第二十章勾股定理暑假作业30题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 勾股定理暑假单元卷，精选30题分层设计（10中考真题+10基础+10提升），适配八下几何核心内容，助力暑假专项突破几何计算与综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|30题|勾股定理应用（最短路径、直角三角形判定、实际情境计算、动态几何）|结合2025-2026中考真题（如蚂蚁爬行最短路径题），分层递进；基础题夯实运算能力（如直角三角形边长计算），提升题培养推理能力与模型意识（如动态几何综合题），贴合中考命题趋势，体现空间观念与应用意识。|

勾股定理 暑假作业30题 勾股定理是八下几何核心内容，承接直角三角形基础，支撑四边形、折叠几何、二次函数、解直角三角形等后续重难点，也是中考必考几何考点，图形计算能力直接影响几何大题得分。 本套暑假作业精选30题，不搞题海战术，分层设置10道中考真题（真题感知）、10道基础题（基础练习）、10道巩固提升题（巩固提高），循序渐进吃透定理应用、突破几何易错模型、把握最新中考命题方向。利用假期专项训练，夯实几何计算根基，稳步提升综合几何解题能力。 1．（2026·四川南充·中考真题）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______．真题感知 【答案】 【分析】分三种情况讨论，分别根据勾股定理计算，找出最短距离即可． 【详解】解：如图，将长方体的前面和右面展开， ∴； 如图，将长方体的前面和上面展开， ∴， 如图，将长方体的下面和右面展开， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 2．（2026·四川广安·中考真题）如图所示，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；（3）作射线交于点；（4）连接，交于点，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】由作图可知：垂直平分，，结合勾股定理和线段的和差可得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分，， ∵ ∴，， ∴． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是______(结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【答案】2 【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边． 由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数． 【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∵铅笔总长度为，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∵结果保留整数， ∴露出部分的最小长度约为． 故答案为：2． 4．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 【答案】(1) (2) ①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ② 【分析】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，， ∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， 故答案为：； （2）解：①略 ②过点作于点， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 5．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是_________． 【答案】7或9/9或7 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，利用勾股定理得出得长度，根据三角形面积公式得出长，设，则，表示出，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即， 解得或9， 即或9， 故答案为：7或9． 6．（2025·吉林长春·中考真题）如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 7．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则_________．    【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 【详解】解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：．    8．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 9．（2025·江西·中考真题）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 【答案】(1)①，；②C． (2) 【分析】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情况分析：点与点重合时，；过没有点的限制，点与点重合时，；即可解答； （2）如图2，过N作延长线于G当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值． ∵，， ∴，即有最大值为． 故答案为：，． ②由特殊情况分析：点与点重合时，； 过没有点的限制，点与点重合时，； ∴面积的变化情况是先增大后减小． 故选：C． （2）解：如图2，过N作延长线于G 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，理解题意解题的关键． 10．（2026·四川达州·中考真题）综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路（忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积； (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； (3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”） 【答案】(1)平方米 (2)甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理证明是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式进行计算，将两个三角形的面积相加即可求解； （2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解． （3）根据菜苗的实际成本公式计算，再比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴米 ∵米，米， ∴ ∴ ∴是直角三角形，且 ∴平方米； （2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意， ∴乙菜苗的单价为元， 答：甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 （3）甲种菜苗的数量为（株），成活数为（株） 乙种菜苗的数量为（株），成活数为（株） ∵ ∴ 11．（25-26八年级下·北京·阶段检测）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ）基础练习 A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，1，1 D．，， 【答案】D 【分析】本题利用勾股定理的逆定理，验证每组中两个较短边长的平方和是否等于最长边长的平方，即可判断能否构成直角三角形. 【详解】解：A 最长边为，，，， 不能构成直角三角形，不符合题意. B 最长边为，，，， 不能构成直角三角形，不符合题意. C 最长边为，，，， 不能构成直角三角形，不符合题意. D 最长边为，，，，能构成直角三角形，符合题意. 12．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）在中，，若，，求的周长． 【答案】的周长为 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再将三边长度相加得到三角形的周长． 【详解】解：，，， ， 的周长为． 13．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 14．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 15．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）某学校的校园平面简图如图4所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知教学楼的坐标为，实验楼的坐标为． (1)根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)根据（1）中建立的平面直角坐标系，直接写出操场、食堂和图书馆的坐标； (3)已知办公楼A和学生宿舍B的坐标分别为和，请在图中标出A和B的位置，并计算A、B两点之间的距离． 【答案】(1) (2)操场的坐标为，食堂的坐标为，图书馆的坐标为 (3)； 【分析】（1）根据教学楼和实验楼的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立对应的平面直角坐标系即可； （2）根据（1）以及操场，食堂和图书馆的位置可得对应的坐标； （3）根据（1）先描出点A和点B，再根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得操场的坐标为，食堂的坐标为，图书馆的坐标为； （3）解：图见答案， ∵办公楼A和学生宿舍B的坐标分别为和， ∴． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 【答案】16 【分析】树折断之前有x米，画出模型图，结合勾股定理即可作答． 【详解】解：树折断之前有x米，模型如图， 根据题意有：，，，， 即， 根据勾股定理有：， ∴， ， ∴， 解得：（负值舍去）， 即树折断之前有米． 17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第8个图形中共有______个正方形． 【答案】255 【分析】观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第8个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第8个图形中共有个正方形． 18．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，数轴上点对应的数是0，点对应的数是1，，垂足为，且．连接，以点为圆心、长为半径画圆弧，交数轴于点（点在点的右侧），则和点对应的数最接近的整数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，运用勾股定理得到，再根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：数轴上点对应的数是0，点对应的数是1， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心、长为半径画圆弧，交数轴于点（点在点的右侧）， ∴， ∵， ∴， ∴和点对应的数最接近的整数是． 19．（2026八年级下·山西朔州·专题练习）如图，在中，平分交于点M，过点C作，垂足为E，交于点D．若，，，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】先证，从而得到，．再根据，证，从而得到，在中，运用勾股定理求出，即得到的长，最后根据，求得的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 21．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，，，线段上一点满足．若，的面积为，则的长为____________．巩固提高 【答案】 【分析】利用勾股定理和完全平方公式进行求解即可. 【详解】解：设， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 22．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为，以为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为________． 【答案】 【分析】先通过勾股定理找出正方形边长的递推规律，得到第个正方形的边长表达式，代入再利用正方形面积公式求解． 【详解】解：根据题意可知， ， ， ， ， ， 据以上分析可知，第个正方形的边长为， 则第个正方形的边长为，其面积为． 23．（2026·河南平顶山·三模）在中，，，点是边上一点，连接，点是边的中点，连接，若为直角三角形，则的长为_____． 【答案】或 【分析】根据题意，分类讨论：当时，得到为的中点，由勾股定理得到，根据线段中点即可求解；当时，垂直平分，结合图形，由勾股定理，线段中点的含义即可求解． 【详解】解：由题意知，，当时，如图， ∵，， ∴为的中点， ∴， ∴在中，， ∵E是的中点， ∴； 当时，如图， 过点作于点，同理可得，， ∵E是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 综上所述，的长为或． 24．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 25．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）解答下列问题： (1)如图1，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，使，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，，连接，若，求的长； (3)如图3，在四边形中，连接，求的长． 【答案】(1)猜想：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2)9 (3)20 【分析】（1）先说明，再根据“边角边”证明，可得答案； （2）根据等腰直角三角形的性质说明，再根据“边角边”证明，可得，然后根据勾股定理求出，接下来说明是直角三角形，最后根据勾股定理得出答案； （3）连接，可得是等边三角形，再把绕点D顺时针旋转得到，连接，则是等边三角形，然后说明，最后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】（1）略 （2）解：∵等腰和等腰中，， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵ ， ∴． ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ∵， ∴是等边三角形， 把绕点D顺时针旋转得到，连接， 则是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 26．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， 根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．如图，当三点共线时，作于点，则有， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，由 ， ， ∴， ∴ 的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 27．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)探险者与不能同时到达藏宝点处，理由如下： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴探险者所用时间为，探险者所用时间为， ∵， ∴探险者与不能同时到达藏宝点处． 【分析】（1）先计算出的运动时间，再求出的速度即可； （2）先计算出提速后的速度，再计算出、的路程，根据运动时间相等列出分式方程，求解并检验即可； （3）利用勾股定理的逆定理可判断，使用面积法可计算出，再使用勾股定理求出，则，分别计算、的运动时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，从点到点的运动时间为， ∴的速度为； （2）解：根据题意，速度提高后，的速度为， ∵， ∴，， 由运动时间相等可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解； （3）略 28．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，连接，若，，，求的面积； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，，点在边上运动的过程中，当时，请求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，可得都是等腰直角三角形，由此可求出的值，由此即可求解； （2）如图2中，过点B作交的延长线于点T．根据直角三角形的性质可证，可得，再证得，可得，由此可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （3）根据折叠的性质得到，，，可证是等边三角形，得到，，从而得到，推出；设，利用含30度角的直角三角形的性求出，连接，可得是等边三角形，再结合勾股定理可求出，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2中，过点B作交的延长线于点T， ∵， ， ∵， ， ， ， ∴， 平分， ， 又 ∴， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ，， ∴； （3）解：如图， ∵，， 当时， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ， ∴，， ∴是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴， 如图，连接， ∵， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴． 29．（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 30．（25-26八年级下·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明； (3)若为中点，求的值． 【答案】(1)证明：∵等腰中，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2)； 如图，∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； (3) 【分析】（）证明，可得，进而由得到，即得，即可求证； （）证明是等腰直角三角形可得，由全等三角形的性质得，即得，即可求证； （）连接，由等腰直角三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，即得，即可求解； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理 暑假作业30题 勾股定理是八下几何核心内容，承接直角三角形基础，支撑四边形、折叠几何、二次函数、解直角三角形等后续重难点，也是中考必考几何考点，图形计算能力直接影响几何大题得分。 本套暑假作业精选30题，不搞题海战术，分层设置10道中考真题（真题感知）、10道基础题（基础练习）、10道巩固提升题（巩固提高），循序渐进吃透定理应用、突破几何易错模型、把握最新中考命题方向。利用假期专项训练，夯实几何计算根基，稳步提升综合几何解题能力。 1．（2026·四川南充·中考真题）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______．真题感知 2．（2026·四川广安·中考真题）如图所示，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；（3）作射线交于点；（4）连接，交于点，连接．若，则_____． 3．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是______(结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 4．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 5．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是_________． 6．（2025·吉林长春·中考真题）如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形． 7．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则_________．    8．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江西·中考真题）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 10．（2026·四川达州·中考真题）综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路（忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积； (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； (3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”） 11．（25-26八年级下·北京·阶段检测）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ）基础练习 A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，1，1 D．，， 12．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）在中，，若，，求的周长． 13．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 15．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）某学校的校园平面简图如图4所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知教学楼的坐标为，实验楼的坐标为． (1)根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)根据（1）中建立的平面直角坐标系，直接写出操场、食堂和图书馆的坐标； (3)已知办公楼A和学生宿舍B的坐标分别为和，请在图中标出A和B的位置，并计算A、B两点之间的距离． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第8个图形中共有______个正方形． 18．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，数轴上点对应的数是0，点对应的数是1，，垂足为，且．连接，以点为圆心、长为半径画圆弧，交数轴于点（点在点的右侧），则和点对应的数最接近的整数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 19．（2026八年级下·山西朔州·专题练习）如图，在中，平分交于点M，过点C作，垂足为E，交于点D．若，，，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 20．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 21．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，，，线段上一点满足．若，的面积为，则的长为____________．巩固提高 22．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为，以为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为________． 23．（2026·河南平顶山·三模）在中，，，点是边上一点，连接，点是边的中点，连接，若为直角三角形，则的长为_____． 24．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 25．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）解答下列问题： (1)如图1，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，使，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，，连接，若，求的长； (3)如图3，在四边形中，连接，求的长． 26．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3) 根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 27．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 28．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，连接，若，，，求的面积； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，，点在边上运动的过程中，当时，请求出的值． 29．（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 30．（25-26八年级下·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明； (3)若为中点，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $