(Ai-1)+P(AilBi-1)P(Bi-1) =(1-0.6)p-1+0.3(1-p-1） 即p三p1十严 …7分 设p+入=品0p-1+),则1=-号 即p-(p-1-) 因为p=子所以p-=君 所以数列p:-}是首项为公比为品的等比数列 …8分 10 所以-×（侣）” …9分 + …10分 （ii)X的可能取值为2,3,4,5…11分 {X=2)=“小明第一次在A点位练习射门进球且第二次在B点位练习射门进球” 或“小明第一次在B点位练习射门进球且第二次在A点位练习射门进球” 则P(X=2)=0.5×0.6×0.3+0.5×0.3×0.6=0.18…12分 {X=3}=“小明第一次在A点位练习射门进球、第二次在B点位练习射门不进球 且第三次在B点位练习射门进球”或“小明第一次在A点位练习射门不进球、第二 次在A点位练习射门进球且第三次在B点位练习射门进球”或“小明第一次在B点 位练习射门进球、第二次在A点位练习射门不进球且第三次在A点位练习射门进 球”或“小明第一次在B点位练习射门不进球、第二次在B点位练习射门进球且 第三次在A点位练习射门进球” 则P(X=3)=0.5×0.6×0.7×0.3+0.5×0.4×0.6×0.3+0.5×0.3×0.4× 0.6+0.5×0.7×0.3×0.6=0.198…13分 {X=4}=“小明第一次在A点位练习射门进球、第二次在B点位练习射门不进球、 第三次在B点位练习射门不进球、第四次在B点位练习射门进球”或“小明第一 次在A点位练习射门不进球、第二次在A点位练习射门进球、第三次在B点位练习 射门不进球、第四次在B点位练习射门进球”或“小明第一次在A点位练习射门不 进球、第二次在A点位练习射门不进球、第三次在A点位练习射门进球、第四次在 B点位练习射门进球”或“小明第一次在B点位练习射门进球、第二次在A点位练 数学参考答案第4页/共7页 习射门不进球、第三次在A点位练习射门不进球、第四次在A点位练习射门进球” 或“小明第一次在B点位练习射门不进球、第二次在B点位练习射门进球、第三 次在A点位练习射门不进球、第四次在A点位练习射门进球”或“小明第一次在B 点位练习射门不进球、第二次在B点位练习射门不进球、第三次在B点位练习射 门进球、第四次在A点位练习射门进球” 则P(X=4)=0.5×0.6×0.7×0.7×0.3+0.5×0.4×0.6×0.7×0.3+0.5× 0.4×0.4×0.6×0.3+0.5×0.3×0.4×0.4×0.6+0.5×0.7×0.3×0.4×0.6+ 0.5×0.7×0.7×0.3×0.6=0.1674…15分 所以P(X=5)=1-[P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)]=0.4546…16分 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 p 0.18 0.198 0.1674 0.4546 …17分 19.解：(1)f(x)=ex+ax2-1 所以H(x)=f'(x)=ex+2ax定义域为R 则h'(x)=ex+2a …1分 ①若a≤0，则H'(x)>0恒成立 此时H(X)在R上单调递增…2分 ②若a>0,令H'(x)=0,则x=ln(-2a) 当x变化时，H'(x),H(x)变化如下 X (-∞，ln(-2a) In(-2a) In(-2a),+∞) H'(x) 0 H(x) 单调递减 2a·ln(-2a)-2a 单调递增 所以H(x)在(-oo,ln(-2a)上单调递减，在In(-2a),+oo)上单调递增3分 综上所述，当a≤0时，H(x)在R上单调递增 当a>0时，H(x)在(-oo,ln(-2a)上单调递减， 在n(-2a),十o∞)上单调递增…4分 (2)当a=0时，f0)=e*-1,要证f)≤-2+2 即证e*-1≤-2+名女 也即证明e*+1-2≤0在0,1]上恒成立， 令h)=e+1-22xe0,1小h)=e-a=6-…5分 (2-x)2 令k(x)=(2-x)2ex-4,x∈[0,1]，则k'(x)=-x(2-x)e*≤0 故k(x)在[0,1]上单调递减 所以k(x)≤k(0)=0,即e×(2-x)2-4≤0，…6分 所以h'(x)≤0，故h(x)在[0,1上单调递减…7分 数学参考答案第5页/共7页 h()≤h(0)=e0+1-2=0, …8分 故不等式f)≤-2+在[0,1]上恒成立. …9分 (3)若a≥0，则当x>0时，f(x)=ex+ax2-1>0 且f'(x)=ex+2ax>0 所以g(x)>0,此时没有零点.故只需考虑a<0.…10分 设c=-a,则c>0,f(x)=ex-cx2-1,f'(x)=ex-2cx, 先讨论f'(x)=0. 由ex-2cx=0得c=e …11分 x 设p()=袋，0<x<2e, 则ox)=ex,当x(0,1)时，p(x)<0,当xe(1,2e)时，p)>0, 2x2 所以p(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2e)上单调递增，并且p(1)=, 并且当x从右侧趋近于0时，p(x)趋近于+o: 当x=2e时，p20-8 …12分 由此可得：当0<c<时，f'(x)=0在(0,2e)上无解： 当c=时，f'(x)=0在(0,2e)上只有一个解x=1; 当<c<时，f'()=0在(0,2e)上有两个解： 当c≥时，f'(,)=0在(0,2e)上只有一个解，且该解在(0,1)内. 下面同时检查f(x)=0的零点. 当0<c<时，由f'(x)>0知f(x)在(0,2e)上单调递增，且f(0)=0, 所以f(x)>0,此时g(x)无零点，不符合题意.…13分 当c=时，a=-2f'()=e*-ex. 设φ(x)=ex-ex,x∈(0,2e),则中'(x)=ex-e, 当x∈(0,1)时，中'(x)<0,此时(x)单调递减， 当x∈(1,2e)时，中'(x)>0,此时中(x)单调递增， 则中(x)≥中(1)=0，则ex≥ex, 数学参考答案第6页/共7页 则f'(x)≥0，当且仅当x=1时取等号. 又f(0)=0,所以f(x)在(0,2e)上恒为正. 因此g(x)=f(x)f'(x)在(0,2e)上只有一个零点x=1,符合题意.…14分 当线<c<霜时，f()=0在(0,2®)上已有两个解，所以g()至少有两个零点， 不符合题意.… …15分 当c≥时，f'6)=0在(0,2e)上有一个解。 另一方面，当x从右侧趋近于0时，有f(x)=ex-cx2-1=x+o(x)>0, 而f(2e)=e2e-4ce2-1<0. 故由连续性可知，存在∈(0,2)，使得f()=0,于是g(x)至少有两个零 点，不符合题意。…I6分 综上，a的取值范围为a=一。 …17分 2 数学参考答案第7页/共7页