第1讲 函数的概念及表示 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念及其表示这一高考核心考点，按函数概念、三要素、表示法、分段函数的逻辑层次梳理知识，通过知识点预览构建体系，探究核心题型（含例题与跟踪训练）指导方法，课时对点精练强化真题应用，系统帮助学生突破概念辨析、解析式求法等难点。 讲义突出数学思维与应用意识培养，如考点一通过函数图象辨析题训练抽象能力，考点二用换元法等推导解析式培养推理能力，分层练习覆盖选择、填空、解答题。其设计能让学生在有限时间内掌握解题策略，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

2027年高考一轮复习讲义 第1讲 函数的概念及其表示 知识点预览 1.函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 常用结论 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 探究核心题型 考点一 函数的概念 例1-1 (多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是(　　) 例1-2 以下图形中，不是函数图象的是(　　) 例1-3 (2026·长春模拟) (多选)下列说法中正确的有(　　) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数 B．函数f(x)＝－的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f ＝0 跟踪训练 1 判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数. (　 　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示. (　 　) (3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点. (　 　) (4)函数f(x)=的定义域为R. (　 　) 2. 下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝()2 B．f(x)＝－1，g(x)＝ C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝ 考点二 函数的解析式 例2-1. (2026·青岛模拟) (1) 已知f=x4+，求f(x)的解析式； (2) 已知f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x-3，求f(x)的解析式； (3) 已知f(x)满足2f(x)+f=3x，求f(x)的解析式. 例2-2. 若f ＝，则f(x)＝________. 例2-3. 已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝________________. 跟踪训练 1. (1)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (2)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式． 2. (多选)下列命题中正确的有(　　) A.已知函数f(3x+1)=6x-4，则f(-2)=-10 B.已知函数f=x2+，则f(x)=x2+2(x≠0) C.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2，f(x)-f(x-1)=2x+3，则f(x)=x2+4x+2 D.已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x，则f(x)=3x 考点三 分段函数 例3-1. (多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是－ D．f(x)<1的解集为(－1,1) 例3-2. (多选)已知函数f(x)= 则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞，4] C.若f(x)=2，则x的值是- D.f(x)<1的解集为(-1，1) 例3-3. 已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________________． 跟踪训练 1. (2023·济宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 023)等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2. 对a，b∈R，记max{a，b}=则函数f(x)=max的最小值为　　　　.  3. (2025·聊城模拟)已知函数f(x)=则“a=1”是“f(a)=1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2023·西安模拟)函数f(x)＝＋ln(1－x)的定义域是(　　) A．(－2,1) B．(－3,1) C．(1,2) D．(1,3) 2．函数y=的定义域为M，y=3x2+1的值域为N，则M∪N等于(　　) A.[0，+∞) B.[0，1] C.[4，+∞) D.[1，+∞) 3．(2026·宝鸡模拟) 函数f(x)＝的值域是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－2，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞) 4．(2026 驻马店统考)已知函数f(2x＋1)＝2x－x2－3，则f(3)等于(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 5．(2025·湘西模拟)已知f(+1)=x+2，则函数f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=x2-1 B.f(x)=x2-1(x≥1) C.f(x)=x2+1(x≥1) D.f(x)=x2-1(x≥0) 6．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　) 7. 已知f(x)＝实数a满足f(a)<f(－a)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2,0)∪(0,2) D．(－2,0)∪(2，＋∞) 8．(2026·烟台模拟)设集合A={x|0<x≤4}，B={y|0<y≤1}，则从A到B的函数f(x)可能为(　　) A.f(x)=x-1 B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)=x 二、多项选择题 9．表格表示的函数为y=f(x)，关于此函数下列说法错误的是(　　) x 0.1 0.2 0.5 0.8 0.9 y 1 0 1 0 1 A.f(x)的定义域是(0，1) B.f(f(0.1)-0.8f(0.5))=1 C.f(x)的值域是{0，1} D.f(x)的图象无对称轴 10．(2026·汕头模拟)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”．下列函数是“[0,1]交汇函数”的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝1－x2 D．y＝ 11. (2025·聊城模拟) 下列说法正确的是(　　) A.已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，则f(x)=2x+7 B.y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)表示同一个函数 C.若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为[0，2] D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 三、填空题 12．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，写出函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数　　　　　　　　.  13．若f(＋1)＝x－1，则f(x)＝________. 14．已知函数f(x)＝则f ＝________；若f(a)>a，则a的取值范围是________． 15．(2025·六盘水模拟)已知函数f(x)满足f(x)+2f=2x++3，则f(2)=　　　　.  四、解答题 16．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)求f ，f ，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值． 17. 已知函数f(x)＝. (1)求f ＋f(3)，f ＋f(2)的值； (2)探索f(x)＋f ； (3)利用(2)的结论求表达式：f ＋f ＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)的值． 18．已知函数f(x)=.若其定义域为R，则实数m的取值范围是　　　　　；若函数f(x)的值域是[0，+∞)，则实数m的取值范围是　　　　　　　.  19．(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.设f(x)＝x－[x]，则下列结论正确的有(　　) A．f(－1.1)＝0.9 B．函数f(x)的图象关于原点对称 C．f(x＋1)＝f(x)＋1 D．函数f(x)的值域为[0,1) 20. (2026·咸阳模拟)定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(x)+f(1-x)=1；②f=f(x)；③f(x1)≤f(x2)(0≤x1<x2≤1)，则f(1)=　　　　　，f=　　　　　.  2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第1讲 函数的概念及其表示 知识点预览 1.函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 常用结论 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 探究核心题型 考点一 函数的概念 例1-1 (多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是(　　) 答案　ACD 解析　在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中，图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函数图象． 例1-2 以下图形中，不是函数图象的是(　　) 答案　A 解析　根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个x值对应两个y值，所以A不是函数图象. 例1-3 (2026·长春模拟) (多选)下列说法中正确的有(　　) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数 B．函数f(x)＝－的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f ＝0 答案　BC 解析　对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，由题意，在f(x)＝－中，解得x≥－1且x≠0，故B正确；对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f ＝0，所以f ＝f(0)＝1，故D错误． 跟踪训练 1 判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数. (　×　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示. (　×　) (3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点. (　√　) (4)函数f(x)=的定义域为R. (　√　) 2. 下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝()2 B．f(x)＝－1，g(x)＝ C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝ 答案　C 解析　对于A，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数． 考点二 函数的解析式 例2-1. (2026·青岛模拟) (1) 已知f=x4+，求f(x)的解析式； (2) 已知f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x-3，求f(x)的解析式； (3) 已知f(x)满足2f(x)+f=3x，求f(x)的解析式. 解　(1) (配凑法)f=x4+=-2， 又x2+≥2=2， 当且仅当x2=，即x=±1时等号成立. 设t=x2+，则t≥2，∴f(t)=t2-2(t≥2)， ∴f(x)=x2-2(x≥2). (2) (待定系数法)∵f(x)是一次函数， ∴设f(x)=kx+b(k≠0)， ∴f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b， 又f(f(x))=4x-3，∴k2x+kb+b=4x-3， 故解得或 ∴f(x)=2x-1或f(x)=-2x+3. (3) (解方程组法)用替换x， 得2f+f(x)=， 因此 解得f(x)=2x-(x≠0). 例2-2. 若f ＝，则f(x)＝________. 答案　(x≠0且x≠1) 解析　f(x)＝＝(x≠0且x≠1)． 例2-3. 已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝________________. 答案　2x＋3或－2x－9 解析　因为f(x)为一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)， 因为f(f(x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立， 所以 解得或 所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9. 跟踪训练 1. (1)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (2)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式． 解　 (1)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7(x∈R)． (2)(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，① ∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，② 由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6， ∴f(x)＝3x－2(x∈R)． 2. (多选)下列命题中正确的有(　　) A.已知函数f(3x+1)=6x-4，则f(-2)=-10 B.已知函数f=x2+，则f(x)=x2+2(x≠0) C.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2，f(x)-f(x-1)=2x+3，则f(x)=x2+4x+2 D.已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x，则f(x)=3x 答案　ACD 解析　对于A，由函数f(3x+1)=6x-4，令3x+1=-2，解得x=-1， 此时6x-4=-10，故A正确； 对于B，f=x2+=+2，且x-的取值范围是R， 所以函数的解析式为f(x)=x2+2，故B错误； 对于C，由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，因为f(0)=2，所以c=2， 因为f(x)-f(x-1)=2x+3， 所以ax2+bx+c-[a(x-1)2+b(x-1)+c]=2x+3， 所以2ax-a+b=2x+3， 所以解得 所以f(x)=x2+4x+2，故C正确； 对于D，因为2f(x)+f(-x)=3x， ① 所以将x用-x替换， 得2f(-x)+f(x)=-3x， ② 由①②解得f(x)=3x，故D正确. 考点三 分段函数 例3-1. (多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是－ D．f(x)<1的解集为(－1,1) 答案　BC 解析　函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确； 当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1,1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误． 例3-2. (多选)已知函数f(x)= 则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞，4] C.若f(x)=2，则x的值是- D.f(x)<1的解集为(-1，1) 答案　BC 解析　函数f(x)=的定义域是[-2，+∞)，故A错误； 当-2≤x<1时，f(x)=x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)=-x+2，值域为(-∞，1]，故f(x)的值域为(-∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)=-x+2=2，无解，当-2≤x<1时，令f(x)=x2=2，解得x=-，故C正确； 当-2≤x<1时，令f(x)=x2<1，解得x∈(-1，1)，当x≥1时，令f(x)=-x+2<1，解得x∈(1，+∞)，故f(x)<1的解集为(-1，1)∪(1，+∞)，故D错误. 例3-3. 已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________________． 答案　－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) 解析　若f(a)＝4，则或 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2，则或 解得－3≤a<－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)． 跟踪训练 1. (2023·济宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 023)等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由题设，当x>0时，f(x)＝f(x－3)， 即当x>0时，函数f(x)是周期为3的周期函数， 则f(2 023)＝f(3×674＋1)＝f(1) ＝f(－2)＝log2[2－(－2)]＝log24＝2. 2. 对a，b∈R，记max{a，b}=则函数f(x)=max的最小值为　　　　.  答案　 解析　令x+1=x2-2x+，解得x=或x=， 所以f(x)= 作出f(x)的图象， 由图象可知，当x=时，f(x)min=+1=. 3. (2025·聊城模拟)已知函数f(x)=则“a=1”是“f(a)=1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　根据题意，当a=1时，f(a)=f(1)=2-1-1=1， 所以“a=1”是“f(a)=1”的充分条件， 反之，若f(a)=1，即或 解得a=-1或a=1， 所以“a=1”不是“f(a)=1”的必要条件， 则“a=1”是“f(a)=1”的充分不必要条件. 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2023·西安模拟)函数f(x)＝＋ln(1－x)的定义域是(　　) A．(－2,1) B．(－3,1) C．(1,2) D．(1,3) 答案　A 解析　由题意可得解得－2<x<1. 故函数f(x)的定义域是(－2,1)． 2．函数y=的定义域为M，y=3x2+1的值域为N，则M∪N等于(　　) A.[0，+∞) B.[0，1] C.[4，+∞) D.[1，+∞) 答案　D 解析　由x-4≥0，得x≥4，故M=[4，+∞)， 由y=3x2+1，得y≥1，故N=[1，+∞)， 故M∪N=[1，+∞). 3．(2026·宝鸡模拟) 函数f(x)＝的值域是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－2，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　f(x)＝＝＝1－， ∵≠0，∴1－≠1， 从而可知函数f(x)＝的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 4．(2026 驻马店统考)已知函数f(2x＋1)＝2x－x2－3，则f(3)等于(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 答案　B 解析　令2x＋1＝3，得x＝1，则f(3)＝2－1－3＝－2. 5．(2025·湘西模拟)已知f(+1)=x+2，则函数f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=x2-1 B.f(x)=x2-1(x≥1) C.f(x)=x2+1(x≥1) D.f(x)=x2-1(x≥0) 答案　B 解析　令t=+1，则x=(t-1)2，t≥1， 因为f(+1)=x+2，所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)， 则f(x)=x2-1(x≥1). 6．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　) 答案　A 解析　水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加得由快变慢，中间增加得最慢，最后增加得由慢变快，由图可知选项A符合. 7. 已知f(x)＝实数a满足f(a)<f(－a)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2,0)∪(0,2) D．(－2,0)∪(2，＋∞) 答案　D 解析　由题意可知，a≠0. 当a<0时，f(a)＝a2＋2a，f(－a)＝－a2－2a， 所以由f(a)<f(－a)可得a2＋2a<－a2－2a， 即a2＋2a<0，解得－2<a<0， 当a>0时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a， 所以由f(a)<f(－a)可得－a2＋2a<a2－2a， 即a2－2a>0，解得a>2， 所以a的取值范围是(－2,0)∪(2，＋∞)． 8．(2026·烟台模拟)设集合A={x|0<x≤4}，B={y|0<y≤1}，则从A到B的函数f(x)可能为(　　) A.f(x)=x-1 B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)=x 答案　D 解析　对于A，f(x)=x-1，A={x|0<x≤4}，则f=2∉B，故A错误； 对于B，f(x)=，A={x|0<x≤4}，则f(4)=2∉B，故B错误； 对于C，f(x)=x2，A={x|0<x≤4}，则f(2)=×22=2∉B，故C错误； 对于D，f(x)=x，当0<x≤4时，0<x≤，即0<f(x)≤， 又⊆{y|0<y≤1}， 所以f(x)=x为从A到B的函数，故D正确. 二、多项选择题 9．表格表示的函数为y=f(x)，关于此函数下列说法错误的是(　　) x 0.1 0.2 0.5 0.8 0.9 y 1 0 1 0 1 A.f(x)的定义域是(0，1) B.f(f(0.1)-0.8f(0.5))=1 C.f(x)的值域是{0，1} D.f(x)的图象无对称轴 答案　ABD 解析　函数f(x)的定义域是{0.1，0.2，0.5，0.8，0.9}，A错误； f(f(0.1)-0.8f(0.5))=f(0.2)=0，B错误； 函数f(x)的值域是{0，1}，C正确； 函数f(x)的图象关于直线x=0.5对称，D错误. 10．(2026·汕头模拟)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”．下列函数是“[0,1]交汇函数”的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝1－x2 D．y＝ 答案　BD 解析　由“[a，b]交汇函数”定义可知，“[0,1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0,1]． y＝的定义域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，＋∞)，A错误； y＝的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0,1]，B正确； y＝1－x2的定义域A＝R，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝(－∞，1]，C错误； y＝的定义域A＝[－1,1]，值域B＝[0,1]，则A∩B＝[0,1]，D正确． 11. (2025·聊城模拟) 下列说法正确的是(　　) A.已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，则f(x)=2x+7 B.y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)表示同一个函数 C.若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为[0，2] D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 答案　ABD 解析　对于A，∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)， ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17， 即ax+(5a+b)=2x+17， ∴解得∴f(x)=2x+7，A正确； 对于B，y=lg(1-x)+lg(1+x)与y=lg(1-x2)的定义域均为(-1，1)，且y=lg(1-x)+lg(1+x)=lg(1-x2)，∴对应关系相同，定义域也相同，故表示同一个函数，故B正确； 对于C，函数f(x)的定义域为[0，2]，由0≤2x≤2，得0≤x≤1，则函数f(2x)的定义域为[0，1]，故C错误； 对于D，由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确. 三、填空题 12．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，写出函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数　　　　　　　　.  答案　y=x2，x∈[-2，1](答案不唯一) 解析　函数y=x2，x∈[-1，2]的值域为[0，4]， 函数y=x2，x∈[-2，1]的值域为[0，4]， 所以y=x2，x∈[-2，1]为函数y=x2，x∈[-1，2]的一个同族函数.(答案不唯一) 13．若f(＋1)＝x－1，则f(x)＝________. 答案　x2－2x(x≥1) 解析　令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， 于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)⇒f(x)＝x2－2x(x≥1)． 14．已知函数f(x)＝则f ＝________；若f(a)>a，则a的取值范围是________． 答案　4　(－1,1)∪(1，＋∞) 解析　因为f ＝2×＋1＝2， 所以f ＝f(2)＝22＝4. 当a≥1时，f(a)>a⇔a2>a，解得a>1； 当a<1时，f(a)>a⇔2a＋1>a，解得－1<a<1， 所以不等式的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)． 15．(2025·六盘水模拟)已知函数f(x)满足f(x)+2f=2x++3，则f(2)=　　　　.  答案　5 解析　因为f(x)+2f=2x++3，分别令x=2，x=， 联立得解得 四、解答题 16．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)求f ，f ，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值． 解　(1)∵＞1，∴f ＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1，∴f ＝＋5＝. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. (2)此分段函数的图象如图所示． 在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分． 图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象． (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 17. 已知函数f(x)＝. (1)求f ＋f(3)，f ＋f(2)的值； (2)探索f(x)＋f ； (3)利用(2)的结论求表达式：f ＋f ＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)的值． 解　(1)已知函数f(x)＝， ∴f ＋f(3)＝＋＝＋＝1，f ＋f(2)＝＋＝＋＝1. (2)由f(x)＝，得f ＝＝，∴f(x)＋f ＝1. (3)由(2)知f(x)＋f ＝1，f(1)＝＝， ∴f ＋f ＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)＝2 022＋f(1)＝2 022×1＋＝. 18．已知函数f(x)=.若其定义域为R，则实数m的取值范围是　　　　　；若函数f(x)的值域是[0，+∞)，则实数m的取值范围是　　　　　　　.  答案　　 解析　若函数f(x)的定义域为R， 则有m>0且Δ=(m-2)2-4m(m-1)≤0， 解得m≥， 所以m的取值范围是. 当m=0时，f(x)==，值域是[0，+∞)，满足条件； 令g(x)=mx2-(m-2)x+m-1，g(x)≥0， 当m<0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，+∞)，不满足条件； 当m>0时，g(x)的图象开口向上， 只需关于x的方程mx2-(m-2)x+m-1=0中的Δ≥0， 即(m-2)2-4m(m-1)≥0， 解得-≤m≤， 又m>0，所以0<m≤， 综上，0≤m≤， 所以实数m的取值范围是. 19．(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.设f(x)＝x－[x]，则下列结论正确的有(　　) A．f(－1.1)＝0.9 B．函数f(x)的图象关于原点对称 C．f(x＋1)＝f(x)＋1 D．函数f(x)的值域为[0,1) 答案　AD 解析　对于A，因为f(x)＝x－[x]， 所以f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故A选项正确； 对于B，因为f(0.5)＝0.5－[0.5]＝0.5－0＝0.5，f(－0.5)＝－0.5－[－0.5]＝－0.5－(－1)＝0.5， 所以f(0.5)＋f(－0.5)＝1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B选项错误； 对于C，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x<k＋1，此时有k＋1≤x＋1<k＋2， 所以f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－(k＋1)＝x－k，f(x)＝x－[x]＝x－k，故C选项错误； 对于D，由C选项分析可知∀x∈R，总有f(x＋1)＝f(x)，即f(x)是周期为1的周期函数， 不妨设0≤x<1，则此时有0≤f(x)＝x－[x]＝x－0＝x<1，因此函数f(x)的值域为[0,1)，故D选项正确． 20. (2026·咸阳模拟)定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(x)+f(1-x)=1；②f=f(x)；③f(x1)≤f(x2)(0≤x1<x2≤1)，则f(1)=　　　　　，f=　　　　　.  答案　1　 解析　在①中，令x=，得f=， 在②中，令x=0，得f(0)=0， 在①中，令x=0，得f(0)+f(1)=1，所以f(1)=1. 在②中，令x=1，得f=f(1)=， 由③知，f(x)在[0，1]上非严格单调递增， 又因为f=f=， 所以∀x∈，均有f(x)=. 注意到=∈， 因此f=， 于是f=f=f=f=f =…=f=×=. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $